Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.254

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПО ВХОДУ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2006 А Н. Волныкин, О.А. Кацюба

Самарская государственная академия путей сообщения

В статье рассматривается задача оценки параметров линейного разностного уравнения с многомерным входом при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах. Эта задача отличается от стандартной задачи регрессионного оценивания, предложен новый критерий оценивания на основе отношения двух квадратичных форм, обобщающий стандартный метод наименьших квадратов и позволяющий получить состоятельные оценки параметров. Предлагается также численный метод определения оценок параметров линейных разностных уравнений, сводящийся к многократному решению линейных разностных уравнений.

Пусть имеет место стационарная линейная динамическая система, которая описывается следующим стохастическим уравнением заданного порядка с дискретным временем I -... —1,0,1___

-I Ъ

0"<1. =ТУа0"ях<я, (П

0 г —т/1/ 1 0 г —т ' т-1 у-1 т-0

у, - zl + %(/), м>Р - х' + %и)(1), где ^1(/)- помеха наблюдения в выходном сигнале, 1)(г)- помеха наблюдения соответственно в у — м входном сигнале.

Применение классического МНК не позволяет получать состоятельные оценки параметров: в самом деле, использование классической процедуры МНК для определения параметров разностного уравнения приводит к минимизации среднего значения величины:

Уг — ±Ъ (т) Уг—т —£ Ь

2 (Ъ(m) a(mJ)) =

e \Ъ

a(mj) w<J)

i-m

т-1 у-1 т-0

Такая постановка задачи не совпадает с обычной постановкой задачи в регрессионном анализе.

Пусть выполняются следующие условия:

1)Множество В, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы является компактом.

2) Помехи %1 (г), %(1) (г), ' -1, d статис-

тически независимы и удовлетворяют следующим условиям:

Е(%х(г +1)/%,(10)_%(г)) - 0 п.н.;

Е((%1)2(/ + 1)/|1(/0),_|1(г)) - С(г +1) < п п.н.; Е (%)4(/)) < п(1)п.н.; Е(%(1)(/ + 1)/'0),_'г)) - 0 п.н.;

Е((%(1 )2(г +1) / %(1} (г0),_%(1} (г)) - С(1 (г +1) < п(11 < да п.н.;

Е((%(1))4(г)) < п(у1)п.н., где Е — оператор математического ожидания.

3) |хг(1), _ х\й) ] статистически не зависят

от %(/)}, %1Ч/)} 1 - .

4) Вектор входных переменных и истинные значения параметров удовлетворяют условиям:

N П.Н.

N —1Ь ( *Т (г")!( х<1)(г'))Г ;•••;( <\1))Т )т (< (г)\-\( X«У ) ^Я * где

(/ )-(гг—1 _ )Т .х (

х( j )М j) ... х^У

r, \ 1 1-r, ) ■

Представим уравнение (1) для всех г -1,2_и в векторной форме в виде системы

линейных алгебраических уравнений (г0 -1):

z = Zb0 + Xa0.

где

Z = (z1 — zN J ,

+ — + r(d ^ ^ )l= o(b0, а0)

Z =

Z0 — Z1-r

где:

—2

о2 - средняя дисперсия помехи наблюдения (г), (о( - средняя дисперсия помехи наблюдения })(/),

X =

,(1)

Д1)

х,

х

(1) м

(1) N -rj

,(d)

,(d)

М)

,(d)

(2)

v( о )=(0 r ^2

|2

b0 = b0

—b0r , (а0" :-:а0')),

а-0> = (а00')— а-0>/.

Тогда определим оценку

(N ).

v /у

неизве-

а0 = а

стных истинных значении параметров

(ь Л

° о

V ао У

Однако, вместо z,7, X наблюдается только случайно возмущенный вектор

У = (у1 ...уу)т еRN и матрицы Лу и

А№ = )), которые определяются

(2), если вместо zi ^ у, х(^) ^ ^). Таким образом, задача идентификации параметров ^ (Ь а(1) а^))= (Ь0: а0 )т сводится к решению стохастических

из условия минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений е(Ь, а, г) с весом ш(Ь, а), то есть из:

ш-1 (Ь, а(1) .а^ ^ (Ь, а(1)...

min

b и

а У

(3)

где

Y - A

Y W

(ь Л

v а

Y - A

Y W

(ь ЛЛ

v а yy

алгебраических уравнений [1,2], определяемых значениями у, (Лу : Лш ) = Лу ж, вероятностные характеристики которых описываются условиями 1 - 4.

