CC BY
19PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
13. Spasennikov V. V., Yerokhin D. V. Ekonomiko-psikhologicheskie printsipy i metody marketingovykh issle-dovaniy [Economic and psychological principles and methods of marketing research], Vestnik Bryanskogo gosudarstven-nogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Bryansk State Technical University], 2013, no. 1 (37), pp. 102-110.
14. Terstuon L. L. Psikhofizicheskiy analiz. Problemy i metody psikhofiziki [Psychophysical analysis. Problems and methods of psychophysics], Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ. House, 1974. 395 p.
15. Trostinskaya A. V., Fedorova N. I. Informatsionnaya podderzhka pri analize psikhologicheskikh pred-pochteniy zakazchika proektov [Information support in the analysis of the psychological preferences of the customer projects], Informatsionnye tekhnologii v upravlenii: materialy konferentsii (ITU- 2014) [Information Technologies in Management. Proceedings of the Conference (ITM - 2014)], 2014, pp. 146-148.
16. Cherednichenko V. A. Netraditsionnye metody otsenki deyatelnosti prepodavateley vuzov [Nontraditional methods of evaluation of university teachers], Innovatsionnoe razvitie - ot Shumpetera do nashikh dney: ekonomika i obrazovanie : sbornik nauchnykh statey po materialam Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Innovative Development - from Schumpeter to the Present Day: the Economy and Education. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference], 2015, pp. 455^159.
17. Cheremushnikova I. I., Vitun Ye. V., Petrosienko Ye. S., Notova S. V. Vozmozhnosti testa lyushera (8-tsvetovoy variant) v diagnostike kharakterologicheskikh i povedencheskikh osobennostey studentov s razlichnym urovnem fizicheskoy podgotovki [Features test Luscher (8-color option) in the diagnosis of character and behavioral characteristics of students with different levels of physical fitness], Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of the Orenburg State University], 2010, no. 12-1 (118-1), pp. 108-110.
18. Chernyakhovskaya L. R., Fedorova N. I., Vladimirova I. P. Informatsionnaya podderzhka prinyatiya resheniy na osnove ontologicheskogo analiza analiticheskikh modeley i metodov [Informational support of decision-making on the basis of ontological analysis of analytical models and methods], Informatsionnye tekhnologii intellektualnoy podderzhki prinyatiya resheniy : mezhvuzovskiy sbornik nauchnykh trudov [Information Technology Intellectual Support of Decision Making. Proceedings], Ufa, Ufa State Aviation Technical University Publ. House, 2014, vol. 3, pp. 96-99.
19. Yudin D. V., Kravets A. G. Sistema upravleniya kompetentsiyami s formirovaniem individualnykh profes-sionalnykh testov [Competence management system with the formation of individual professional test], Prikaspiyskiy zhur-nal: upravlenie i vysokie tekhnologii [Caspian Journal: Management and High Technologies], 2013, no. 4, pp. 176-183.
20. Averchenkov V. I., Gulakov V. K., Miroshnikov V. V., Potapov L. A., Spasennikov V. V., Trubakov A. O. Formation of the Color Palette for Content Based Image Retrieval Automated Systems. World Applied Sciences Journal 24 (Information Technologies in Modern Industry, Education & Socienty), no. 6, 2013, pp. 1-6.
21. Guilford J. P. Psychometric Methods, N. Y, Toronto, London, Mc-Grow-Hill Publ., 1954. 597 p.
22. Torgerson N. S. Theory and Method of scaling, N. Y., John Wiley and Sons Publ., 1958. 460 p.
23. Wejnert C., Heckathorn D. Web-based Network Sampling: Efficiency' and Efficacy of Respondent-driven Sampling for Online Research. Sociological Methods Research, 2008, vol. 37, pp. 105-134.
УДК 330.43, 339.743.44, 519.246.85
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
МОДЕЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ ВРЕМЕННОГО РЯДА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА
Статья поступила в редакцию 12.03.2016, в окончательном варианте 20.03.2016
Пилюгина Анна Валерьевна, кандидат экономических наук, доцент, Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, 105005, Российская Федерация, г. Москва, ул. 2-ая Бауманская, 5/1, e-mail: [email protected]
Бойко Андрей Алексеевич, аспирант, Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, 105005, Российская Федерация, г. Москва, ул. 2-ая Бауманская, 5/1, e-mail: [email protected]
Выполнен анализ процедуры экспоненциального сглаживания временного ряда с использованием моделей Брауна и Хантера. Поставлены задачи оптимизации следующих объектов: вида модели; параметра сглаживания а ; числа первых членов ряда, участвующих в формировании начального значения. В качестве исходных данных использован курс доллара США и единой европейской валюты к российскому рублю с 01 января 2009 г. по 31 декабря 2015 г. Помимо ежедневных значений были рассмотрены 3 производных временных ряда: среднемесячных значений; с отсутствующими значениями, замененными предыдущими значениями; с интерполированием отсутствующих значений по известным соседним значениям. В качестве критерия оптимизации использованы следующие объ-
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
екгы: квадрат средней квадратичной ошибки (MSE), средняя квадратичная ошибка (RMSE), средняя относительная ошибка прогноза (МАРЕ). Показано, что модель Хантера обеспечивает меньшую относительную ошибку прогноза. Оптимальным значением параметра сглаживания для этой модели в большинстве случаев является «1», а для формирования начального значения следует усреднить 10 первых членов ряда. Показана целесообразность поиска по сетке для определения оптимальных параметров модели экспоненциального сглаживания.
Ключевые слова: валютный курс, прогнозирование, временной ряд, экспоненциальное сглаживание, модель Брауна, модель Хантера, параметр сглаживания, поиск на сетке, квадрат средней квадратичной ошибки (MSE), средняя квадратичная ошибка (RMSE), средняя относительная ошибка прогноза (МАРЕ)
TIME SERIES EXPONENTIAL SMOOTHING OPTIMAL PARAMETERS FINDING FOR FORECASTING OF CURRENCY EXCHANGE RATE
Pilyugina Anna V., Ph.D. in Economics, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, 5/1, 2-ya Baumanskava St., Moscow, 105005, Russian Federation, e-mail: [email protected]
Boiko Andrey A., post-graduate student, Bauman Moscow State Technical University, 5/1, 2-ya Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russian Federation, e-mail: [email protected]
Time series exponential smoothing using R.G. Brown and J.S. Hunter models is analyzed. Optimization problems are formulated for following objects: type of exponential smoothing model; smoothing parameter a ; number of first time series cases for counting initial smoothed value. Time series of daily exchange rate of the US dollar and Euro to the Russian Federation rouble from 1st January 2009 to 31st December 2015 are used as bench-mark data. In addition to daily course time series three modified time series are considered. They are monthly average exchange rate, time series with missing values in which missing values are filled up with previous value and time series with missing values in which missing values are filled up with interpolated values using previous and following cases. As optimization criterion following objects are used: mean square error (MSE), root mean square error (RMSE), mean average percentage error (MAPE). It is shown that J.S. Hunter model provides smaller value of MAPE. For that model optimal smoothing parameter value is equal to 1 in most cases and initial smoothed value is equal to average of first ten cases of original time series. Grid search is considered as an optimum procedure for exponential smoothing optimal parameters finding.
