CC BY
117ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
20. Savochkin, A.E. Primenenie nejrosetevogo podhoda pri proektirovanii informacionno-izmeritel'nyh sistem dlja opredelenija stepeni povrezhdenija tehnicheski slozhnyh ob"ektov [Application of neural network approach in the design of information-measuring systems to determine the extent of damage is technically complex objects] // Prikaspijskij zhurnal: upravlenie i vysokie tehnologii [Caspian Journal: management and high technology]. - 2013, № 2 (22), pp. 151-160.
21. Fedorov Ju.N. Osnovy postroenija APCS vzryvoopasnyh proizvodstv [Fundamentals of process control hazardous areas]. V 2-h tomah, torn 1 M.: Sinteg. 2006, 255 p.
22. Fedoseev V., Garmash A., Orlova I., Jekonomiko-matematicheskie metody i prikladnye modeli [Economic-mathematical methods and applied models], Izdatel'stvo: Jurajt 2013, 336 p.
23. Chow G.C. Tests of Equality between Sets of Coefficients in Two Linear Regressions Econometrics - 1960. - Vol. 28, №3. - pp. 79-86.
24. Fisher R. A. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. Royal Soc. London A 222, 1922, pp.309-368.
25. Gosset W. S., Tables for estimating the probability that the mean of a unique sample lies etc. Biometrika, 1917, vol. 11, pp. 414 - 417.
УДК 330.43, 339.743.44, 519.246.85
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ARIMA ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВАЛЮТНОГО КУРСА
Статья поступила в редакцию 05.10.2015 г., в окончательном варианте 13.11.2015 г.
Пилюгина Анна Валерьевна, кандидат экономических наук, доцент, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 105005, Российская Федерация, г. Москва, ул. 2-ая Бауманская, 5, стр. 1, e-mail: pilyuginaanna@mail.ru
Бойко Андрей Алексеевич, аспирант, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, 105005, Российская Федерация, г. Москва, ул. 2-ая Бауманская, 5, стр. 1, e-mail: boiko_andrew@mail.ru
Описаны модель ARIMA и методика ее применения для краткосрочного прогнозирования среднемесячного курса доллара США к российскому рублю. Приведена классификация временных рядов (BP) с точки зрения их стационарности. Описана процедура проверки BP на стационарность с помощью критерия Дики-Фуллера. Показано, что рассматриваемый BP среднемесячного валютного курса USD / RUB с января 2009 г. по август 2015 г. является «интегрированным первого порядка». Операция дифференцирования обращает среднемесячный курс в стационарный в широком смысле BP. Для определения порядка авторегрессии р и скользящего среднего С] использован оптимизационный поиск на сетке [0..5;0..5]. В качестве критерия оптимизации использованы байесовский информационный критерий (BIC) и информационный критерий Акаике (А К. По данным критериям оптимальной признана модель ARIMA^2,1,5). Кроме того, предложен алгоритм адаптивной идентификации модели с уточнением порядка р и величины q, а также соответствующих коэффициентов при поступлении каждого следующего отсчета. Однако оценка точности прогноза показала, что для минимизации средней относительной ошибки прогноза (маре) следует использовать самые простые модели - а именно ARIMA(1,1,0) и arima(0ДД).
Ключевые слова: валютный курс, прогнозирование, временной ряд, стационарный относительно детерминированного тренда ряд, стационарный относительно взятия разностей ряд, модель
ARIMA, байесовский информационный критерий (BIC), информационный критерий Акаике (AIC), средняя относительная ошибка прогноза (МАРЕ)
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
USING ARIMA MODELS FOR FORECASTING OF CURRENCY EXCHANGE RATE
Pilyugina Anna V., Ph.D. (Economics), Associate Professor, Moscow State Technical University named after Bauman, 5 (building 1) 2-ya Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russian Federation, e-mail: pilyuginaanna@mail.ru
Boy ко Andrey A., post-graduate student, Moscow State Technical University named after Bauman, 5 (building 1) 2-ya Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russian Federation, e-mail: boiko_andrew@mail. ru
ARIMA model and method of its implication for exchange rate of the US dollar to the Russian Federation rouble short-term forecasting are described. Time series classification from stationarity side is given. Procedure of time series stationarity checking using augmented Dickey-Fuller test is explained. It is shown that given time series of monthly average exchange rate of the US dollar to the Russian Federation rouble is an integrated time series of the first order. Differencing operation makes monthly average rate a weak stationary time series. For determining autoregression order p and moving average order q optimization mesh
[O. .5; 0. .5] search algorithm is used. Bayesian information criterion (BIC) and Akaike information criterion (AIC) are used as optimization criterions. Using these criterions an ARIMA^2,1,5) model was chosen. Additionally, an adaptive model identification algorithm was proposed with p and q orders and corresponding coefficients refining upon receipt of every new time series sample. However, forecast error estimation showed that for mean average percentage error (mape) minimization the simplest ARIMA models should be used, more specifically, ARIMA(1,1,0) and ARIMA(0,1,l) models.
Keywords: currency exchange rate, forecasting, time series, trend stationary time series, difference stationary time series, ARIMA model, Bayesian information criterion (BIC), Akaike information criterion (AIC), mean average percentage error (MAPE)
Введение. Одним из наиболее распространенных адаптивных методов прогнозирования является модель ARIMA. Однако для применения данной модели при прогнозировании валютного курса существует серьезное препятствие: нестационарность данного используемых временных рядов (BP). Поэтому целями данной работы были следующие: рассмотрение возможных методов приведения рассматриваемых BP к классу стационарных; подбор оптимальной модели для осуществления процедуры прогнозирования с периодом упреждения (горизонтом прогнозирования) в один месяц.
