Моделирование топологии мультипроцессорной вычислительной системы на основе теории групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

Задача определения основной частоты колебаний сведена к вычислению безразмерного частотного параметра, величина которого зависит от упругих и геометрических характеристик пластины. Частотный параметр находится как минимальное собственное число матрицы третьего порядка. Выполнены расчеты основной частоты колебаний для изотропной и орто-тропной пластины, закрепленной в четырех углах.

Библиографические ссылки

1. Leissa A. W. Vibration of plates. Acoustical Society of America, 1993.

2. Blevins R. D. Formulas for natural frequency and mode shape. Krieger Publishing Company, 2001.

3. Vasiliev V. V. Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.

I. A. Lopatin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

DETERMINATION OF THE FUNDAMENAL FREQUENCY OF VIBRATION OF AN ORTHOTROPIC

PLATE FIXED AT THE CORNERS

The problem of determination of the fundamental frequency of vibration of a rectangular orthotropic plate fixed in corners is solved by the generalized Galerkin method.

© Лопатин И.А., 2012

УДК 512.54

А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОПОЛОГИИ МУЛЬТИПРОЦЕССОРНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ГРУПП

Предложен алгоритм для моделирования топологии мультипроцессорной вычислительной системы, основанный на построении группы подстановок в формате минимальных слов.

При разработке мультипроцессорной вычислительной системы - суперкомпьютера одним из важных вопросов становится проблема выбора оптимальной топологии для построения сетевой архитектуры. Эффективность любой сетевой топологии измеряется, в частности, числом шагов между узлами для передачи данных между наиболее удаленными в элементами в системе.

В [1] было предложено использовать теорию групп в качестве инструмента для моделирования сетевой инфраструктуры суперкомпьютеров. С тех пор это направление активно развивается.

Вычислительную систему можно представить в виде графа, где в роли вершин будут выступать процессоры. Две вершины графа будут соединены ребром, если соответствующие процессоры имеют прямое физическое соединение друг с другом. Пусть вычислительная система состоит из т процессоров, каждый из которых имеет уникальный порядковый номер от 1 до т. Обозначим а?! = ац = ,./¡0 - множество ребер графа. Значение диаметра Кэли графа будет равно максимальному кратчайшему пути между двумя вершинами.

В настоящей работе предложен алгоритм, позволяющий вычислить диаметр графа, посредством построения соответствующей графу группы. Пусть

С - группа, заданная множеством подстановок Х= „л^}, т. е. С— {X}. На множестве Я вве-

дем отношение порядка "<" (меньше): ■*2 < ■■■ -г- Пусть g элемент из С. Тогда его можно представить в виде конечного произведения из порождающих, т. е. д = ■ аг • ... • вг£, где е X, правую часть данного равенства мы будем называть словом и записывать V = ■■■ я5- В некоторых

случаях, если необходимо подчеркнуть связь между элементом д и представляющим его словом V (т. е. записью элемента д через образующие), мы будем писать = «| -а^ ' •••' Натуральное число з будем называть длиной слова и. Функция £ (и) определена на множестве всех слов и равна длине слова V. т. е. я для слова т, указанного выше. Единица

группы в будет представлена пустым словом, которое мы будем обозначать е. По определению, длина пустого слова равна 0.

Определение отношения порядка на множестве слов. Будем говорить, что слово меньше слова V и записывать это как и' < г?, если имеет место одно из следующих утверждений:

2. Если £лиО = Ь(у). тогда пусть и' = а1а2...ая

I 17 = Р^Р2 -Рш = «2=^2- - «к-1 = Рк-1-

< для некоторого 1 < к < е.

Решетневскце чтения

Определение минимального слова. Слово V будем называть минимальным в С относительно введенного порядка, если для любого другого слова удовлетворяющего условию да — будет выполняться V < и.'.

Пусть V = д 1 д 7 — Йг - слово в алфавите порождающих А'. Определим отображение / следующего вида:

/М = = а2 „.' а£ = (А- ¡2.....(1)

где = (¿1, ,,,1-п,") - некоторая подстановка. Процедура (1) дает возможность решить проблему равенства слов в С. На ее основе мы можем перечислить элементы С в формате минимальных слов. Вычислив количество слов на каждой длине, можно будет получить функцию роста группы, а максимально возможная длина минимальных слов будет являться диаметром графа Кэли группы.

Обозначим через Кх (С) множество всех минимальных слов группы С. не превосходящих по длине 5. Множество - элементы записанные в

виде правой части (1), т.е. в виде подстановок.

Пусть я о Е А/ - минимальное число, для которого выполняется К£а (С) — КЕп+1 (С). В этом случае я в будет являться диаметром графа Кэли группы С.

Опишем алгоритм, вычисляющий КЕ:

1. * = о, *о = И = м Т = %

2. *=« + 1. *г=*г_1 Г = хТИуТ, Т = 0.1=1

3. Для VI ё V V Если V ё то

I < \1/\, гпо 1 = 1 + 1,переход в пункт 3; I = И. то переход в пункт 5. то переход в 2:

то переход в пртмн д,

6. Диаметр С равен я, К/..С) - множество всех минимальных слов группы.

Завершение работы алгоритма.

4. Если

5. Если

ГГ = 0,1 1т = 0,,

Библиографические ссылки

1. Akers S. B., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks // Proc. of the Intern. Conf. on Parallel Processing, 1986. P. 216-223.

A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

MODELLING OF TOPOLOGY OF A MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEM BASED ON THE GROUP THEORY

An algorithm to model topology of a multiprocessor computing system based on construction of the permutation group in format of minimal words is presented.

© Кузнецов А.А., Кузнецова А.С., 2012

УДК 621.396.2

А. С. Просочкин

Филиал «Восход» Московского авиационного института (Национального исследовательского университета), Казахстан, Байконур

РАСЧЕТ ГРАНИЧНОЙ ЧАСТОТЫ СПЕКТРА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

Рассматривается задача определения граничной частоты спектра сплайнов, заданных в виде взвешенной суммы базисных функций, весовые коэффициенты которых вычисляются как взвешенная сумма произведений отсчетов исходного сигнала на соответствующие значения базисной функции. Приведен вывод формулы для расчета граничной частоты амплитудного спектра полиномиального сплайна произвольной степени.

В работе [1] показано, что восстановление сигнала, заданного дискретными отсчетами f = f (ti) на равномерной сетке времени 1, (i = 0, 1, ..., N; At,- = ti+i - ti = const), с помощью полиномиальных сплайнов произвольной степени m, представленных через базисные 5-сплайны, коэффициенты которых определяются в виде взвешенной суммы произведений отсчетов исходного сигнала на соответствующие значения 5-сплайнов, эквивалентно его низкочастотной фильтрации.

Спектр соответствующего сплайна описывается выражением

Ф

Sm (ю) = Ф(ю) •-•

d

в ('-1)

в0 + X Bd •k • cos (ю-d • k )

2 k=1

B d •l-q

-é + X Bn-cos(w-n) 2

(1)

где Ф(ю) - спектр исходного сигнала ft); l - число узлов 5-сплайна на половине его интервала носителя;

X