Keywords: currency exchange rate, forecasting, time series, exponential smoothing, R.G. Brown model, J.S. Hunter model, smoothing parameter, grid search, mean square error (MSE), root mean square error (RMSE), mean average percentage error (MAPE)
Введение. Метод экспоненциального сглаживания был впервые описан Робертом Брауном в 1959 г. [17]. В настоящее время этот метод активно используется при построении эконометрических прогнозов [3, 6, 11-15]. Указанный метод рекомендуется использовать при построении среднесрочных прогнозов с периодом упреждения 3-6 отсчетов. К числу основных недостатков метода следует отнести невозможность оценивания доверительных интервалов, а значит и рисков, связанных с получением недостоверного прогноза. Таким образом, метод экспоненциального сглаживания позволяет получить только точечный, но не интервальный, прогноз. К достоинствам метода могут быть отнесены относительная простота как осуществления процедуры прогнозирования, так и интерпретации основных величин, используемых в методе (начального значения и параметра сглаживания), а также достаточно высокая точность прогноза, сопоставимая с другими методами. Несмотря на простоту метода, в литературе содержатся разные сведения по вопросам выбора модели прогнозирования и оптимальных параметров модели, обеспечивающих наименьшее значение ошибки прогнозирования. В настоящей работе предпринята попытка решения данной проблемы с помощью численного моделирования на реальных данных курса доллара США и единой европейской валюты по отношению к российскому рублю с 01 января 2009 г. по 31 декабря 2015 г. Эти данные были взяты с официального сайта Центрального банка Российской Федерации.
Общая характеристика методов исследования, применяемых в рассматриваемой предметной области. Экспоненциальное сглаживание принято считать одним из самых простых методов прогнозирования. Однако даже для такого, относительно простого, метода прогнозирования, сущест-
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
вует несколько вариантов как самой модели прогнозирования, так и выбора ее параметров. В дальнейшем изложении будем использовать следующие обозначения:
• у - исходный временной ряд (BP); уt - значение BP у в момент времени t;
• S - сглаженный (англ. - smoothed) BP; st - значение сглаженного BP S в момент времени t;
• f - BP, полученный в результате прогнозирования (англ. - forecasted);
• /, - значение BP f в момент времени /.
В соответствии с работой Брауна [17] (цит. по [21]), значение сглаженного BP S в момент времени t вычисляется по формуле:
st = a-yt+(l-a)-st_l,t>2, (1)
где ОС - параметр сглаживания, 0 < а < 1.
При этом в качестве прогнозного значения с упреждением в один период используется значение сглаженного BP st:
A i=v (2)
В работе Хантера [23] (цит. по [25]) значение сглаженного BP S в момент времени t вычисляется по формуле:
st=a-yt_l+^-a\st_l,t>2. (3)
В отличие от формулы (1), здесь для вычисления сглаженного значения в момент времени t используются исходное и сглаженное значения BP в момент времени t -1. При этом сглаженное значение может использоваться в качестве прогнозного значения в момент времени t:
fM=sM- (4)
В дальнейшем значения BP, полученные с использованием модели Брауна, будем обозначать с использованием надстрочного знака «(В)» (например, 1). а значения BP, полученные с использованием модели Хантера, - надстрочного знака «(Н)» (например, []''['). Сравним формулы, по которым вычисляются прогнозные значения в обеих моделях:
fV>=a-yt + {\-a)-st_x,t>2,
f^]=a-yt+{l-a)-stt>\.
Получается, что в модели Брауна для прогнозирования используется сглаженное значение, полученное на предыдущем шаге (в момент времени t -1), а в модели Хантера - сглаженное значение, полученное на текущем шаге (в момент времени t ). Следовательно, с использованием модели Брауна первое прогнозное значение может быть получено для значения времени t = 3 , т.е., для третьего отсчета, а с использованием модели Хантера - для значения времени t = 2 , т.е. уже для второго отсчета. Таким образом, даже для простого (или, как его часто называют, одинарного - в отличие от двойного и тройного) экспоненциального сглаживания возможно использование двух различных моделей. Возникает вопрос: какой из двух рассмотренных моделей целесообразно отдать предпочтение?
Следующий закономерно возникающий вопрос касается выбора параметра сглаживания а . Единого мнения по этому поводу нет, есть лишь отдельные рекомендации, носящие эмпирический характер. Так, Хантер предлагает использовать значения а из отрезка [0.2;0.3] [23] (цит. по [18]). В работе Гарднера [22] также предлагается использовать значение а , не превышающее 0,3 (цит. по [10]). Аналитики Kodak используют значение 0,38, a Ford Motors - 0,28 или 0,3. При этом, по данным A.B. Ро-манюка [9], значение 0.5 почти никогда не превышается. Однако в работе [9] показано, что при прогнозировании ряда, использованного для иллюстрации в работе Брауна, наилучшие результаты получаются при а = 0,9 (цит. по [5]). В [19, 20] рассмотрено прогнозирование на один шаг вперед стационарного процесса с автокорреляционной функцией вида:
г(т) = г/, (5)
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
где т - лаг; г (г) - значение автокорреляционной функции при лаге т ; /- =r(l) - значение автокорреляционной функции при лаге г = 1. При этом показано, что минимум среднего квадрата ошибки достигается при значении а , вычисляемом по формуле (цит. по [5]):
—-при 1/3 < к < 1,
«»= 2 - г, ' 1 '' (6)
[ Опри-1<гх <1/3.
Таким образом, второй вопрос, на который хотелось бы получить ответ, звучит следующим образом: какое значение параметра а является оптимальным?
