Математическая модель колебаний стержневых элементов раскрывающейся ферменной крупногабаритной конструкции с учетом нелинейных жесткостных свойств шарнирных соединений Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

_Эл № ФС77 - 30569. Государственная регистрация ^0421100025. ISSN 1994-0408_

Математическая модель колебаний стержневых элементов раскрывающейся ферменной крупногабаритной конструкции с учетом нелинейных жесткостных свойств шарнирных соединений

77-30569/270775

#11, ноябрь 2011 В. Е. Мешковский

УДК 629.783:514.85

МГТУ им. Н.Э. Баумана sm11@sm.bmstu.ru

При создании раскрывающихся ферменных крупногабаритных космических конструкций, в частности, космических антенн с рефлекторами большой апертуры, важным этапом является исследование статических и динамических характеристик составляющих их стержневых элементов. Эти исследования дают необходимую информацию для последующих расчетов статического и динамического поведения ферменных конструкций в стендовых и эксплуатационных условиях.

Каркас рефлектора космической антенны представляет собой пространственную ферменную конструкцию, образованную двумя поясами, связанными между собой с помощью диагональных стержней (рис. 1). Каждый пояс - это совокупность складывающихся стержней, состоящих из двух шарнирно связанных между собой трубчатых элементов. Диагональные и складывающиеся стержни между собой связаны с помощью узловых шарниров. На лицевом поясе рефлектора закрепляется сетеполотно.

Наличие большого количества шарнирных соединений, не обеспечивающих жесткую фиксацию стержней между собой, приводит к тому, что при динамических воздействиях поведение ферменной раскрывающейся конструкции следует рассматривать как достаточно сложную динамическую систему с нелинейными жесткостными и демпфирующими свойствами. Нелинейность

Рис. 1. Каркас рефлектора антенны

жесткостных свойств конструкции в целом определяется как упругими свойствами стержней и пружин, установленных в шарнирных соединениях, так и жесткостью ограничителей взаимного поворота трубчатых элементов. Кроме того, на жесткостные свойства конструкции влияет наличие люфтов в шарнирных соединениях. Рассеивание энергии в конструкции имеет нелинейный характер, обусловленный конструкционным демпфированием в шарнирных соединениях стержней.

Нелинейные свойства ферменных конструкций в значительной мере проявляются при проведении частотных испытаний. С ростом частоты амплитудно-частотные характеристики датчиков имеют все более хаотичный характер /1/, что вызвано возрастающим проявлением нелинейных свойств конструкции. На высоких частотах возбуждения колебания сопровождаются дребезжанием из-за соударения элементов шарнирных соединений стержней.

Собственные динамические характеристики ферменной раскрывающейся конструкции обусловлены жесткостными свойствами складывающихся стержней лицевого и тыльного ее поясов (рис. 1). Складывающийся стержень (рис. 2) состоит из шарнира, двух трубчатых элементов и законцовок, соединяющих стержень с узловыми шарнирами. Ниже рассматривается математическая модель колебаний складывающегося стержня рефлектора раскрывающейся ферменной крупногабаритной антенны с учетом нелинейных жесткостных свойств шарнирных соединений в поле сил тяжести.

Шарнир складывающегося стержня включает в себя корпус, две пружины, работающие на кручение, зубчатую рейку, две законцовки и две оси, связывающие корпус с законцовками (рис. 3). Законцовки шарнира с рейкой образуют

Рис. 2. Конструкция складывающегося стержня

зубчатую передачу, которая обеспечивает синхронное вращение трубчатых элементов при раскрытии складывающегося стержня.

пружины

Рис. 3. Шарнир складывающегося стержня

На рис. 1 изображена ферменная конструкция в раскрытом (рабочим) положение. Колебания рефлектора сопровождаются деформациями лицевого и тыльного поясов и, соответственно, поперечными колебаниями складывающихся стержней с ударным взаимодействием корпусов шарниров с законцов-ками (рис. 4).

