Определение основной частоты колебаний ортотропной пластины, закрепленной в углах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневские чтения

УДК 517.972.5

И. А. Лопатин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ,

ЗАКРЕПЛЕННОЙ В УГЛАХ

Обобщенным методом Галеркина решена задача определения основной частоты колебаний прямоугольной ортотропной пластины, в углах которой отсутствует прогиб.

Прямоугольные композитные пластины, испытывающие динамическое воздействие в составе авиационных, морских и строительных конструкций, обладают различными способами крепления к соседним частям этих конструкций. Как правило, закрепление прямоугольной пластины осуществляется по ее краям. Края пластины могут быть жестко защемлены, шар-нирно закреплены или оперты на упругие ребра. Динамическое поведение как изотропных, так и композитных пластин с такими способами закрепления кра -ев подробно изучено. Вместе с тем, крепление композитной пластины, помимо реализуемого на краях, может осуществляться в точках. В справочниках Ье1чча [1], Б1еутч [2] приведены примеры решения задач о колебаниях изотропных пластин, у которых в определенных точках прогиб равен нулю.

Определенный практический интерес представля -ет задача вычисления частот колебаний пластины, закрепленной в четырех углах. Если речь идет о нахождении нескольких частот колебаний такой пластины, то для решения этой задачи наиболее прагматичным будет использование численного метода, например, метода конечных элементов. Однако определение основной частоты изгибных колебаний пластины, закрепленной в углах, может быть выполнено без привлечения методов, требующих значительных вычислительных ресурсов. Необходимо отметить, что основная частота колебаний является удобной оценкой весовой эффективности композитной пластины при ее проектировании. Это обусловлено тем, что основная частота колебаний учитывает взаимное влияние изгибной жесткости и погонной массы композитной пластины.

В настоящей статье решена задача определения основной частоты колебаний прямоугольной ортотропной пластины, в углах которой отсутствует прогиб. Вариационное уравнение, которому должны удовлетворять собственные формы колебаний орто-тропной пластины, получено с помощью принципа Гамильтона. Оно имеет следующий вид [3]:

где

а ь

| |Ц( х, у )Ъгахау + | 0 0 0 -

— )[Ух (х, у ^ ау+)

Мх (х, у

Му (х, у )5

ау

—

д 4 w

д 4 w

Цх, у) = Вп — + 2 (Д2 + 2Аз )д 2 д 2 дх дх ду

д 4 w 2 + °22^Т4 — ВрЮ Г

ду

д w д w Мх (х, у) = Оп — + 012 — Ух (х, у) =

дх ду

(2)

д3 w

д3 w

(3)

= А1 ^г+(А,+4 4з )-ху 2.

д2 w д2 w Му (х, у) = Д2 —-у + Уу (х, у) =

дх ду

д3 ^ / ч д3w

= 022 -тг + (+ 4 0» )тгг,

дх дх ду

Мху = 2 033

д 2 г дхду

(4)

(5)

В равенствах (1)-(5) а, Ь - размеры пластины в плане, г(х,у) - прогиб пластины, функции Мх, Му соответствуют изгибающим моментам, Ух, Уу соответствуют обобщенным перерезывающим силам, Мху соответствует крутящему моменту. В11, 012, 022, 033 - из-гибные жесткости ортотропной пластины, Вр - инер-циальный параметр, ю — частота колебаний.

Рис. 1

Для решения задачи был использован обобщенный метод Галеркина. Аппроксимация прогиба пластины, у которой все четыре угла закреплены (см. рисунок), выполнена с помощью следующей комбинации тригонометрических функций:

, . лх „ . ру ^ . рх . ру г = А чт--+ В чт--+ С чт—чт —

/-Уу (х, у)5г]0 ах + 2\-Мху (х,у)5г]

= 0, (1)

где А, В и С - неизвестные числа.

Прикладная математика

Задача определения основной частоты колебаний сведена к вычислению безразмерного частотного параметра, величина которого зависит от упругих и геометрических характеристик пластины. Частотный параметр находится как минимальное собственное число матрицы третьего порядка. Выполнены расчеты основной частоты колебаний для изотропной и орто-тропной пластины, закрепленной в четырех углах.

Библиографические ссылки

1. Leissa A. W. Vibration of plates. Acoustical Society of America, 1993.

2. Blevins R. D. Formulas for natural frequency and mode shape. Krieger Publishing Company, 2001.

3. Vasiliev V. V. Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.

I. A. Lopatin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

DETERMINATION OF THE FUNDAMENAL FREQUENCY OF VIBRATION OF AN ORTHOTROPIC

PLATE FIXED AT THE CORNERS

The problem of determination of the fundamental frequency of vibration of a rectangular orthotropic plate fixed in corners is solved by the generalized Galerkin method.

© Лопатин И.А., 2012

УДК 512.54

А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОПОЛОГИИ МУЛЬТИПРОЦЕССОРНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ГРУПП

Предложен алгоритм для моделирования топологии мультипроцессорной вычислительной системы, основанный на построении группы подстановок в формате минимальных слов.

При разработке мультипроцессорной вычислительной системы - суперкомпьютера одним из важных вопросов становится проблема выбора оптимальной топологии для построения сетевой архитектуры. Эффективность любой сетевой топологии измеряется, в частности, числом шагов между узлами для передачи данных между наиболее удаленными в элементами в системе.

В [1] было предложено использовать теорию групп в качестве инструмента для моделирования сетевой инфраструктуры суперкомпьютеров. С тех пор это направление активно развивается.

Вычислительную систему можно представить в виде графа, где в роли вершин будут выступать процессоры. Две вершины графа будут соединены ребром, если соответствующие процессоры имеют прямое физическое соединение друг с другом. Пусть вычислительная система состоит из т процессоров, каждый из которых имеет уникальный порядковый номер от 1 до т. Обозначим а?! = ац = ,./¡0 - множество ребер графа. Значение диаметра Кэли графа будет равно максимальному кратчайшему пути между двумя вершинами.

В настоящей работе предложен алгоритм, позволяющий вычислить диаметр графа, посредством построения соответствующей графу группы. Пусть

С - группа, заданная множеством подстановок Х= „л^}, т. е. С— {X}. На множестве Я вве-

дем отношение порядка "<" (меньше): ■*2 < ■■■ -г- Пусть g элемент из С. Тогда его можно представить в виде конечного произведения из порождающих, т. е. д = ■ аг • ... • вг£, где е X, правую часть данного равенства мы будем называть словом и записывать V = ■■■ я5- В некоторых

случаях, если необходимо подчеркнуть связь между элементом д и представляющим его словом V (т. е. записью элемента д через образующие), мы будем писать = «| -а^ ' •••' Натуральное число з будем называть длиной слова и. Функция £ (и) определена на множестве всех слов и равна длине слова V. т. е. я для слова т, указанного выше. Единица

группы в будет представлена пустым словом, которое мы будем обозначать е. По определению, длина пустого слова равна 0.

Определение отношения порядка на множестве слов. Будем говорить, что слово меньше слова V и записывать это как и' < г?, если имеет место одно из следующих утверждений:

2. Если £лиО = Ь(у). тогда пусть и' = а1а2...ая

I 17 = Р^Р2 -Рш = «2=^2- - «к-1 = Рк-1-

< для некоторого 1 < к < е.