На этом вопросы не заканчиваются. Понятно, что чем меньше значение постоянной сглаживания а , тем большую значимость приобретает выбор начальных условий экспоненциального сглаживания, иначе говоря - значения Sj в формулах (1) и (3). В работе [24] в качестве первого сглаженного значения предлагается использовать первое значение исходного BP (т.е., полагать, что = уг)
или использовать среднее арифметическое первых четырех или пяти значений ряда (т.е., полагать,
1 1
что = (1/4или .v, = (l/5)^ i';). Очевидно, что усреднять можно не только четыре или пять
<=-2 t=- 3
значений ряда, но и два или три. При этом рассмотренный вариант Sj = уг является частным случаем, когда в усреднении участвует только одно значение - первое. Тогда третий вопрос можно сформулировать так: какое количество предшествующих значений BP должно участвовать в усреднении? И следует ли ограничиться только пятью значениями или количество используемых предшествующих значений может быть увеличено? Ответ на этот вопрос во многом зависит от количества значений BP, которые доступны перед началом осуществления процедуры прогнозирования.
Наконец, необходимо решить, какую оценку качества модели прогнозирования (иначе говоря -ошибки прогнозирования) использовать для сравнения моделей между собой и выбора среди них оптимальной. Наиболее полный из встречавшихся авторам настоящей статьи обзоров был выполнен М.В. Щербаковым в работе [16]. Традиционно в работах, посвященных экспоненциальному сглаживанию, используется сумма квадратов ошибки (англ. Sum of Squared Errors), вычисляемая по формуле (7):
SSE = ±e?=±(yl-fiy, (7)
(=i (=i
где et - ошибка прогноза в момент времени t.
Очевидно, что данная оценка малопригодна для практического использования, поскольку зависит от количества отсчетов п в рассматриваемом BP и поэтому не может быть использована для сравнения результатов, получаемых с использованием рядов различной протяженности. В последнем случае целесообразно использовать квадрат средней квадратичной ошибки (англ. Mean Square Error, MSE):
= (8)
и <=1 и t=l
Основным недостатком данной оценки является ее зависимость от шкалы измерения. Иначе говоря, значение квадрата средней квадратичной ошибки, вычисленное для BP курса доллара США к российскому рублю и BP курса единой европейской валюты (евро) к российскому рублю будет различно из-за различия курсов (по состоянию на 23.01.2016 курс доллара США составлял 78,1390 руб. / $, а курс евро - 84,3000 руб. / €). Для преодоления этого недостатка совместно с MSE (или вместо нее) используется одна из процентных (относительных) ошибок прогнозирования. Чаще всего это средняя относительная ошибка прогноза (англ. Mean Absolute Percentage Error, МАРЕ):
млрЕЛ.у\У1^Л.шЖ.у\^Л. (9)
п ,=i у, п ,=1 у,
Другое часто встречающееся в литературе название средней относительной ошибки прогноза -средняя относительная ошибка прогнозирования (англ. Average Forecasting Error Rate, AFER) [2]. Таким образом, в данной работе будут использованы две оценки качества модели прогнозирования -
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
MSE и МАРЕ (AFER). Кроме того, совместно с MSE будет использована средняя квадратичная ошибка (англ. Root Mean Square Error, RMSE).
Характеристика данных, использованных для исследований. По традиции [8] в качестве исходного материала для исследований были использованы данные о курсе рубля к доллару США, устанавливаемые Центральным банком Российской Федерации. Кроме того, были использованы данные о курсе рубля к единой европейской валюте. Для обеих валют были взяты данные с 01.01.2009 по 31.12.2015. Общее количество отсчетов во BP равно 1 736. Распределение количества отсчетов по годам представлено в таблице 1.
Таблица 1
Распределение количества отсчетов BP с 2009 по 2015 г._
Год 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Количество дней 365 365 365 366 365 365 365
Количество отсчетов 249 249 249 249 246 247 247
Строго говоря, рассматриваемые ВР не являются равноотстоящими: курс не устанавливается Центральным банком в воскресенье и понедельник, а также в дни, следующие после праздничных. В то же время большинство методов, используемых для анализа, предназначены для анализа именно равноотстоящих ВР. Данная проблема может быть решена одним из четырех способов:
1) с использованием исходного ВР вычислить производный ВР - например, ряд среднемесячных значений валютного курса;
2) считать исходный ВР равноотстоящим, при этом отдельным отсчетам сопоставлять порядковый номер, а не дату;
3) дополнять отсутствующие значения предыдущими значениями ВР (как, фактически, и происходит на практике, поскольку курс, устанавливаемый Центральным банком в субботу, действует также в воскресенье и понедельник);
4) использовать линейную интерполяцию для вычисления недостающих значений ВР по известным соседним значениям.
В данной статье будут рассмотрены все четыре варианта. При этом в варианте 1 количество отсчетов составит 84, в варианте 2- 1 736, в вариантах 3 и 4 - 2 556. Ряд для среднемесячного курса доллара США к российскому рублю представлен в таблице 2, а среднемесячного курса евро - в таблице 3.
Таблица 2
Динамика среднемесячного валютного курса USD / RUB_
Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс,
месяц руб. месяц руб. месяц руб. месяц руб.
09-янв 32,4923 11-янв 29,9919 13-янв 30,2271 15-янв 65,1531
09-фев 35,8144 11-фев 29,3211 13-фев 30,1631 15-фев 64,5182
09-мар 34,6577 11-мар 28,4637 13-мар 30,8003 15-мар 60,3631
09-апр 33,5833 11-аир 28,0840 13-апр 31,3502 15-апр 53,2187
09-май 31,9948 11-май 27,9343 13-май 31,3059 15-май 50,4680
09-июн 31,0580 11-июн 27,9871 13-июн 32,3068 15-июн 54,4490
09-июл 31,5082 11-июл 27,9123 13-июл 32,7407 15-июл 57,1797
09-авг 31,6497 11-авг 28,7465 13-авг 33,0249 15-авг 65,4230
09-сен 30,8567 11-сен 30,5717 13-сен 32,6017 15-сен 66,7829
09-окт 29,4640 11-окт 31,3882 13-окт 32,0992 15-окт 63,2456
09-ноя 28,9035 11-ноя 30,8230 13-ноя 32,6940 15-ноя 65,0296
09-дек 29,9589 11-дек 31,4911 13-дек 32,8807 15-дек 69,7048
10-янв 29,8387 12-янв 31,2383 14-янв 33,7844 16-янв -
10-фев 30,1580 12-фев 29,8855 14-фев 35,2440 16-фев -
10-мар 29,5594 12-мар 29,3319 14-мар 36,1986 16-мар -
10-апр 29,1932 12-апр 29,4909 14-апр 35,6677 16-апр -
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс,
месяц руб. месяц руб. месяц руб. месяц руб.