Представим уравнение (1) в виде:

(•,•)- скалярное произведение.

Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1), и выполняются условия 1 - 4, тогда оценки

y = (y- (0W« l-W )(i))( Ь- ] + ( ()-S-Ь- - S- а01) — - Я

Vd)

где

iu Л

(n )

'(N )У

а.

определяемые выражением (3) при

(( )—(j)

е R

Введем следующую невязку: (Ь-, а-, i ) = ^! (i )-ЕТгЬ--Е Г1 а-1) — ^а-")

Тогда из уравнения (2) и леммы 1.1 [1,2], получаем, что средняя дисперсия невязки равна:

lim N" ±E (Ьо, «-,/ ))= ^ +^!2ЬоТЬ- +(ä(1))2 (а-1) )Т а-1) + -

N ^ го существуют и являются сильно состоятельными оценками, то есть:

V Щ;-

Доказательство утверждения 1. Рассмотрим функцию:

jj(N)Л п.н.(Ь- Л

N

V ао У

—))2 (ö-d )=^

1 + Ь-Ь + х(1)(а01))Та01)-

1 ^ (Ь, а) = N^ (zi +а)4Т (О+ЕТ )ь-^(х^ОО^+Е- ] (d ))2 =

zN-1 — zN-r

1-r

d

N-1

N-1

N-r

r

= ""£fe(0 + zf(Фо + (f CW + "z?(Ф-

i=i

Tb - X

N

r-1

(f (OlTa«-sTaM -...-(#>(OlTa(d)-E*a(d))2 =

в силу условий 2, 3, 4 удовлетворяет условиям леммы 1.2 [1,2] и, следовательно, равно 0. Заметим, что

N-1 £ fei (0 - zT №-(*;> 0)Г~(1) - ••-Ц? (r)Ja(d) - ^ £ ^ (i)~ = N- £ b

i=i

Zi-ili (i -1) ... Z-Д (i -1)' zi-ili(i-j) . zi-£i(i -

-STb-STa(i) - ...-S\a(d))"=Vl + v 2 +v 3,

где: b = b - b0,

~(j) = a(j) - a(j).

(4)

Таким образом (4), можно представить в виде г2 слагаемых, каждое из которых в силу условий 2, 3 по лемме 1.2 [1,2] сходится к нулю. Аналогично можно доказать, что и все остальные слагаемые сходятся к нулю с

V = N(г) + ЪТНгН^ + (а(1))ТНгН^1» + ... + (а("))ТНгН^а« + вероятностью 1 при N ^ ^ .

1 , ч Следовательно,

+ 2ЪТНгНЛа(1) + ... + 2ЪТН,Н^ -2^(г)нТгЪ -2^)Н, }а(1) -

- ... - 2§i (i)(S Ja(d) + 2(a(i)) S , S^ a(2) + ... + 2(a(d-i)) S „ - S

( ~ V

= N1 £

i(i)

5 (d)

у

zT(^Ц ^(i>r

XI z

' 5 ^

5 (d) V у

V3 = 2N(-^1(/>Т(0)~- ¡1 ()(х«()) ~(1) -...-¡^(г^('1 ~(<" +

г=1

+ ЪтН^ (г)~ + (а«Г Нч(г)~ +... + (а^ Н^ (г)~ +

+ Ът Н г X1' (гЙ + ...+ Ът Н г (г))^ + (а« )Т Н ,(*« (г)Г~(1) +

+... + (а(1))ТН,(£>(г))Т~+ ... + (а^Н„ (£>(г))Т~<'>

Тогда из условия 2 по лемме 1.1 [1,2] получаем:

V. !$= ^ +^2ЪТЪ + И2 (а 1У а <" +... + И )2 (а ^ «

V

Г b Л

е B

v a у

Из условия 4 следует:

П .Н.

' N

V3 ^ 0,V

Г ь ^

е B

V a у

и

N ~UN (b, a)^' äx2 + ä2xbTb + (ä(i))2 (a(i > Ja(i) + .

N ^да

. + H )2 (a (*)Ja d

1

+

H *

v a у

V a у

= U (b, a).

