Определение объема жидкости в цилиндрическом котле Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. К. Конюхов, проф. СТИ.

Определение объема жидкости в цилиндрическом кош.

1. Метод Рейнольдса и Катрелля.

В химической промышленности, нефтяном деле, на железных дорогах иногда встречается надобность определить объем жидкости, содержащейся в горизонтальном цилиндрическом котле, наполненном не до верху. Так как в справочниках нет надлежащих формул для решения этой задачи, то покажем, как ее решить.

Пусть (черт. 1) у нас имеется горизонтальный цилиндрический котел с двумя днищами, очерченными радиусом R. Назовем радиус цилиндрической части котла через г, а длину через 1, Далее введем такия обозначения: ML = x (глубина наполнения котла); НО L — и НО' L= / ср. Заметим предварительно, что НКН' представляет поверхность уровня в сегменте котла и что точка О', представляя проекцию точки О на линию симметрии поверхности уровня, является в тоже время центром, из которого делается засечка для получения дуги круга НКН'. Сейчас же можно написать

х — г — г Cos 0 = 2 г Sin2 ^ ...........(1)

Если соединить точку С с точкой К, то получим прямоугольный треугольник СО' К, у которого CK — R, CO'^OL^r Cos 9. Таким образом,

О'К /К2 —г Cos2 В..............(2)

По можно также положить

0'К = лг у 1-й = у 1 -ИЕЧ......(3)

где

sin е

Чтобы выявить значение коэффициента л, обратимся к рассмотрению треугольников ОН L и О' HL. Сейчас лее можно написать:

HL = г Sin В; HL = 0'L ig<p = CO 1gy = j/ R2 — г2 • t-g'f ... (4)

Следовательно,

r Sin 0 — |/"К2 — г2 t-g(f..............(5)

извкстия сти. т. 48 (п). вып. 4.

Откуда получаем

tg í^^W ^Sm е..............(6)

т. е.

^У^-Г2 .................(7)

Введем теперь такие условные обозначения

х = е - Sin2e

У — — 2 Ь 0 — \ >.'0+ ?-ХЯи2в +

О О

+ * Со8е(Со8 2 9--6>Л-5)аг<^ -+ ■ +

Теперь результат интегрирования получит более компактный вид

У = ХгЧ + Уг»...............(14)

Вопрос теперь сводится к тому, чтобы найти числовое значение для X и У,

Когда необходимо произвести более точный подсчет объема жидкости, то в клепаных котлах нужно учитывать наличие заклепочных головок.

В том случае, когда заклепочные головки обращены выпуклостью внутрь котла, у-ние для объема получает вид

V = г- IX — г3 ¥...............(15)

Если одна заклепка обращена головкой внутрь, а другая наружу, то

V - - г-1 X..................(16)

Для удобства скорых подсчетов даются следующие таблицы значений X и ¥, найденные путем точных вычислений, принимая во внимание наличие заклепочных головок и котельных швов.

В этих таблицах р = ^ Значение р взяты в пределах от ^/о диаметра

образцового котла, в котором радиус сферического днища равняется диаметру котла или В = 2 г.

рассматривать теперь площадь уровня жидкости в котле. Она состоит из центрального прямоугольника с площадью 21 г Sin 9 и двух сегментов с центральным углом 2 ^ и радиусом О' К. Площадь каждого сегмента представляет разность площадей сектора О' ВКН' О' и треугольника О' ШГ.

Так и выразим эту площадь

О)

(0'К)а<? —HLj/R* —=

= г1 (X* 4- Sin2 В) ср — г Sin В ]/ R2 — 1'- =

= г2 (л2 -j- Sin- В) -f — г2 Л Sin 0.........(8)

Знал площадь сегмента, не трудно найти элементарный объем слоя воды в котле

(I У = |2 г 1 Sin 0 4- 2 г2 (X2 -f- Sin2 В) ? — 2 г2 X Sin 01 <1 х ... (9)

Но х = г (1 — Cs 0) dx = r Sin В <1 В ...........(10)

Так как в этом уравнении переменными являются величины х, f и 0, то для проведения интегрирования необходимо выразить х и ср через 0.