Общая характеристика методов исследования, применяемых в предметной области. В настоящее время для прогнозирования BP широко используется расширенная модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПССР; англ. Autoregression integrated moving average extended, ARIMAX) [12, c. 19; 17, c. 2486; 25, c. 32]. Для решения задачи прогнозирования, как правило, принято рассматривать стационарные BP [12, с. 20; 14, с. 272]. Причину такого подхода объясняет Г.Г. Канторович: «Если процесс ведет себя так, что его основные статистические характеристики со временем меняются, то мы по короткому кусочку наших наблюдений вообще ничего не сможем сказать о нем» [6, с. 89]. Выделяют два типа стационарности: строгая стационарность; слабая стационарность.
Ряд yt называется строго стационарным (стационарным в узком смысле, англ.
Strictly stationary), если совместное распределение вероятностей п наблюдений yt yt ,yt такое же, какидля п наблюдений yt yt ,...,yt гдля любых значений /7,г,.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии N° 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Ряд уt называется слабо стационарным (стационарным в широком смысле, англ,
weak stationary), если его теоретические значения для математического ожидания и дисперсии не зависят от времени, и если теоретическая ковариация между его значениями в моменты времени t м t + т зависят только от г . но не от /:
!\у) = p<m. Var(y)= у, < оо, Cov{ynyt+I)= ут< оо, (1)
Именно понятие слабой стационарности (стационарности в широком смысле) чаще всего используется на практике. Таким образом, для слабой стационарности ряда yt необходимо, чтобы его математическое ожидание, дисперсия и ковариация не зависели от момента времени t. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ряд является нестационарным.
Среди нестационарных BP практический интерес представляют два класса рядов [7, с. 268]: стационарные относительно детерминированного тренда (TS-ряды; англ. TS -trend stationary); стационарные относительно взятия разностей (DS-ряды; англ. DS - difference stationary).
Ряды, относящиеся к первому классу, приводятся к стационарным с использованием операции детрендирования («исключения тренда»), а ряды, относящиеся ко второму классу -с помощью операции дифференцирования. Таким образом, с точки зрения практического использования целесообразна следующая классификация BP (рис. 1).
Рис. 1. Классификация BP
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
После проведения операции «остационаривания» для прогнозирования ВР может использоваться построение модели АЫМА с использованием подхода Бокса-Дженкинса. При этом возможны три варианта: (1) выбор одной оптимальной модели с использованием заданного критерия (о критериях - см. далее); (2) формирование набора из нескольких оптимальных моделей [7, с. 260; 24, с. 127]; (3) выбор оптимальной модели при каждом поступлении новых данных (отсчетов). Достаточно разработанным является первый вариант, в несколько меньшей мере - второй. Третий вариант в литературе не рассматривается, поэтому он и будет проанализирован в настоящей работе.
Характеристика материала, использованного для исследований. Как и ранее [11, с. 147] в качестве материала для исследований были использованы данные о курсе рубля по отношению к доллару, устанавливаемые Центральным банком Российской Федерации. Однако продолжительность анализируемого периода была увеличена - использовались данные с 11.01.2009 по 31.08.2015. Так же, как и ранее, осуществлялось вычисление среднемесячного курса доллара США. Причина выбора временного интервала длительностью в один месяц рассмотрена в [11, с. 147]. Массив анализируемых данных представлен в таблице (табл. 1) и на рисунке 2.
Таблица 1
Динамика среднемесячного валютного курса USD / RUB
Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс, Год и Курс,
месяц руб. месяц руб. месяц руб. месяц руб.
09-янв 32,4923 11-янв 29,9919 13-янв 30,2271 15-янв 65,1531
09-фев 35,8144 11-фев 29,3211 13-фев 30,1631 15-фев 64,5182
09-мар 34,6577 11-мар 28,4637 13-мар 30,8003 15-мар 60,3631
09-апр 33,5833 11-апр 28,0840 13-апр 31,3502 15-апр 53,2187
09-май 31,9948 11-май 27,9343 13-май 31,3059 15-май 50,4680
09-июн 31,0580 11-июн 27,9871 13-июн 32,3068 15-июн 54,4490
09-июл 31,5082 11-июл 27,9123 13-июл 32,7407 15-июл 57,1797
09-авг 31,6497 11-авг 28,7465 13-авг 33,0249 15-авг 64,7469
09-сен 30,8567 11-сен 30,5717 13-сен 32,6017 15-сен -
09-окт 29,4640 11-окт 31,3882 13-окт 32,0992 15-окт -
09-ноя 28,9035 11-ноя 30,8230 13-ноя 32,694 15-ноя -
09-дек 29,9589 11-дек 31,4911 13-дек 32,8807 15-дек -
10-янв 29,8387 12-янв 31,2383 14-янв 33,7844 16-янв -
10-фев 30,1580 12-фев 29,8855 14-фев 35,2440 16-фев -
10-мар 29,5594 12-мар 29,3319 14-мар 36,1986 16-мар -
10-апр 29,1932 12-апр 29,4909 14-апр 35,6677 16-апр -
10-май 30,4349 12-май 30,8044 14-май 34,8337 16-май -
10-июн 31,1743 12-июн 32,8784 14-июн 34,4495 16-июн -
10-июл 30,6791 12-июл 32,5251 14-июл 34,6354 16-июл -
10-авг 30,3510 12-авг 31,9568 14-авг 36,0984 16-авг -
10-сен 30,8119 12-сен 31,5177 14-сен 37,9018 16-сен -
10-окт 30,3228 12-окт 31,1157 14-окт 40,7987 16-окт -
10-ноя 30,9866 12-ноя 32,2527 14-ноя 46,2175 16-ноя -
10-дек 30,8577 12-дек 32,1568 14-дек 55,7704 16-дек -
В соответствии с [15, с. 7], «тренд или тенденция fit), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Он описывается с помощью некоторой неслучайной функции fit), где t - время». Очевидно, что среднемесячный валютный курс USD / RUB демонстрирует восходящий тренд. Таким образом, не выполняется одно из условий слабой стационарности BP - математическое ожидание оказывается зависящим от времени.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
80 70 60 50 40 30 20
in Q. h m Q. ь т Q. ь m Q. ь m а.
