CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 139-146 ^ Механика
V. : К 624.074.5: 624.047: 69.059
Определение основных характеристик стержневых систем при внезапном изменении условий крепления
A.A. Холодов
Аннотация. Рассматривается определение характеристик стержневых элементов конструкции в различных схемах крепления. В основу решения заложены основные уравнения динамического изгиба тонких стержней. Решение производилось но методике совместного использования метода начальных параметров и метода конечных элементов. Приведены результаты расчетов. Предложенный метод может использоваться для описания изменения параметров конструкции в аналогичном классе задач.
Ключевые снова: стержневые конструкции, расчет колебаний, изменение условий крепления, сценарии разрушения.
Известно, что вопросы безопасности и экономичности современных зданий при строительстве, а так же в ходе их последующей эксплуатации (особенно для ветхих жилых сооружений) в настоящее время занимают одно из лидирующих мест в строительной сфере. Это связанно со стремительным увеличением объема строительства в городах и с сопровождающим его ростом техногенных нагрузок на возводимые объекты, а так же возникновением чрезвычайных ситуаций различного характера. Не мало важно и стремление заказчиков минимизировать затраты для получения значимого экономического эффекта, сказывающееся на экономии материала возводимых конструкций. Вследствие этого, обеспечение безопасности функционирования строительных конструкций на всех стадиях ее жизненного цикла от проектирования до ликвидации становится в настоящий момент одной из крайне важных и актуальных задач политики государства в области национальной безопасности [3].
Современные перспективные методы проектирования, а так же обеспечения безопасного использования существующих и проектируемых технических систем предполагают изначальное исследование применимости классических и разработку новых критериев разрушения элементов несущих конструкций в условиях нестационарного деформирования, исследование сценариев развития аварийных ситуаций, получение количественных оценок риска различных траекторий возможных сценариев [1].
Изложенное позволяет выделить на современном этапе следующую проблему. Для конструкций необходимо иметь возможность производить, как при создании, так и в ходе эксплуатации имитационный моделирующий расчет на вероятность частичного или полного лавиноопасного обрушения в случае возникновения критической ситуации. Под ней понимается ситуация, когда одна опора (крепление) или несколько несущих элементов разрушаются или близки к этому. Другими словами необходимо знать риски, возникающие при строительстве и в ходе эксплуатации конструкций. Это приобретает особую актуальность для устаревших сооружений. При этом для адекватной оценки конструкции необходимо знание ее параметров на каждом этапе, когда происходит изменение ее состояния.
Исследования показывают, что, к сожалению, проведение только статического расчета не даст возможности узнать истинные значения напряжений, которые конструкция может испытывать в результате эксплуатации. Более того, есть данные о том, что значения напряжений, найденные в ходе динамического решения задачи, превышают данные полученные при статических расчетах [2]. Именно поэтому предлагается производить расчет конструкций на силовые воздействия согласно следующему алгоритму:
1 — определение начальных параметров конструкции в исходном состоянии (У(0,в) = У (в));
2 — отыскание форм и частот свободных колебаний для новой схемы конструкции, получившейся после изменения ее начального состояния;
3 — разложение исходного состояния по формам полученных свободных колебаний;
4 — решение статической задачи в новой схеме —> УСм(в);
5 — поиск мод для динамической задачи в новой схеме —> У>к(й).
Таким образом, решение задачи по определению параметров конструкции
в целом в необходимый для расчета момент времени будет представлено наложением (суммированием) решений динамической и статической задач
у = УсиЫ + у>к(м).
Данный алгоритм был реализован для 3-х схем, выбранных из наиболее распространенных вариантов изменения условий закрепления в узлах простых стержневых конструкций. Так, исходя из представленного, необходимо рассмотреть расчет параметров конструкции для трех задач.
Пусть имеется стержень, жестко закрепленный с двух сторон. Это наиболее часто встречающийся вариант крепления в реальных условиях. В повседневной эксплуатации — это аналог сварочного, неподвижного болтового или заклепочного соединения. Такая конструкция имеет свои собственные частоты и формы колебаний. Стержневой элемент в нашем случае, даже если не нагружен каким-либо образом дополнительно, испытывает влияние собственного веса или, к примеру, бетонной плиты, лежащей на нем, что можно сымитировать, заменив для начала вес равномерной распределенной нагрузкой, как показано на рис. 1.
