Определение параметров людского потока при свободном движении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Безопасность людей при пожарах

УДК 614.841

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛЮДСКОГО ПОТОКА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ

А. А. Таранцев

Рассматривается задача моделирования свободного движения людского потока, имеющего некоторое распределение на начальном участке пути и случайную скорость участников движения*.

Общие положения

Одним из важнейших условий обеспечения безопасности людей при пожарах или ЧС является их своевременный выход из опасной зоны. В этой связи был проведен большой объем экспериментальных и теоретических исследований (их подробный обзор дан в монографии [2]) движения людских потоков, разработано Обязательное приложе-ние2кГОСТ 12.1.004-91 [3]. Кроме того, пожарная охрана изначально рассматривает спасание людей как один из основных видов своих боевых действий (например, [4]), в т.ч. посредством эвакуации.

Основным показателем оценки уровня обеспечения пожарной безопасности людей согласно ГОСТ [3] является вероятность предотвращения воздействия на них опасных факторов пожара (ОФП), которая, в свою очередь, зависит от вероятности эвакуации людей рэп. Вероятность рэп в соответствии с нормами [3] обуславливается расчетным временем эвакуации tр, зависящим от скорости движения людей Vпо участкам эвакуационного пути, на которую для каждого вида участка (например, горизонтального) влияет только плотность В людского потока ([3], прилож. 2, табл. 2, п. 2.4), т.е. величина V является детерминированной или неслучайной.

Однако актуальной является и другая задача, рассмотренная в работе [2], когда движение группы людей свободное (т.е. не зависит от В), но скорость их случайна и в начале эвакуационного пути (до подачи сигнала на выход из опасной зоны) люди также расположены случайно. Практический интерес при решении данной задачи представляет получение аналитических выражений, позволяющих находить

распределение людей на эвакуационном пути в любой момент времени, оцениватьрэп, ^ и др.

1. Задача свободного движения людского потока

Примем следующие допущения:

• эвакуационный путь состоит из одного участка (например, горизонтальный, лестница вверх или лестница вниз);

• в начальный момент ^ = 0) люди расположены случайно по вероятностному закону с плотностью Ф0(х0) (х0 = х — координата эвакуационного пути);

• люди двигаются группой независимо друг от друга, скорость движения каждого случайна и подчинена вероятностному закону с плотностью

), усталостные явления не сказываются;

• точка с координатой х = хе является границей опасной зоны; для человека, достигшего к моменту t = tк (например, момент взрыва) точки х = хе, эвакуация закончилась успешно.

Требуется определить:

• вероятностное распределение людей по эвакуационному пути в любой момент t, в частности плотность ф(х, t);

• вероятность успешной эвакуации

рэп = /ф (X tp

(1.1)

где tp — время, когда последний из эвакуирующихся достигнет границы опасной зоны.

* Статья в данном виде представлена по причине публикации работы [1].

X

1

0 х/

х0 у

РИС.1. Распределение людей по эвакуационному пути в различные моменты времени

Распределение людей по эвакуационному пути и рэп могут быть определены через р (х, t):

ф(х, I) = др (х, I )/дх; Рэп = 1 -Р (хв , *к )-

(2.5)

(2.6)

Вероятностьр (х, t), в свою очередь, можно найти, пользуясь методами вычисления двойных интегралов (например, [6]):

х2

Р(x, t) = |ф0(х0)

/2

у)ау

1_ /1

ахо, (2.7)

tn может быть найдено из соотношения:

в

|ф (х, tp )ах = о.

(1.2)

Для наглядности это представлено на рис. 1.

2. Математическое обоснование решения

Расстояние х, на котором в момент t находится любой произвольно взятый эвакуирующийся от начала эвакуационного пути, является случайной величиной и может быть определено как сумма двух случайных величин: расстояния х0 от начала пути в момент t = 0 и расстояния у, пройденного им за время t со "своей" скоростью V (очевидно, у = Vt, см. рис. 1), т.е.

х = х0+ у. (2.1)

Поскольку величина х0 подчинена распределению ф0(х0), а у — распределению у), которое, в свою очередь, определяется из соотношения

у ) = Г1 Т( y/t),

(2.2)

то искомое распределение ф(х, t) может быть найдено как композиция распределений ф0(х0) и

¥(у) [5]:

ф = Ф0 * ^

(2.3)

где

символ композиции (свертки). Решение этой задачи возможно через нахождение двойного интеграла

Р( ^t) = Цф 0( х0) у)ах0ау =

(5 )

= t-1 Дф 0( х0) уД )дх 0ёу, (2.4)

(5 )

гдер (х, t) — вероятность того, что к моменту t эвакуирующийся будет находиться от начала пути на расстоянии, не большем х; 5 — замкнутая область определения функций

Ф0(х0)и У).