Расчетная схема представлена на рис. 5. Один конец (т. А) складывающегося стержня шарнирно закреплен, а другой (т. П) — шарнирно оперт с возможностью перемещения вдоль оси Ах. Все элементы складывающегося стержня считаются абсолютно твердыми. Введены обозначения: /т — длина трубчатого элемента, /0 — расстояние между осями шарнира. Если /склст. — длина складывающегося стержня, то /т = 2 (/скл ст. — /0).

Рис. 4. Места ударного взаимодействия корпуса шарнира с законцовками

Рис. 5. Расчетная схема

Рассматриваются малые колебания в поле сил тяжести. Учет сил тяжести обусловлен тем, что динамические испытания подобных конструкций проводятся в наземных условиях, и представляет интерес оценить влияние сил тяжести на поперечные колебания складывающихся стержней.

Расчетная схема включает три звена: шарнир и два стержневых (трубчатых) элемента. Наличие зубчатой передачи, как отмечалось выше, обеспечивает синхронное вращение стержневых элементов, т. е. в любой момент времени оба элемента составляют один и тот же угол ф с осью Ax (рис. 6). Следует отметить, что наличие зубчатой передачи приводит к тому, что шарнир перемещается в плоскости только поступательно, и его положение можно также определить через угол ф. Тем самым можно заключить, что рассматриваемая конструкция обладает одной степенью свободы.

На рис. 7 показана кинематическая схема движения складывающегося стержня, из которой следует, что скорость т. B Vв = —VB sin фг + VB cos ф j , где VB = ф 1Т, а скорость т. C VC = Vв . Здесь векторы i, j — орты системы осей Axy.

Рис. 6. Одностепенная модель складывающегося стержня

У///////Ш

Рис. 7. Кинематическая схема движения складывающегося стержня

С другой стороны, из движения звена 2 следует, что Vс = VD + [фк,1т] , или — VB sin фъ + VB cos фj = — VDi + фIt sin фъ + ф 1т cos ф j , где к — орт оси Az, [...,...] означает векторное произведение векторов. Откуда получим скорость т. D VD = 2VB sin ф.

Данные соотношения позволяют получить выражения для кинетических энергий звеньев системы T\, T2 и T3.

Для звена 1, вращающегося относительно т. A Ti = 1JTф2 , где JT — момент инерции стержневого элемента относительно оси, проходящей через т. A перпендикулярно плоскости Axy.

Для звена 2, вращающегося относительно полюса (т. D), обладающего скоростью VD, можно записать /2/

T2 = 1

2 2

тт VD + 2тт ([V d ,ш],тс2) + JT

где (...,...) означает скалярное произведение векторов, тт — масса стержневого элемента, ш = —ф к — угловая скорость данного элемента, rC2 = ^ (— cos фъ + sin фj) — радиус-вектор центра масс элемента (т. C2), VD = — VDi.

Таккак ([VD хш],Тс2) = -1VDfsin ф, то Т2 = JTf2+2mTf2/T sin2 ф) В дальнейшем будут рассматриваться малые колебания складывающегося стержня, которые описываются линейным дифференциальным уравнением. Для исключения появления нелинейных членов в уравнении движения следует вторым слагаемым в выражении для T2 пренебречь. Тогда T2 = 2 JT(f)2 . Для звена 3 (шарнир), перемещающегося поступательно, получим

1а 1 О * О

Тз = 2VBmm = 2тШ1тФ ,

где m0 — масса шарнира.

Суммарная кинетическая энергия равна

Т = Jt + 1 тш/Т) Ф2 .

Так как J = JT + 1 mm¿T представляет собой момент инерции стержневого элемента с закрепленной на его свободном конце сосредоточенной массой, равной половине массы шарнира, то

Т = |2Jff2 = 2Тст , (1)

где Тст = 2 Jff2.

