Параметрическая идентификация нелинейных динамических систем класса Гаммерштейна при наличии помех, наблюдаемых в выходных сигналах в условиях априорной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 519.254

О. А. Кацюба, А. А. Карпов, Д. В. Тимонин

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАССА ГАММЕРШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ, НАБЛЮДАЕМЫХ В ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Аннотация. Рассматривается проблема идентификации параметров нелинейных динамических систем класса Гаммерштейна при наличии автокоррелиро-ванных помех в выходных сигналах. Изложены условия, при которых возможна идентификация параметров, сформулированы утверждения, представлены доказательства, описана структура алгоритма, приведена обоснованность использования метода Ньютона. Доказывается состоятельность получаемых оценок неизвестных истинных значений параметров.

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, параметрическая идентификация, класс Гаммерштейна, автокоррелированные помехи в сигналах.

Abstract. The article considers a problem of identification of Hammershtein-type nonlinear dynamic systems parametres in the presence of autocorrelated noise in output signals. The authors set forth the conditions enabling identification of parametres, formulate the statements, present the proof, describe the algorithm structure, substantiate the application of Newton’s method. The researchers demonstrate theconsistency of unknown true values estimation.

Key words: nonlinear difference equations, parametrical identification, class Gam-mershtein, autocorrelated handicaps in signals.

Введение

Одними из эффективных способов построения моделей являются методы структурной и параметрической идентификации, весомый вклад в разработку которых внесли Я. З. Цыпкин, Л. Льюнг, Е. З. Демиденко, Н. С. Райбман, В. Н. Фомин, О. А. Кацюба и др. При известной структуре модели объекта процедура параметрической идентификации основывается на обработке информации о входных и выходных данных об объекте, при этом, как правило, процесс получения информации сопровождается существенными помехами и сложностями установления их законов распределения, что требует разработки специальных методов и алгоритмов параметрической идентификации.

Известно, что в случае идентификации нелинейных динамических объектов для каждого вида модели объекта и каждого закона распределения помех наблюдения существуют свои наилучшие методы оценивания параметров (в смысле дисперсионных свойств получаемых оценок). При априорной

неопределенности ни оценки метода наименьших квадратов (МНК), ни оценки метода эмпирического риска, ни М-оценки, ни минимаксные на некотором классе распределений оценки и т.д. такими свойствами не обладают.

1. Постановка задачи

Рассмотрим стационарную нелинейную динамическую систему, которая описывается следующим разностным уравнением:

2, - £ ьт2,_т = £ (Ъ-т), (1)

т=1 т=0

где выходная переменная 2^ наблюдается с аддитивными помехами в виде

У/ = +£(/).

Требуется по наблюдаемым конечным выборочным реализациям последовательностей У, и X; при известных порядках г и г (1) определить оценки истинных значений параметров.

Предположим, что выполняются следующие условия:

1. Множество В, которому априорно принадлежат истинные значения устойчивой нелинейной динамической системы (1), является компактом, цт - некоторые нелинейные бэровские функции.

2. Случайный процесс {£(/)} удовлетворяет следующим условиям:

Е(£(/ + 1) / Ji) = 0 , п.н.

Е (2 (/'о ))<я<~,

Е((/ + l)/Ji )< *,

где * - случайная величина, Е(*)<л<^; Е - оператор математического ожидания; Ji - а -алгебра, индуцированная семейством случайной величины ), ^ е ' },Т/ = (;^ < /; ^ е 2С - множество целых чисел }.

1

-‘с

п.н.

3. —£(»')£(»' + т)-

N

—------>И*(т) <^, т = 0,г ,

где И£ (т) - начальная автокоррелированная функция; матрица Н£:

Н£ =

И£ (0) И£ (1) J И (г)

И (1) * J И (0) И£ (г -1) |_ *

И (г) И (г -1) И£ (0)

И (0)

и'

"Н7

Н =

И% (0) И£ (г -1)

И£ (г -1) И£ (0)

— Т'

вектор И£ = (И£ (1)... И (г)) е Яг.

4. {хг-} статистически не зависит от {£(/’)}.

5. Входной сигнал хг- является случайным процессом и удовлетворяет условиям постоянного возбуждения порядка (г + 1) [1]:

N

2(7?г (г) \ц\(г))Т((г) ))

N -

*

-н =

(^

ч Нх Н хх у

где

2г (г) = (г(г -1),..., 2(г - г))Т , ^ (г) = (тц (2),...,^ (ху_п)) .