10-май 30,4349 12-май 30,8044 14-май 34,8337 16-май -
10-июн 31,1743 12-июн 32,8784 14-июн 34,4495 16-июн -
10-июл 30,6791 12-июл 32,5251 14-июл 34,6354 16-июл -
10-авг 30,3510 12-авг 31,9568 14-авг 36,0984 16-авг -
10-сен 30,8119 12-сен 31,5177 14-сен 37,9018 16-сен -
10-окт 30,3228 12-окт 31,1157 14-окт 40,7987 16-окт -
10-ноя 30,9866 12-ноя 32,2527 14-ноя 46,2175 16-ноя -
10-дек 30,8577 12-дек 32,1568 14-дек 55,7704 16-дек -
Таблица 3
Динамика с реднемесячного валютного курса Е1Ш / ИИ В
Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс,
месяц руб. месяц руб. месяц руб. месяц руб.
09-янв 42,8510 11-янв 40,2219 13-янв 40,2749 15-янв 75,3377
09-фев 44,0488 11-фев 40,0105 13-фев 40,3752 15-фев 73,2950
09-мар 45,2465 11-мар 39,7989 13-мар 39,9356 15-мар 65,4129
09-апр 44,2798 11-апр 40,5525 13-апр 40,7799 15-апр 57,3572
09-май 43,5830 11-май 40,0165 13-май 40,5417 15-май 56,3063
09-июн 43,5307 11-июн 40,2633 13-июн 42,5948 15-июн 61,1039
09-июл 44,3557 11-июл 39,9074 13-июл 42,8130 15-июл 62,9885
09-авг 45,0949 11-авг 41,2173 13-авг 43,9693 15-авг 72,8399
09-сен 44,8710 11-сен 42,0696 13-сен 43,4832 15-сен 75,0396
09-окт 43,6406 11-окт 42,9218 13-окт 43,7477 15-окт 71,0406
09-ноя 43,1211 11-ноя 41,8654 13-ноя 44,1525 15-ноя 69,8765
09-дек 43,8362 11-дек 41,4942 13-дек 45,0286 15-дек 75,7851
10-янв 42,5738 12-янв 40,2722 14-янв 46,0588 16-янв -
10-фев 41,3068 12-фев 39,4822 14-фев 48,1064 16-фев -
10-мар 40,1300 12-мар 38,7875 14-мар 50,0314 16-мар -
10-апр 39,2297 12-апр 38,8145 14-апр 49,2408 16-апр -
10-май 38,2635 12-май 39,4412 14-май 47,8373 16-май -
10-июн 38,1090 12-июн 39,7291 14-июн 46,8631 16-июн -
10-июл 39,0718 12-июл 40,0169 14-июл 46,9568 16-июл -
10-авг 39,2135 12-авг 39,5707 14-авг 48,0993 16-авг -
10-сен 40,0930 12-сен 40,4635 14-сен 48,9781 16-сен -
10-окт 42,0855 12-окт 40,3385 14-окт 51,7555 16-окт -
10-ноя 42,3289 12-ноя 40,2933 14-ноя 57,6835 16-ноя -
10-дек 40,7821 12-дек 40,3133 14-дек 68,7635 16-дек -
В графической форме динамика среднемесячного валютного курса ШБ / 1ШВ показана на рисунке 1, а Е1Ж / 1ШВ - на рисунке 2.
В работе [7] было показано, что ВР среднемесячного курса доллара США к российскому рублю не является стационарным, даже в широком смысле. Кроме того, рассматриваемый ВР не является стационарным относительно линейного тренда. Следовательно, единственная возможность получения стационарного ВР - осуществление процедуры дифференцирования. Однократное применение данной процедуры позволяет получить слабо стационарный ВР первых разностей среднемесячного курса [7].
Естественно предположить, что среднемесячный курс единой европейской валюты (Евро) к российскому рублю, а также ежедневные курсы рассматриваемых валют обладают аналогичными свойствами. Поэтому в настоящей работе, помимо определения оптимальных параметров прогнозирования по методу экспоненциального сглаживания для исходных ВР, также определяются оптимальные параметры для первых разностей указанных рядов. Кроме того, определяются оптимальные параметры для модели прогнозирования, в которой прогнозное значение ВР вычисляется как сумма текущего значения ВР и его прогнозного приращения.
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
80 70 60 50 40 30 20 10
m I к
аз о
P- ^ c £
ra ¥
S- ^
С Q
ra ¥
аз о
S 1 с
? с; ra
Q- ^
е
9- ц га Р
= Ï ? Т
СМ СО со
р- ц
- с
га ¥
fe о
п 4 4
е- ц
° Q
га ¥
е- ц с я
га #
LO LO
LO
Рис. 1. Динамика среднемесячного валютного курса USD / RUB (руб. за 1 $) с января 2009 г. по декабрь 2015 г.
80
70
60
50
40
30
са I с:
аз аз о о
m I
ее
аз о
9- С
= С:
га g
m I
ЕС
h m а.
N 1 c
o cc ra
có r>
fe o
m i
GC
o
[
LO
Рис. 2. Динамика среднемесячного валютного курса EUR / RUB (руб. за 1 €) с января 2009 г. по декабрь 2015 г.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Таким образом, для проведения исследования используются:
• значения курсов двух валют к российскому рублю: доллара и евро;
• два метода экспоненциального сглаживания: Брауна и Хантера;
• три модели прогнозирования по методу экспоненциального сглаживания (исходный BP, первые разности BP, модель, использующая текущее значение BP и его прогнозное приращение);
• четыре вида BP (среднемесячные значения, исходные ежедневные значения, исходные ежедневные значения, в которых отсутствующие отсчеты в выходные дни дополнены предыдущими значениями, исходные ежедневные значения, в которых отсутствующие значения в выходные дни дополнены с использованием интерполяции по предыдущему и последующему значениям).