Для потенциальной энергии П системы в поле сил тяжести можно записать

П = 2ттдгсф + mmg(ho + 1тф) + cf2 + По ,

где rC = rCl = rC2 = у — радиус-векторы центров масс (т. C1 и т. C2) стержневых элементов, h0 — расстояние от оси, проходящей через т. B и т. C (рис. 6), до центра масс шарнира (т. C0), c — жесткость пружин на кручение, П0 — потенциальная энергия, обусловленная предварительной затяжкой пружин и расположением системы в потенциальном поле сил тяжести. Если величину m0gho отнести к П0, то

П=2

mTд1-2 + 2m0gl^j ф + 2сф2 + 2П0

= 2Пст, (2)

где Пет — потенциальная энергия стержневого элемента с закрепленной на его свободном конце массой, равной половине массы шарнира.

Если предположить, что на звенья 1 и 2 действуют моменты МТ1 = МТ2 = Мт и на звено 3 (шарнир) сила ^щ, приложенная к центру масс шарнира (рис. 6), можно получить выражение для элементарной работы

6А = Мт16ф + Мт2 6ф + .

Так как у0 = Н0 + 1тф, то 6А = 2Мт6ф + или

6А = 2 ^Мт + 1 6ф. тогда получаем выражение для обобщенной силы

Я = 2 (Мт + 2.

(3)

Используя выражения (1)-(3), из дифференциального уравнения Лагранжа второго рода получим /1/

З'ф + сф + 2(тт + Шщ)д1т = М , 2

(4)

где М = Мт + 1 ^ш/т.

таким образом, движение рассматриваемой системы (шарнир и два трубчатых элемента) описывается дифференциальным уравнением колебаний маятника в поле сил тяжести (рис. 8), где От и О0 — вес трубчатого элемента и шарнира, соответственно.

ШШ стт

Рис. 8. Маятник в поле сил тяжести

Это объясняется тем, что, во-первых, система обладает симметрией силового нагружения и массово-геометрических свойств относительно прямой

"а — а" (рис. 6), и, во-вторых, при выводе уравнения (4) не учитывались величины второго порядка малости по отношению к ф и ф.

В нашем случае нагрузки Мт и в уравнении (4) (рис. 6) обусловлены ударом: при ф = 0 Мт = 0 и = 0, а при ф = 0 (рис. 9) происходит ударное взаимодействие корпуса шарнира с законцовками. Далее предполагается, что удар является абсолютно упругим, т. е. при ударе происходит только изменение направления скоростей на противоположное.

Рис. 9. Ударное взаимодействие корпуса шарнира с законцовками

Процесс удара в некоторый момент времени £0 разделяется на фазу торможения и фазу разгона (рис. 10) /3/.

Рис. 10. Фазы ударного взаимодействия корпуса шарнира с законцовками

При £ = £0 скорость материальной точки V = 0. Тогда для первой фазы

удара

а для второй фазы

0 — (—mVl) = 61,

mV2 — 0 = ,

где V1 ,У2 — скорости точки до и после удара, соответственно, и 61,62 — ударные импульсы силы реакции поверхности упора (рис. 8).

Для абсолютно упругого удара

51 = 52 и = V = Уо

(5)

где

У: = Нш У (¿о - Н), У2 = Иш У (¿о + Н).

н^ о н—^ о

Для периодического движения с периодом т (рис. 11, на котором показан один период действия ударных импульсов), в соответствии с (5), можно записать для силы удара

^(г) = шУоб(0) + шУоб(т), о < г < т,

где 6(г) - 6-функция Дирака, т — период действия ударных импульсов.

Рис. 11. Период действия ударных импульсов

В нашем случае при 0 ^ г ^ т

мт(г) = .тФ о [6(0) + б(т)],

^ш(г) = ШшУ/о[6(0) + 6(т)] = Шщ1тфо[6(0) + 6(т)] ,

и, соответственно,

М(г) = . + 2тш'Т ) Фо[6(0) + 6(т)] = .Цо[6(0) + 6(т)]

(6)

где фо — значение угловой скорости до и после удара. Подставляя (6) в (4), получим

ф + и2ф = ми(г) - и2д,

(7)

где

ы2 = с ы = 1

Ми(£) = фо[^(0) + ¿(т)] , 0 ^ £ ^ т,

ы^ = 21 (тт + .

