Определение оптимального объема рекламных расходов компании - монополиста с одним товаром в дискретном времени без ограничения на терминальный объем продаж Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

М.А. Першин, аспирант,

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет), г. Москва, Россия, p0844_pm@mail.ru

Определение оптимального объема рекламных расходов компании -монополиста с одним товаром в дискретном времени без ограничения на терминальный объем продаж Optimal advertising expenditures of a monopolist with an only good in discrete model without boundary conditions on terminal sales

Аннотация: В работе рассмотрена проблема определения оптимального объема расходов на рекламу компании в ситуации монополии на конечном горизонте планирования без ограничения на терминальный объем продаж. Для поставленной задача оптимального управления в дискретном времени с использованием метода динамического программирования получено аналитическое решение. Результаты работы позволяют расширить применение математических методов при решении различных проблем в области маркетинга.

Abstract: The paper is devoted to determination optimal advertising expenditures for a monopolist - seller of the only good without boundary conditions on terminal sales. The optimal control problem in discrete time is formulated and explicit solution is obtained via dynamic programming method. The obtained solution is analyzed with numerical implementation.

Ключевые слова: рекламные расходы, оптимальное управление,

дискретная модель, динамическое программирование

Key words: advertising expenditures, optimal control, discrete model, dynamic programming

Введение

В процессе хозяйственной деятельности коммерческая организация -производитель и/или продавец товаров и/или услуг - сталкивается с проблемой их сбыта. В целях обеспечения сбыта своей продукции компания стремится проинформировать своих потенциальных клиентов о ней посредством рекламы. Элементом достижения компанией эффективного информирования своих клиентов является построение стратегии рекламной кампании. Настоящая статья посвящена одному из вопросов разработки рекламной кампании -определению оптимального плана расходов компании - монополиста на рекламу своей продукции, позволяющего ей получить максимальную прибыль.

Проблема использования математических моделей оптимального управления для определения уровня рекламных расходов в целях максимизации выручки или прибыли от реализации продукции рассмотрена в работах зарубежных исследователей С. Сети [8, 10-13], А. Прасада [8, 13],

П. Чинтагунты [9], Г. Сорджера [14] и др. В российской науке исследования данной проблематики проводились Е.В. Астафьевой [1], Д.Д. Ахмедовой [2, 3, 4], И.П. Бородиной [5], О.А. Змеевым [3, 4], А.Ф. Терпуговым [4], С.С. Грачевой и М.А. Першиным [6]. В работах указанных авторов рассматривались в основном модели оптимального управления в непрерывном времени. Моделям определения оптимального плана расходов на рекламу в дискретном времени в литературе посвящено гораздо меньше внимания по причине сложности получения аналитического решения и его дальнейшего исследования. Вместе с тем, компания принимает решения по управлению своими рекламными расходами только в определенные моменты времени и обычно оценивает результаты своей деятельности за определенный промежуток времени по состоянию на определенный момент. В таких условиях представляется целесообразным рассмотрение дискретных рекламных моделей для определения рекламных расходов компании [7].

Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим определение оптимального объема рекламных расходов компании, реализующей уникальный продукт и не имеющей конкурентов на рынке, на конечном горизонте планирования. Перед компанией стоит задача получить за данный временной промежуток максимальную прибыль от реализации своей продукции при выбранном ею объеме расходов на рекламу. Пусть в течение данного горизонта планирования компания Т раз принимает решение об объеме рекламных расходов. В каждый момент принятия решения компания также обладает сведениями об объемах продаж на момент принятия решения и может оценить свои продажи к следующему моменту принятия решения в зависимости от произведенных затрат на рекламу. Положим, что компания не имеет намерения реализовывать данный продукт на рынке по окончании горизонта планирования и потому не накладывает ограничений на объем продаж на терминальном шаге хт .