Общее количество рассматриваемых вариантов, таким образом, составит: 2><2><3 х4=48 . Для удобства последующего изложения указанным вариантам присвоены числовые обозначения, показанные в таблице 4 с использованием следующих обозначений: среднемесячный курс USD/RUB (СМК USD/RUB); ежедневный курс USD/RUB (ЕК USD/RUB); среднемесячный курс EUR/RUB (СМК EUR/RUB); ежедневный курс EUR / RUB (ЕК EUR/RUB)
Таблица 4
Числовые обозначения (шифры) для вариантов расчетов
Шифр Модель Содержание данных
1-1 Брауна СМК USD/RUB
1-2 Хантера СМК USD/RUB
1-3 Брауна ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
1-4 Хантера ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
1-5 Брауна ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
1-6 Хантера ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
1-7 Брауна ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
1-8 Хантера ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
2-1 Брауна СМК EUR/RUB
2-2 Хантера СМК EUR/RUB
2-3 Брауна ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
2-4 Хантера ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
2-5 Брауна ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
2-6 Хантера ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
2-7 Брауна ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
2-8 Хантера ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
3-1 Брауна Первые разности СМК USD/RUB
3-2 Хантера Первые разности СМК USD/RUB
3-3 Брауна Первые разности ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
3-4 Хантера Первые разности ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
3-5 Брауна Первые разности ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
3-6 Хантера Первые разности ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
3-7 Брауна Первые разности ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
3-8 Хантера Первые разности ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
4-1 Брауна Первые разности СМК EUR/RUB
4-2 Хантера Первые разности СМК EUR/RUB
4-3 Брауна Первые разности ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
4-4 Хантера Первые разности ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
Шифр Модель Содержание данных
4-5 Брауна Первые разности ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
4-6 Хантера Первые разности ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
4-7 Брауна Первые разности ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
4-8 Хантера Первые разности ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
5-1 Брауна Сложная модель прогнозирования СМК USD/RUB
5-2 Хантера Сложная модель прогнозирования СМК USD/RUB
5-3 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
5-4 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, без дополнения пропущенных значений
5-5 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
5-6 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
5-7 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
5-8 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК USD/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
6-1 Брауна Сложная модель прогнозирования СМК EUR/RUB
6-2 Хантера Сложная модель прогнозирования СМК EUR/RUB
6-3 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
6-4 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, без дополнения пропущенных значений
6-5 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
6-6 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, пропущенные значения дополнены предыдущими значениями
6-7 Брауна Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
6-8 Хантера Сложная модель прогнозирования ЕК EUR/RUB, пропущенные значения интерполированы по предыдущему и последующему значениям
Для каждого варианта методом поиска на двумерной сетке точек определены оптимальные значения параметра а , и значения ошибок, соответствующие оптимальным параметрам. В таблице 5 представлены следующие значения: для квадрата средней квадратичной ошибки (]УКЕ); для средней квадратичной ошибки (КУКЕ); для средней относительной ошибки прогноза (МАРЕ). Кроме того, для сравнения представлено значение средней относительной ошибки прогноза (МАРЕ), получаемое при осуществлении наивного прогноза. В каждой группе столбцов таблицы 5 представлено следующее: значение параметра а , обеспечивающего минимальное значение ошибки; количество значений ВР, участвующих в усреднении и формирующих значение .V, (начальное условие экспоненциального сглаживания); значение ошибки (М8Е, ИМ8Е. МАРЕ - в зависимости от столбца таблицы), соответствующее выбранным значениям а и . Число строк таблицы равно 48 - по количеству рассматриваемых вариантов (см. выше).
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии N° 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Таблица 5
Значения ошибок М8Е, КМ8Е, МАРЕ для различных вариантов исходных данных
и моделей прогнозирования
Вариант МЗЕ ЕШ8Е МАРЕ МАРЕ, %
а к МЖЕ, руб.2 а руб. а МАРЕ, %
1-1 1 1 5,67 1 1 2,38 1 1 3,15 3,15
1-2 1 3 5,60 1 3 2,37 1 3 3,11 3,15
1-3 0,97 10 0,33 0,97 10 0,57 1 1 0,68 0,68
1-4 0,97 4 0,33 0,97 4 0,57 1 4 0,68 0,68
1-5 0,98 1 0,22 0,98 1 0,47 1 1 0,46 0,46
1-6 0,98 1 0,22 0,98 1 0,47 1 1 0,46 0,46
1-7 0,98 10 0,18 0,98 10 0,42 1 1 0,46 0,46
1-8 0,98 3 0,18 0,98 3 0,42 1 3 0,46 0,46
2-1 1 1 7,01 1 1 2,65 1 1 2,78 2,78
2-2 1 3 6,93 1 3 2,63 1 3 2,74 2,78
2-3 0 9 0,48 0 9 0,69 1 0,61 0,61
2-4 0,98 2 0,48 0,98 2 0,69 1 2 0,61 0,61
2-5 0,98 1 0,32 0,98 1 0,57 1 1 0,42 0,42
2-6 0,98 1 0,32 0,98 1 0,57 1 1 0,42 0,42
2-7 0,99 10 0,27 0,99 10 0,52 1 1 0,42 0,42
2-8 0,99 3 0,27 0,99 3 0,52 1 3 0,42 0,42
3-1 1 1 4,92 1 1 2,22 0,02 7 99,55 184,48
3-2 1 2 4,86 1 2 2,20 0,02 7 99,70 184,48
3-3 0,02 10 0,33 0,02 10 0,58 0,02 10 171,36 880,14
3-4 0,02 10 0,33 0,02 10 0,58 0,02 10 171,27 880,14
3-5 0 1 0,22 0 1 0,47 0 1 67,87 -
3-6 0 1 0,22 0 1 0,47 0 1 67,84 -
3-7 0,01 1 0,18 0,01 1 0,42 0,01 1 153,18 593,64
3-8 0,01 1 0,18 0,01 1 0,42 0,01 1 153,12 593,64
4-1 1 1 6,77 1 1 2,60 0 10 99,93 224,16
4-2 1 2 6,68 1 2 2,59 0 10 99,90 224,16
4-3 0 3 0,48 0 3 0,69 0 3 104,86 461,26
4-4 0 3 0,48 0 3 0,69 0 3 104,85 461,26
4-5 0 1 0,32 0 1 0,57 0 1 67,93 -
4-6 0 1 0,32 0 1 0,57 0 1 67,90 -
4-7 0,01 1 0,27 0,01 1 0,52 0,01 1 117,66 363,25
4-8 0,01 1 0,27 0,01 1 0,52 0,01 1 117,62 363,25
5-1 1 1 4,92 1 1 2,22 0,05 10 3,09 3,15
5-2 1 2 4,86 1 2 2,20 0,87 2 3,06 3,15
5-3 0,02 10 0,33 0,02 10 0,58 0,05 10 0,68 0,68
5-4 0,02 10 0,33 0,02 10 0,58 0,05 10 0,68 0,68
5-5 0 1 0,22 0 1 0,47 0 1 0,46 0,46
5-6 0 1 0,22 0 1 0,47 0 1 0,46 0,46
5-7 0,01 1 0,18 0,01 1 0,42 0,01 3 0,46 0,46
5-8 0,01 1 0,18 0,01 1 0,42 0,01 3 0,46 0,46
6-1 1 1 6,77 1 1 2,60 0 10 2,78 2,78
6-2 1 2 6,68 1 2 2,59 0 10 2,77 2,78
6-3 0 3 0,48 0 3 0,69 0 3 0,61 0,61
6-4 0 3 0,48 0 3 0,69 0 3 0,61 0,61
6-5 0 1 0,32 0 1 0,57 0 1 0,42 0,42
6-6 0 1 0,32 0 1 0,57 0 1 0,42 0,42
6-7 0,01 1 0,27 0,01 1 0,52 0,01 6 0,42 0,42
6-8 0,01 1 0,27 0,01 1 0,52 0,01 6 0,42 0,42
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
Анализ данных таблицы 5 позволяет сделать следующие выводы.
