Определение области устойчивости систем с распределенными параметрами методом расширенных частотных характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»



Системный анализ и управление^

УДК 681.5

А.Л. Ляшенко

определение области устойчивости систем с распределенными параметрами методом расширенных частотных характеристик

При решении многих практических задач, связанных с синтезом систем с распределенными параметрами (СРП), возникает необходимость в расчете настроек распределенных регуляторов. На сегодняшний день известны такие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем [1], как аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, частотный метод синтеза, параметрический синтез регуляторов.

При синтезе систем управления с распределенными параметрами в некоторых случаях возникает необходимость обеспечить заданный запас устойчивости, например, заданной степенью колебательности Шзад. Перечисленные выше методы синтеза такой возможности не предоставляют. Решение этой задачи можно найти с помощью расширенных частотных характеристик (РЧХ) [2, 3].

Знание области устойчивости для СРП позволяет ограничить область поиска оптимальных настроек. Поиск настроек может производиться путем сканирования (в т. ч. с переменным шагом) только области устойчивости.

Рассмотрим процедуру определения области устойчивости СРП на примере системы управления температурным полем объекта с распределенным регулятором, реализующим пропорционально-интегральный закон управления. Структурная схема системы управления изображена на рис. 1.

Объект управления представлен на рис. 2.

Математическая модель объекта управления имеет вид:

дб (У, г, г)

дг

Г а2

= е

д2 б( х, У, г, г)

дх2

+

Регулятор и Объект вт

Рис. 2. Объект управления

+ д2 б( х, у, г, г) + д2 б( х, у, г, г)

(1)

су2 дг2

0 < х < Ьх,0 < у < Ьу,0 < г < Ьг.

Граничные и начальные условия задаются следующими соотношениями:

б( х,0, г, т) = б( х, 1у, г, т) = 0, (2)

дб(0, у, г, т) Зб(1х, у, г, т)

дх

дх

0,

Хдб (х,у, ,т) = и (х, у, т),

&

дб( х, у, 0, т)

(3)

= 0,

(4)

(5)

&

б( х, у, г,0) = 0. Передаточная функция синтезируемого регулятора согласно [1] имеет вид:

\ -1 1

Ж(х, у, р) = Е1

« - 1

1 П

+

1

Р

Рис. 1. Структурная схема системы управления

4 4

где Е - общий коэффициент усиления пространственно-усилительного звена; п - весовой коэффициент ( « > 1); Е4 - общий коэффициент усиления пространственно-интегрирующего звена; «4 - весовой коэффициент ( «4 > 1); V2 - лапласиан.

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ 3' 2011 Информатика. Телекоммуникации. Управление

Передаточная функция регулятора, записанная с использованием обобщенной координаты [1], может быть представлена в виде следующего соотношения:

W (G, p) = E

n^i +1G

(6)

+ E ■

^ +1G

■ -, 0 ЕG <®, p

где О = + - обобщенная координата.

Математическая модель объекта описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Передаточные функции таких объектов управления могут быть представлены в виде совокупности передаточных функций по каждой пространственной моде [1]. Известно [4], что для тепловых объектов управления передаточные функции по каждой моде входного воздействия могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида:

Wn (p) =

Kn

V p+1

e"vp, (n = 1, 2...). (7)

Значения параметров Кп, Тп, тп определяются по результатам численного моделирования. При определении указанных параметров для п = 1,3 учитывались динамические свойства процесса распространения теплового поля внутри объекта.

Вычисленные значения равны: К1 = 0,7; Т = 70; т = 6; К3 = 0,5; Т3 = 67; т3 = 6.

Для частотного анализа методом расширенных частотных характеристик положим в (6) и (7) р = ш(у - т), получим:

W (G, m, ю) = E

ÜZÍ + i G

+E, ■

nizi + _L G

1

W_ (m, ю) =

K n

ю( j - m)

-vffl( j-m)

■ e

Т у - т) +1

Запишем характеристическое выражение замкнутой системы:

(

DJG,p) =

Е,

tu 1 1 -+—G

. «i «1

+ ^4

К^р+р(Т1]р + 1) =

= тцр2 + р +

Ег

+ Е

п4 и4

"1 «i .

Подстановка p = rn(j - m) дает: D„ (G, m, со) = Гпю2 (j - mf + оoO" - m) +

+ £4

——н—G coO'-/n) +

"1 «1

л

(cosaco- jsinTT1ro)eT',<Bm =

.2 „.2

= - + Тц(О т +

-com + jA" ^ ——* + G coe^^cosTíO-"1

-ÍT ^ ——1 + ^meTT'mmcosxt103+ «1

"1

+^~1 + Grn^mmsinT co+ "i

, ^ ir И4 -1 + G т tom „ „

+^£4 —-e 4 cosaco -

(9)

-ад

где

И.

