CC BY
0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРА, ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Кулжанов У.Н.1, Абдуллаев Б.2, Уралова О.3
1Кулжанов Уткир Неъматович - PhD, доцент, кафедра теории вероятностей и прикладной математики;
2Абдуллаев Бурхон -студент, математический факультет;
Самаркандский государственный университет имени Шарафа Рашидова;
3Уралова Озода Бурибоевна - преподаватель, Академический лицей Самаркандский государственный университет ветеринарной медицины, животноводства и
биотехнологии, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: рассматриваются определение параметра, основные типы задач с параметрами и способы их решения. Кроме того, обосновано основной принцип решения параметрических уравнений можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с постоянными коэффициентами. Подчеркнута исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами.
Ключевые слова: параметр, значения параметра, типы, способы решения, аналитический, графический, решение относительно параметра.
DEFINITION OF A PARAMETER, BASIC TYPES OF TASKS WITH
PARAMETERS Kulzhanov U.N.1, Abdullaev B.2, Uralova O.B.3
1Kulzhanov Utkir Nematovich - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND APPLIED MATHEMATICS;
2Abdullayev Burkhon -student, FACULTY OF MATHEMATICS;
SAMARKAND STATE UNIVERSITY NAMED AFTER SHARAFRASHIDOV;
3Uralova Ozoda Buriboevna - teacher, ACADEMIC LYCEUM, SAMARKAND STATE UNIVERSITY OF VETERINARY MEDICINE, LIVESTOCK AND BIOTECHNOLOGY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the definition of a parameter, the main types ofproblems with parameters and methods for solving them are considered. In addition, the basic principle for solving parametric equations can be formulated as follows: it is necessary to divide the region of parameter change into sections such that when the parameter changes in each of them, the resulting equations can be solved using the same method. Separately for each section, the roots of the equation are found, expressed through the parameter values. The techniques used for this are exactly the same as when solving equations with constant coefficients. The exceptional clarity and beauty of the graphical method of solving problems with a parameter are emphasized so much that students of the topic "Problems with a parameter" are so captivated that they begin to ignore other methods of solution, forgetting the well-known fact: for any class of problems, their authors can formulate one that can be brilliantly solved in this way and with colossal difficulties in other ways.
Keywords: parameter, parameter values, types, solution methods, analytical, graphical, decision regarding parameter.
УДК 512.1
Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x-2|=4-a не следует неотрицательность значений выражения 4-a, и если 4-a<0, то уравнение не имеет решений.
Что означает «решить задачу с параметром»? Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству. Другими словами, для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению. Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра. Под областью изменения параметра будем подразумевать (если нет специальных оговорок) множество всех действительных чисел. Допустимыми значениями параметра в уравнении будем считать те значения параметра, при которых выражение, входящее в уравнение, имеет смысл.
Основные виды задач с параметрами. 1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству [1, 2]. Этот вид задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных видов.
2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Обращаем внимание на то, что при решении задач данного вида нет необходимости ни решать заданные уравнения, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с видом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи вида 2.
3. Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи вида 3 в каком-то смысле обратны задачам вида 2.
4. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Замечание. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных видов, которые по этой причине названы основными. Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с одной неизвестной и одним параметром.
Основные способы (методы) решения задач с параметром. Аналитический способ. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения [2]. Аналитический способ решения задач с параметром является самым трудным способом, требующим высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им [3, 4].
Графический способ. В зависимости от задачи (с переменной x и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости
у), или в координатной плоскости а). Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром [5, 6].
Способ решения относительно параметра. При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и а и заканчиваем решение [3].
А основной принцип решения параметрических уравнений можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с постоянными коэффициентами [4]. Поскольку каждый из методов представляет собой последовательность определенных действий, которые могут выполняться по-разному в зависимости от значений параметра, то выбранные первоначально участки его изменения в процессе решения могут дробиться с тем, чтобы на каждом из них рассуждения проводились единообразно. Ответ задачи состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого участка всех корней уравнения.
Пример. Рассмотрим уравнение вида
(а - 1)х2 + 2 ах - а = 0. (1)
В данном уравнении при а = 1 происходят качественные изменения (оно превращается в линейное), значит, а = 1 служит особым значением. Следовательно, целесообразно рассмотреть решение при а = 1 и а Ф 1.
1.Если а = 1, то уравнение имеет вид 2х = 1, которое имеет одно
i
х = - решений.
2. Если а Ф 1, то найдем значение дискриминанта уравнения (1).
D =4а2 + 4а(а - 1) = 4а(2а - 1)
1
Теперь найдем значение а, при котором D = 0, т. е. а = 0, а = -.
Рассмотрим решение уравнения (1) при этих особых значениях.
1
1. Если а 6 (0; -), то D < 0, то уравнение (1) не имеет решений.
11
2. Если а 6 (-ю; 0) U (0; -) U (-; 1) U (1; ю), то D > 0, то уравнение (1) имеет два действительных
-а±^2а2-а
корня х12 =-.
1
3. Если а = 0,-, то D = 0 и уравнение (1) имеет одно действительный корень х = 0 и х = 1. Замечание. Из примера видно, что в зависимости от значений параметра уравнение может: а) иметь единственный корень; б) не иметь корней; в) иметь бесконечное множество корней.
Список литературы /References
1. Вавилов В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства / В.В. Вавилов. - М.:, 2022. - 237 с.
2. Вавилов В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник и др.. - М.: Наука, 2022. - 240 с.
3. Квадратные уравнения и неравенства / Квадраты целых чисел от 0 до 99. Наглядное пособие. -Москва: СПб. [и др.]: Питер, 2018. - 427 с.
4. Шахмейстер А.Х. А.Х. Шахмейстер Уравнения и неравенства с параметрами / А.Х. Шахмейстер. - М.: Петроглиф, 2018. - 121 с.
5. Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. - М.: Издательство МЦНМО, 2007. - 296 с.
6. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В.В. Мирошин. - М.: Издательство «Экзамен», 2009. - 286 с.