Итак, получаем

е

У=2г* I — г X) Sin2 0 4"r О-2 Sin В --í-Sin* В) are tg t! В . .(11)

о

Проще всего интегрирование производить по частям. В таком случае получаем

У =га^1—2гХ— Ц rX3j 0 + Г* (4rX~3l)Sin2B j

г3 Sin 0

+ ... Cos 0 (Cos 2 0 - Г) Х- — 5) arc lg - — - 4-3 X

4- ^ ■ г® (Xе 4-1) 1'' arc tg 1>-2 j ig в......(12;

Аналитически величина 0 выражается так

0 — 2 arc Sin Л/ ..........(13)

r 2 г .

и изменяется в пределах от 0 до 180°. Наконец,

arc tg tg В

изменяется в пределах от 0 до г.

Если положить 0 = 0 или 0 = тг, то

^Sin 0 j

arctg--1 = 0.

У/о

0.5 0.0022]

i ! 1.0|0.0054Í

1.5 0.0098

! 2.0 Ii 2.5

0.0150

0.0210

3.0(0.0275)

i

3.s|o.0336i

4. ojo. 0422 4.5¡0.0502!

5.0 5.5 6.0 0.5 7.0 7.5 8.0 8.5

0.0587; 0.06771 0.0770| О.0867¡ 0.0967 j 0.1071 0.1178 0.1288

9.0(0.1401

i i

9.5j0.1517 IO.OÍO.1635 10.5!o.l757

11. ojo. 1880

11.5j0.2007 12.00.2135 0.2266 0.2399 0.2535 0.2673 0.2813 0.2955 0.3100 0.3245

12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0

Lg '/

7.34242-

7.73239-

7.99123-

8.17609-

8.32222

8.43933-

8.52634-

8.62531-

8 70070-

8.76864

8.83059-

8.86649 -

8.93802 -

8.98542-

У.02979-

9.07115-

9.10992-

9.14644-

9.18099-

9.21352-

8.24477-

9.17416-

9.30255-

9.32940-

9.35526-

9.38003-

9.40398-

9.42700-

9.44917-

9.47056-

9.49136-

9.51121-

I Y

-loj --îojo.ooi -10(0.001

-1 ojo. 001

i

lojo.ooi

-lOjO.OOl

-10j0.002

!

-I0jo.002

10 0.003 -10:0.003 -10 0.004

-10 0.004

¡

-10'0.005

-10(0.005

-W'0.006

-IOJO.007; 7 ! ] -lOjo.OOÜj

í --lOjO.OlO

- lOjO. 012

-100.013:

-1010.015!

10i0.017¡ 10|0.0191 -10 0.021 10;0.024:

-1 OiO.026

I !

10¡0.029;

j

10Í0.031

Le: Y

P°/o

Lg X

Lg Y

10 0.034

10 0.036;

i I

10|0.039

i

10|0.042

00000-00000 00000 00000 00000 30103 30103 17712-47712-60206 60206-69897-69897-77815-84510 95424-00000-079]8-11394-17609 23045 27875-32222-38021-41497-40240-49130-53148 55630 59106 62325-

-10 -10

-10 -10 10 -10 -10 -10 -10 -10 - 10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10

-10 10 -10 -10 -10; 10 -10

16.5 17.0 17.5

0.3392 0.3541 0.3692 i 8.0 0.3815 18.5¡0.4000

I

19.ojo.4156 19.5 0.4315

20.0

. i

0.4473

20.5'0.4634

21.0 21.5 22.0 92.5 23.0 23.5 24.0 21 .5;

0.4796 0.4961 0.5125 0.5291 0.5459 0.5628 0.5798 0.5969 25.0i0.6142 25.5 0.6317 26.0 0.6491 0.6667 0.6844 0-7023 0.7201 0.7381 0.7562 0.7744 0.7927 0.8100 0.8295 0,8481 0.8667