Для определения периодических решений уравнения (7) воспользуемся преобразованием Лапласа. С учетом того, что при £ = 0 ф(0) = 0 и ф(0) = 0 можно получить представление уравнения (7) в изображениях

(р2 + ы2)Ф(р) = Р(р) ,

(8)

где ф(£) — Ф(р) ,

Р (Р) =

1 - ерт

е—Р*Ми(£)^£ — - ы

2

1 + е—рт • 1 2

1- е—рт

Р

из уравнения (8) получим

Ф(Р) =

1

1 + е

—рт

фо —

-ы:

р2 + ы2 1 — е—рт р(р2 + ы2) 9

Так как

1

р

_= 1^

р(р2 + ы2) ы2 \р р2 + ы2_

и из /4/

1 1 + е—рт • ффо

-2 1-^РГ ф0 — -

р2 + ы2 1 — е рт ы

Бт ы£ + 2 ^^ Бт ы(£ — тп)

1<п<

то

ф(£) = фо

вШ ы£ + 2 ^^ Бт ы(£ — тп)

1<п< ^

ы

— ^(1 — сое ы£). (9) ы2

Для периодичности движения должно выполняться равенство

т) = 0 ,

тогда из (9) при 0 ^ £ < т получим

фо . , ы9

— Бт ы£--2 (1 — сое ыт) = 0

ы

ы

1

2

9

1

2

или

2 \и

Из (10) следует, что если

. ит I и2д . ит ф0 ит sin —— —тг sin —---cos —— = 0

2

2

и

2

если же

или

то

. ит 2пк

sin — = 0 , то т =-

2и

и1 ■ ит ф0 ит п

— sin---cos — = 0

и 2 и 2

ит ид

ctg— = —— 2 иф0

2 ид

т = — arcctg—— + пк \ , и \ иф0

(11)

(12)

где к Е

Период колебаний (11) т = 2п/и соответствует колебаниям осциллятора без ударов. Ударные колебания происходят с периодом, определяемым выражением (12) при к = 0 :

2

и

т = —arcctg—.

иф0

и

(13)

При и2 = 0 (без учета сил тяжести) т = п/и, т.е. колебания происходят с периодом, в два раза меньшим периода колебаний без удара. Таким образом, частота колебаний с ударами в поле сил тяжести

v = 2п/т > 2и .

Вместо скорости соударения ф0 можно ввести амплитуду колебаний фтах из равенства энергий

ПФ=Фшах = ПФ=0 + Тф=ф0 ,

или

1 (тТ + тШ)д1тфта,х + 2°ф2тах + П = ^П0 + ^JФо ,

откуда

( 2и°

ф0 = и\ ф тах тах

+--2"

(14)

Частота —д соответствует малым колебаниям физического маятника (рис. 12). С учетом (14) получим в безразмерном виде зависимость частоты колебаний с ударами от амплитуды колебаний

V

V = — =

п

— аГС^

X2

у/ф тахУЧ'тах +2х2)

где X = —д/—.

Рис. 12. Физический маятник в поле сил тяжести

Итак, выше было получено решение с введением ударной нагрузки в дифференциальное уравнение (7) с помощью обобщенной функции Дирака с использованием преобразования Лапласа для нахождения периодического решения. Однако решение подобной задачи можно получить иначе. Уравнение движения между ударами имеет вид

ф + —2ф = -—2 , (15)

которое получается из уравнения (4) при М = 0. Общее решение для (15)

—2

ф(£) = А сое —£ + В Бт —£--1.

ы

(16)

Полагая, что при £ = 0 ф(0) = 0 и ф(0) = фо, определяем константы А и В

2

ыд

А = , В ы2

фо ы

Тогда общее решение (16) примет вид

ф(£) = — Бт —£--д (1 — сое —£).

ыы

(17)

Выражение (17) совпадает с (9), если в последнем рассматривается промежуток времени 0 ^ £ < т. Здесь необходимо отметить, что использование преобразования Лапласа позволяет получить решение (9) в более общей форме, справедливое для произвольного момента времени.

