CC BY
12УДК 539.3
© Оафаров И.И., Ишмаматов М.Р., Кулмуратов Н.Р.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА НЕПОДКРЕПЛЁННЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ТОННЕЛЬ
Cафаров И.И. - Профессор зав. кафедры «Высшая математика» ТХТИ, Ишмаматов М.Р. - зав. кафедрой «Высшая математика и информационные технологии», НГГИ, Кульмуратов Н.Р. - доцент кафедры "Технология машиностроения", НГГИ.
Аннотация. Транспортнинг статционар юки бушлиц юзасида ёки бушлицни цобиц кумагида ма^камланган ички юзасида таъсир цилади. Юкнинг тезлиги тадциц цилинаётган ер ости иншоотлари учун замонавий транспорт тезлигига мос келадиган товуш тезлиги цабул цилиннади. Ярим фазовий ва цалин деворли цобицларнинг х,аракатларини ифодалаш учун Ламе потенциали орцали эластик назариясининг динамик тенгламалари цуланилади. Юпца деворли цобицлар учун ингичка цобицлар назариясининг классик тенгламалари цулланилади. Тенгламалар юк билан боглиц царакатланувчи координаталар тизимида ёзилади.
Калит сузлар: иборалар: цалин деворли цобиц, статционар юк, бушлиц, царакатланувчи координаталар тизими, Ламе потенциали, модел, устиворлик, цовушцоцлик.
Abstrakt. A stationary transport load acts on the surface of the cavity or on the inner surface of the shell supporting the cavity. The speed of the load is accepted subsonic, which corresponds to modern transport speeds in the studied underground structures. To describe the motion of half-space and thick-walled shells, the dynamic equations of the theory of elasticity in Lame potentials are used, and for thin-walled shells, the classical equations of the theory of thin shells are used. The equations are written in a moving coordinate system associated with the load.
Key words: thick-walled shell, stationary load, cavity, moving coordinate system, Lame potentials, model, stability, viscoelasticity.
Введение.
В теоретическом аспекте решение основывалось на работах [1,2,3]. В [4,9,10] методом разложения потенциалов на плоские волны решены первая и вторая краевые задачи теории упругости для полуплоскости с сосредоточенным внутри неё точечным источником стационарных волн потенциал которого представлен через цилиндрические функции. А в [5], с использованием такого подхода, решена задача о стационарной нагрузке на контуре кругового отверстия в полупространстве. Используя идею этих работ о суперпозиции решений и переразложении плоских волн в ряды по цилиндрическим функциям, в [6] получено, в отличие точное аналитическое решение для дозвукового случая, когда скорость движущейся нагрузки меньше скорости волн Релея.
Постановка задачи и методики решения.
Используя для исследований модельный подход, представим тоннель как бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом г = R, расположенную в линейно-вязкоупругом, однородном и изотропном полупространстве х < h (рисунок 1) параллельно его горизонтальной границе (земной поверхности).
Рисунок 1-Расчётная схема неподкреплённого тоннеля
Определяется реакция полупространства движущеюся с постоянной дозвуковой скоростью С по поверхности полости в направлении оси Z с нагрузкой Р.
Для этого воспользуемся уравнениями движения упругой среды в векторной форме [7,8]
/¿V2 и + (Л + /) %гай&9й = р-^-, (1)
Здесь й(йх,йу,й?) - вектор перемещения точек среды;
р - плотность материала; u - компоненты перемещения; V . - коэффициент Пуассона;
л, =-
VjEj
(1 + vj )(1 - 2Vj )
Vi =
VjEj 2(1 + Vj )
где е - операторный модуль упругости, которые имеют вид [3,4]:
г
Ёф(г) = Ет )-{кг(г-т}р(г)*
_ 0
ф^)-произвольная функция времени; ке (-т) ядро релаксации; Е -мгновенной модуль
И
упругости; Принимаем интегральные члены в малыми, тогда функции фч) = ¥ч)е ", где ^
медленно меняющаяся функция времени, действительная константа. Далее применяя процедуру замораживания [3], заметим ^^ соотношения (2) приближенными вида
^ Ep = E[l -Гс (rnR )-7"ГХ (a>R)p,
где Г с(®л) = |R(r)cosœRTdT , Г s(®л)=|R(r)sin^rdr,
0 0
соответственно, косинус и синус образы Фурье ядра релаксации материала. В качестве примера вязкоупругого материала примем трех параметрических ядро релаксации R(t) = Ae / tl~a . На функцию влияния R(t- т) накладываются обычные требования интегрируемости, непрерывности (кроме t = т),
знакоопределенности и монотонности:
R > 0,^ < 0,0 < ÇR(t)dt < 1.