1. Оптимальные значения а и .v,, обеспечивающие минимизацию MSE и RMSE, очевидно, совпадают (поскольку RAISE = -JMSE, [16]).
2. Оптимальные значения a if s . обеспечивающие минимизацию MSE и МАРЕ, совпадают
далеко не всегда. Более того, в ряде случаев, оптимальные значения а н s . полученные для MSE
и МАРЕ, различаются кардинально. Так, например, для варианта 5-1 для MSE aopt =1, s°pt =1,
а для МАРЕ а. "'" =0,05, $°р' =10. Это еще раз подчеркивает важность указания критерия (иначе говоря - оценки ошибки модели прогнозирования), с использованием которого осуществляется поиск оптимальных параметров а"*" и s°pt.
3. Модель Хантера в целом обеспечивает построение несколько более точных моделей, чем модель Брауна. Различие незначительное и не превышает нескольких копеек для RMSE и нескольких сотых процентных пункта для МАРЕ.
4. Оптимальные значения параметра сглаживания а не принадлежат интервалу, рекомендуемому Хантером [0,2;0,3]. Для исходного BP оптимальные значения параметра сглаживания et в большинстве случаев равны «1». С учетом того, что прогнозное значение по модели Хантера вычисляется по формуле fj"1 = а ■ у, + (l - а) ■ st, t > 1, при а = 1 имеем fj" ' =у т.е. для исходного BP наилучшие результаты получаются при использовании наивной модели прогнозирования. Для ряда первых разностей оптимальные значения параметра сглаживания а близки к нулю, т.е. для всех t имеем ' = st, что, фактически, означает, что всем значениям BP присваивается первоначальное сглаженное значение.
5. При таких условиях особую важность приобретает правильность выбора начального значения. По этой причине для ряда первых разностей используется достаточно большое количество начальных отсчетов BP для формирования первого сглаженного значения.
6. Перевод BP в разряд слабо стационарных с последующим использованием сложной модели прогнозирования далеко не всегда обеспечивает повышение точности прогнозов. Так, для среднемесячного курса USD/RUB переход к сложной модели прогнозирования обеспечивает снижение МАРЕ с 3,15 до 3,09 % для модели Брауна и с 3,11 до 3,06 % для модели Хантера. Таким образом, повышение точности прогнозирования по МАРЕ составляет от 0,05 до 0,06 процентных пункта. Для среднемесячного курса EUR/RUB переход к сложной модели с осуществлением экспоненциального сглаживания по модели Брауна не приводит к снижению значения МАРЕ, которое остается на уровне 2,78 %, а при использовании модели Хантера наблюдается рост погрешности МАРЕ с 2,74 до 2,77 %, т.е. на 0,03 процентных пункта. Таким образом, решение о целесообразности использования более сложной модели прогнозирования должно приниматься в каждом случае индивидуально.
7. Вопрос о соответствии оптимальных значений а значениям, вычисленным по формуле (6), требует нахождения автокорреляционной функции временных рядов, полученных из исходных
после взятия последовательных разностей. Значения f, автокорреляционной функции г(т ) при г = 1 представлены в таблице 6. В этой же таблице представлены теоретические оптимальные значения а , обеспечивающие минимум среднего квадрата ошибки, вычисленные по формуле (6), и практические оптимальные значения а , найденные в результате выполнения процедуры поиска на сетке.
Таблица 6
Теоретические и практические оптимальные значения а , обеспечивающие минимум среднего квадрата ошибки
Варианты 3-1, 3-3, 3-5, 3-7, 4-1, 4-3, 4-5, 4-7,
3-2 3-4 3-6 3-8 4-2 4-4 4-6 4-8
г\ 0,54 -0,04 -0,03 -0,02 0,49 -0,02 -0,02 -0,01
шеор. опт
0,16 0 0 0 0,11 0 0 0
цракт. " опт 1 0,02 0 0,01 1 0 0 0,01
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Анализ данных таблицы 6 позволяет сделать следующий вывод: в большинстве случае теоретические и практические значения ос. обеспечивающие минимум среднего квадрата ошибки, совпадают (с точностью до 0,01-0,02). Однако для рядов первых разностей среднемесячного курса доллара США и евро к российскому рублю несовпадение оказывается довольно существенным. В таблице 6 серым цветом фона выделены варианты, соответствующие наибольшему расхождению между теоретически и практически полученными значениями ос . Так, для курса доллара теоретическое оптимальное значение ос составляет 0,16, а практическое значение, полученное в результате поиска на сетке составляет «1» и соответствует, как и ранее, наивной модели. Для курса евро теоретическое оптимальное значение сс составляет 0.11, а практическое значение также составляет «1» и соответствует наивной модели. Это может быть объяснено малым количество членов производного ряда (83), а также неточным соответствием полученных автокорреляционных функций формуле (5). В любом случае, полученный результат доказывает целесообразность выполнения поиска по сетке для определения оптимальных параметров экспоненциального сглаживания в каждом конкретном случае.
8. Наибольшее снижение ошибки МАРЕ по сравнению с вариантом наивного прогнозирования (без учета ряда последовательных разностей курсов USD/RUB и EUR/RUB) наблюдается в вариантах 5-1 и 5-2 - с 3,15 до 3,09 % в варианте 5-1 и с 3,15 до 3,06 % в варианте 5-2. По данному критерию оптимальной следует признать модель прогнозирования, реализуемую в варианте 5-2 (сложная модель прогнозирования с использованием экспоненциального сглаживания по модели Хантера).
Выводы. Полученные результаты позволяют дать следующие ответы на поставленные в начале статьи вопросы.
1. При выборе между моделью Брауна и моделью Хантера предпочтение следует отдать модели Хантера.
