Разработка методики синтеза распределенного П-регулятора по показателю колебательности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

-►

Системный анализ и управление

УДК 681.5

А.Л. Ляшенко

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ СИНТЕЗА РАСПРЕДЕЛЕННОГО П-РЕГУЛЯТОРА ПО ПОКАЗАТЕЛЮ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ

Известны следующие направления в решении проблемы синтеза регуляторов для распределенных систем [3]:

1) аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, рассмотренное в работах Т.К. Сиразетдинова, Г.Л. Дегтярева и др.;

2) частотный метод синтеза, описанный в работах В.А. Бессекерского, Е.П. Попова, В.В. Со-лодовникова, И.М. Першина и др.;

3) параметрический синтез регуляторов, при котором задается структура распределенного регулятора, а параметры его подбираются в процессе экспериментальных исследований. Основные вопросы параметрического синтеза регуляторов на основе структурной теории изучены в трудах А.Г. Бутковского, В.Л. Рожанского и И.М. Бегимова.

Остановимся более подробно на втором направлении, с помощью которого разработаем методику расчета настроек распределенного регулятора по заданному показателю колебательности с применением расширенных частотных характеристик объекта управления [1].

Постановка задачи

Для системы управления распределенным объектом (задана его математическая модель, либо имеется возможность проводить экспериментальные исследования с реальным объектом) необходимо синтезировать регулятор, реализующий пропорциональный закон управления. При этом на запасы устойчивости разомкнутой системы наложены следующие ограничения:

запасы по модулю ДДО) > Д!3;

запасы по фазе Дф(О) > Дф3;

показатель колебательности М = М , где

зад'

Д£3, Дф3, Мз - заданные величины.

Процедура синтеза

Процедура синтеза регулятора состоит из следующих этапов.

1. Для выбранных значений "Ле[1> т\\, у £ [1, т2] (где т1 и т2 - заданные числа) строим частотные характеристики объекта. Положим, что число характеристик равно т . Для каждой пространственной частотной характеристики определим значение обобщенной координаты

а(1 = 1, т).

2. Используя комплексный передаточный коэффициент объекта управления Ж((] - т)ш, п, У), определяем частоты юп среза модуля разомкнутой системы.

3. По выбранному значению показателя колебательности определяем угол ц согласно выраже-

X X

1

нию ц = агсвт

ЧМзад у

. На комплексной плоскости

строим луч ОЕ под углом ц к отрицательной вещественной полуоси.

4. Вычерчиваем Мп-окружности, имеющие центр на отрицательной вещественной полуоси, касающиеся расширенных амплитудно-фазовых характеристик (РАФЧХ) объекта и луча ОЕ. Определяем радиус гп построенных Мп-окружностей.

5. С помощью выражения

Г =---- определяем коэффициенты усиления регулятора Кп (О).

6. Определяем параметры весового коэффициента регулятора п1.

7. С помощью РАФЧХ объекта произведем расчеты значения коэффициента Е1, обеспечивающего заданный показатель колебательности.

8. Определяем значение коэффициента Е1.

Пример.

Рассмотрим процедуру синтеза, реализующе-

Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' 2012 Информатика. Телекоммуникации. Управление

Рис. 1. Структурная схема системы управления

го пропорциональный закон управления, на примере системы управления температурным полем объекта. Структурная схема системы управления изображена на рис. 1.

Объект управления представлен на рис. 2. Математическая модель объекта управления имеет следующий вид: х, у, 2, г)

дг

= а

гд2 Q( х, у, 2, г)

V

дх2

+

+ д х, у, 2, г) + д2 £( х, у, 2, г)Л

(1)

у

ду д2

0 < х < Ь ,0 < у < Ь ,0 < 2 < Ь .

х 7 ^ у 7 2

Граничные и начальные условия задаются следующими соотношениями:

Q( х, 0,2, т) = Q( х, Ьу, 2, т) = 0, (2)

дQ (0, у, 2, т) дQ( Ьх, у, 2, т)

дх

дх

= 0,

х,у, Ь2,т) = и (,, * т),

д2

дQ( х, у, 0, т)

= 0,

д2

Q( х, у, 2,0) = 0.