I a; n ro 2 x X о ■ X cc С ГО 9 X J- 0 1 X а; С ГО 2 X X 0 1 X к С ГО 2 X X 0 1 X а; с го
Ol О Ol о 01 о 01 о о H о н 1 о и о гН гЧ !"1 t4 н 1 тЧ И (N Н (N Н 1 (S И (N тЧ ГО н го н
5 £ СО О.
2 X о X т 1 С ГО 2 X
■ го и го тЧ н iH 1 t
о
4
% i
Я 2
Рис. 2. Динамика среднемесячного валютного курса USD / RUB (руб. за 1$) с января 2009 г. по август 2015 г.
Для проверки BP на стационарность в системе MATLAB используется расширенный тест Дики - Фуллера (англ. ADF - Augmented Dickey-Fuller test), реализованный в виде функции adf test. Синтаксис, используемый для вызова данной функции, представлен ниже: [h, pValue, stat, cValue, reg] = ...
adf test (y, 'model' , { 'AR' , ' ARD' , ' TS' } ) [ [21].
В качестве нулевой гипотезы в тесте Дики-Фуллера рассматривается наличие единичного корня в одномерном BP у [20, с. 175]. Во всех вариантах теста используется модель:
У, =c + dxt + axytч +ЬХ х(l-Z)х$t_x + Ъ2 x(l-L)xyt^ +... + bp x(l-L)xyt_p +st, (2) где L - оператор сдвига, L \yt] = ytl.
Наличие единичного корня соответствует равенству а = 1.
Параметр 'model' представляет собой строку или массив строк, обозначающих тип модели. Параметр 'model' может принимать следующие значения: 'AR' (англ. autoregres-sive - авторегрессионная модель); ' ARD' (англ. autoregressive with drift - авторегрессионная модель со смещением); 'TS' (англ. trend stationary - модель BP, стационарного относительного детерминированного тренда).
Если параметр 'model' принимает значение 'AR', то в качестве нулевой гипотезы рассматривается модель, описываемая формулой , (2), в которой параметры cud принимаются равными нулю, т.е.:
yt =У,-1 +Ъ1 x(l-£)x>Vi +b2 x(l-L)xyt_2 +... + bpx{\-L)xyt_p +st. (3)
В качестве альтернативной гипотезы рассматривается модель (4): У, =ахУг-1 +bi +b2x(\-L)xyt_2+... + bp-{\-L)xyt_p +et, (4)
где ci < 1. Если параметр 'model' принимает значение 'ARD', то в качестве нулевой гипотезы также рассматривается модель, описываемая формулой (2), в которой параметры с и d принимаются равными нулю (формула(З)), а в качестве альтернативной гипотезы рассматривается модель (5):
yt =c + axytч +Ъг x(l-X)x^4 +b2x{\-L)xyt^ +... + bp x(l-L)xyt_p +st, (5)
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS
AND PROGRAM SYSTEMS _
где a < 1. Наконец, если параметр Л mo del' принимает значение 1 'Г S '. то в качестве нулевой гипотезы рассматривается модель, описываемая формулой (2), в которой только один параметр ( d ) принимается равным нулю, т.е.:
У, =с + У,-1 +Ьг x(l~L)xyt_, +l3x(l-l)xj,_, + ... + bpx(\-L)xyt_p +st. (6)
В качестве альтернативной гипотезы рассматривается модель (7): yt =c + dxt + ax ytl +bx « (1 /,) « у. + b2x{{-b)xyt_2+ ... + bpx{\-b)xyt_p +st, (7)
где a < 1. Синтаксис, описанный выше, позволяет проводить одновременную проверку всех описанных моделей. Если возвращаемое значение функции равно «О», то это значит, что нулевая гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута при данном уровне значимости. Значение функции, равное «1», свидетельствует о том, что нулевая гипотеза может быть отвергнута в пользу альтернативной гипотезы, а рассматриваемый BP является стационарным.
Применение функции adf test к BP, представленному в тТаблица , дает результат ¡ОО О], т.е., ни одна из альтернативных гипотез не может быть принята, a BP является нестационарным. Кроме того, BP не является стационарным относительно линейного тренда / (/) с ■ cl• I. т.е. не относится к классу TS-рядов. Следовательно, процедура детрендиро-вания (в рассматриваемом случае - удаления линейного тренда) не приведет к получению стационарного ряда.
В этом случае необходимо выполнить дифференцирование BP, иначе говоря - перейти от ряда уровней yt к ряду разностей [8, с. 819; 9, с. 436; 12, с. 20].
Ayt=yt-y,-i- (8)
Дифференцирование временного ряда в MATLAB осуществляется с помощью функции dif f. Синтаксис вызова функции
dy = diff(y).
Полученный после выполнения дифференцирования массив данных представлен на рисунке 3.
12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0
И ' ,1 ■|,||,.'|| "И,1. ,|М,м- , " " I ■ ■ , , " - I I I , -II ,
4 J 2 Ä? 2 <2 S ^ //// AÂA
. .Ol n.-4 -A .Cl (Y r.'4 .G .V V i^"4 .V Л, „1, .t> .V rt.-4 Л .t» . Ь. [ч „ fc
.III . .11 I,. i.lll
л jr t- ъ jî ,4- J:- . „n? jr _>> _j" _ny JF .л> , ;
2S & Ж & V 4° ^ \> V- V & Ф V= О о ^ W ^ ❖ V
Рис. 3. Динамика разности среднемесячного валютного курса USD / RUB (руб. за 1$)
с февраля 2009 г. по август 2015 г.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Применение функции adftest к полученному BP (значения dy) дает результат [ill], т.е. нулевая гипотеза отвергается во всех трех случаях. Следовательно, после однократного дифференцирования ряд становится стационарным даже без применения дополнительных процедур детрендирования. Поэтому исходный BP является интегрированным порядка 1 [1, с. 13; 9, с. 439]. «Остационаривание» BP входит в состав 1-го этапа стандартного подхода Бокса и Дженкинса к построению модели ARIMA [2; 6, с. 11; 9, с. 340]. В общем случае построение модели ARIMA включает три этапа [9, с. 340; 22, с. 57]: идентификация модели; оценивание модели; диагностика модели.