26.5 27.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5 30.0 30.5 31.0 31.5 32.0

9.53046-

0.54913-

9.56726-

9.584P0-

9.60206-

9.61868 —

9.63798-

0.65060-

9.66596-

0.68088—

9.69557-

9.70969—

9.72351-

9.73711-

9.75035-

9.76328--

9.77590-

9.78839-

9.80051-

8.81239

9.82393-

9.83531 —

9.84652—

9.85739-

9.86812—

9.87864—

9.888Ä7—

9.89911-

9.90849-

9.91882—

9.92845—

9.93787-

0.045 0.048 0.052 0.055 0.059 0.062 0.066 0.069 0.073 0.077 0.081 0.085 0.089 0.093 0.098 0.102 0.107

100.111

I

10,0.116

-100.121

100.126

0.131 0.137 10 0.142 10,0.148 10 0.153 10 0.159 10 0.164 I ojo. 170 100.176 10 0.182 10 О Л 87

8.65321 -10

8.68124 —10

8.71600 -10

8.74036 -lOf

8.77085 -id

8.79239 -loj ¡

8.81754 -'1

8.83885 —10I 1

8.86332 1 —íoj ;

8.88649- 1 —10¡

8.90849 -10

8.92942 -10

8.94739- -1?

8'96848- -10.

8.99123 -10

9.00860

9.02938 -jo;j II

9.04532 Ü -10; 1

9.06745- -io|

9.08279 i -10

9.10037- 4

9.11727- -10

9.13672- -10 i

9.15229- 1 -10

9.17026 -10

9.18469- -10

9.20140- -lOj

9.21484- -10:

9.23045- If -Ш

9.24553- -10

9.26007- -10

9.27184- -ч

' P°/o X Lg X Y Lg Y P°/o! 1 /. . Lg X Y Lg Y

| 32.5 i 0.8854 9.94714 — 100.193; 9. 28556 - 10 48. 5 l. 5101» 0. 17924- -00,0. 1 411: 9. 61384— i 1 10!

!33.0 1 0.9042 9.95626 — 10 0.199! 9. 29885— 10 49.0; 1. 5308 0. 18192 - 00 0. 418: 9. 62118— io|

1 ¡33.5 i 0.9239 9.96563 — 10 0.2061 9. 31387 — 10 49. 5 1. 5508: 0. 19056 -000. 426; 9. 62941 - 1(>;

34.0 0.9119 9.97400— 10 0.212: 9. 32634 - 10 50. 0: 1. 5708 0. 19612 -00 0. 433 9. 63649— 10¡

34.5 i 0.9609 9.98268— 10 0.218' 9. 33846- 10 50. 5 i . 5908: 0. 20162- 00 0. 141 9. 64444- 10

i j35.ojo.9799 0.99118 — 100.224 9.35025- 10 51. Oí 1 . 6108, 0. 20701- -000. 448, 9 65128- 10

Í35.5 0.9991 9.99961- 10 0.2311 ¡ 9. 36361 - 10 51 . 5 1 6308 0. 21240- -ooo. 456j 9 65896- 10

136.0 | 1.0182 0.00783- 00 0.237 9. 37475— 10 52. 0 1. 6507 0. 21767- -000.463! 9 66558- 10

¡ 36.5 1.0375 0.01599- 00 0.244 9 38739— 10 52 5 ¡ i 1 6707 0 22290 00 0.470 9 67210 - 10

!37 .o| 1.0508| 0.02349- 00 0.250; 9. 39794- 10 53 0 1 6907 0 22807 ■ ooo. 477; 9 67852- 1o1

|| 37.5 1.0762 0.03189- 00 0.257 9 10943 — 10 53 5 1 7107^ 0 23317- — 00.0 4 84 j 9 68485- 10