Покажем, что решение задачи

. ._ Г b

min о)-1 (b,a(i).a(d)p (b, a),

еB (5)

существует и достигается в единственной

V a у

Г b ^ Г b0 ^

точке

V a у

V ao у

Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:

V(b, a, в) = U(b, a) - во (b, a(i)... a(d)), 0е R1,

Г b Л

V (в) = min V (b, a,e),

е B

V a у

Тогда

v с,-' -Va: )h-Г^^у-f -Г bo ш a ^

'+1 b I X

V a I

Г5Л

v 2 =

H *

V a у

V

Г b Л

V a у

е B

V a у

Слагаемое

-L £ Ui(i)zT (i)T-^i(i) (xj1 (i)Ja(i)-^i(i) (rjd) (i)Ja

N i=i d

(d)

Hzz +äi Ir -eäi2 Ir

H„

Ц 'H'Xdx d K+. i-вИ

jd+1

Г b Л

V a у

T

v

X

2

i=1

x

H r(d)

X"Z

если

Н* =

Г Н 1 Н22 • 1 1 Н Л • 1 •

1 \^Нх(й)2 ! ' г ■■ Нх(й )х)у

Дифференцируя V (ъ, а, 9) по

Г ъ Л

V а У

и при-

равнивая производную к нулю, получим:

Г ъ(9)^

а(9))

(Н 22 + С1г -вС 1г Н2х(')

V НхС 2 ГНхИхИ+(с(1 ))2 +1 -в(с(1 ))2+

Г Г ъ ЛЛ н *р

V Vа°У У

(6)

Тогда

V (в) = С

+

Г ъ л

V а° У

Н*

г ъ л

V а° У

-Св-

Г Г ъ ЛЛ н *[ъ°-

V Vа°УУ

(Н 22 + СД вСсС 1г Н )

V Нх(й 2 ГНхИхИ+ (с( 1 ))2 +1 -в(С1 >)21, +1

Г Г ъ ЛЛ

Н *р V Vа°УУ

Если X ш1п - минимальное характеристическое число регулярного числа форм

Н„„ + с, I 1 — 1

22 1 г | |

Н

____________2Х{^_

1-1 •

• :

--------т----1---------

Н 1 ... 1 Н +

п х (" )2 ! ! х (" )х (")

С21г ! ° ! ■•• г ___

СУ

-е

• I • I

• I • I ■"

----!--т---

- !° —

. С))21, +,У

то, следовательно, Xш1п > °, и функция V(9) на интервале (- да, X ш1п +1) непрерывна и

IV (в)

Г ъ Л

йв

= -с -

V а У

- да

( 2 т I п I I с11 I ° 1 — 1

. 1-1 I

• I • I ■ • • I

-----[__1----г

(с(й ))2 1, +1

Г ъ Л

V а У

отрицательна на интервале (- да, X ш1п +1), отсюда следует, что V(9) = ° на интервале (- да, X ш1п +1) имеет не более одного корня.

Нетрудно убедится, что 9 = 1 является корнем уравнения V (9) = ° и 1 < X ш1п +1.

Тогда из (6) непосредственно следует справедливость (5).

Введем следующий вектор

(1! ъ\а(1) ...а(й ))= и

А ,ш = (- Y ! А ,ш ) ,

и

матрицы

г.+1

га+1

0* = г{

с12 ! ° 1 .ъ ° !... л °

° [С121г ° !. л °

: | : • ° ! ° 1 О | -.. . 1 • 1 ' 1 'С1Т^'

Гй +1{

то (3) можно записать в виде:

гтт

и

Ш1П

и Аг ш ' Аг ши

~ Т ГЛ * '

1+1+1+..гй +1 и V и

где ш > ° .

Для конкретной выборки объема N нахождение корня уравнения VN (9) = ° (эти корни имеют те же свойства, что и для V (9) = ° ) можно записать в следующей форме:

9N =XШ1П N)ГAYTWAYш (V*)-1

- минималь-

ное характеристическое число пучка квадратичных форм, определяемых , AY ,ш и о *. Но V* > °, поэтому рассмотрим [3, С. 281]:

Лшп НА^,ш -во']-

Лпах (N)|^(А/,Ш А,Ш )

о

Известно[4, Р. 452], что:

N

Лшах (N ,ш Г о

П.Н. ^ -

* I N ^да

11ш - АТшАгж I о

N ^да N У

Лшп

I $ш ^ ж ](о*)-1

VN^да N У

X

X

Г

т

X

х

X

X

°

1

-1

Так

как

нахождение

Л

lim -1 AyWAYW IlD*

N^-м N

W

* ,-)= ,Y -,в- ! Y'a, ('

+

l а ,

fÄTYÄY -0Ö;2Ir j лТлщ _ _ __

• i •

Y r

AT A

rt-w У1

" \ Г

••! -0И»)21,

Г b 1

v а у

Дифференцируя VN (b, а, 9) по b и а и приравнивая производную к нулю имеем:

4T А Л

ГЛТЛг -ва?Ir ! äYAW,

ÄWdÄY

ÄYÄWd

I

1----Г

...! äwA. -0(ä(d))21,+, у

' äyty^

AT Y

l^w1 у

можно интерпретировать как определение корня уравне-

( äYY 1ПН.