где х1, х2 — границы начального распределения людей на эвакуационном пути; /1, /2 — нижняя и верхняя ограничивающие функции.

Применительно к композиции законов распределения выражение (2.7) можно конкретизировать, для чего рассмотрим следующие варианты.

2.1. В исходном положении люди расположены не ближе расстояния х1 от начала эвакуационного пути (х0 > х1) и могут двигаться со скоростью, не мень0ей (у >у1 = Р^Л рис. 2).

Тогда

Р( х, t) =

0

при х <х1 + у1;

х-у

I Ф0(х0)

х1

х -х0

у)ау

ёх0 (2.8)

при х > х1 + у1.

х = х0+ у

\

\

\

= х - х0

/

/ \

/\ = у1

0 х^ х0

РИС.2. Расчетная схема для вариантов 2.1 при х > х1 + у1; 2.2 при х ([х1 + уь х2 + у1); 2.3 при х ([х1 + уь х1 + у2); 2.4 при х ([х1+ уь х1 + у2) и t < ^ ,атакже 2.4 при х ([х1+ уь х1 + у2) и t > ^

2.2. В исходном положении люди расположены на отрезке эвакуационного пути от х1 до х2 и, как и ранее, могут двигаться со скоростью, не меньшей Ктт (Рис. 2 и 3).

х

х

х

2

в

0

Безопасность людей при пожарах

/2 = х - хо

У1

о

/ = У1

РИС.3. Расчетная схема для вариантов 2.2 при х > х2 + у1 и 2.4 при х ([х2 + У1, х1 + у2) и t > ^

Тогда

р( х, t) =

0

при х < х1 + у1;

х-у

I Ф0(х0)

х1

х -х0

dх0

при х е [х1 + у1, х2 + у1); (2.9)

2

|ф 0 ( х0)

х -х0

dхо

I у

при х > х2 + у1.

2.3. В исходном положении люди расположены не ближе расстояния х1 от начала эвакуационного пути, но скорость их движения лежит в пределах от Vmin до Vmаx. Полагая у2 = Vmaxt, получим (рис. 2 и 4):

р(х 0 =

0 при х < х1 + ух;

| Ф0(х0)

| V ( У )dУ

dх0

при х е [х^ + у!, хх + У2);

(2.10)

- у2

|фо(хо^о + I Ф0(х0)

х1 х- У2

при х > х1 + у2.

IV(У

dх0

2.4. В исходном положении люди расположены на отрезке эвакуационного пути от х1 до х2, а скорость их движения лежит в пределах от Vmin до Vmax. Введем в рассмотрение tп — условное время, до наступления которого на распределение эвакуирующихся влияет в основном их начальное распределение, а после наступления — скорость движения, вычисляемое по формуле:

tп =

х2 х1 V - V ■

г тах г min

(2.11)

Если t < tп, то получаем (рис. 2, 4 и 5):

p(х, 0 =

0 при х < + У1;

I Ф0(х0)

IV ( У )4у

dх0

при х е [х1 + у1, х1 + У2);

- у2

!Фо(хо)dхо + I Фо(хо)

с-х0

IV(У

при х е [х1 + У2, х2 + У1);

С- у2 х2 х-хо

!фо(хо)dхо + I Фо(хо) IV(У

х1 х- У2 I У1

при х е [х2 + Уl, х2 + У2); 1 при х > х2 + У2.

Если t > ^, то получаем (рис. 2, 3 и 5):

^о

^о

(212)

p(х, t) =

0 при х < х1 + У1;

1

I Фо(хо)

с-х0

IV(У

1_ У1

dхо

при х е [х1 + У1, х2 + У1);

|ф о(хо)dхо

IV (У)dУ

dx0

(213)

при х е [х2 + У^ х1 + У2);

- У2

|фо(хо)dхо + I Ф0(х0)

|v( У

dх0

при х е [х1 + У2, х2 + У2); 1 при х > х2 + У2.