¡3S.Olí.0955 ! 0.03961- -00 0,263' 9 41996- 10 54 0 1 7306 0.23820- -ooo 491 9.69108 — 10;

38.5 1.1150 0.04727— -00 0.270 9 43136 - 10 54 5 1 7505, 0 24316 -000.498: 9 69723- 10

¡39.0 1.1345 0.05480- 00 0.276 9 44091 - 10 55 01 7701 0 24807- 0010.505' 9.70329- 10

139.5 1.1540 0.06221- -00 0.283 9 45179 - 10 55 1 5i 1 7903 0 25293 — 0010.513 9 71012- 10

: 40.0 1.1735 0.06948— -00 0.290 9 46240 - 10 56 Olí 8102, 0 25773- -00;0.520Í 9 ¡ 71600 - 10

40.5 1.1932 0.07671- -00 0.297 9 47276 - 10 56 5; 1 8300 i 0 26245 -ooo 5271 9 72181- 10

41.0 1.2128 0.08379- -00 0.304 9 48287- 10 57 0 1 8498: 0.26712 -OOjO 534 i í) 72754- i0i

i 41.5¡1.2325 0.09079- -00 0.312 9.49276- 00 57 5 1 8696; 0 27175 -00 0 541; 9 73320- 10

42 .o'l .2522 0.09767- -00 0.318 9 50273- -10 58.0 1 8894; 0 27632 - 00 0 548: 9 73878- -10

I 42.5¡1.2720 0.10449- 00 0.325 9 51188- 10 58 5 1 9091; 0 28083 -00 0 555: 9 .74429 — -10

¡43.ojl.2918 ■ i 0.11120- 00 0.332 9 52K9- -10 59 01 9288 0 28529 - ooio 5621 9 74974- -10

¡43.511.3116 ¡ j 0.11780- -00 0.339 9 .53020- 10 59 5 1 .9185 0 28970 00 0 569: 9 75511 - -10

44.0¡1.3314 0.12431 - 00 0.346 9 .53908- -10 60 - 0| 1 .9681 0 .29105 -000 576, 9 .76042- -10

144.5|l .3513 ! i 0.13075- -00 0.354 9 .54900- 10 60 .5 1 .9876, 0 .211833 — 00 ;0 .583 9 .76567- -10

j 45. o| 1.3712 Í 0.13710— l 00 0.361 9 .55751- -10 61 .0 o .0071! 0.30257 -OOiO .590 9 .77085- -10

145.5 11.3911 0.14336 00 0.368 9.56585- -10 61 .5 2 .02661 0 .30677 -00 0 .597 9 .77597- -10

i 46.0)1.4110 0.14953- -00 0.375 9.57403- -10 62.0j2.0461 0.31093 ooio. 603; 9 .78032- -00

46.5¡ 1.4810 i 0.15564- -00 0.382 9 .58206- -10 62.5(2.06551 0.31503 i | -00!!0 .610 9 .78533 - -10

47.0 ¡1.4509 0.16164- -00 0.389 9 . 58995— -10 63 .0 2 .0848 0.31906 -oojo.oic! 9 .78958- -10;

47.5 1.4709 0.16758- -00 0.396 0 .59770- -10 63 .5 2 .1041 i 0.32307 -00 0.623 9 .79449 - -10

48.0 1.4901 | 0.17345- -00 0.403 9 .60531 - -10 64 .0 2 .1238; O .32703 -00¡0 .629 9 .79865- -10

:P°/0 X i Lg Z ! Y 1 1 Lg Y i pO/oj X | Lg / I i Y i i i Lg Y

i 64.5 r 2 .1426 1 i 0.33094 00l0 636 I r 9.80346- -10 82.5 1 : : i 2.7723; 0.44284 - -00 0 • i .815; 9 .91116- -10

65.0 2 .1617 0.33480- -00 ¡0.642 9.80754- ( -10 83.0Î2.7875 0.44521- i -00 0 .818 9 i .01275- -10