Период колебаний определяется из условия (5) — равенства ударных импульсов при £ = 0 и £ = т (рис. 9)

• • —2

ф0 = ф0 сое —£--- в1п —т

—

или

—

ф0(1 — сов —т) =--9 в1п —т

—

Выражение (18) приводится к виду

(18)

—т • —т —д2 —т в1П — ф0 в1П--1—- сов —

2 IУ0 2 — 2

=0

Если в1п ^г

2п/—. Если

или

= 0, получим значение периода колебаний без ударов: т =

2

• —т —д —т

ф0 в1П — +--- сов — = 0

2 — 2

—т ф 0—

=--г .

2

—

Тогда

2

т = — —

агсс^ | — фф— 1 + пк

—

= — ( arcctg—9д— п + пк ) . (19)

— V — ф0

Из (19) при к = 1 получим значение периода колебаний с ударами

2

—д

т = — агс^—— , —ф0

—

которое совпадает с выражением (13).

Характер колебаний с ударами, соответствующий соотношению (9), показан на рис. 13.

Ф

X А А т.

0 1 « 1 »

Рис. 13. Ударный характер колебаний складывающегося стержня

У~У / й)

[ , , ! ! 1 ! 1 1 1

_!-----1—---— —-р-----1-— — ч 1 1 1 ■ 1 Х=1.0 ! | 1 1 1 _____1

V / I \ / I I I I у=0.6 ! / Л — | Ь У1 и. ± J 1 1 1 1 _ ___1

/ г — 1 1 / 1 Х=0.2 У ! / 1 1 1 1 1 1

I I I I ----1 Г /Т Т|| ' У 1 -/4 -1 1 -Г——!—1 -{■------¡---- 1—| 7г Г"—1 ----Г---Т---]----1----

0.0 .05 .10 .15 .20 .25 .30

Рис. 14. Зависимость безразмерной частоты и от амплитуды колебаний и отношения частот х = ид/и.

Зависимость частоты колебаний с ударами V от амплитуды колебаний фтах для различных значений х показана на рис. 14.

Разработана математическая модель колебаний стержневых элементов раскрывающейся ферменной крупногабаритной конструкции с учетом нелинейных жесткостных свойств шарнирных соединений в поле сил тяжести. Получена зависимость частоты колебаний с ударами от амплитуды колебаний для различных значений массовых и жесткостных характеристик стержневых элементов. Построенная достаточно простая математическая модель может быть использована для теоретического и экспериментального исследований собственных динамических характеристик конструкций подобного типа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Динамические испытания раскрывающейся зеркальной космической антенны // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. 120-124 с.

2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Изд. физ.-мат. литературы, 1961. 824 с.

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1990. 607 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. М.:Наука, 1969. 343 с.

electronic scientific and t echnical periodical

SCIENCE and EDUCATION

El № FS77 - 30569. №0421100025. ISSN 1994-0408

Mathematical model of large deployable truss structure rods oscillations with nonlinear hinge stiffness

77-30569/270775

# 11, November 2011 V. E. Meshkovsky

Bauman Moscow State Technical University

sm11@sm.bmstu.ru

Mathematical model of large deployable truss structure rods oscillations with nonlinear hinge stiffness located in the gravity field is under consideration. The dependence of the oscillation with impacts frequency from oscillation amplitude for different mass and stiffness rod characteristics is obtained. The mathematical model can be used for design and native dynamic characteristics research for such kind of structures.

REFERENCES

1. Zimin V.N., Koloskov I.M., Meshkovskij V.E. Dinamicheskie ispytanija raskryvajuwejsja zerkal'noj kosmicheskoj antenny // Problemy mashinostroenija i nadezhnosti mashin. 2000. 120-124 s.

2. Lur'e A.I. Analiticheskaja mehanika. M.: Izd. fiz.-mat. literatury, 1961. 824 s.

3. Nikitin N.N. Kurs teoreticheskoj mehaniki. M.: Vysshaja shkola, 1990. 607

s.

4. Bejtmen G., Jerdeji A. Tablicy integral'nyh preobrazovanij. T.1. M.:Nauka, 1969. 343 s.