У2

У1

/2

/1 = У1

х

х х

2

0

х-

х

х-

х

х

2

0 х1 х0

РИС.4. Расчетная схема для вариантов 2.3 при х > х1 + У2 и 2.4 при х ([х1 + У2, х2 + У1) и t < tп

0

РИС.5. Расчетная схема для варианта 2.4 при х ([х2 + Уь х2 + У2] и t < ^ или х ([х1 + У2, х2 + У2] и t > tп

В заключение следует отметить, что для рассмотренных случаев в соответствии с выражением (1.2) :р может быть определено по формуле:

^ = (хв - х1)/Уш

V ■ >0

г Ш1П

(2.14)

3. Примеры

3.1. На начальном участке эвакуационного пути люди распределились равномерно по длине Ь (т.е. х1 = 0, х2 = Ь), а скорость их движения Vлежит в диапазоне от Vm1п до Vmax (т.е. распределения Ф0(х0) и Т(V) — равномерные [5, 6]). Тогда согласно формулам (2.12) и (2.13) получаем:

Р( х, t) =

0 при х< ^ t;

( х ~ Vm1пt )2 2Ь(Vmax - Vm1п ) ^

Е при х е [А, В);

при х е [Кт1п и А);

1 -

(х - Ь - Vmaxt)2

(3.1)

2Ь(^шах Vm1п ) ^ при X е [В, Ь + Vшaxt);

1 при X > Ь + Vшax t,

ф(х, 40) 0,04 0,03 0,02 0,01

0

хв

/ \6

/| /

¡1 / / Vе

/

50

100

РИС.6. Плотности распределения людского потока на пути эвакуации в момент tк = 40 с для примеров 3.1 (а), 3.2 (б) и 3.3 (в)

3.2. В начальный момент на эвакуационном пути люди распределились "по убывающей" в соответствии с экспоненциальным законом [5]:

Ф0(х0) = [хс гарС^А^ \

(3.3)

где хс — математическое ожидание распределения, a скорость, как и ранее, лежит в диапазоне от Vm1п до ^^ Тогда согласно формуле (2.10) получаем:

где при t < р А = Vmaxt; В = Ь + Vmmt; Е =[Х -0,5^ - Vmm) t ]/Ь;

при t > ^ А = Ь + Vmmt; В = Vmaxt; Е = (X - Vmlпt - 0,5Ь)/(^^ - У^/и Распределение эвакуирующихся, найденное из выражения (3.1) с использованием формулы (2.5), имеет трапециедальный вид:

ф( х, t) =

0 при х < ¥ш1п t или х > Ь + Vmax t;

при х е [^п t, А);

х — V • t

л ' Ш1П 1

Ь( Vmax ^шт ) t

С—

Ь + Vmaxt х

при х е [А, В);

при х е [B, Ь + Vmaxt).

(32)

Ь(Vmax ^шп ) t

где пРи < ^ С = Ь, а при t > ^ С = (Vmax - Vm1п)t.

Например, если люди в начальный момент равномерно распределены на трехметровом участке в глубине 100-метрового тоннеля (Ь = 3 м, хв = 100 м) и могут двигаться свободно со скоростями в пределах от Vm1n = 2 м/с до Vmax = 3 м/с, то при = 40 с из выражения (3.1) следует, что вероятность достижения любым эвакуирующимся выхода из тоннеля Рэп = 1 -Р (100; 40) = 0,5375 (рис. 6) или же только 53,75% людей к моменту наступления опасных факторов успеют покинуть тоннель. Расчетное же время выхода всех людей может быть оценено по формуле (2.14): р = 100/2 = 50 с.

Р( х, t) =

0

пРи х < Vшlп t;

х Vm1пt хс ( 1 - exp х - Vш1п t \

V 1 хс ] /

(V — V ■ ) t

V max г ш1п / 1 при х е 17ш1пt, Vшax t];

exp

1 - хс

'V t' 'V • t' г ш1п '

- exp

1 хс ] 1 хс ]

(3.4)

t (Vшax - ^шЬ^Р при х > Vшax t.

х

хс

Распределение эвакуирующихся, найденное из системы (3.4) с использованием формулы (2.5), имеет вид:

ф( х, t) =

0 при х < Кштt

1 - exp

- Vm1п ^

V с ^

(V - V ■ ) t

V max г ш1п / 11

при х е 17ш1пt, Vшax t];

exp

'V t' 'V • t' г шт'

- exp

1 хс ] 1 хс ]

(3.5)

t (Vшax - Vш1п)eXР при х > Vшax t.

х

хс

х, м

Безопасность людей при пожарах

Например, еслихс =1,5 м, хе =100м, Vmin = 2м/с, Vmax = 3 м/с и tK = 40 с, то рэп ~ 0,5375. Распределение ф(х, 40) также представлено на рис. 6.