65.5 0 LJ .1807 0.33860 - -00 0.648 9.81158- -10 83.5 2.8002 0. 14753- -ooio i .821 ; o .91434 - loi

66.0 2 .1997 0.34236- -00 0.654 9.81558- -10 84.0 2.8171 0.44980- -00 ¡0.824' 9.91593- -10

66.5 2 .2186 0.34608- -00 0.661 9.82020- -10 84.5 2.8317 ! 0.45205- -00 0 .827 ; 9 .91751 10

67.0 2 .2374 0.34974- -00 0.667 9.82413- -10 85.0 2.8461 i 0.45425- -00 91908 -10

67.5 2 .2562 0.35338- -00 0.673 9.82802- 10 85.5 2.8603 0.45641- -00 0 .833: 9 .92065— -10

68.0 2 .2749 0.35696 -00 0.679 9.83187- -10 86.0 2.8743 0.45853- -00 0.835 ! 9 .92169- -10

68.5 2 .2935 0.86050- '00 0.685 9.83569 - -10 86.5i2.8881 0.46061- -00 0 .838 : 9.92324- 10

69.0 2 .3121 i 0.36401- -00 0.690 9.83885- -10 87.0j2.9017 0.46265 - -00 0 .840Î 9 .92428- -10

69.5 2 .3305 0.36745- -00 0.696 9.84261- -10 87.5 2.9150 0.46464- ! 1 -00 0 .843 ! 9 .92583- -10

70.0 2.3489 0.37086- -00 0.702 9.84634- -10 88.0 2.9281 0.46059- -00 0 .845 ' 9 .92686- -10

70.5 2 .3672 0.37424- -00 0.708 9.85003- -10 88.5 s2.94loi 0.46850- -00 0 .847 9 .92788- -10

71.0 2 3854 0.37756- -00 0.713 9.85309- 10 89.0j2.9536' 0 47035- -00 0.849; 9 .92891- 10

71.5 2 4035 0.38084- -00 0.719 9.85673- -10 89.5 2.9660 ! 0.17217- -00 0 .851 1 9 .92943- -10

72.0 2 1215 0.38408- -00 0.724 9.85774- -10 90.0 2.9781 ! 0.47394- -('0,0.853 9 .93095- -10

72.5 0 u 4394 0.88728- 00 0.730 9.86332 - -10 90.5 2.9899| 0.47566- -00 0.855 9 93197- -10

73.0 2 4572 0.39044- -00 0.735 9.86619- -10 91.0 3.0015 0.47734- -00 0 856 9 93247- -10

73.5 2 4749 0.39356- -00 0.740 9.86923- 10 91.5 3.0127 0.47896- -000.858 9 93349- -10

74.0 2 4925 0.39664- -00 0.745 9.87216- 10 92.0 3.0238 0.48055- oo!o 859 9 93399- 10

74.5 2 5100 0.39967- -00 0.750 9.87506- -10 92.5 3.0345 0.48209 - -000.860 9 93450- ■10

75.0 2. 5274 0.40267- -00 0.755 9.87245- -10 93.0 3.0449 0.18357- -00 0 861 9 93500- 10

75.5 2. 5446 0.40562- -00 0.760 9.88081- 10 93.5 3.0549 0.48500 - 00 0 862 9 93551- •10

76.0 2.5618 0.40855- -00 0.764 9.88309- 10 94.0 3.0646 0.48637- 00 0 862 9 93551- 10

76.5 2. 5788 0.41142- 00 0.769 9.88593 - 10 H.h 3.0739 0.48769- 000 863 9 93601- 10

77.0 2. 59571 0.41425- -00 0.773 9.88818- 10 95.0 3.0829 i 0.48896- -00 0. 863 9. 93601 - 10

77.5 2.6124 0.41704- -00 0.777 9.89042- 10 95.5 3.0914 i 0.49016- -00 0. 864 9.93651- 10