Тогда, если пренебречь расходами компании на производство единицы продукции, в общем виде детерминированная задача оптимального управления на конечном горизонте планирования с числом шагов Т может быть сформулирована следующим образом:

хт = (X , и X хо = ^

х{ > 0, и > 0 при t = 0,Т, (1)

Т

п = Е Ft (х{, и,) ^ эи^,

,=0 и, ,t=о,т

где х{ - продажи за временной промежуток [, -1;,), ^ - продажи в начальный момент времени, и{ - воздействие на рекламу, предпринимаемое компанией на ,-ом шаге, и,2 - расходы на рекламу на ,-ом шаге, /((х(, и() - функция, описывающая динамику продаж и позволяющая оценить объем продаж х,+1 в зависимости от х( и и(, П - прибыль на всем горизонте планирования, ^(х,, и,2)

- прибыль в момент , при х{ и и{. Данную задачу можно решить с помощью метода динамического программирования Р. Беллмана.

Отдельно обратим внимание на тот факт, что влияние рекламных расходов на продажи нелинейно. Такой характер зависимости продаж от рекламы можно объяснить насыщением потребителей рекламой компании и снижением ее эффективности при росте рекламных расходов. Кроме того, нелинейная зависимость продаж от рекламных расходов позволяет избежать получения в результате решения релейного управления системой, то есть такого управления рекламными расходами, когда оптимальный объем рекламных расходов будет равен либо ограничению на минимальный объем рекламных расходов, либо ограничению на максимальный объем рекламных расходов в зависимости от параметров модели, что, по мнению автора, не в полной мере отражает действительность. Отсутствие релейного управления в задаче позволяет не накладывать «искусственного» ограничения на максимальный объем рекламных расходов и2 на любой шаге ,.

Важной и наиболее сложной проблемой при решении поставленной выше задачи является определение вида функциональной зависимости между текущим объемом продаж х(, рекламными усилиями и{ и объемом продаж на следующем шаге х,+1. Определение вида функции зависимости между

расходами на рекламу и объемом продаж может быть основано как на теоретических предположениях и умозаключениях (например, модель Видаля -Вольфа [15] или логарифмическая рекламная модель Сети [12]), так и с помощью регрессионных моделей.

В настоящей статье положим, что х(+1 = Ь + (1 - д)х( + аи(, где правая часть является авторегрессионной моделью распределенных лагов ADL(1,1), Ь > 0 - величина постоянного спроса на продукцию компании, а > 0 -коэффициент, характеризующий объем продаж на единицу рекламного усилия и,, д є [0;1] - коэффициент, характеризующий снижение достигнутого уровня продаж при отсутствии рекламы. Функция прибыли на ,-ом шаге ^ (х{, и,2) = (рх( - и,2)/(1 + г У , где р - цена единицы продукции, г > 0 - ставка

дисконтирования, (1 + r)t - коэффициент дисконтирования на начальный момент времени.

Таким образом, с учетом изложенного, а также полагая, что компания принимает решения о величине рекламных расходов в течение горизонта планирования с равными временными промежутками (например, еженедельно, ежемесячно или ежеквартально) и параметры модели являются постоянными на всем горизонте планирования, задача оптимального управления (1) принимает вид:

^ т (px - и2)

П = Z n ^sup,

t=0 (1 + r) ut >0

xt+1 = b + (1 - 8)xt + aut, x0 = s0, (2)

xt У 0, ut У 0 при t = 0,T .