2. Оптимальное значение параметра сглаживания ос в каждом случае должно определяться индивидуально путем выполнения поиска на сетке. Для рассматриваемых исходных данных без трансформации (преобразования) оптимальное значение параметра сглаживания ос равно «1», что соответствует построению наивного прогноза.
3. Для получения первого сглаженного значения в усреднении может участвовать различное число членов исходного ряда. Общая тенденция такова, что большее число членов ряда, участвующих в усреднении, обеспечивают меньшее значение ошибки прогнозирования.
4. Для сравнения различных моделей, построенных на одних и тех же данных, следует использовать квадрат средней квадратичной ошибки (MSE). В случае использования различных данных (как в настоящей работе) необходимо дополнительно использовать среднюю относительную ошибку прогноза (МАРЕ). В общем случае целесообразно совместное использование двух указанных оценок качества модели - MSE и МАРЕ.
Список литературы
1. Бокс Дж. Анализ временных рядов, прогноз и управление : пер. с англ. / Дж. Бокс, Г. Дженкинс ; под ред. В. Ф. Писаренко. - Москва : Мир, 1974. - Кн. 1. -406 с.
2. Демидова JL А. Подход к оценке моделей прогнозирования на основе строго бинарных деревьев и модифицированного алгоритма клонального отбора / JL А. Демидова // Бизнес-информатика. - 2015. - № 1. -С. 58 68.
3. Керенский А. М. Экспоненциальное сглаживание параметров BP при наличии тренда / А. М. Керенский // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). - 2011. - № 3^1 (27). - С. 219-223.
4. Кузнецов А. А. К вопросу о выборе констант в методах экспоненциального сглаживания при анализе временных рядов / А. А. Кузнецов, А. В. Журов // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М. Ф. Решетнева. - 2007. - № 3. - С. 76.
5. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов : учебное пособие / Ю. П. Лукашин. - Москва : Финансы и статистика, 2003. - 416 с.
6. Лысенко М. В., Лысенко Ю. В., Таипова Э. X. Прогнозирование финансово-экономических величин на основе статистического моделирования / М. В. Лысенко, Ю. В. Лысенко, Э. X. Таипова // Фундаментальные исследования. - 2014,— № 11-12. - С. 2692-2699.
7. Пилюгина А. В., Бойко А. А. Использование моделей ARIMA для прогнозирования валютного курса / А. В. Пилюгина, А. А. Бойко // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. - 2015. - № 4 (32). -С. 249-267.
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2016, 1 (33) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
8. Пилюгина А. В. Опыт использования аппарата нечетких множеств в прогнозировании валютного курса / А. В. Пилюгина, А. А. Бойко // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. - 2014. -№3(27).-С. 143-157.
9. Романюк А. В. Макроэкономическое планирование и прогнозирование : конспект лекций. - Режим доступа http://eco.tversu.ru/Doc/mep.pdf (дата обращения 23.01.2016), свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. рус.
10. Тарджуманян А. А. Прогнозирование по методам простого и двойного экспоненциального сглаживания / А. А. Тарджуманян // Молодежный научно-технический вестник Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана. - 2015. - № 3.
11. Фетисова И. С. Прогнозирование развития бизнес-процессов: основные этапы и модели / И. С. Фетисова // Вопросы региональной экономики. - 2014. - Т. 21, № 4. - С. 159-170.
12. Цыплаков А. А. Российская инфляция и неопределенность движения потребительских цен: подход на основе экспоненциального сглаживания / А. А. Цыплаков // Вестник Уральского федерального университета. Серия: Экономика и управление. - 2013. - № 1. - С. 112-122.
13. Шапранов А. В. Эконометрические модели прогнозирования ставки LIBOR / А. В. Шапранов // Государственный аудит. Право. Экономика. - 2013. - № 4. - С. 99-108.
14. ШвецЮ. А. Применение метода экспоненциального сглаживания для краткосрочного прогнозирования оборотных средств в деятельности предприятий машиностроения / Ю. А. Швец // Основы экономики, управления и права.-2013. - №5(11). -С. 139-145.
15. Шевченко И. В. Некоторые модели анализа и прогнозирования временных рядов / И. В. Шевченко // Системная информатика. - 2013. - № 2 (2). - С. 23^10.
16. Щербаков М. В., БребельсА., Щербакова Н. JL, Тюков А. П. Обзор оценок качества моделей прогнозирования / М. В. Щербаков, А. Бребельс, Н. JL Щербакова, А. П. Тюков. - Режим доступа: http://www. mtas.ru/bitrix/components/bitrix/forum.interface/show_file.php?fid=6450 (дата обращения 19.03.2016), свободный. -Заглавие с экрана. - Яз. рус.
17. Brown R. G. Statistical forecasting for inventory control / R. G. Brown. - New York : McGraw-Hill book company, 1959. -240 p.
18. Cizar P. Optimization Methods of EWMA Statistics / P. Cizar // Acta Polytechnica Hungarica. - 2011. -Vol. 8, №5.-P. 73-87.
19. Cohen G. D. A note on exponential smoothing and autocorrelated inputs / G. D. Cohen // Operations research. - 1963. - Vol. 11, № 3. - P. 361-367.
20. Cox D. R. Prediction by exponentially weighted moving averages and related methods / D. R. Cox // Journal of the Royal statistical society. - 1961. - Vol. 23, № 2. - P. 414^122.
21. EWMA Control Charts. - Режим доступа: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc324.htm (дата обращения 23.01.2016), свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. англ.
22. Gardner Е. S. Exponential smoothing: the state of the art / E. S. Gardner // Journal of forecasting. - 1985. -Vol. 4.-P. 1-28.
23. Hunter J. S. The exponentially weighted moving average / J. S. Hunter // Journal of quality technology. -1986. - Vol. 18, № 4. - P. 203-210.
24. Kalekar P. S. Time series forecasting using Holt-Winters exponential smoothing. - Режим доступа: http:/Aabs.omniti.com/people/jesus/papers/holtwinters.pdf (дата обращения 23.01.2016), свободный. - Заглавие с экрана. -Яз. англ.
25. Single exponential smoothing. - Режим доступа: http://www.iti.nistgov/div898/hmdbook/pmc/section4/pmc431.h1m (дата обращения 23.01.2016), свободный. - Заглавие с экрана. - Яз. англ.
References
1. Boks Dzh., Dzhenkins G. Analiz vremennykh ryadov. Prognoz i upravlenie [Time series analysis: forecasting and control], Moscow, Mir Publ., 1974. 406 p.