Помимо установления порядка интеграции d на этапе идентификации осуществляется выбор порядка авторегрессии р и скользящего среднего q на основе анализа автокорреляционной функции (англ. ACF - autocorrelation function) и частной автокорреляционной функции (англ. PACF - partial autocorrelation function) [3, с. 54].
Бокс и Дженкинс приводят следующие рекомендации по вычислению значений автокорреляционной функции [2, с. 49]: «На практике для получения полезной оценки автокорреляционной функции нам нужно по меньшей мере 50 наблюдений, и выборочные автокорреляции гк должны быть вычислены для к = 0,, где К не больше чем примерно
N/4». В нашем случае общее количество наблюдений равно 80 (табл. 1). Следовательно, выборочные автокорреляции должны быть вычислены для 20 значений сдвига, что соответствует значению по умолчанию соответствующей функции MATLAB для вычисления автокорреляции autocorr.
Значения выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций ряда dy представлены в таблице 2 и на рисунке 4.
Таблица 2
Значения выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций
ряда ф {к = 0,1,...,20)
к ACF PACF к ACF PACF
0 1 1 - - -
1 0,5642 0,6438 11 0,1106 0,0498
2 0,1028 -0,4581 12 0,0441 0,2122
3 -0,3189 -0,3030 13 -0,0484 0,0111
4 -0,4218 -0,1198 14 -0,0815 -0,1429
5 -0,1740 0,2840 15 -0,0564 0,0803
6 -0,0093 -0,3488 16 -0,0011 0,3918
7 0,1499 0,3626 17 0,0423 -0,0012
8 0,1536 0,1979 18 0,0724 0,4219
9 0,1542 0,5478 19 0,0734 0,2520
10 0,1680 0,1376 20 0,0134 -0,1014
Анализ графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций не позволяет непосредственно определить порядок авторегрессии р и порядок скользящего среднего q. Тем не менее, осциллирующее затухание автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о том, что «остационаривание» ВР было выполнено успешно, и в дальнейшем дифференцировании нет необходимости. Непосредственно определить порядок р
и в модели на данном этапе невозможно. Поэтому рассмотрим все воз-
можные комбинации моделей с 0 < р < 5, d = 1 и 0 < с/ < 5. Общее количество рассматриваемых моделей, таким образом, составит 36. При этом сравнение построенных моделей будем выполнять с помощью широко используемых информационных критериев Акаике
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
и Шварца [7, с. 255; 19, с. 503]. Информационный критерий Акаике (англ. AIC - Akaike information criterion) вычисляют по формуле [7, с. 255]:
AIC{p,q) = \nô2 + 2x(p + q)/N, (9)
где N - как и ранее, число наблюдений (для разности курса число наблюдений составляет 79);
â2 =RSS/(N-p-q). (10)
о,s
Э 1 1 Mill.. . ... 2 I 1 1 6 7 8 9 10 11 12 В Ä ?5 16 17 18 19 20
-0,6
I
III 1.1 . Ir
О 1 1 7 8 Í 10 11 12 13 Щ, 15 16 17 18 19 А
Г '
б)
Рис. 4. Автокорреляционная функция (а) и частная автокорреляционная функция (б) разности среднемесячного валютного курса USD / RUB с февраля 2009 г. по август 2015 г. Линией красного цвета на графиках показаны нижняя и верхняя границы доверительного интервала. В этих границах с вероятностью, близкой к 0,95, должно заключаться при к > 0 значение ACF(k), если yt - белый шум, и при к > р значение PACI' (k). если yt ~ АК{р)
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии N° 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Информационный критерий Шварца, называемый также байесовским информационным критерием (англ. BIC - Bayesian information criterion, иногда SC - Schwarz Criterion) вычисляют по формуле [7, с. 255]:
В/С(р„ q) = ln â2 + In Ж x (p + q)lN. (11)
При этом RSS (англ. Residual sum of squares, остаточная сумма квадратов) вычисляют по формуле (12) [16, с. 2]:
N е . N ,
(12)
7=1
7=1
где у( - значение ВР в момент времени /; ^ ' - прогнозное значение в момент времени /,
полученное в результате использования исследуемой модели прогнозирования.
Таким образом, итоговые формулы для вычисления информационных критериев Акаике и Шварца выглядят следующим образом (13), (14):
AIC(p,q) = ln BIC(p,q) = ln
N , .
ii{N-p-q)xYk>t-flm])
7 = 1
N , . "
1AN-p-qhT^-f^I
+ 2 x{p + q)lN, (13)
+ ln Nx(p + q)iN. (14)
Следует отметить, что рассматриваемые критерии построены похожим образом: «логарифмы остаточной суммы квадратов плюс штраф за уменьшение числа степеней свободы» [7, с. 255]. Поскольку, как правило, N велико, то 1п /V > 2 . Следовательно, критерий Шварца сильнее «штрафует» за чрезмерный порядок модели АРПСС р и q . В настоящей работе используются оба критерия с последующим анализом полученных результатов. Полученные значения критериев представлены в таблицах 3 и 4.
Значения критерия Акаике (AIC) для р = 0... 5 и q = 0... 5
Таблица 3
ч 0 1 2 3 4 5
р
0 0 319,1048 312,8015 304,2149 301,8249 302,6653
1 320,1056 314,4493 311,4084 295,5409 300,0802 301,4090
2 303,2342 299,2357 299,6651 300,5828 299,7034 285,1429
3 299,4319 300,4940 301,6266 295,4293 296,4579 287.1410
4 300,6652 291,0595 293,5917 295,3038 297,2402 285,7893
5 297,5154 292,0229 293,5215 293,2083 290,8323 293,1806
Таблица 4 Значения критерия Шварца (/>'/( ) для р 0... 5 и q 0... 5
Ч 0 1 2 3 4 5
Р
0 - 321,4742 317,5404 311,3233 311,3027 314,5125
1 322,4750 319,1882 318,5168 305,0187 311,9275 315,6257
2 307,9731 306,3440 309,1429 312,4301 313,9201 301,7290
3 306,5403 309,9718 313,4738 309,6460 313,0440 306,0966
4 310,1430 302,9068 307,8084 311,8899 316,1958 307,1143
5 309,3626 306,2396 310,1077 312,1639 312,1573 316,8751
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS
AND PROGRAM SYSTEMS _
Анализируя таблицы 3 и 4 можно сделать следующие выводы. (1) Оба информационных критерия дают одинаковый результат, но оптимальной с точки зрения минимизации информационных критериев является модель АШМА(Т.,\,5) . (2) Для выбранной модели значение критерия AIC меньше значения критерия BIC, что подтверждает высказанное ранее суждение о характере учета дополнительных параметров данными критериями.