AT Y

l^w1 у

N

1 ~ П.Н. „

ния Г(е) = 0, то —0N ^ 0.

Далее параметры можно определить, если ввести следующую вспомогательную функцию:

'Ь 1

н„

H

X(d >z " ^

Г b 1 - н * Г b 1 ° 0

v а у v ао у

• "н> x с к; +1-вИ J i,

rd +1

Из единственности решения (6) и (7) и последнего выражения следует [5, Р. 178], что оценки стремятся к истинным значени-

(ЫъЛЛ

ям

(7)

b(N) 1 ПН{ bo 1

(n)

va\N)у

N

v а0 у

Для получения численного метода вычисления оценок параметров из критерия (3) рассмотрим функцию:

VN (b, а, в) = UN (b, а) - вс (b, а), Vn(в) = min Vn(b,а,в)

тогда:

Vn (b, а,в) =

а Р

YT -

b 1

A

v а у

Y ,W

Y - Ä

Y ,W

b 11

v а уу

-в(1 + bTb + ^ (а} а(1) + • + /(d) (а Wj а(d)=

Vn (в) = YTY -ё?в-

'ätYV

AT Y

v^w1 у

YTY - 2(ytAY ! YTÄw(а

b 1 Г b 1

-в +

v а у

Г ЛгЛив^ j_AY_Äwi_L__, _

ÄWd ÄY

ÄYÄWd

... |

T

. AWdÄwd -вИ)2Irj+1 у

x x

AyAy -вIr AyyAw (1) A^ (d)

AW M Ay ATw (i) Aw мв1^ AW (1) AW (d)

aW (d) Ay Y AW (d) AW (!) 4 (d) AW (d ^ +1

AT Y

^ W1 у

и неизвестные параметры могут быть определены из уравнения (7). Тогда, очевидно

гaytÄY в2 ir \ AYÄW _ . _

• I •

-----------------

Y А I

V

ÄYdÄY

I

" ' I

1----Г

. AWdÄwd -вИ )2 Л,

(8)

Дифференцируя VN (b, а, 9) по b и а и приравнивая производную к нулю имеем:

[ayay -ff, ! ayaw(,) •••[ aytaw (d)

Aw 1)ay ! "'[ ay (■) aw (d)

v AY(d)AY iAY(d)Awо ••• [AY(d)Aw(d) -в/Х +111

bWAtY' а у [AtY,

(9)

откуда

Hzz + Ir -ва1 Ir

X

X

ÄYÄW

X

X

T

T

T

X

X

x

X

¥ы (в) = YTY-в-

АТ У

VлшУ у

ГАТАу-в1г[ АУТАж(1) — [ а7т\ с ) Л

АТ(,)Ау ! — АТ А

: 1 : • 1 • ■. 1 : ^ •

у )АУ ! )Аж(!) — ! АТЖ«,Аш„)-вГ(а+1У

(10)

ЧУ

АТ У

^ ж1 у

¿Й-

Ау АУ ^

АУ АШ (!)

I

I ■

I

АУ Аш (")

АТ А ! АТ А ! — ! АТ А

Аж (')Аж (') Аш (') ! ! А-(') А

(1

ж

(d)

I

I

I

I

: I

__________•____I__________

АТ А | АТ А | | АТ А

-в

Г ,г1 +1

Г Г +1

1 ... 1 п

г ,Г1+1 |_ _[_ Г ,г4 +1

1 0

I ^ +1,^+1

'Л)т I

г[ 41

' ^+1 I , _

■ I ■ • I

I

0Т1 1 ! - ! у[а)1 1

Г+1 | I ' гл+1

= 0

Далее,

г 1г 1 0 1 ■ 1 0 г ,11+1 1 ■ _1______1__ '] 0гг +1

¥ы (в) = - 1+[ ь1Т -

v а у 1 . ^ 1 |_ ь ■ 1 —

v 0Т,+1 0Т 1 г1+1,г,1 +1 I ' 1 ' г +1

<-1

Тогда на интервале (- да, Ат1п (ы)) ¥ы (в) имеет не более одного корня, если он существует, ¥ы (о) > 0 и, следовательно, ¥ы (в) > 0 У в е (-да,0) (матрица

Имеет место следующая лемма.