3.3. Таким образом, комбинируя различные распределения ф0(х0) и Y(V), которые только и могут иметь место в действительности, можно оценить вероятность успешной эвакуации при известном времени наступления ОФП. Однако представляет интерес подробнее остановиться на случае, когда движение людей свободное, на начальном участке от х1 до х2 они распределены равномерно, а скорость движения людей находится в пределах от Vmin до Vmax и подчинена усеченному нормальному закону [6]:

Y (V) =

0

K

при V < Vmin , V > Vm

яа exp

/ 0,5(V - Vc)2Л

-i

(3.6)

\ " JA

при V 6 [^min , ^maxL

где а, Vc — параметры закона;

к = [®[(Vmax- Vc)/а] - OKVmn- Vc )/а]]-1;

Ф (v) = J

r

v

V 2 У

-1

dv —табличная

л/2р ехр функция [5].

Из формул (2.12) и (2.13) получаем:

0 при х < х1 + Vmin t; Ф 1(х, t) при х е [^п t, А);

р(х, ^ = ^Ф 2(х, t) при х е [А, В); (3.7)

ф 3(X, t) при х е [В, Vmax ^

1 при х > х2 + Vmaxt, где А и В — такие же, как и в примере 3.1;

1

Ф 2 (X t) =

Хп Xi

X - Vmaxt - Х1 + к JФ 4dX0

-K(Vmax — Vmin )t Ф 5] при t < ^ ;

K

Хт X

1 Х2

-J Ф 4dX0 - (Vmax - Vmin )t Ф ;

- X1 X

Х1

при t > tn;

Ф 1( х, t) = ■

K

X 2 X1

шш

Jф 4dX0 - (X - X1- Vmint)Ф 5

L X1

Фз(х, t) = -

X 2 X1

min

X - Vmaxt - X1 + K J Ф 4dx0

x1

-K(X - X2- Vmaxt)Ф 5];

Ф4 = Ф[^ -X0- Vct)/at];

Ф5 = Ф[(^- Vc)/a].

Хотя в некоторой литературе (например, [7]) и даны аналитические выражения для функции Ф^), нахождение распределения ф^, t) целесообразно проводить численными методами, для чего автором разработана специальная компьютерная программа.

Если люди на начальном участке распределены равномерно, как и в примере 3.1, но скорости их подчинены усеченному нормальному закону (3.6), когда Vmin = 2 м/с, Vmax = 3 м/с, Vc = 2,5 м/с, а = 0,2 м/с и хе = 100 м, вероятность выхода из тоннеля к моменту tK = 40 с, рассчитанная по формуле (3.7), составитрэп = 1 -p (100; 40) = 0,5705, а распределение ф(х, 40) примет вид, представленный на рис. 6.

Выводы

Таким образом, возможно оценивание основных характеристик свободного движения группы эвакуирующихся (их распределение по пути эвакуации, вероятность выхода из опасной зоны, расчетное время эвакуации), если в начальный момент они расположены случайно и скорости их движения также случайны. При этом на основе композиционного подхода в ряде случаев существуют аналитические решения, существенно упрощающие расчеты.

Представляет интерес решение другой задачи, когда, наоборот, скорость движения каждого эвакуирующегося в группе полностью определяется предыдущим человеком, т.е. люди движутся "цепочкой", например, в работе [8], где предлагалось эвакуировать людей из станции метрополитена по путевому тоннелю.

2

X-Vmaxt

ЛИТЕРАТУРА

1. Холщевников В. В. О моделировании людских потоков, в частности при эвакуации // Пожа-ровзрывобезопасность. 2003. Т. 12. № 5. С. 44.

2. Холщевников В. В. Исследование людских потоков и методология нормирования эвакуации людей из зданий при пожаре. - М.: МИПБ МВД России, 1999.

3. ГОСТ 12.1.004-91. Пожарная безопасность. Общиетребования.

4. Пожарная тактика: Учебник/Под ред. Я. С. Повзика. — М.: ВИПТШ МВД СССР, 1984. — С. 12.

5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Изд. 5-е, стереотипное. — М.: Высшая школа, 1998.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. Изд. 3-е, испр. — М.: Наука, 1986.

7. Лебедев А. Н., Куприянов М. С., Недосекин Д. Д., Чернявский Е. А. Вероятностные методы в инженерных задачах: Справочник. — СПб.: Энергоатомиздат, 2000.

8. Исаевич И. И. По поводу статьи А. А. Таранцева "Об одной задаче моделирования эвакуации с использованием теории массового обслуживания" // Пожаровзрывобезопасность. 2003. Т. 12. № 5. С. 40.

Поступила в редакцию 22.07.04.