78.0 2. 6291 0.41981- 00 0.781 9.89265- 10 96.0|3.0994 0.49128- 00 0. 864 9. 93651- 10

78.5 2. 6456 0.42252- 00 0.785! 9.89487- 10 '6.5 3.1070 0.49234- 00 0. 865 9.93702- 10

79.0 2. 6620 0.42521- 00 0.789 9.89708- 10 97.0 3.1141 0.49333- oo'o. 805 9. 93702 — 10

79.5 2. 6782 0.42784- ■00 0.793 9.89922- 10 97.5 3.1208! 0.49427- 00 0. 865 9. 93702— îoj

80.0 2. 6943 0.43045- -00 0.797 9.90146— 10 98.0 3.1266 0.49507- ooio. j 865 9. 93702- loi

80.5 2.7102 0.43300- 00 0.801 9.90363- 10 98.5 3.1319 0.49581- oojo. 865 9. 93702 - 10

81.0 2. 7260 0.43553- 00 0.804 9.90526— 10 99.0 3.1362 0.49640- 00 0. 865 9. 93702— io|

81.5 2.7416 0.43800- 00 0.808 9.90741- 10 99.5 3.1391 0.49685- 00 0.866 9. 93752- 10|

82.0 2.7571 0.44045- 00 0.811 9.90902 10 100.0 3.1416 0.49715- 00 0.866 9. 93752— îoj

Покажем на примере, как пользоваться сводным числовым материалом.

Пример. Пусть длина котла е = 24 фута, а диаметр 8 футов. Глубина жидкости в котле 2 фута. Тогда объем жидкости будет

V = 4-' ■ 24 х 4* * у == 384 х 64 у.

Сейчас же нужно найти р

х

= ■ 0,25 или 25°/о. 2 г 8

По таблице находим для р = 25®/о значения

X = 0,6142 и У = 0,111.

Следовательно,

V —384 • 0,6142 4- 64 • ОД И = 235,8528 + 7,104 = 242,96 куб. фут. Или можно прибегнуть к логарифмированию.

Lq 384 X = 2,58433 + 9,78831—10 = 2,37204 Lg 64 Т = 1,80618 -]-- 9,04532—10 = 0,85150

Следовательно,

■V = 235.8528 -!- 7,104 ^ 242,96 куб. фут. Ничто, конечно, не мешает вычислить таблицы для котлов другого размера. Предварительно нужно вычислить значение

• 1 Г ..............(17)

для каждого котла, а потом находить значение X и У для последовательных значений — 0 по уравнению

0 = 2 arc Sin ............(18).

2. Метод Кеммеля.

Пусть котел наполнен больше, чем на половину высоты (по направлению вертикального диаметра). Объем жидкости можно удобно разбить на три части: 1) центральную, у которой основанием служит сектор SKS (черт. 3), а высотой длина цилиндра Е, 2) два нижних шаровых полусегмента, составляющих целый шаровой сегмент, равный по объему днища котла и 3) два верхних неполных шаровых сегмента.

Объем первой части будет такой

Здесь n = число градусов, соответствующих дуге NKW, OA = с и AN == b (черт. 3). Объем второй части будет

Va= —BD) в ........(20)

Но ?Л) = 01) — OB = R — К Cos «/s г- R (] — Cos % Следовательно,

к R2 (1 — Cos а/а ) 2 (3 R — R + R Cos )

V,

тг R3

о

(2 — Я Cos aU + Cs1*/» ).........(21)

Переходим теперь к определению объема третьей части. Если провести сечение S —S' (черт. 3) ва расстоянии х от оси котла, то получим уровень жидкости в форме кругового сегмента, проекция которого на горизонтальную плоскость, проходящую через ось котла, изобразится сегментом СБСЕ (черт. 4). Площадь этого сегмента будет равна

1 2

0> = ОСЕС — осе = - - Р2 arc ? — р Cos-J-- pSin */в=Д- (arc <p — Sin <р). . (22)

и ¿i Á

Элементарный же объем выразится так

р2

(I \z oj dx —- -^ (arc © — Sin <р ) el х........(23)

х = с

• _ I ?! I 2

f/ т — г.