й - вектор перемещений среды .
Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому удобно перейти к подвижной системе координат -Л = z - ct, связанной с нагрузкой P.
Тогда уравнение (1) перепишется в виде
j___
m 2 м2
д2 u
graddivu + —-V u = —-'
' ' дц
M,
Здесь Мр = с/Ор, М3 = с/с5 - числа Маха;
=4$+2п)1р , =Щ~р - скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.
При действии нагрузки на поверхность полости, имеем
°Х=к = Р Э,г), ] = г,в,П, (3)
где Оц - компоненты тензора напряжений в среде, Р/Э,г) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки Р(8,г).
Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при х = Л
о = О =ог =0 ■ (4)
Преобразуем уравнение (1.2), выразив вектор смещения упругой среды через потенциалы Ламе
u = grad ф + rot
Потенциал у можно представить в виде [7]
х¥ = Фген + rottaeJ'
где еп - орт оси пС учётом этого, (5) примет вид
u = graddiv^ + rot^e^ )+rotrot^e)
(2) и (6) следует, что потенциалы фу удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям
(5)
VV = Mj
д 2<Pj дц2
j = 1,2,3-
(6)
(7)
Здесь М-, = Мр, М2 = М3 = М3. Выразим компоненты напряжённо-
деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы ф;. Компоненты вектора и (6) в цилиндрической (8) и декартовой (9) систем координат [3]:
1 дф2
—
дцдг
дт 1 дф2 д 2фъ ,
дг r дв
1 дц\
u„ =--—
в r дв
дт , 1 дУз ,
---1---
дг r дцдв
(8)
дт 2 д т ; u„ =-D- + m;—^' дц дц
u =<м + дт I д'т ,
* дх ду дхдц
дт дф2 д2р3 ,
дх дудц
(9)
где
m2 = 1-м;
у ду
дф 2 д гф, , и„ =-п- + т;—^' дг дг
Объёмная деформация
е = Шуи = у2ф ■ (10)
Используя закон Гука, с учётом (8), (9) находим выражения для компонент тензора напряжений в цилиндрических (11) и декартовых (12) координатах
р дц2 r \r <
Я2„
,,.2 д2т. 2mI 1 д2т. вт 1 т (t„ = âM + —\--^ + + —12 -
д m
1 дт дфг 1 д m д m
Br r дв д^в r дв1 дц дтдц j
д2т 1 д2т 1 дт д3т 1
°rr =Mr^t+++
дц2 1 Вг2 r двдт r2 дв дт2дц
°r„ = Ml 2
д2т ! 1 дгуг
дцду r двдц
+ (1 + m))
д3т 1
дцгду j
(11)
2 д2т д2уг (1 + mj) д3тз
ацв = --- - +--
r двдц ВгВц
двдц'
2„| 1 bÛîl-L Bîi-вт.-m. Biîi+1 д'т 1 дт 1
M r dßdr r2 дв Br2 2 дц2 r д^цдО r2 дцдвj
Я2
am= (2м + ЛМр) ^ + 2мт^ ^
2 д3тз
дц2
дц
а, = ÀM
дц2 .д гт
+ 2 M
д2т д1Уг , д"Уз
ду2 дхду дугдц j ддгУг , д3тз
а** = ^M^2 + 2м|дт1 + + 2
дц 1 дх дхду дх дц
,„ Ml 2 . ^ + (1 + m2)
1 дцдх дудц
I д2^! , д2т2
д3тз ' дц2дх
(12)
= 2M
д2т в2т m2 д2т в3т
дхду дх 2 дц дхдудц
Таким образом, для определения компонент напряженного-деформированного состояния среды необходимо решить уравнения (7) совместно с граничными условиями (3) и (4).
Задачи действие подвижных нагрузок на неподкреплённый тоннель
В теоретическом аспекте решение основывалось на работах [12,13]. В [11] методом разложения потенциалов, на плоские волны решены первая и вторая краевые задачи теории упругости, для полуплоскости с сосредоточенным внутри неё точечным источником стационарных волн потенциалы которого представлен через цилиндрические функции. А в [12], с использованием такого подхода, решена задача о стационарной нагрузке на контуре кругового отверстия в полупространстве. Используя идею этих работ о суперпозиции решений и переразложении плоских волн в ряды по цилиндрическим
r
а
функциям, в [13] получено, в отличие точное аналитическое решение для дозвукового случая, когда скорость движущейся нагрузки меньше скорости волн Релея.