2. Алгоритм идентификации

Уравнение (1) можно представить в виде системы алгебраических

уравнений

■ = 2Ьо +т(х)а0 ={2 ! т(х))

где

20

ZN -1

Т( х) =

г1-г zN-г.

Т( х1)

Тг1( х1-г1)

ТЦ(XN ) — Тг1(XN-г1)

Однако вместо 2 и z наблюдаются только случайный вектор У е RN и матрица Ау. Для получения состояния нелинейных оценок наименьших квадратов воспользуемся следующим подходом. Представим уравнение (1) в следующем виде:

( Ьо ^

у =у (г) 1^(0) [--] + £(0-нГЬо:

где Нг = (£(г -1),...,£(г - г))Т е Rг, Уг(г) = (у(г -1),...,у(г - г)) ;

Г Уо - У1-г

У = |у1...yNІ, АУ = : '• :

_ yN-1 yN-г.

Введем также следующую обобщенную ошибку:

е(Ьо, ао, г) = у - (У? (г) | (0)

= £(0-н^Ьо.

п.н.

Из предположения 2 следует, что обобщенная ошибка «0,0 имеет

нулевое среднее значение, а из предположения 3 - что ее локальная дисперсия с вероятностью 1 будет равна

1 N -

о] = Нш — 2 е2(Ьо, 0 = Н (0) + (Н^Ь0, ьо) - 2(^, Ьо) = ®(Ьо)-

N N г-=1

Определим оценку

неизвестных значении параметров

из

условия минимума взвешенного квадрата обобщенной ошибки е(Ь,/) с весом ю(Ь), т.е. из:

шт ю 1(Ь)

а

( ь0 ^ ( ь0 ^

у-(Лу ! л(х)) а- ,у-(Ау ! Л(х))

= ю \Ь)UN (Ь, а), (2)

V

где (...,...) - скалярное произведение; ю(Ь) = Н(0) + (Н^Ь,Ь) -2(Н^,Ь).

Докажем, что при N решение (2) сводится к

( Ь( N) ^

ча(ло

при этом

( Ь( N) ^

^а?(до

- сильно состоятельная оценка

3. Доказательство состоятельности оценок

Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с начальными условиями г(0) = ... = г(/ - г) = 0 описывается уравнением (1) и помеха удовлетворяет условиям 2-4. Кроме того, истинные значения параметров

и входной сигнал х^ удовлетворяют условиям 1, 5. Тогда при N -

с вероятностью 1 существует оценка (2) и является сильно состоятельной. Доказательство. Рассмотрим функцию

1 1 N

NUN (Ь, а)=N 2 (+ ^') - (7г (0 + 2 г )ТЬ -

г=1

2 1

N

(Лг1 (0 а)) = N2 (2г (ОЬ + ЛГ1 (0«0 + £(0 -/ =1

-(2Г (/) + 2г)ТЬ - (Лг1 (/)Та))2 = N2[Ю)

/=1

-2ТГ (1)Ь - гТ (})а -ЕТГЬ) = у + У2 + Уз:

где Ь = Ь - Ь), а = а - а0;

N

У = N2 (^) - 2^0')2ТГЬ + ЬТ2гЗ^Ь); /=1

N

((ПТ

у2 =—2

2 N

'=1

V а)

(') | Г^! (')) (2ТГ (/) |Г1(0

а

V

1 N

уз = 2 ^ 2 К(0^Т (')Ь - ^(/)гТ (')а + ^ (0*н гЬТ + +гТ (ОаЗг*. '=1

Тогда из условия 3 получим, что п.н.

У л^°° а из условия 5 следует

>Н^ (0) + ЬТН^Ь - 2(Н^ )ТЬ , УЬ е В;

У2"

N -

(ЬЛ Т (* 1

— Н —

а а

Рассмотрим первое слагаемое в Уз:

N

-^■0, УЬ е Яг

так как из условий 2 и 4 и положительной определенности Нгг и Н следует

N

1 Т

выполнение условия леммы 1.2 [2]. Аналогично для -2—2 Гг (0а^(0 .