2

(arc f — Sin 9) d х . ........(24)

X с

Чтобы можно было произвести интегрирование, выразим р .и ср через х и известные величины.

р* — R2 — х2; р2 Sin2 ~ = R2 Sin2 =х2; р Cos«/2 = RCosa/s

Эти уравнения без труда получаются, пользуясь чертежами 2, 3 и 4. В таком случае будем иметь

j/r' Sin -■-

Cosí ="7Cos'l';

Значит

x2

¥ r„„ ¥

2 R Cos -2"|/r2 Sin" - x2

2 Sin Cos-~- = Sin <p =--------------------------------., - ■ ~ . . . Í25

¿ ¿ 9

Подставляя это значение Sin<p в интеграл (24), получаем

X — С X í= с

/А = о ЛАви

-у arc со d х — I RCos "тгУ R2 Sin2 — х2 d х . . . (25

X =0 "" в/ 1«0

Оставляя первый интеграл, заметим, что второй интеграл разрешается без затруднений, так как величины RCos ~ nRSin- величины постоянные.

¡L ¿¡

Напишем этот интеграл

К Cos

I Í V^Si 'j 1 = 0

R'Sin2 9 — x2-dx

RCos

----------------------------------------II2 Sins

J-lR'Siti' — xM------ ó arc Sin

Л A 2i

R Sin

^ __------- R2 Si fl'

- R Cos R2Sin2— C* + ~......arc Sin

a_t С

2 2

2

. (26^

RSin

Займемся теперь нахождением интеграла

/X « с X ™ о

are<pdx =

/х = с

P'arc(f)

X = О

dx

/X = ( х = о

/кCos-- . ра arc Cos _ 2 ](ix

V Р

(27)

Для проведения интегрирования необходимо р заменить, выразив его в зависимости от X, Тогда получим

/х = с

«

х = о

RCos

(R2—x*)arc Cos

^ d

j/R2-x:

(28)

Интегрирование удобнее всего произвести по частям, по известному уравнению f Vd U = UV —f Ud V............(29)

полагая

Отюда имеем Значит,

RCos—-

d V = (Rs — x*) d x и U = arc Cos

l/R2—:

(30)

(R* — хг) arc Cos

RCos-|- RCos-J-

-__dX =r 4- (3 R2 — xs)arc Cos -=J-9

V/R2-x4 3 j/R2—Xs

/

0 R X Cos 4- d *

3RÍX-X' ' 2 .....(32)

3 ÍR*-x')/R2Sin2JL_xí

Не трудно усмотреть, что разрешение задачи интегрирования свелось теперь к нахождению интеграла

/

_ ';iR2f-^dx .......(33)

(R2-X)y R2Sin2 * _х2

Этот интеграл можно разложить, пользуясь тем соображением, что

ЗК*х»—X* _ 2 R4 __ R2x2-2R1-x4 + 2R2x2 — 2 R*

II1 — И* А "' "Л«-*« К2 - х2 ' ^

В свою очередь можно написать

_2__1 К(11—х _ К' + К^+^Г!11^ (35)

К* - X» К ( II4- х) 1 " Н2(1Г--х2)

(3 R 2 х 2 —■ х4) d х fC х2 d х

- =■■= — 2 Rs

O (r2 — X») |/rj Sin2 — X2 l O j/r2 Sin2 4

А и

f

dX f R4 - Ц* - . .(36)

O V^R'Sin«-* Jo (R»-X»)|/ R2Sin2 —x2

2

Заййемся теперь разрешением этих интегралов в отдельности

/------------- - R»Sin«-J

x'dx х 1/-02 0. о а „ . 2

-- R8 Sm2 -- — х2 -f-

0 Sin*

2 ' 2 х2

/

dx

|/R2Síd2 ~ — x2

. . . .(37)