Постановка задачи для кругового тоннеля.
Используя для исследований модельный подход, представим тоннель как бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом г = R, расположенную в линейно-вязкоупругом, однородном и изотропном полупространстве х < h (рисунок 1) параллельно его горизонтальной границе (земной поверхности). Определим нагрузки Р реакцию полупространства на движущуюся с постоянной дозвуковой скоростью с по поверхности полости в направлении оси Z.
Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому удобно перейти к подвижной системе координат г = г - &, связанной с нагрузкой Р.
Тогда уравнение (1) перепишется в виде
1
1
M 2 M '
д2и .
ТГТ-77Т Igraddivu + —V u =
M2
Ms = с/с._числа
Маха;
комплексные скорости
Здесь Mp = c/cp, Cp =№+ 2~ц)1р =M~p распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.
При действии нагрузки на поверхность полости, имеем
j==R = Pjj = гЛП, (13)
где arj - компоненты тензора напряжений в среде, PjiQv) - составляющие интенсивности подвижной нагрузки P(0, jj). Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при х = h
^ = 0. (14) Преобразуем уравнение (1), выразив вектор смещения упругой среды через потенциалы Ламе
u = grad^+ rot (15)
Потенциал у можно представить в виде [7]
у = Фге^ + г°4зе„), где en - орт оси jj. С учётом этого, (5) примет вид
u = grad div ф + rot(^2e )+ rotrot(^3e
Из (15) и (16) следует, что потенциалы фу удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям
VV = M ■
d2Vj drj1
j = 1,2,3 .
(17)
Здесь М1 = Мр, М2 = М3 = М5.
Выразим компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) среды через потенциалы фу. Компоненты вектора u (15) в
цилиндрической (16) и декартовой (17) систем координат [14]:
1 дф2
дт 1 дт д т
Ur =-!-1 +--^ + —Ï-3- '
дг r дв дгдг
щ = 1 М.
в r дв
дт 2 д2у, ; + m;—^' ux
дг дг
дт7
■2 , 1 д у ,
дг r дгдв
дт+ дгт ,
дх ду дхдг
,2 д>з 's 3-2
(18)
где
дф
2 "y =ф
m2 =1 -Ms. Объёмная деформация
дт дт, , дт
—— + —и„=—D~ + m2 дх дудг дг дг
£ = Шу и . (19)
Используя закон Гука, с учётом (17), (18) находим выражения для компонент тензора напряжений в цилиндрических и декартовых координатах.
,= (2ц + Ж I )
> + 2* Г
Gœ==Ml ц.+Ml ÎÏ,+
в p дг2 r \ r дв2
дг
r дв дтдв r дв'дг дrдr
д^ ^ ^ „ ЯД2 "
--XM 2
д2т 1 д2у
дг
■ + 2 А
ду2
+ -■ r двдт
1 дт д3у3
"r2 "дв+ёТ^ёГ
, = А 2—— +--— + (1 + m])——
дrдr r двдг
дг дr
= А
( 2 д2
У
1 r двдг д^г
д Уг , (1 + m,2) д3тз r двдг2
= 2А
1 д
1 д т 1 дт д у
r двдr r дв ôr1 2 дГ r д^дгдв r дгдв J
mд у
(20)
2 д3Уз
^уу =M
дг2
+ 2 А
дг3 '
д 2у д 2у2 + д 3у ду2 дхду ду гдг
..Ml%+2^I, дг \ дх дхду дх дг J
°xr = А 2
S!« д^г
дгдх дуд r
+ (1 + m,2)
д>з дгг дх
(, 52ф, 52ф2 ^ Э3ф,
а = / 2——---— + (1 + от;)——
^ суд г джд г дуд г
а =2ц{т2 д2ф; | д3фз ху ^дхду дхг 2 д]г дхдудг
Таким образом, для определения компонент напряженного - деформированного состояния среды необходимо решить уравнения (17) совместно с граничными условиями. Применим в подвижной системе координат к уравнениям движения и граничным условиям комплексное преобразование Фурье вида [13]
ф(4) = £хф(г>-'г¿г , (21)
ф]г) = Г ф(£Уеп
2 к
Записывая общие решения
преобразованных уравнений движения тоннеля в виде (12)-(21) находим следующую систему алгебраических уравнений для определения безразмерных трансформант перемещений срединой поверхности
-ç2u о + i&w =-£
2 1 -GLr2TT ■ — G0U 0 '
G
а
G
а
G
где G, = G2 /G,; k = h / a; Pl0 = Pa/ Eh ;
Uo, ^o} = 1 Ui, ^ C02 = cf|£
2 G
Напряжение на границе мягкого слоя и упругой среди (г = Ь) в безразмерном виде имеет вид:
•£ \_ (1 - фИ^ (аа) ж
• f4 I (" ~4JH1 (äa) ■ а ' "Л (a a, . , — .J.