Следует отметить, что вычисление критериев AIC и BIC в MATLAB осуществляется по формулам, несколько отличающимся от приведенных выше, а именно по(15)и(16):
AIC(p, q) = ~2 х LLF + 2 х NumParam , (15)
BIC(p, q) = -2 х LLF + ln (NumObs) x NumParam , (16)
где LLF - логарифмическая функция правдоподобия; NumParam - число параметров модели - в MATLAB оно определяется как NumParam = length(lnfo.X) (см. фрагмент кода); NumObs - число наблюдений.
Фрагмент программного кода в MATLAB для вычисления AIC и BIC на заданной сетке значенийр = 0...5 и q = 0...5 представлен ниже.
AIC = zeros(6,6);
BIC = zeros(6,6);
for p = 0:1:5
for q = 0:1:5
Mdl = arima(p,0,q);
[EstMdl, logL, info] = ...
estimate(Mdl,dY,'print',false); NumParam = length(info.X);
[aic,bic] = aicbic(logL,NumParam,size(dY,1)); AIC(p+1,q+1) = aic; BIC(p+1,q+1) = bic;
end
end
В рассматриваемом подходе выбирается одна модель (наилучшая). Однако, возможны еще, как минимум, два подхода. Один из них рассмотрен в [7, с. 260]: «Если мы можем один и тот же процесс записать моделями достаточно близкими по характеристикам, то будем формировать так называемый портфель моделей (набирать группу моделей)». В качестве меры близости моделей в [24, с. 127] предложено использовать величину R, вычисляемую по формуле:
R = ехр{-1/2 х Г х [А1С{рх ,</,)-AIC{p, q)}). (17)
где {р], q]) - параметры наилучшей модели по одному из критериев AIC или BIC (в данном случае, в формуле (17), по критерию AIC); ip,q) - параметры модели, которая анализируется на предмет возможности включения в портфель.
Модель может быть включена в портфель, если 1 < R < л/Го [24, с. 127].
Но возможен и второй подход: определять оптимальную по одному из критериев (AIC или В 1С) модель; выполнять краткосрочное прогнозирование с периодом упреждения в один месяц, а при поступлении новых данных проводить повторный выбор оптимальной модели и использовать уже ее для прогнозирования на следующий месяц. В настоящей работе будет рассмотрен именно этот подход. Для этого, как и ранее, будем использовать данные о среднемесячном курсе доллара США к российскому рублю (табл. 1).
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
При этом первые 12 значений фактически будут использованы для определения параметров первой модели, используемой для получения первого прогнозного значения (для 13-го месяца, т.е. января 2010 г.).
Количество значений, используемых для определения параметров, определяется как сумма порядка авторегрессии АН , интеграции / и скользящего среднего МА , увеличенная на единицу:
®ш ЫитОЬн = шах АН + шах / + тах Л /,-! + 1 = 5 + 1 + 5 + 1 = 12. Соответственно, количество значений ВР должно быть в этом случае не менее 13.
На графиках, приводимых ниже (рис. 5) представлено следующее: исходный ВР (отсчеты 1-80); ВР, полученный в результате применения описанной процедуры прогнозирования (отсчеты 13-80); нижняя и верхняя границы доверительного интервала для прогнозного ВР (отсчеты 13-80).
Предварительный анализ полученных данных позволяет сделать следующий вывод: из 68 действительных значений 5 оказываются меньше нижней границы доверительного интервала; 17 - больше верхней границы доверительного интервала; 46 - в пределах доверительного интервала.
80
^^■Действительные АЖМА--Нижняя -Верхняя
значения (рДд) граница граница
доверительного доверительного
интервала интервала
Рис. 5. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модель АШМА(рХч))
Таким образом, разработанная модель обнаруживает склонность к занижению прогнозных значений. Отчасти это связано со скачкообразными изменениями курса доллара США к российскому рублю начиная с ноября 2014 г.
Средняя относительная ошибка прогноза, вычисленная по 68 значениям (отсчеты 13-80), составляет 3,20 %.
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
В статье, посвященной прогнозированию с использованием нечетких множеств [11, с. 155] при прогнозировании 15 значений (с октября 2011 г. по декабрь 2012 г.) было получено значение средней относительной ошибки прогноза, равное 2,43 %. Проведем численный эксперимент и определим значения средней относительной ошибки прогноза, получающиеся при использовании рассматриваемого в настоящей статье метода, для следующих вариантов. (1) Анализируются отсчеты 1-48. При этом первые 12 отсчетов используются для определения параметров первой модели. Отсчеты 13-33 прогнозируются, но не учитываются при подсчете средней относительной ошибки прогноза, и фактически используются для адаптации модели. Отсчеты 34-48 прогнозируются и учитываются при подсчете ошибки. (2) Анализируются отсчеты 22-48. При этом отсчеты 22-33 используются для определения параметров первой модели. Отсчеты для адаптации модели отсутствуют, а отсчеты 34-48, как и ранее, прогнозируются и учитываются при подсчете ошибки. (3) Аналогичен варианту 1, только вместо значений в феврале 2009 г., сентябре 2011 г. и июне 2012 г. используется среднеарифметическое двух соседних уровней, т.е. отсчетов (для замены аномальных значений, определенных по критерию Ирвина, [11, с. 147]). В настоящей работе анализ BP на предмет аномальных значений не проводился, поскольку с учетом скачкообразных изменений курсов начиная с ноября 2014 г., такой анализ стал в принципе не актуален. Однако поскольку ранее такой анализ был выполнен, то в настоящей статье данный вариант (наряду с другими) также рассматривается для обеспечения сопоставимости получаемых данных. (4) Аналогичен варианту 2 и содержит модификацию данных, описанную в варианте 3.