{v.S„Q04} {v, О, О, М,}
О 1
Рис. 1. Начальная схема нагружения стержня
При решении предполагалось заранее известным, в каком узле и по какому пути будет происходить разрушение, при этом рассматривались три возможных варианта развития событий. Схема 1 — моделирование обрыва одной из связей на конце стержня. Так правая опора получает новые степени свободы, соответствующие шарнирной опоре (к примеру, вариант со срезанием всех болтов, кроме одного, либо не полным разрушением опоры). Таким образом, представленная ранее система переходит к новому состоянию (рис. 2) и приобретает новые формы и частоты колебаний.
{v„ $0 О0 М0) {v, s, Q, м,}
Рис. 2. Измененная схема нагружения стержня
Схема 2 — моделирование поведения стержня после обрыва всех связей на одном конце. В отличие от предыдущего на втором конце стержня отсутствуют все связи, т.е. стержень не закреплен — свободный край (рис. 3).
{у,9,О0Ч} {V, 9, о, М,}
О 1
Рис. 3. Схема второго варианта крепления стержня после разрушения
Схема 3 — моделирование поведения стержня после перехода к шарнирам двух концах. Так на концах стержня утеряно по одной связи, что можно проимитировать заменой крепления на шарнирные опоры с двух сторон (рис. 4).
Использование представленного выше достаточно простого алгоритма позволило решение описанных задач реализовать, используя программный пакет Mathcad ver. 14.
Основа расчета — динамическая матрица влияния. Мы можем представить ее через функции Крылова
Рис. 4. Вариант крепления стержня после частичного разрушения опор
Уо (С, Л, о, /3) =
п ха X ' и(ха № у(ха\ рх*з
5(А0 т(ха ' $Ху и(ха 13 х^
-рх^и(хо -му(хо . • 5(А0 Т(АО 13 X
\-рх^т(хо -рх2зи(хо . • РХУ(Х0 5(А0 )
Были определены начальные параметры конструкции в исходном состоянии.
Перемножив вектор состояния в начале (узел 0) на динамическую матрицу влияния (1), мы получим выражение, которое и является по-существу вектором состояния в конце стержня (узел 1) для каждой из рассматриваемых схем (см. рис. 1, 2, 3, 4). Согласно граничным условиям в конце стрежня нам известны параметры, значения которых равны нулю. Этого достаточно для составления разрешающей системы уравнений для определения неизвестных параметров конструкции.
Полученные частотные уравнения конструкции для измененных состояний стержня первой, второй и третей схем (2) позволяют определить частоты свободных колебаний для измененных схем конструкции:
<5о(сЬ(Л) • зт(А) — зЬ(Л) • соз(Л))
Схема 1:
Схема 2:
Схема 3:
сЬ(Л)
<Эо(сЬ(Л) • соз(Л) + 1) сЬ(Л) + соз(Л)
2 • <5о • зЬ(Л) • зіп(А)
= 0;
= 0;
(2)
= 0.
зЬ(Л) + зт(А)
Уравнение (2) называется частотным, так как величина Л является прямым отражением частоты свободных колебаний конструкции.
Она равна Л = ^из ■ \fajj/(3, где (3 — безразмерный диаметр; а — безразмерная площадь поперечного сечения; у — безразмерный момент инерции; ш — безразмерная частота свободных колебаний.
Далее нормируем собственные формы колебаний, после чего, производя мгновенную смену граничных условий, имитируем частичное или полное в зависимости от схемы разрушение крепления в соответствии с новым состоянием конструкции в задаче (см. рис. 2, 3, 4). При этом следует отмстить, что в ряд по формам свободных колебаний в соответствии с новыми граничными условиями раскладываем только перемещения, оставшиеся значения нормирующих множителей для углов, моментов и сил получаем посредством производной (первой, второй, третьей) от найденных значений перемещения. Находим значения мод для динамической задачи в новой схеме: безразмерное перемещение
В результате разложения исходного состояния по формам полученных свободных колебаний были получены графики нормирующих форм свободных колебаний конструкции для трех схем. Сложив их с теми же графиками, но для статической постановки задачи в новом состоянии мы, как и описывалось ранее, получим безразмерные графики основных параметров конструкции по безразмерной координате для нового состояния конструкции (рис. 5)
Результаты расчетов, а также предложенный алгоритм могут быть использованы при описании изменения условий закрепления типовых конструкций и для расчета аналогичных стержневых схем.