Решение задачи (2)

Для решения задачи (2) необходимо найти Т+1 функций Беллмана. Решение задачи осуществляется в обратном порядке, начиная с шага Т. Функция Беллмана на Т -ом шаге будет иметь вид:

V0 (x) = sup

ut У 0

ґ 2\ px( — u(

(1 +r) (

px(

(1 + r)(

при оптимальной величине затрат на рекламу в момент Т и *Т = 0. В дальнейшем функция Беллмана Vi (х) будет определяться из уравнения

V- (x) = sup

u( - - У0

ґ - 2 л

1 лu~, ' + Vi-1(b + auT-і + (1 - 5)xT-i) v (1+ r) У

(3)

Функция Беллмана на Т -1 -ом шаге имеет вид

V (x) = sup

u(-1У0

2

pxT-1 - uT_x + p(b + auT-1 + (1 - 5) xT -1)

(1 + r)

T-1

(1 + r)(

sup

u(-1У0

2

(-1 - r + apuT-1 + xT-1 (p(1 + r + (1 - 5))) + bp

V

(1 + r)(

откуда можно найти оптимальное управление рекламой на шаге Т -1:

u *(-11 2(1 + r)' (4)

Тогда с учетом (4) функцию Беллмана на данном шаге можно представить:

p(1 + r + (1 - 5))

V ( x) = xT-1 — ------—— + const 1.

(1 + r)

Функция Беллмана на T - 2 -ом шаге:

V2 (x) = sup ( РХ(-2 . Т-^-2 + p(1 + \ 5)) (b + (1 - 5)xT-2 +

-2 Т-2

uT-2У0 (1 + r)т 2 (1 + r)(

p((1 + r)2 + (1-5)(1 + r + (1-5))

+ auT-2) + const1) = xT _ 2-----------------(------------+ const 2.

(1 + r)

при оптимальном уровне рекламы:

u * = ap(1 + r + (1 -5)) (5)

T-2 2(1+ r)2 . ( )

Функция Беллмана на T - 3-ем шаге:

V3 (x) = sup

u(-3 У0

pxT-3 - u(-3 + p((1 + r) + (1 - 5)(1 + r + (1 - 5)) (b +

(1 + r )T-3 (1 + r )T

'p((1 + r )3 + (1-5)((1 + r )2))

+ (1 - 5)xT-3 + auT 3) + const2) = xT-3

(1 + r)(

p(1-5)2(1 + r + (1 -5))'

+

v

л

+

(1 +r)

+ const3.

У

при оптимальном уровне рекламы:

и * _ ар((1 + г)2 +(1 - 5)(1 + г) +(1 - ^)2) (6)

Т-3 2(1 + г )3 ‘

Из (4), (5) и (6) можно заметить закономерность изменения оптимального уровня рекламы в зависимости от шага Т - i. Тогда на Т - г' -ом шаге оптимальный уровень рекламы может быть найден по формуле:

Л-1 N

ap

u *т-, = °=° У. (7)

X (1- 5)' (1 + г)г-1--2(1 + г)г

Если заметить, что при (1 + г) > (1 -5) (при выполнении любого из условий: г Ф 0 или 5 Ф 0) под знаком суммы находится убывающая геометрическая

т

прогрессия с первым членом (1 + г)-1 и знаменателем (1 -5)/(1 + г), то (7)

можно записать следующим образом:

и * ар((\ + г)г - (1 - 5)) и * ар((\ + г)Т- - (1 - 5)Т-?) (о)

и *Т . _-----------:---------или и * _-----------------------—-----. (О)

Т-г 2(1 + г )г (г + 5) ' 2(1 + г )Т-1 (г + 5) ^

Определив оптимальный уровень рекламы на каждом шаге ґ = 0,Т -1, найдем соответствующие объемы продаж в моменты ґ = 1,Т. При начальном объеме продаж х0 = ^ объем продаж на любом шаге ґ = 1,Т можно найти по формуле

/-і /-1

* л _яУ-1-/

х *ґ = (1 -5) ^ + Ь ^ (1 -5)] + а^ м * (1 -5)

7=0 /=0

или, если 5 > 0,

Ь(1-(1 -5)) а р

х ** = (1 - 5) ^0 +------------------------------------------------------------------+

5 2(г + 5)

1 - (1 - 5) (1 - 5)т-/+1 ((1 - 5)2/ - (1 + г))

(9)

5 (1 + г)Т ((1 -5)2-(1 + г))

где и * - оптимальный уровень рекламы на шаге I, определенный по формуле (О). Отметим, что х * > 0 на любом шаге ? _ 1,Т по постановке задачи.