Кроме того, рассмотрим вариант так называемого «наивного прогнозирования», который соответствует предположению «завтра будет как сегодня», то есть реализует модель
Л=Л-1- (18)
На практике данную модель часто применяют в качестве референсной для анализа результатов, полученных с помощью других моделей - чтобы определить целесообразность их использования [5, с. 107;23, с. 430]. Наивное прогнозирование рассмотрим для двух случаев. (А) Анализируются отсчеты 1-48. При этом первый отсчет используется для «псевдообучения модели» - построения прогноза на второй отсчет. Отсчеты 2-48 прогнозируются и учитываются при подсчете ошибки. (Б) Анализируются отсчеты 33-48. Отсчет 33 используется для построения прогноза на 34-ый отсчет, а отсчеты 34-48 прогнозируются и учитываются при подсчете ошибки. Средняя относительная ошибка прогноза для каждого из указанных вариантов представлена в таблице 5.
Таблица 5
Средняя относительная ошибка прогноза для различных вариантов
Вариант 1 2 3 4 А Б
МАРЕ, % 2,68 2,57 2,53 2,91 3,08 2,20
Для полного набора данных (отсчеты 1-80) дополнительно выполним прогнозирование с использованием моделей ARIMA, широко применяемых на практике. Согласно [2], в наиболее распространенных моделях используются комбинации порядков
(0ДД), (0,2,2), (l,l,l), (1Д,0) и (2Д,0) (приводится по [4, с. 53]). Выполним сравнение результатов, получаемых для различных моделей: для модели (2,1,5); для разработанной адаптивной модели (р,1, q); для модели наивного прогнозирования.
В ряде случаев при выполнении функции estimate система MATLAB выдавала сообщение об ошибке Error using arima/validateModel (line 12 98) . The non-seasonal moving average polynomial is non-invertible. В этом случае анализируемая модель заменялась на ARIMA^l,l,l) и вычисления продолжались.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Графики для действительных и прогнозных значений АЫМА для различных моделей представлены на рисунках 6-11.
80
недействительные Наивный -АК1МА -АШМА
значения прогноз (0,1,1) (р,М)
Рис. 6. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АШМЛ{ОДД), АШМА(р,\,д))
80
недействительные Наивный -АР.1МА -АШМА
значения прогноз (0,2,2)
Рис. 7. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АЫМА{\,\Д), АШМА{рХЧ))
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS _
80
^■Действительные Наивный -ARIMA -ARIMA
значения прогноз (1ДД) (рД,ч)
Рис. 8. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АШМА(1ДД), АШМА{рХя))
80
недействительные Наивный -ARIMA -ARIMA
значения прогноз (1Д,0) (p,l,q)
Рис. 9. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АШМА{2,1,0), АШМА{рХч))
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
80
70
60
50
40
30
20
/ / /уууАД</
С? # С? V' V V & V V» V' У ^ > ^ ^ ^ # Л
¡Действительные значения
Наивный прогноз
-АИ1МА (2,1,0)
-А^МА
(РДЛ)
80
Рис. 10. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АШМА{2,1,0). АШМА(рХ д})
70
60
50
40
30
20
X/ /УУУ ЛЛЛ^ /
V V
¡Действительные значения
Наивный прогноз
-ДШМА (2,1,5)
- АШМА (рД,Ч)
Рис. 11. Действительные и прогнозные значения курса доллара (руб. за 1$; модели АШМА(2,1,5), АШМА{рХц))
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS
AND PROGRAM SYSTEMS _
Результаты вычисления МАРЕ для моделей АШМА(0,\), ARIMA(l ,l,l), arima{ 1,1,l), ARIMA(1,1,0), ARIMA(2X0), ARIMAÍ2 ,1,5), ARIMA{j>,\,q) и наивного прогнозирования представлены в таблице 6.
Таблица 6
Средняя относительная ошибка прогноза для различных моделей ARIMA
Модель МАРЕ, % Модель МАРЕ, %
arima(o ,1,1) 2,76 arima(I,\,O) 2,86
ARIMA(0,2,2) 3,04 ARIMA(2,1,5) 2,83
ARIMA(l,l ,1) 2,84 ARIMA(pXq) 3,20
ARIMA(lX0) 2,74 Наивное прогнозирование 3,14
Анализ данных, представленных в таблице 6 и на графиках, позволяет сделать следующие выводы. (1) Все рассмотренные модели ARIMA обеспечивают МАРЕ, не превышающую 5 %. Это позволяет говорить о достаточно высокой точности прогноза [13, с. 63]. (2) Все рассмотренные модели ARIMA, за исключением адаптивной модели ARIMA{p,\,q), обеспечивают точность прогнозирования, превосходящую точность, получаемую при использовании наивной модели прогнозирования. Таким образом, использование более сложных моделей прогнозирования (ARIMA - по сравнению с наивной моделью) является принципиально оправданным. (3) Наилучшие результаты показывают самые простые модели -
arima(o дд), МАРЕ 2,76 %, и ARIMA(1,1,0) , МАРЕ 2,74 %. По критерию средней относительной ошибки прогноза годится любая из этих двух моделей. На данном этапе исследований чуть более предпочтительной выглядит модель ARIMA^1Д,0), поскольку ее ошибка меньше на две сотых процентных пункта. Однако для принятия окончательного решения целесообразно проведение дополнительных исследований. (4) Дальнейшее увеличение сложности модели (порядка авторегрессии р и скользящего среднего q) не приводит к улучшению точности прогноза. Наоборот, для моделей более высокого порядка значение МАРЕ оказывается выше. Это вместе с более сложными (а значит - более ресурсоемкими и более длительными) вычислениями вынуждает отказаться от их использования. (5) Предложенная адаптивная модель (с выбором порядка р и q на каждом шаге) показала самый плохой результат (МАРЕ 3,20 %). Он оказался даже хуже результата наивной модели прогнозирования (3,14 %). Это заставляет признать дальнейшую разработку (совершенствование) этой модели и ее использование нецелесообразными.