(см. L. Kiepert II Teil Integral-Rechnüng s. 95)

Гc

_ 2 K4 / / -¿Д.--.-- - -- = — 2 R2 are Sin X...........(38)

J o y R2Sin* RSin*

Таким образом, первые два интеграла дают

R2 ( Sin2 I - 4 J

- Х9 У R2Sin2 + V ъ-2 I arc Sin -х .....(39)

Á 2 1 2 т> с- а

R Sin ~

Интеграл третий найдем так

2 dx

R4

J о (R2 — х2) R2 Sin ------ х2

А

/* С

R-х/ а + *'/ R + x / 2 ^ « Г4°>

|/R2Sin2 | —X2 J о |/R2Sin2 " —Xa

Найдем эти интегралы отдельно. Введем новую переменную, полагая R —

= —. В таком случае 1) U = . > 1 : 2) х2 ~ R2 — 2 ^ -4- V u R — х у п и

и 3) dx = ^.....................(41)

и ■

Подставляя эти значения в первый интеграл, получаем

U d U

Л 1 _ :(ÍX - Кз Л „_..„

j o(r"x) j/r2Sin2-j-— X2 е/ U2|/r2£

R8

«/ o(K_XJ l/R»Sin« -J -x2 J U2j/R2Sin2 * -R»- ' 4-2?R

' 2 r 2 u* L

/■dU Г dü

j/lT2R2Sin2 ~— U2 R2 — 1 -f- 2 RU J |/2Ru—lCos2 ®-R2TJS

¿i и

Этот интеграл разрешим (см. Kiepert, II Teil Integrale Rechnung S. 703).

i

R-Sin2 * -x arc Sin -------------- 4- C, . (44)

/2RÜ- 1 -R2Cos4 RCos~ (R-x)Sin "

2 2 Подобным же образом найдем интеграл второй, полагая

1) R + x= Ь 2) x2 = |a-+R2-2sR; 3),1х=-|

Тогда будем иметь

/

, t RSin2-l' + x

dX 1 С- 2 i П /л-ч

arc Sin —------ir "T Cf « (4о)

(R-f x)|/R2SiI12^ _x2 RCos ~ (R+x)Sin-|

Собирая вместе результаты интегрирования, получаем такое уравнение для выражения объема

У,=

г

I/ о

р2агс«(1х

К(

.Яш2 9 — х2 (1х

" • (Я Е2 — с2) агс Сое _ " - Соз й28т2 - с* + Н ^ ; С5 А 2

агс Ьт

V

агс 8111 К. 8т2 9 — с

(К — с) 8]п

1?3

(об .. агс 8ш

К 81п

— 4 — 8т5

. (46)

После небольших преобразований будем иметь

КСоэ

* (3 К2—с2)аге С<08 - _ 3 /К*—с»

9 113/оР а г. • °

ЗСов - — Сов ••) агс ьт

) 9 / а

Е Бт

11 С С08 * —8п12*

'2

К2

агс В1П

Н8т2 9-+с

(К -¡- с) 81 п

агс 8т

К 8ш2 9 — с

(К —с) 8111 _

(47)

Это и есть конечная формула для определения У3. Проверим ее.

Пусть котел наполнен совершенно. Тогда С = К8т ~ -. В уравнении . (47)

и

отпадут первый член и третий, так как

В,С08

) агс Сов

>, 2) V

Н28шг £) — с2 = О

И2-1128т2

Самое уравнение примет упрощенный вид

У = - *Г(ЗС08 2 -С°8' 2-1.........(48)

-■"-¿-/2 +Сов» " -ЗСоз "-) . ............(49)

т. е. как раз половина объема шарового сегмента.

Черт. 1.

M'

I мх=х \

¿HOX=f в/ \

¿HCL£=e г 1 \

\

СМ'- Fi

с 0

1 / / V

СГ~ - — —Н. 1 ! I /

------------------- g -........—.......--------—-----------------------------------------------------м

Черт. 2.