'=1

Рассмотрим следующее слагаемое:

N . , N

2-12 ( 2 0)*' ) = 2 ) 2

'=1 '=1

Т

^'-1^(/ - 1) ••• 2-г К' - 1)'

- г) — ^£(/' - г)

* . (3)

Таким образом, (3) можно представить в виде г слагаемых, каждое из которых в силу предположений 2, 4 и из положительно определенной матри-

1 К

цы Н по лемме 1.2 [2] сходится к нулю, аналогично 2— 2 *Т 2Г <(0а.

N'=1 1

Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых У3 :

У3‘

N -

-»0, У

а

е В е Я

г|+г+1 .

п. н

Следовательно 1

ии« (Ь а) —-—

~^(Н^ (0) + ЬТ Н ^Ь — 2(И^ )Т Ь +

( Ь Л Т (Ь Л

— Н —

а а

( Ь Л Т (Н22 + Н %

а V у (Н^ )Т

( ь Л

а

V

(

— 2

НггЬ0 + Hzцa0 + ^ (Hz'ц ) Ь0 + Нт|Г|а0

( ь Л

а

V у

\~И^ (0) -

( Ь0 Т„ ( Ь0 Л -

Н

Еи (Ь, а),

где V — I а) е Ве ЛГ1+Г+1.

Покажем, что решение задачи

шт ю 1(Ь)и(Ь,а)

т >в

( ь0 Л

существует и достигается в единственном точке

, т.е.

шт ю 1(Ь)и(Ь,а) = ю 1(Ь0)и(Ь0,а0) = 1.

Ш }В

Для этого рассмотрим функцию

V (Ь, а, 0) = и (Ь, а) — 0ю(Ь), 0еД1; V(0) = шт V(Ь,а, 0),

(Ш >В

тогда

V (0) = ^ (0)

(Ь0 ЛТ (Ь0 Л

Н

л

-0^ (0)-

Н zzЬ0 + Hzцa0 + ^ — 0^ (Hzr| ) Ь0 + Нг|г|а0

чТ

(4)

(5)

(6)

х

(Hzz + Н £—0Н?

х

Н

*Т

z^

1 * Л —1 HzzЬ0 + Н 2Ха0 + ^ — 0^

1 Нлл у (Hz'ц ) Ь0 + Нг|г|а0

(7)

Легко проверить, что уравнение V(0) = 0 на интервале (—°°, Xш^п +1)

имеет корень 0 = 1, если ХШщ - наименьшее собственное число регулярного пучка квадратичных форм [3], определяемых положительно определенными

п.н.

—1 Т

матрицами: Нгг — Нг^ (Н^) (Нг^) и Н^ . Этот корень является един-

ственным на интервале (—тс, ^тщ + 1), что вытекает из непрерывности функции V(0) на этом интервале и V(0) < 0 на (—тс,^тщ + 1). Отсюда непосредственно следует (4).

Оценки коэффициентов

( Ь01

можно определить, рассматривая функ-

цию

VN (Ь, а, 0) = им (Ь, а) — 0ю(Ь), 0е Дь ^(0) = тт ^(Ь, a, 0),

Г* Ь

I а

тогда

VN (0) = ¥Т¥ — 0^ (0)-

( т — ЛТ ( Л^Т — 0/^ 1

ЛТ (X) Лт

х

X

ЛТ Лт —0Н^ | ЛТ ^(х) —1 ( ЛтТ — 0Н^'

ЛТ (х)Лт | ЛТ (х)л(х) ^ Г|Т (х)Т ^

(8)

Заметим, что VN (0) на интервале (—тс, ^тт(N)) непрерывна, где ^тт(N) - наименьший корень уравнения:

det

ЛТ Лт — 0Н|Т | ЛТ ^( х)

------------------I-------------

ЛТ (х)Лт | ЛТ (х)л(х)

(det г|Т (х)^(х) Ф 0).

= 0,

Далее

^(0) = — (^ (0) + ЬТ (N, 0) • НЬN, 0) — 2(^)Т Ь(N,0),

где

( Ь( N, 0) 1

а(N~ 0)

ЛТ Лт —0Н^ | ЛТ ^(х) ЛТ (х)Лт | ЛТ (х)л(х)

ЛТТ — 0И{ Г|Т (х)Т

Л

(9)

Ум (0) < 0 на (Хтт(N)).