(3)

(4)

(5)

Постановка задачи синтеза. Произведем синтез распределенного регулятора для системы управления объектом, при этом будем полагать, что запас устойчивости по фазе Дф > п/6, показатель колебательности М = 2.

Передаточная функция синтезируемого регулятора согласно [2] имеет вид:

Ж (х, у, р) = Ех

.1V*

п1

где Ех - заданное число (общий коэффициент усиления); п - весовой коэффициент (пх >1) ; V2 -лапласиан.

Процедура синтеза. Математическая модель объекта описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Передаточные функции таких объектов управления могут быть представлены в виде совокупности передаточных функций по каждой пространственной моде [4]. Известно, что для тепловых объектов управления передаточные функции по каждой моде входного воздействия могут быть аппроксимированы передаточными функциями вида:

Ж (р) =

кп

Т Р + 1

(/ = 1, 2 ...).

(7)

Значения параметров Кп, Т тп определяются по результатам численного моделирования.

Для этого на вход системы подадим входное воздействие вида:

а(х,у,р) = Сл,у(фт(^п ■ х)8ш(% • у), (8)

где Сл,= ^; ^^ ; •

При определении указанных параметров для / = 1,3 учитывались динамические свойства процесса распространения теплового поля внутри объекта.

По результатам моделирования определим значения параметров К , Т , т .

г' г' / п /

Вычисленные значения равны:

К, = 0,7; К3 = 0,5;

Т = 70; Тз = 67;

Для частотного анализа объекта положим в (6) р = (у - т)о (где ш - круговая частота) и определим модуль Мп и фазу фп :

Мп (о) = К/

((Т/Ю)2 +1)

1/2

/ = 1, 2

(9) (10)

Рис. 2. Объект управления

фл (о) = -Ютл - ЗГ^Т/.

По результатам вычислений строим расширенные частотные характеристики объекта управления (рис. 3) [2].

Коэффициент усиления пространственно-усилительного звена по каждой составляющей ряда входного воздействия [2] имеет вид:

Рис. 3. Расширенные частотные характеристики объекта: а - РЛАЧХ; б - РФЧХ; в - РАФЧХ

Кг, у ,5 = Е1

п -1 1

+- (< +Ф 2)

(11)

"1 "1 (г у = да; 5 = М).

Представим (11) в следующей форме:

Кп,у ,5 = Е1

П-^1 +1О

(12)

/ /

где О = ^П + Ф2 - дискретная функция (г|, у = 1, да). Значения функции О зависят не только от г, У, но и от хь, уи

Из (12) следует, что коэффициент усиления не зависит от 5. Таким образом, передаточная функция пространственно-усилительного звена может

быть представлена бесконечной совокупностью коэффициентов усиления (12). Работать с бесконечным набором функций (12) не всегда удобно. Перейдем от набора функций (12) к функциональной зависимости К(О). Для этого заменим О непрерывной функцией G с областью определения [О, да]. В этом случае при изменении О от 0 до да охватятся все дискретные значения О .

Выражение (12) с учетом изложенного выше может быть записано в виде:

к ( о ) = Е

^+1 о

п,

п,

0 < О < да . (13)

'1 "1

Произведем расчеты значения коэффициента Е1 , обеспечивающего заданный показатель

Научно-технические ведомости СПбГПУ 4' 2012 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

колебательности. Для этого построим РАФЧХ объекта. По выбранному значению показателя колебательности определим угол ц согласно вы-

к,(0) = Е

-1 о,

ражению ц = агсвш

. На комплексной пло-

Поделив (15) на (16), придем к следующему результату:

скости построим луч ОЕ под углом ц к отрицательной вещественной полуоси.