Таким образом, ряд среднемесячных значений курса доллара США к российскому рублю является интегрированным порядка «1», а оптимальными с точки зрения минимизации МАРЕ являются модели AR1MA{0,1,1) и AR1MA{1,1,0).
Список литературы
1. Балонишников A.M., Балонишникова В.А., Копыльцов A.B. Прогнозирование временных рядов методами Фармера-Сидоровича и Бокса-Дженкинса // Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. - 2011. № 141. - С. 7-16.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир. -1974.-406 с.
3. Брюков В.Г. Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и Eviews / В.Г. Брюков. - М.: КНОРУС; ЦИПСиР, 2011. - 272 с.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
4. Дорохов Е.В. Применение адаптивных, ARIMA и ARCH методов при прогнозировании краткосрочной динамики российского фондового рынка // Финансы и бизнес. - 2007. - № 3. С. 47-63.
5. Земан Р., Стухлы Я. Прогнозные модели для акций «Эрсте Банк» («Erste Bank») // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Экономика. - 2013. №2. С. 104-111.
6. Канторович Г.Г. Лекции: Анализ временных рядов (лекции 1-4) // Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2002. - Т. 6. - № 1. - С. 85-116.
7. Канторович Г.Г. Лекции: Анализ временных рядов (лекции 5-7) // Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2002. - Т. 6. - № 2. - С. 251-273.
8. Мхитарян С.В., Данченок Л.А. Прогнозирование продаж с помощью адаптивных статистических методов // Фундаментальные исследования. - 2014. - № 9-4. С. 818-822.
9. Носко В.П. Эконометрика. Кн. 1. Ч. 1, 2: учебник / В.П. Носко. - М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. - 672 с. (Сер. «Академический учебник».)
10. Носко В.П. Эконометрика. Кн. 2. Ч. 3, 4: учебник / В.П. Носко. - М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. - 576 с. (Сер. «Академический учебник».)
11. Пилюгина А.В., Бойко А.А. Опыт использования аппарата нечетких множеств в прогнозировании валютного курса // Прикаспийский журнал: Управление и высокие технологии. - 2014. -№ 3 (27). - С. 143-157.
12. Резниченко Е.В., Кочегурова Е.А. Методы краткосрочного прогнозирования финансовых рынков // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 311. - № 6. - С. 19-23.
13. Садовникова Н.А., ШмойловаР.А. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебное пособие. М. - 2001. - 67 с.
14. Троянская М.А. Моделирование временных рядов налоговых поступлений адаптивными методами // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2006. - № 8. - С. 268-274.
15. Христиановский В.В. Анализ временных рядов в экономике: практика применения: учебное пособие / В.В. Христиановский, В.П. Щербина. Донецк: ДонНУ, 2011. - 125 с.
16. Щербаков М.В., Бребельс А., Щербакова Н.Л., Тюков А.П. Обзор оценок качества моделей прогнозирования. - Режим доступа: http://www.mtas.ru/bitrix/components/bitrix/forum.interface/ show_file.php?fid=6450 (дата обращения 25.09.2015), свободный. - Загл. с экрана. - Яз. русск.
17. BeliaevaN., Petrochenkov A., Bade К. Data set analysis of electric power consumption // European researcher. Series A. - 2013. - № 10-2 (61). - P. 2482-2487.
18. Fahimifard S.M., Homayonifar M., Sabouhi M. and Moghaddamnia A.R. Comparison of AN-FIS, ANN, GARCH and ARIMA techniques to exchange rate forecasting // Journal of applied sciences. -2009. -№ 9 (20). - P. 3641-3651.
19. Fat Codruta Maria, Dezsi Eva. Exchange-rates forecasting: exponential smoothing techniques and ARIMA models // The Annals of the University of Oradea. Economic sciences. - 2011. - Vol. XX. -№ 1. - P. 499-508.
20. Maniatis Paraschos. Forecasting the exchange rate between Euro and USD: Probabilistic approach versus ARIMA and exponential smoothing techniques // Journal of applied business research (JABR). - 2012. - Vol. 28. - № 2. - P. 171-192.
21. Math Works Documentation. Econometrics Toolbox. Adftest. - Режим доступа http://www.mathworks.com/help/econ/adftest.html (дата обращения 26.08.2015), свободный (необходима предварительная регистрация). - Загл. с экрана. - Яз. англ.
22. Newaz М.К. Comparing the performance of time series models for forecasting exchange rate // BRAC university journal. - 2008. - Vol. V. - № 2. - P. 55-65.
23. Nwankwo Steve C. Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model for exchange rate (Naira to Dollar) // Academic journal of interdisciplinary studies. - 2014. - Vol. 3. - № 4. - P. 429-433.
24. Poskitt D.S. and Tremayne A.R. Determining a portfolio of linear time series models. Biomet-rica. - 1987. - Vol. 74. - P. 125-137.
25. Sun Ya, HengB.H., Seow Y.T., SeowE. Forecasting daily attendances at an emergency department to aid resource planning // European journal of natural history. - 2009. - № 3. - P. 31-40.
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2015, 4 (32) MATHEMATICAL MODELLING, NUMERICAL METHODS AND PROGRAM SYSTEMS
References
1. Balonishnikov A.M., Balonishnikova V.A., Kopyltsov A.V. Prognozirovanie vremennykh ryadov metodami Farmera-Sidorovicha i Boksa-Dzhenkinsa [Prediction of time series by Box-Dzhenkins and Farmer-Sidorovich methods]. Izvestiya Rossiyskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. A.I. Gercena [Russian state teachers university named after A.I. Herzen proceedings], 2011, no. 141, pp. 7-16.