<5Tr =J— -j---sine + ^-Л-sin пв\г d-
an
= J ^
J ж
i ßa2
ß 3a3HZ1' (ßa) + 8^1 H(1)o(ßa) - ßa" (ßa)
— [(1 + (ä а) — ä аН0 (ä a)cos0]-
• in+1 [- пНП" (ä а) + (ä а)Нn—11 (ä а)] ^ i
-2> -cosnß >e
^ An
Здесь £ = р/рв представляет собой отношение плотности окружающей среды на плотность мягкого слоя; а'Р - является
функциями | и -л. Находим следующее выражение для трансформанты нагрузки, которая передается на оболочку со стороны мягкого слоя
"ч гс =-^1 - С2р (<?)
ч
с | кс1=0 В3} = * (- 1У А4^^с1=0 В3]
1 % сЫ|| Ае || ' 2 % ае^| А^Ц ' Элементы определителя ёеф4,|| вычисляется то
формула Ап = -2Ц; А12 =-аи; А13 = пЫш, Ам =-А13; А21 = -^Ап; А22 = а12* ко (г,)/к (^)
А23 = Аз * /о (^)//2 (*2) А24 = А13 * ко (I,)/ к^) А31 = 1А11;
31 2 11
А32 =-1А11; А41 = П\ко(1з)/к1(14)-2А21/(1з/м2); Аз1 = А1з/П1; 32 2 11
А42 = «/ 0 (z3)/ Ii Z )- 2M.S, (z3)/I, (z4 ) A43 = -2Mi2 (¿0 (z5)/k, (z6)+1, (z5)/1, (z6 )/(z6 / M 2 )) A44 = -2M,22 (10 (z5)/k, (z6) +1, (z6)/k, (z6 )/(z6 / M2))
где т^тА-М^; m,2 ;
z! = Мл; z2 = МтП; z3 = M^; z4 = + A,,), z5 = m^; k,, = (b-a)/a;
k, k, -модифицированные функции Неймана;
lo !
I I - модифицированные функции Бесселя;
Решение уравнений движений окружающей среды имеет вид (с7 < Cs < С)
p(r,4) = 4, (i)k„ (m1^r )+Д, (^У 4 (m1^r)
^(r, 4) = С, (mt2&)+D, (i)l4 (Щ2&) (23)
Выражение для трансформанты нормального перемещения имеет вид
w A,[acos(C/?)-i(24)
0 т t ^
Определим a = 1 .2.......5) получается
из
0; 1; 0; 0}. После этого функции а(^)......из
(23) могут быть вычислены по формулам
{a, b,c, d}=
aA,
i2det||Ak,|| {ф^)' I^Y QklmJ)' QM^) a) =- M 3kWo + Po |m4k|G 1 (к = 1,.......4)
ты - миноры элемента Для конкретного
значения скорости движения нагрузки. С знаменатели под интегральных выражений в формулах (21) являются трансцендентными функциями относительно ^ С действительными коэффициентами, зависящими от С, а также от механических параметры оболочки и слоя.
Анализ интегралов обращения необходимо начинать с с ) = о, что эквивалентно
построению дисперсионной зависимости в соответствующей задаче о распространении свободных волн и нахождению из дисперсионных кривых корней знаменателе для выбранной скорости движения нагрузки. С при С < С5. На рисунок 2 изображено изменение перемещений заполнителя в зависимости толщине тел при различных значениях жесткости. Как видно из рисунок (у = 100, 50, 10, 2) что для достаточно жесткого слоя (у = 100) прогибы оболочки существенно снижается И/ .
k'
■ Wx ' )■ 44 4 . 4 \ N.
\ \ \ \ 4. 4 \ 4-. \ \ \ 's. s, 4
\ \ \ \ \ 4. 4 "v. 4 \ 4 N \ -v..
' s 's. \ 4
detl A J заменой j=20 столбцом С элементами {0;
Рисунок 2. Прогибы оболочки в зависимости от толщине.
1. Для заданной скорости С имеется один или два различных корня знаменателя. 2. Для некоторых значение. С знаменатель имеет двойной корень. Этот случай отвечает минимум соответствующей дисперсионной кривой на рис.2. Такая скорость движения называется резонансной и обозначается С. Появляется резонансный эффект, или которой прогибы и контактной давления стремятся к бесконечности.