Лемма: для функции ¥ы (в), связанной

с задачей (3) существует следующее утверждение:

1) Все корни уравнения ¥ы (в) = 0 не отрицательны;

2) Уравнение (10) на полусегменте

[0Дтт (ы)) имеет не более одного корня

в(ы), где Ат1п (ы) - минимальное собственное число регулярного пучка форм, то есть наименьший корень уравнения:

-

АТ ж у

К(■)АУ ! А1 (■)Аж(■) ! "

: I : I ■.

_ _•____I____•____^___

А№(■!)Ау ! А№(■!)А№м ! ••

Аж ^) АШ ^)

АТ ж У

идемпотентная).

Отсюда вытекает справедливость утверждений 1, 2 и достаточность 3. Необходимость 30 вытекает из экстремальных свойств регулярного пучка форм [3].

Утверждение 2. Пусть выполняются все условия утверждения 1 , тогда с вероятностью 1 при N существует корень

в(Ы) е [0, Ат1п (ы)] и единственная оценка (9), которая является одновременно решением

задачи (3) и Ь(Ы) —. . >Ь

N ^да

п. н. ;

а( N )-

->а0 п.н.

3) Существование корня в(ы) на полусегменте [0, Ат1п (ы)) является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения (3).

Доказательство леммы. Функция ¥ы (в)

на [0Дтт(ы)) непрерывна, к тому же

А™ (ы) > 0 как собственное число неотрицательной определенной матрицы.

ы^да ' 0 '

Доказательство утверждения 2 следует из утверждения 1 и леммы.

На основании утверждения 2 предлагается численный метод, который позволяет: ответить на вопрос существует ли

единственная оценка Ь (ы), а(ы);

определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного

процесса к единственной оценке Ь(ы),

а( ы);

вычислить с любой наперед заданной точностью оценку Ь (ы), а(ы);

Утверждение 3. Пусть последовательность )} определяется следующим алгоритмом: Шаг 0.

х

X

X

х

-1

0

г

Т

0'(о)=о;

Шаг 1.

Ч)_(ЛпШ + в'(г -1));

0'(г)_

Шаг 2. Вычислить Ъ(ы, 0'(г)), а(ы, 0'(г)) из системы линейных уравнений (9); Шаг 3. Вычислить

И''))

( (

_ УТУ - [ -

АТ У

VАшу у

'ЛЛП

АТУ V ЪЫ,в'(г)

а1

иГгЬ)

Процесс вычисления заканчивается, если выполняется условие

¥м (<9(/ +1))-¥м (#))

N (#+ 1))

< 5

где 5 - априорно заданная точность оценок.

Это утверждение непосредственно вытекает из метода Ньютона:

N, ¿'(0).

Шаг 4. Проверить условие УЫ (#'(/))< 0 . Тогда если уравнение УЫ (#'(/))_ 0 имеет корень 0'(Ы) е [о, Атт (Ы)), то последовательность 0'(о), 0'(1»,... #(о) - конечна и

#(о)е [в1'(ы),Ят1П (Ы)) , в противном случае

последовательность бесконечна.

Доказательство утверждения непосредственно следует из леммы.

Этот алгоритм позволяет определить

начальное приближение #(о), необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона или определить, что корень не существует.

Утверждение 4. Пусть существуют фЦв;Ы)ДтШ (ы)) тогда м ¿(г)_ , 11т Ъ(', 0(г)) _ Ъ(ы) ¡1т а (', 0(г')) _ а(Ы) где

г'^ю 5 г'^ю 5

¿(г), Ъ(г', #(/')) и а(, #(/')) определяется совместно со следующим алгоритмом:

Шаг 1. Вычислить Ъ(ы, 0(г)), а(ы, 0(г)) из системы уравнений (9); Шаг 2. Вычислить

в (г +1) _ (1 + ъ(ы, ь(м , ¿(0)+ г« [а «(ы, а «(ы , е(г})+... ... + г(' )[а (л »(ы , в(г)][а (л »(Ы , ¿(г)^1 |уту + [?(/)^Ъ(Ы , в(г)} ь(м, 0(г))+ + г(1)[а «Ы, в(1))]а «Ы, <?(/))+ ...+ '[а^ 'Ы , <?(/)! а ^ 'Ы , 0(/))1-