Следовательно, корень ©1(N) существует, находится на интервале 0 <©1 (N) < ^тщ (Ы) и является наименьшим среди всех корней уравнения VN (0) = 0.

Уравнение (8) можно записать в виде

Ум (0) =

Г ь^, 0) ^ Т АТА у -0Я^

а( N, 0) ) Г|Т (х) Ау

2 АуУ - 0Н^ ^ Т Г Ь( N, 0)

Г|Т (х)У ^ а( N, 0)

I-------------

! ЛГ (х)Л(х)

Г Ь( N, 0) ^

а( N, 0)

+ УуУ -0й^ (0).

Дальнейший ход доказательства состоятельности оценок

Г Ь( N) ^ а(М)

ана-

логичен доказательству утверждения 1.1 [4].

Таким образом, для получения сильно состоятельных оценок требуются априорные знания лишь нескольких первых значений автокоррелированных функций, необходимых для формирования матрицы Н^ . Рассмотрим особенности численных методов определения оценок параметров.

Лемма 1. Для функции (0) справедливы следующие утверждения:

1. Все корни уравнения У^ (0) = 0 (если они существуют) неотрицательны.

2. Уравнение У^(0) = 0 на полусегменте [0,Ят^п (Ы)) имеет не более

Т

одного корня, если det(^ (х)^(х)) Ф 0, где Xт^п(N) - наименьшее обобщенное собственное число матрицы

detЦЛ^Лу - (АуЛ(х))(лТ(х)Л_1 • (х)(лТ(х)Ау)

Т л

3. Непрерывность матрицы ^ (х)^(х) и существование корня ©1(N)

на интервале [0,Хт^п (Ы)) является необходимым и достаточным условием существования единственного решения (2), при этом

иы (Ъ( N), а( N))

-0яР н- о.

(10)

где

тіп ю 1(Ь)иN (Ь, а) -т У

определяется уравнением (9).

ю(Ь( N))

Эта лемма практически доказана при доказательстве утверждения 1.

/

Утверждение 2. Пусть последовательность {0 (/)} определяется сле-

дующим алгоритмом:

Шаг 0. 0'(0) - 0 .

Шаг ,. 0(0 -Л тіп(N) + 0,(і -1) , Л[

определяется из (10).

Шаг 2. Вычислить Ъ (N, 0Г(О) и а(N, 0'(/)) из системы уравнений:

Лу Лу -0 (/)Н^ | Лу ^(х) ( £(ю, 07(/)) ^ ( ЛуУ -07(/ Щ

ЛТ (х) Лу \цТ ( х)Г|( х) а(ю, 07(/)) ^ г|Т (х)У

(11)

Шаг 3. Вычислить

( аТ

- лТ

Ух (0(0) = ¥Т¥ -0'(О^ (0) -

ЛуУ - 0,(ОН, ^Ь(N, 0(0)^

' ад07(О)

г|Т(х)У

Шаг 4. Проверить условие У(0Г(О) < 0 .

Тогда, если уравнение Ух (0) = 0 имеет корень 01(Х) е [0,X^П(Х)), то последовательность 0'(0),...0(0) конечна и 0(0)е |^01(Х),Хт^п(Х)),

в противном случае она бесконечна.

Доказательство утверждения 2 немедленно следует из леммы 1.

Этот алгоритм позволяет определить начальное приближение 0(0), необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона или определить, что корень 01 (X) не существует.

Утверждение 3. Пусть существует 0(0) е |^01(Х),Хт^п(Х)), тогда 1хт 0(0 = <01 (X), НтЬ(X, 0(0) = Ь(X), Нта^, 0(/)) = а(X) ,

где 0(0, Ь(X,0(0) и а(X,0(0) определяются совместно следующим алгоритмом:

Шаг 1. Вычислить Ь(Ы,0(0) и а(X,0(0) из системы уравнений (11). Шаг 2. Вычислить

0(/ +1) = (Н^ (0) + ЬТ (X, 0(0) И{Ъ( X, 0(0) - 2(Н^ )Т Ь( X, 0(О)-1 х

УТУ + (Э(/)ЬТ (X, 0(0) • ЩЬ( X, 0(0) - 20(О(Н^ )Т *( X, 0(0) ■

( ЛуУ - 0(0 Н Г|Т(х)У

Шаг 3. Переход к шагу 1.