Отсюда прибыль компании при применении оптимальной рекламной политики равна

П* _у(Рх *{-и *2)

£с (1 + г) '

В стационарном случае, т.е. при количестве шагов Т ^ да, существуют пределы как у оптимального управления рекламой, так и у оптимального объема продаж при 5 > 0:

и*_—а^_ и (10)

2(г+5) V }

— 2Ь(г + 5) + а2 р

х * = ^^. (11)

25(г + 5) ^ ;

Рассмотрение стационарного решения имеет место в случае, если компания планирует оставаться со своей продукцией на рынке в течение неограниченного периода или в течение длительного периода, срок которого определить

о

достаточно сложно. К продукции, к которой применима постановка в стационарном случае, относятся товары и услуги, имеющие большую длительность фазы зрелости жизненного цикла товара.

Оптимальный объем рекламных расходов (и * )2 зависит только от момента времени ? и не зависит от текущего уровня продаж х{, прямо пропорционален эффективности рекламы а и цене единицы продукции р, обратно пропорционален коэффициенту снижения продаж 5 и ставке дисконтирования г. Кроме того, при г Ф 0 или 5 Ф 0 и * является убывающей вогнутой функцией от ?.

Построим графики решения задачи (2) при следующих параметрах: Т = 12, Ь = 100, р = 30, г = 0,1, а = 12, 5 = 0,8. На рис. 1 и рис. 2 представлены

графики оптимального уровня рекламных расходов и *2 и оптимального уровня продаж в денежном эквиваленте рх *, если начальный объем продаж ^ = 0 и

^ = 5000 единиц продукции. При указанных параметрах стационарные

--2

величины рекламных расходов (10) и продаж (11) равны и * = 40000 и рх * = 93750 соответственно.

Как видно из графиков на рис. 1 и рис. 2, оптимальный объем расходов на рекламу до шага 9 фактически равен стационарному объему рекламных расходов и *, затем снижаясь до 0 на терминальном шаге независимо от объема продаж, что обусловлено, как было отмечено выше, отсутствием обратной связи между продажами и рекламными расходами. При ^ < х * (рис. 1) в течение первых трех шагов объем продаж растет под влиянием осуществляемых рекламных расходов до стационарного уровня и на последних шагах в условиях сокращения рекламных расходов снижаются. При ^ > х * (рис. 2) в течение первых трех шагов объем продаж снижается до стационарного уровня ввиду недостаточности осуществляемых рекламных расходов для поддержания уровня продаж, в остальном повторяя результаты при ^ < х *.

Рис. 1. Графики оптимальных расходов на рекламу и продаж в денежном

выражении при ^ = 0

Рис. 2. Графики оптимальных расходов на рекламу и продаж в денежном

выражении при ^ = 5000

Заключение

Рассмотренная в настоящей статье динамическая оптимизационная модель в дискретном времени (1) позволяет найти оптимальный объем рекламных расходов и продаж компании для монополии с одним товаров.

В целях получения аналитического решения в задаче (2) было сделано предположение о том, что решения по объему рекламных вложений принимаются с равными промежутками времени, а также функциональная зависимость объема продаж от рекламных расходов и функция прибыли на каждом шаге не меняются. Вместе с тем, «более широкая» формулировка задачи (1) допускает различные для каждого шага функции зависимости продаж от рекламы (х(,и() и функции прибыли Ft(х(,и2), в том числе и за счет различных параметров модели. Решение задачи (1) может быть получено в результате реализации алгоритма решения, использованного при решении задачи (2), с помощью средств ЭВМ.