0 (г +1)_ 0 (г )-

Уы[ (''))

УЖ'))

Обоснованность использования метода Ньютона следует из того, что УЫ[) - непрерывна для V0 е [о, Атт (Ы)), УЫ ((9» < -1 для V 0 е[о,ЯтШ (Ы)) и

У,

(Ъ )Т ■ -2 -а

1„ ! о„

I I

г I " г,г1+1 огГ +1

Т I У»I I ... I о

Г, Г! +11/ 1Г1 +11 I +1

... I ... I ■• I ...

о

оТга +1 г1 +1,гл , 1 1гл +1

Ау Ау Ау А1Т (1» -1

К (О Ау 1 1 ЛТ л 1 ■. 1 : X

К (а) Ау 1 1 лТ л 1 . А№ ^' А№ ^'

X-----

о

г г+1

1 о

I иг1 +1,гл +1

' г +11 . . „

... I ■ • _ I ...

оТ ~!~Г.Т| у» Т"

иг1 +1,г„+1 I \У Ч +1

( Ъ )

V а у

<о

Шаг 3. Перейти к шагу 1.

для V 0 е[оДтШ (Ы)) .

На основании предложенного численного алгоритма создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки параметров с наперед заданной точностью.

В качестве примера рассмотрена стационарная динамическая система, которая описывается следующим линейным разностным уравнением:

г а г]

2г - ^ Ъо 2г-т _ ^ ^ Х'-т ,

т_1 у_1 т_о

X

X

г

г ,г +1

X

Т

При d = 2, r = 2, Г = 1, r2 = 2 имеем

z, = z,_1. bW + z,_2 • b<2) + x«. + x« . «01'1) + *í2>. a0°,2) +

+ x(2). aM)+ x(2) • a<2-2)

Aí-1 "o T ai-2 "O

Векторы входных сигналов X, = {x^, x,2-1} и векторы помех

S, = {^ (,)} заданы с помощью гене-

ратора случайных чисел: х(1) = rnorm(N ,0,0.2) x,(2) = rnorm(N ,0,0.2) £.W= rnorm(N ,0,0.1) ^.(2) = rnorm(N ,0,0.1)

|1 (, ) = rnorm(N ,0,0.15) В табл. 1 приведены значения оценок параметров, полученные в результате тестирования на основе предлагаемого численного метода (при числе экспериментов

N = 120).

Также получено значение среднеквадратичного отклонения сигнала Z, от ZT¿:

Таблица 1. Сравнение полученных оценок параметров с истинными значениями.

Z Z - Z )2

(J2 = ■'=1

lâ = 0,018,

N-1

где - значения выходного сигнала, полученные по рассчитанным оценкам коэффициентов Ь^,9'(г)), а^,в'(1)).

Параметры Истинные значения Полученные оц ен ки

b (l ) 1 1,0 1 8

b (2 ) -0,5 -0,523

a (0,1 ) 0,5 0,501

a (1-1 ) 0,4 0,3 8 1

a (0>2) 0,3 0,28

a (1-2 ) 0,6 0,579

a (2>2) 0,2 0,203

1.

2.

4.

5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кацюба О.А., Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных опрераторов// Изв. Ан. СССР. Техническая кибернетика. 1981. №5. Кацюба О.А., Жданов А.И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов // Изв. Ан. СССР. Техническая кибернентика. 1981. № 5.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least - Squares identification // int. J. Control. 1982. Vol. 35. No 3.

Unton F. Recursive estimator of the solutions of linear equation sequence // IEEE Trans. AuT. Control. 1984. Vol. AC-29. No 2.

IDENTIFICATION OF STATIONARY LINEAR DYNAMIC SYSTEMS

MULTIVARIATE ON INPUT

© 2006 A.N. Volnykin, O.A. Katsyuba Samara State Academy of Ways of Communication

In article the problem of an estimation of parameters linear difference equations with a multivariate input is considered at presence of handicapes of supervision in input and output signals. This task differs from a standard problem regression estimation, the new criterion of estimation is offered on the basis of the relation of two square-law forms, generalizing standard method of the least squares and allowing to receive well-grounded estimations of parameters. The numerical method of definition of estimations of parameters linear difference the equations, reduced to the repeated decision linear difference the equations is offered also.