Следует отмстить, что сам процесс разрушения как правило состоит из следующих этапов (рис. 6): исходное состояние (а), потеря одной из связей в точке крепления (б), полное отсутствие связей в узле (в).
Существуют и другие сценарии разрушения, когда имеет место ускоренное развитие процесса разрушения и ввиду скоротечности протекающих в конструкции процессов исчезает второй этап и после первого следует сразу
гоиге(С)-1
г>І^(£,А,а, І,/3,С) = ^2 {Ск •EigF7г(£,Afc,а, і,/3)о),
к=0
безразмерная перерезывающая сила
гоиге(С)-1
<ЗЬ8я(£,А,а,і,/3,С) = ^2 •EigF7г(^,Afc,o,j,^)з).
к=о
Рис. -5. Результаты распределения основных параметров конструкции но безразмерной координате для трех схем разрушения
Рис. 6. Варианты этапов в сценарии разрушения
третий. Либо новое распределение напряжений после этапа «б» (см. рис. 6) в конструкции приводит так же к потере одной связи и в левом узле крепления, что в результате сведет расчеты к описанной ранее схеме, показанной на рисунке 4, а далее к возможному полному разрушению [4]. Именно этим продиктован выбор примеров рассмотренных выше задач.
Безразмерное представление данных в расчетной программе даст возможность использовать се для решения задач с различными начальными параметрами.
Данные графиков убедительно свидетельствуют, что в результате проведения динамического расчета происходит существенное уточнение моментов и перерезывающих сил по сравнению со статической постановкой задачи. Важным обстоятельством является и то, что динамическая постановка задачи
позволяет выяснить действительное место нахождения опасного сечения, уточнив его местоположение.
Согласно представленным графическим данным расчетов (рис. 4) самой опасной схемой оказалась вторая (заделка и свободный край) поскольку в ней возникает при расчетах самый максимальный момент в сечении с координатой 0,81, который по модулю составил 2,6. Опасность данной схемы заключается также в том, что здесь возникает несколько критических точек с большим перепадом значений момента.
Второй по опасности из рассматриваемых можно считать схему один с заделкой и шарниром. Дело в том, что фиксация в начале координат привела к возникновению здесь максимального действующего в данной конструкции момента со значением близким к 0,2.
Наименьшую опасность представляет развитие сценария по схеме три с переходам к шарнирным опорам. Почти равное значение момента в конструкции расположилось в координатах 0,4 и 0,6, что позволило снизить его максимальное значение. Так максимальный момент в этом случае оказался порядка 0,17 по модулю.
Таким образом, наиболее опасным вариантом для рассмотренной стержневой схемы является разрушение по сценарию, согласно которому происходит мгновенное исчезновение сразу двух связей в одном из узлов, без каких-либо промежуточных этапов.
Список литературы
1. Доронин С.В., Чурсина Т.А. Моделирование нелинейного поведения несущих конструкций в задачах анализа риска и обеспечения безопасности технических систем // Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании: тез. докл. конф. / ИВТ СО РАН. Новосибирск, 2002. 65 с.
2. Павлова, Т.А. Сравнение динамических явлений в балке при внезапных изменениях условий онирания // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 94-99.
3. Тамразян А.Г., Степанов А.Ю. Оценка рисков различного характера при техногенных воздействиях на объекты строительства, реконструкции и эксплуатации. М.: МГСУ, 2007. 87 с.
4. Roytman V. М., Pasman Н. J., Lukashevich I. Е. The Concept of Evaluation of Building Resistance against combined hazardous Effects «Impact-Explosion-Fire» after Aircraft Crash // Fire and Explosion Hazards: proceed, of the Fourth International Seminar/ Londonderry, N1, UK. 2003. P. 283-293.
Поступило 21.05.2009
Холодов Александр Анатольевич (sashatcz@ramblcr.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Definition of the basic characteristics of rod systems at sudden change of fastening conditions
A.A. Kholodov
Abstract. Definition of characteristics of rod elements in construction at different schemata of fastening is examined. Basic equalizations of dynamic bend of thin bars arc used into the basis of decision. The method of initial parameters and the finite clement method were used jointly in the decision. Results of calculations arc shown. The offered method can be used for the description of change of parameters of a design in a similar class of problems.
Keywords: rod constructions, oscillation calculation, change of fastening conditions, destruction scripts.
Kholodov Alexander (sashatcz@ramblcr.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