Тем не менее, необходимость знать все функции и параметры для каждого шага заранее, которые в быстро изменяющихся условиях рыночной конъюнктуры достаточно сложно оценить и спрогнозировать на один шаг вперед, является основным недостатком динамической модели. В качестве альтернативных моделей, позволяющих определить величину рекламных расходов, можно использовать одношаговые модели с ограничением на терминальный объем продаж. Однако такой подход в свою очередь также обладает рядом недостатков.

Другим существенным недостатком модели является отсутствие обратной связи рекламных расходов и объема продаж. Рассмотрение моделей с обратной связью целесообразно, так как зачастую у начинающих свою деятельность компаний просто нет средств на рекламную кампанию, позволивших бы им достигнуть стационарного объема продаж.

Несмотря на указанные недостатки, рассмотренная в статье модель имеет большой потенциал для определения долгосрочной рекламной стратегии

компании, выявления параметров, воздействие на которые будет содействовать повышению прибыли от реализации продукции.

Дальнейшее развитие модели полагаем возможным осуществить за счет внесения в модель конкурента и приведения ее к игре, что позволит определить оптимальные рекламные расходы в зависимости от действия конкурентов, а также за счет добавления в модель еще одного товара компании, что создаст возможность рассмотрения эффекта влияния продаж одного товара компании на другой товар за счет осуществления компанией рекламы своей торговой марки.

Библиографический список

1. Астафьева Е.В. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы, производящей однородную продукцию: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Томский государственный университет. - Томск, 2006. 108 с.

2. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу. Изв. вузов. Физика. - 2001. № 1. с. 25-29.

3. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании. Изв. вузов. Физика. - 2001. № 6. с. 3-7.

4. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А., Терпугов А.Ф. Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу. Вестник Томского государственного университета. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. № 275. с. 181-185.

5. Бородина И.П. Разработка и анализ систем управления рекламными коммуникациями фирмы на потребительском рынке: дис. канд. тех. наук: 05.13.10. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовский-на-Дону государственный педагогический университет. - Таганрог, 2005. 189 с.

6. Грачева С.С., Першин М.А. Определение оптимальной рекламной и ценовой политики компании - монополиста на основе модифицированной модели

Видаля-Вольфа. Инновационная система государства и перспектива ее развития. Сборник научных трудов. - Гомель, Белоруссия: ЦИИР, 2010. с. 114121.

7. Першин М.А. Определение оптимальной рекламной стратегии компании -монополиста в модели с дискретным временем. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, посвященная 50-летию МИЭМ. Тезисы докладов. - М.: МИЭМ, 2012, с. 406.

8. Bass, F.M., Krishnamoorthy, A., Prasad, A., Sethi, S.P. Advertising competition with market expansion for finite horizon firms. Journal of Industrial and Management Optimization, 1, 1, 2005, pp. 1-19.

9. Chintagunta, P.K., Jain, D. Dynamic duopoly models of advertising competition: estimation and a specification tests. Journal of Economics and Management Strategy,

4, 1, 1995, pp. 109-131.

10. Feichtinger, G., Hartl, R.F., Sethi, S.P. Dynamic optimal control models in advertising: recent developments. Management Science, 40, 2, 1994, pp. 195-226.

11. Sethi, S.P. Optimal control of the Vidale-Wolfe advertising model. Operations research, 21, 1973, pp. 998-1013.

12. Sethi, S.P. Optimal control of a logarithmic advertising model. Operations research, 26, 1975, pp. 317-319.

13. Sethi, S.P., Prasad, A., He, X. Optimal advertising and pricing in a new-product adoption model. Journal of Optimization Theory and Applications, 139 (2), 2008, pp. 351-360.

14. Sorger, G. Competitive dynamic advertising: a modification of the case game. Journal of Economic Dynamics and Control, 13, 1989, pp. 55-80.

15. Vidale, M.L., and Wolfe, H.B. An Operations Research Study of Sales Response to Advertising. Operations Research, 5, 1957, pp. 370-381.