2. Demidova L. A. Podkhod к otsenke modeley prognozirovaniya na osnove strogo binarnykh derevev i modi-fitsirovannogo algoritma klonal 'nogo otbora [An approach to forecasting models estimation using strict binary trees and modified clonal selection algorithm], Biznes-informatika [Business Informatics], 2015, no. 1, pp. 58-68.
3. Kerensky A. M. Eksponentsialnoe sglazhivanie parametrov vremennogo ryada pri nalichii trenda [Exponential smoothing parameter time series in the presence of trend], Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo aerokos-micheskogo universiteta imeni akademika S. P. Korolyova (natsionalnogo issledovatelskogo universiteta) [Bulletin of the Samara State Aerospace University named after Academician S. P. Korolyov (National Research University)], 2011, no. 3^1 (27), pp. 219-223.
4. Kuznetsov A. A., Zhurov A. V. К voprosu о vybore konstant v metodakh eksponentsialnogo sglazhivaniya pri analize vremennykh ryadov [To the question of constants choice in methods of exponential smoothing in analysis of time series], Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta imeni akademika M. F. Reshetneva [Bulletin of the Siberian State Aerospace University named after Academician M.F. Reshetnev], 2007, no. 3, pp. 76.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (33) 2016 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
5. Lukashin Yu. P. Adaptivnye metody kratkosrochnogo prognozirovaniya vremennykh ryadov [Adaptive methods for short-term time series forecasting], Moscow, Finansy i statistika Publ., 2003. 416 p.
6. Lysenko M. V., Lysenko Yu. V., Taipova E. Kh. Prognozirovanie finansovo-ekonomicheskikh velichin na osnove statisticheskogo modelirovaniya [Prediction financial and economic quantities based on statistical modeling], Fundamen-talnye issledovaniya [Fundamental Research], 2014, no. 11-12, pp. 2692-2699.
7. Pilyugina A. V., Boiko A. A. Ispolzovanie modeley ARIA4A dlyaprognozirovaniya valyutnogo kursa [Using ARJMA models for forecasting of currency exchange rate], Prikaspiyskiy zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii [Caspian Journal: Management and High Technologies], 2015, no. 4 (32), pp. 249-267.
8. Pilyugina A. V., Boiko A. A. Opyt ispol'zovaniya apparata nechyotkikh mnozhestv v prognozirovanii valyutnogo kursa [Experience with using fuzzy sets in forecasting of currency exchange rate], Prikaspiyskiy zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii [Caspian Journal: Management and High Technologies], 2014, no. 3 (27), pp. 143-157.
9. RomanyukA. V. Makroekonomicheskoe planirovanie i prognozirovanie [Macroeconomic planning and forecasting]. Available at: http://eco.tversu.ru/Doc/mep.pdf (accessed 23.08.2016).
10. Tardzhumanyan A. A. Prognozirovanie po metodam prostogo i dvoynogo eksponentsialnogo sglazhivaniya [Forecasting using single and double exponential smoothing methods], Molodyozhnyy nauchno-tekhnicheskiy vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta imeni N. E. Baumana [Scientific and Technical Youth Bulletin of the Bauman Moscow State Technical University], 2015, no. 3.
11. Fetisoval. S. Prognozirovanie razvitiya biznes-protsessov: osnovnye etapy i modeli [Forecasting of development of business processes: the main stages and models], Voprosy regionalnoy ekonomiki [Regional Economics Matters], 2014, vol. 21, no. 4, pp. 159-170.
12. CyplakovA. A. Rossiyskaya inflyatsiya i neopredelennost dvizheniya potrebitelskikh tsen: podkhod na osnove eksponentsialnogo sglazhivaniya [Russian inflation and uncertainty of consumer prices movement: approach based of exponential leveling], Vestnik Uralskogo federalnogo universiteta. Seriya: Ekonomika i upravlenie [Ural Federal University Bulletin. Economics and Management Series], 2013, no. 1, pp. 112-122.
13. Shapranov A. V. Ekonometricheskie modeli prognozirovaniya stavki LIBOR [Econometric forecasting model on LIBOR], Gosudarstvennyy audit. Pravo. Ekonomika [Government Auditing. Law. Economics], 2013, no. 4, pp. 99-108.
14. Shvets Yu. A. Primenenie metoda eksponentsialnogo sglazhivaniya dlya kratkosrochnogo prognozirovaniya oborotnykh sredstv v deyatelnosti predpriyatiy mashinostroeniya [Application of method of exponential smoothing for short-term forecasting of circulating assets in the activity of enterprises of mechanical engineering], Osnovy ekonomiki, upravleniya iprava [The Fundamentals of Economics, Governance and Law], 2013, no. 5(11),pp. 139-145.
15. Shevchenko I. V. Nekotorye modeli analiza i prognozirovaniya vremennykh ryadov [Some models of time series analysis and prediction], Sistemnaya informatika [System Informatics], 2013, no. 2 (2), pp. 23^10.
16. Shcherbakov M. V., BrebelsA., Shcherbakova N. L., TyukovA. P. Obzor otsenok kachestva modeley prognozirovaniya [A Survey of forecast error measures]. Available at: http://www.mtas.ru/bitrix/components/bitrix/ fo-rum.interface/show_file.php?fid=6450 (accessed 19.03.2016).
17. Brown R. G. Statistical forecasting for inventory control, New York, McGraw-Hill book company Publ., 1959. 240 p.
18. Cizar P. Optimization Methods of EWMA Statistics. Acta Polytechnica Hungarica, 2011, vol. 8, no. 5, pp. 73-87.
19. Cohen G. D. A note on exponential smoothing and autocorrelated inputs. Operations research, 1963, vol. 11, no. 3, pp. 361-367.
20. Cox D. R. Prediction by exponentially weighted moving averages and related methods. Journal of the Royal statistical society, 1961, vol. 23, no. 2, pp. 414^122.
2X.EWMA Control Charts. Available at: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc324.htm (accessed 23.08.2016).
22. Gardner E. S. Exponential smoothing: the state of the art. Journal of forecasting, 1985, vol. 4, pp. 1-28.
23. Hunter J. S. The exponentially weighted moving average. Journal of quality technology, 1986, vol. 18, no. 4, pp. 203-210.
24. KalekarP. S. Time series forecasting using Holt-Winters exponential smoothing. Available at: http://labs. omniti.com/people/jesus/papers/holtwinters.pdf (accessed 23.08.2016).
25. Single exponential smoothing. Available at: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc431.htm (accessed 23.08.2016).