2. Boks Dzh., Dzhenkins G. Analiz vremennykh ryadov. Prognoz I upravlenie [Time series analysis: forecasting and control]. Moscow, 1974. 406 p.
3. BryukovV.G. Kak predskazat' kurs dollar a. Effektivnye me tody prognozirovaniya s is-pol'zovaniem Excel i Eviews [How one can forecast dollar's exchange rate. Efficient forecasting methods using Excel and Eviews]. Moscow, 2011. 272 p.
4. Dorokhov E.V. Primenenie adaptivnykh, ARIMA i ARCH metodov pri prognozirovanii kratkos-rochnoy dinamiki rossiyskogo fondovogo rynka [Using adaptive, ARIMA and ARCH methods in short-term forecasting of Russian equities market]. Finansy i biznes [Finances and business], 2007, no. 3. pp. 47-63.
5. ZemanR., StuhlyJ. Prognoznye modeli dlya akciy "Erste Bank" [Forecasting models for shares of "Erste Bank"]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Seriya: Eko-nomika [Astrakhan state technical university proceedings. Economics series], 2013, no. 2, pp. 104-111.
6. Kantorovich G.G. Lekcii: Analiz vremennykh ryadov (lekcii 1-4) [Time series analysis (lections 1-4)]. Ekonomicheskiy zhurnal Vysshey shkoly ekonomiki [Economic journal of High school of economics], 2002, vol. 6, no. 1, pp. 85-116.
7. Kantorovich G.G. Lekcii: Analyz vremennykh ryadov (lekcii 5-7) [Time series analysis (lections 5-7)]. Ekonomicheskiy zhurnal Vysshey shkoly ekonomiki [Economic journal of High school of economics], 2002, vol. 6, no. 2, pp. 251-273.
8. Mkhitaryan S.V., Danchenok L.A. Prognozirovanie prodazh s pomosch 'yu adaptivnykh statis-ticheskikh metodov [Sales forecast using adaptive statistical methods]. Fundamental'nye issledovaniya [Fundamental researches], 2014, no. 9-4. pp. 818-822.
9. Nosko V.P. Ekonometrika. Kn. 1, Ch. 1, 2: uchebnik [Econometrics. Book 1, Parts 1, 2: textbook], Moscow, 2011. 672 p.
10. Nosko V.P. Ekonometrika. Kn. 2, Ch. 3, 4: uchebnik [Econometrics. Book 2, Parts 3, 4: textbook], Moscow, 2011. 576 p.
11. Pilyugina A. V.. Boiko A.A. Opyt ispol'zovaniya apparata nechyotkikh mnozhestv v prognozirovanii valyutnogo kursa [Experience with using fuzzy sets in forecasting of currency exchange rate]. Pri-kaspiyskiy zhurnal: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii [Caspian Journal: Management and High Technologies], 2014, no. 3 (27), pp. 143-157.
12. Reznichenko E.V., Kochegurova E.A. Metody kratkosrochnogo prognozirovaniya finansovykh rynkov [Methods for financial markets' short-term forecasting], Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta [Tomsk Polytechnic university proceedings], 2007, no. 6, pp. 19-23.
13. Sadovnikova N.A., Shmoylova R.A. Analiz vremennykh ryadov i prognozirovanie: uchebnoe posobie [Time series analysis and forecasting: Educational book], Moscow, 2001. 67 p.
14. Troyanskaya M.A. Modelirovanie vremennykh ryadov nalogovykh postupleniy adaptivnymi metodami [Tax revenues time series modelling using adaptive methods]. Vestnik Orenburgskogo gosudarstvennogo universiteta [Orenburg state university proceedings], 2006, no. 8, pp. 268-274.
15. Khristianovskiy V.V. Analiz vremennykh ryadov v ekonomike: praktikaprimeneniya: uchebnoe posobie [Time series analysis in economics: Practical approach. Educational book], Donetsk, 2011. 125 p.
16. Shcherbakov M.V., BrebelsA., Shcherbakova N.L., TyukovA.P. Obzor ocenok kachestva modeley prognozirovaniya [A Survey of forecast error measures]. World Applied Sciences Journal (Information Technologies in Modern Industry, Education & Society), 2013, no. 24, pp. 171-176.
17. BeliaevaN., Petrochenkov A., BadeK. Data Set Analysis of electric power consumption. European researcher. Series A, 2013, no. 10-2 (61), pp. 2482-2487.
18. Fahimifard S.M., Homayonifar M., Sabouhi M. and Moghaddamnia A.R. Comparison of AN-FIS, ANN, GARCH and ARIMA Techniques to exchange rate forecasting. Journal of applied sciences, 2009, no. 9 (20), pp. 3641-3651.
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 4 (32) 2015 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
19. Fat Codruta Maria, Dezsi Eva. Exchange-rates forecasting: exponential smoothing techniques and ARIMA models. The annals of the University of Oradea. Economic sciences, 2011, vol. XX, no. 1, pp. 499-508.
20. Maniatis Paraschos. Forecasting the exchange rate between Euro and USD: probabilistic approach versus ARIMA and exponential smoothing techniques. Journal of applied business research (JABR), 2012, vol. 28, no. 2, pp. 171-192.
21. Math Works Documentation. Econometrics Toolbox. Adftest. Available at: http://www.mathworks.com/help/econ/adftest.html (accessed 26 August 2015).
22. Newaz M.K. Comparing the performance of time series models for forecasting exchange rate. BRAC University journal, 2008, vol. V, no. 2, pp. 55-65.
23. Nwankwo Steve C. Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model for exchange rate (Naira to Dollar). Academic journal of interdisciplinary studies, 2014, vol. 3, no. 4, pp. 429-433.
24. Poskitt D.S., Tremayne A.R. Determining a portfolio of linear time series models. Biometrica, vol. 74, 1987.pp. 125-137.
25. Sun Ya, HengB.H., Seow Y.T., SeowE. Forecasting daily attendances at an emergency department to aid resource planning. European journal of natural history, 2009, no. 3, pp. 31-40.