"4 1 + G^mmsinT CÚ = Refl+ImD,

Refl = -T4Gf + Тцсо m - сот --К * rh~1 + Gme^wncosxnco+

«1

+KK Щ ~1 + G (0^8111X0) + "1

, TJr t-i Д1 1 H~ Cj T-CO/M

—-e" cosT_rn;

"4

ImD =-2Г1)ю2 +00+

^~1 + G(ú^MmcosT (0+ B1

«L

— 1 + G т ют

sutil (O.

4-

Системный анализ и управление

Приравнивание полученных выражений к нулю дает систему из двух уравнений. Решение

системы относительно общих коэффициентов усиления Е1 и Е4 дает следующий результат:

Е =

Е4 =

((Гпю(1 - то2) + то^тт^ю - (1 - 2Гптою)со5п1 _

(п1 -1 + 0)Кпв1п'ют

ю(1 + т2) [Т^юсоэ тпю + (1 - Т^ют^тт^ю] п4 («4 -1 + а)КеТцЮт '

(10)

(11)

Рассмотрим случай при значениях весовых коэффициентов « = 10 000, п4 = 10 000. Произведем расчеты при п, У = 1, значении обобщенной координаты 01 = 12,56 и степени колебательности тзад = 0,221. Далее, изменяя частоту ю от нуля до бесконечности, по полученным выражениям (10, 11) в пространстве Е1 и Е4 строится граница заданной степени колебательности, которая называется кривой равной степени колебательности. Результаты моделирования показали, что точки, принадлежащие этой кривой, отвечают требованиям обеспечения запаса устойчивости заданной степени колебательности т = т .

зад

Полученная кривая равной степени колебательности делит всю плоскость настроек Е1 и Е4 на две области (рис. 3).

В связи с [2], настройки сосредоточенного регулятора, лежащие над кривой, соответствуют степени колебательности меньше заданной т < тзад , а настройки, лежащие под кривой, соответствуют степени колебательности больше заданной т > т .

зад

Рассмотрим случай при значениях весовых коэффициентов « = 10 000, «4 = 10 000, значении обобщенной координаты 01 = 12,56 и, изменяя значение степени колебательности, произведем построение линий равной степени колебательности. Примем следующие значения степени колебательности: т = 0, т = 0,221, т, = 0,119, т = 0,336.

? зад ? ? 1 ? ? 2 ?

Задание различных значений степени колебательности позволяет получить семейство кривых, причем т > т , а т < т , и все они распола-

зад зад

гаются ниже внешней кривой, ограничивающей область настроек регулятора и построенной при запасе устойчивости т = 0. Результаты моделирования показали, что внутри этой области система регулирования будет устойчивой.

Разработанная методика применена для определения области устойчивости системы управления температурными полями защитного термокожуха для видеокамеры охранного телевидения. Полная математическая модель рассматриваемого объекта управления представлена в [5]. Для указанного объекта рассчитаны настройки распределенного ПИ-регулятора. Как показали результаты синтеза, настройки распределенного регулятора располагаются в области устойчивости, рассчитанной с помощью представленной выше методики.

Данная методика может использоваться для определения области допустимых значений настроек распределенных ПИ-регуляторов и решения вопроса обеспечения устойчивости для систем с распределенными параметрами заданной структуры и распределенным регулятором, реализующим пропорционально-интегральный закон управления.

т = 0

\ \

\ \ \

щ щ

Рис. 3. Линия равной степени колебательности при т = 0,221

ЯЮ(гв), £11(0)), £12(1»), £13(0))

Рис. 4. Линии равной степени колебательности

Научно-технические ведомости СПбГПУ 3' 2011 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

СПИСОК Л

1. Першим, И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами [Текст] / И.М. Першин. -Пятигорск: Изд-во РИА на КМВ, 2007. -244 с.

2. Лазарева, Т.Я. Основы теории автоматического управления: Учеб. пособие [Текст] / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. -Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. -308 с.

3. Ляшенко, А.Л. Частотный анализ объектов с распределенными параметрами с помощью расширенных частотных характеристик [Текст] / А.Л. Ляшенко// Матер. VI науч. конф. Управление и информационные технологии (УИТ-2010). -СПб.:

ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2010. -С. 65-70.

4. Рапопорт, Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределёнными параметрами [Текст] / Э.Я. Рапопорт. -М.: Высш. шк., 2003. -299 с.

5. Ляшенко, А.Л. Математическое моделирование распределенного объекта управления с подвижным источником воздействия [Текст] / А.Л. Ляшенко, О.И. Золотов // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2011. -№ 1 (115). -С. 113-117.