2. Для данного значения С знаменатель не имеет корней на действительной оси как видно из рис. 2, это будет или, С<Сф (до резонансный режим). При такой скорости движения интегралы обращение не являются особыми и могут быть
A"
A"
aA"
a
CT
те
п = 2
A34 = A13 ! П1
найдены эффектными численными методами. Разделив интеграл (21) на два слагаемых
w0 = — f Xj (qWQ
•J7- J0
или
w0 = — f°>l х (o)dQ
•TT Ja.
(25)
Величину интеграла (25) найдена численно, с помощью метода Ромберга [2]. При вычислении интеграла по методу Ромберга, приходится многократно вычислять
подынтегральную функцию. Обратное преобразование Фурье (25) выполнилась численно. Показано, что при длине шага интегрирование 1,01 погрешность процедуры не превышает 0,3 - 0,5 %
Выводы.
1. Для описания поведения вязкоупругих материалов с нестабильными свойствами, не условливается принципу температурно -временной аналогии, предложено не разностное сингулярное ядро наследственности.
2. Предложено универсальный алгоритм для решений поставленных задач.
Литературы:
1. Вольмир А.С. Гибкие пластины и оболочки. М., 1956.
2. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно недородных средах и конструкциях. - Ташкент. Фан, 1992. -250с.
3. Safarov I.I., Teshayev M.K., Boltayev Z.I., Akhmedov M.Sh. Damping Properties of Vibrations of Three-Layer VIscoelastic Plate. International Journal of Theoretical and Applied Mathematics 2017; 3(6): 191-198
4. Safarov I.I., Boltayev Z.I., Akhmedov M.Sh., 3 Buronov S.A. O distribution of own waves in elastic and viscoelastic environments and constructions. Caribbean Journal of Science and Technology. 2017, Vol.5, 065-087 ISSN 0799-3757 http://caribjscitech.com
5. Safarov I.I., Akhmedov M. Sh., Rajabov O. About the natural oscillations viscoelastic torpidly Shell with the Flowing Fluid. World Wide Journal of Multidisciplinary Research and Development (WWJMRD).2017,3(7). Р.295-309
6. Safarov I.I., Марасулов А.М., Сарсенов Б.Т. Сопоставление частот собственного колебания упругого криволинейного стержня, взаимодействующих с вязкой жидкостью. Наука и жизнь Казахстана №3/2(47),2017. ISSN 2073-333X. C.144-148
7. Safarov I.I., Тешаев М.Х.Отажонова Н.Б. О поверхностных волнах на вязкоупругом цилиндрическом диске. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2017. Вып.2(37). С.53-59
8. Safarov I.I., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. О распространении собственных волн в
диссипативных слоистых цилиндрических телах. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2017. Вып.1(36). С.33-40
9. Safarov I.I., Teshaev M. X. Akhmedov M. Sh.,Boltaev Z.I. Distribution Free Waves in Viscoelastic Wedge with and Arbitrary Angle Tops// Applied Mathematics, 2017, 8. http://www.scirp.org/journal/am P.736-745
10. Safarov I.I., Teshaev M. X. Akhmedov M. Sh., Ruziyev T.R Application Of The Method Of Finite Element For Investigation Of The Dynamic Stress-deformed Condition Of Pipeline Sides When Exposed External Loods. // Case Studies Journal ISSN (2305-509X)-Volume 6, Issue-5-May-2017. Р.38-45
11. Базаров М.Б. Сафаров И.И., Шокин Ю.М. Численное моделирование колебаний диссипативно-неоднородных и однородных механических систем. -Новосибирск, Сибирское отделение РАН, 1996. -189 с.
12.Сафаров И.И.,Ахмедов М.Ш., Болтаев З.И.Колебания и дифракция волн на цилиндрическом теле в вязкоупругой среде. Lambert Academic Publishing . 2016. 262р.
13. Safarov I.I., Teshaev M. X. Akhmedov M. Sh., Ruziyev T.R. Application of the Method of Finite Element for Investigation of the Dynamic Stress-deformed Condition Of Pipeline Sides When Exposed External Loads. // Case Studies Journal ISSN (2305-509X)-Volume 6, Issue-5-May-2017. Р.38-45
14. Safarov I.I., Тешаев М.Х., Отажонова Н.Б. О поверхностных волнах на вязкоупругом цилиндрическом диске. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2017. Вып.2(37). С.53-59