Вычисления заканчиваются, если выполняется условие

УN 0(/ +1))- УN 0(0)

<8 ,

УN 0 + 1) )

где 8 - априорно заданная точность нахождения оценки. 100

№ 2 (18), 2011 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника Это утверждение непосредственно следует из метода Ньютона:

Ум (0(0)

0(7 + 1) = 0(7) -

Ум (0(0)'

Обоснованность использования метода Ньютона вытекает из того, что функция Ум (0) непрерывна на интервале У0е[О,Xт^п(М)), а Ум (0)< 0 и

Ум (0) ^ 0 - на интервале У0е [0,Xт^(М)).

4. Результаты моделирования

Для тестирования программного обеспечения [5], реализованного в среде МЛТЬЛБ, использовалась следующая модель:

2^ - 0,32-1 = 0,8х2 (х7) - 0,5 х2 (х^ -1),

= 27 +£(0,

где 2^ - вектор входных значений; 7 = ...,-1,0,1,... - индекс нумерации дискретных моментов времени; £(7) - последовательность независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.

В табл. 1 представлены значения погрешностей оценивания параметров классическим методом и нелинейным методом наименьших квадратов. Погрешность рассчитывалась по формуле

8 = -

60(1)- 0,з) +(о00)- 0,8) +(+ 0,5

л/(0,3)2 +(0,8 )2 +(-0,5 )2

•100%.

Таблица 1

—, % 5 10 15 25 40

с2

8 % МНК (МНК/нелинейный МНК) 9,6 17 22 29 38

8НМНК % 4,5 7,2 9,4 12 16

с

Примечание. ------ - отношение среднеквадратических отклонений помехи

с2

к истинному сигналу; количество опытов - 500; конечная дисперсия по МНК составила 0,2048, а по НМНК - 0,0953.

На графиках (рис. 1, 2) представлены значения последовательностей:

- оценка нели-

Л МНК Л НМНК

27 - истинный сигнал; 21 • - оценка МНК, < 27

нейного (обобщенного) МНК.

\ МНК I

Рис. 1. Графики значений последовательностей {27} и < 27

I Л НМНК

Рис. 2. Графики значений последовательностей {27} и <27

Из анализа проведенных тестов следует, что погрешность оценивания векторов параметров предложенным методом много меньше погрешности оценивания классическим методом.

Заключение

В работе предложен алгоритм для оценивания параметров нелинейной динамической системы с помехами в выходных сигналах. Предложенный алгоритм послужит для построения более качественных моделей, применяемых во многих областях науки и техники, и также станет основой для создания новой серии высокоэффективных систем управления технологическими процессами.

Список литературы

1. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг. - М. : Наука, 1991. - 432 с.

2. Кацюба, О. А. Идентификация методом наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии с аддитивными ошибками измерений / О. А. Кацюба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. -1982. - № 2. - С. 29-33.

3. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Наука, 1966. - 575 с.

4. Кацюба, О. А. Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / О. А. Кацю-ба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. - 1979. - № 8. - С. 86-95.

5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2009612902. Программа для определения параметров нелинейной динамической системы класса Гаммерштейна при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах / Д. В. Тимонин ; заявитель и правообладатель Самарский государственный университет путей сообщения ; заявл. 13.04.2009 ; зарег. 04.06.2009.

Кацюба Олег Алексеевич доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой мехатроники в автоматизированных производствах, Самарский государственный университет путей сообщения

E-mail: [email protected]

Карпов Андрей Анатольевич

аспирант, Самарский государственный университет путей сообщения

E-mail: [email protected]

Тимонин Денис Викторович

аспирант, Самарский государственный университет путей сообщения

E-mail: [email protected]

Katsyuba Oleg Alekseevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of mechatronics in automated ptoduction, Samara State University of Communication Lines

Karpov Andrey Anatolyevich Postgraduate student, Samara State University of Communication Lines

Timonin Denis Viktorovich

Postgraduate student, Samara State University of Communication Lines

УДК 519.254 Кацюба, О. А.

Параметрическая идентификация нелинейных динамических систем класса Гаммерштейна при наличии помех, наблюдаемых в выходных сигналах в условиях априорной неопределенности / О. А. Кацюба, А. А. Карпов, Д. В. Тимонин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 2 (18). - С. 92-103.