Вычертим Мп-окружности, имеющие центр на отрицательной вещественной полуоси, касающиеся РАФЧХ объекта и луча ОЕ. Определим радиус г построенных М^окружностей.

С помощью выражения (14) определим значение коэффициента К (О):

ДМ -1 -ДМ ■ О1 + О3

1 ДМ -1

где О1 =^1 = — + —; О3 = ¥3 = Ьх Ьу

л- 3 + л- 3

Ьх Ьу

; ДМ = К3(О)

= 1,333.

м

г =

Л ¡ъл 2

зад

К(О) = 13,5; К3(О) = 18. Определим параметры п1, Е1:

(14)

Кх(О) = Е

-1 о

(15)

КДО)

Произведем вычисления и получим п1: п = 61,85.

Подставляя значения п К3(О)О3 в (16), получим Е1.

Произведя расчеты по изложенной выше методике, получим следующие результаты: П = 61,85; Е =12.

Запишем передаточную функцию распределенного регулятора:

Рис. 5. Расширенные частотные характеристики системы

Ж (х, у, р) = 12-

61,85 -1

1

(17)

61,85 61,85 Ж(х,у,р) = 12-[0,985 - 0,0161 ■ V2].

Используя полученную передаточную функцию, построим расширенные частотные характеристики разомкнутой системы управления.

Как видно из графиков (рис. 5), замкнутая система будет устойчива, а запасы устойчивости по

модулю и по фазе у разомкнутой системы не менее заданных.

Разработанная методика позволяет рассчитывать настройки распределенного регулятора, реализующего пропорциональный закон управления, по заданному значению показателю колебательности, а следовательно, и с требуемой степенью затухания переходного процесса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дудников, Е.Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Е.Г. Дудников. -М., -Л.: Госэнергоиз-дат, 1956. -264 с

2. Ляшенко, А.Л. Частотный анализ объектов с распределенными параметрами с помощью расширенных частотных характеристик [Текст] / А.Л. Ляшенко // Матер. VI науч. конф. Управление и информационные

технологии. -СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2010. -С. 65-70.

3. Першим, И.М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами [Текст] / И.М. Першин. -Пятигорск: РИА на КМВ, 2007. -244 с.

4. Рапопорт, Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами [Текст] / Э.Я. Рапопорт. -М.: Высш. школа, 2003. -299 с.

УДК 681.3 (075.8)

Н.В. Ростов

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ НОРМИРОВАНИЕ ЭТАЛОННЫХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Синтез линейных САУ с регуляторами различных типов обычно проводится с использованием явных или неявных эталонных моделей (ЭМ). Такими моделями могут быть желаемая передаточная функция (ПФ) или ЛАХ разомкнутой системы, желаемое размещение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы или интегральный квадратичный критерий с заданными матрицами весовых коэффициентов. Параметрическая оптимизация линейных и нелинейных САУ итерационными методами также часто осуществляется по ЭМ, задающей желаемые показатели качества проектируемой САУ.

Однако из-за субъективности выбора ЭМ динамические возможности синтезированной системы могут оказываться не полностью использованными, либо задаваемая эталонной моделью динамика может быть недостижимой для реальной системы из-за энергетических ограничений, влияния нелинейностей или недостаточных запа-

сов робастности при действии внешних возмущений и отклонениях параметров объекта управления (ОУ) от расчетных значений. В связи с этим важное значение имеет оптимизация выбора ЭМ, представляемой в нормированном виде.

В теории автоматического управления разработаны методы нормирования ЭМ по критериям, оценивающим быстродействие, степень устойчивости, колебательность и другие показатели САУ [1, 2]. На практике требуется выбирать ЭМ одновременно по совокупности показателей, следовательно, необходимо многокритериальное (МК) нормирование. При этом векторные критерии, по которым осуществляется нормирование, и структура ЭМ должны соответствовать классу (целевому назначению) САУ и структурным особенностям объекта управления и регулятора.

Ниже предлагается метод МК-нормирования, позволяющий определять Парето-оптимальные значения параметров операторных и векторно-