Определение напряженно-деформированного состояния листового стеклометаллокомпозита, возникающего в процессе его изготовления Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА: Механика деформируемого твердого тела

DOI.org/10.5281/zenodo.1119149 УДК 539.373

А.А. Ратников, М.А. Мега

РАТНИКОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ - заведующий лабораторией кафедры механики и математического моделирования Инженерной школы, e-mail: [email protected]

МЕГА МАКСИМ АЛЕКСАНДРОВИЧ - студент Инженерной школы, e-mail: [email protected] Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091

Определение напряженно-деформированного состояния листового стеклометаллокомпозита, возникающего в процессе его изготовления

Аннотация: На основе метода понижения размерности трехмерных уравнений механики деформируемого твердого тела построена математическая модель для определения остаточного напряженно-деформированного состояния в двуслойной панели стекло-металл. Разработано аналитическое решение поставленной задачи. В результате его установлено, что остаточные напряжения на границах сопряжения слоев существенно меньше разрушающих, что обеспечивает достаточный резерв прочности для практического применения данного материала.

Ключевые слова: математическая модель, понижение размерности, напряженное состояние, остаточные напряжения, листовой стеклометаллокомпозит.

Введение

При изготовлении двуслойного листового стеклометаллокомпозита на металлическую обшивку наносится расплавленная стекломасса, которая при остывании с ней соединяется и обжимается за счет разницы в температурных коэффициентах линейного расширения слоев, что ведет к возникновению касательных и отрывных напряжений на границе раздела слоев. Обжатие стеклянного слоя препятствует образованию поверхностных микродефектов, способствуя резкому повышению статической и динамической прочности стеклянного слоя и всего материала в целом. Регулируя степень обжатия стеклянного слоя в процессе изготовления, можно создавать композиционный материал со специфическими свойствами. В зависимости от его назначения используются различные марки стекла и стеклокерамики с различными металлическими обшивками. Обжатие стекломассы осуществляется за счет более интенсивного сокращения размеров металлических обшивок при остывании композита. Мера обжатия регулируется разницей в температурных коэффициентах линейного расширения слоев композита путем изменения рецептуры стекла [1-3].

Надежность соединения слоев композита между собой обеспечивается определенным уровнем температуры и состоянием поверхностей металлической обшивки в период стеклообра-зования второго (стеклянного) слоя [6, 23].

В связи с тем что тепловой поток процесса остывания стекломассы намного превосходит тепловую энергию деформирования слоев стеклометаллокомпозита, рассматривается несвязная

© Ратников А.А., Мега М.А., 2017

О статье: поступила: 05.10.2017; финансирование: бюджет ДВФУ.

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2017. № 4(33)

задача термодеформирования: температурная и деформационная задачи решаются независимо. Изменение температуры в деформационной задаче учитывается через механические характеристики материалов композитной оболочки (модуль упругости, коэффициент Пуассона) и через температурные коэффициенты линейного расширения материалов [17, 18].

Цель данной статьи - построение математической модели процесса формирования двуслойного листового стеклометаллокомпозита, позволяющей определить остаточные напряжения, возникающие в процессе его изготовления.

Постановка задачи

Для построения математической модели используется декартова система координат. Каждый слой оболочки рассматривается в местной системе координат при совмещении основных координатных поверхностей со срединной поверхностью.

Расстояние х отсчитывается от срединного поперечного сечения оболочки и изменяется в пределах х е[- Ц Ц\, где Ц - половина длины оболочки. Композит предполагается бесконечно

длинным вдоль координаты у. То есть рассматривается плоская деформация, и функции, описывающие поведение композита, не зависят от у. Координата высоты Z отсчитывается от срединной

поверхности в каждом слое и изменяется в пределах 2

е

к к

- здесь и в дальнейшем

к -

номер слоя; к = 1,2.

Нумерация слоев начинается с металлического слоя (к = 1), далее следует стеклянный слой ( к = 2 ).

Процесс формирования листового стеклометаллокомпозита протекает во времени настолько медленно, что силами инерции можно пренебречь. Время войдет в уравнения деформации листа через изменение температуры и связанные с температурой изменения механических характеристик металлического и стеклянного слоя [19, 20, 23].

На рис. 1 показаны силы взаимодействия между листами стеклометаллокомпозита в своих локальных системах координат. Для обоих слоев в условиях плоской деформации фундаментальные уравнения механики деформируемого твердого тела имеют одинаковый вид.

Математическая модель деформирования листового стеклометаллокомпозита включает уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения состояния, характеризующие индивидуальные механические и теплофизические свойства материала слоев, условия сопряжения слоев, начальные и краевые условия.

Уравнения равновесия:

дап да12 да

дх да12

■ +

дх да1з

+ -

ду да

+ ■

13

22

+ -

ду да,

+ ■

дг да

23

23

+ ■

дг да

= 0

= 0

(1)

33

=0

дх ду дг

где ак = ак (у, г) - компоненты тензора напряжений. В силу плоской деформации:

да\х да\

V

дх дгк да^ да

= 0

33

дх дг,,

0

<

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2017. № 4(33)

Соотношения Коши:

е] = 1 (иг,] + Ы],г ),

(2)

где е] — ек (х, 2) - компоненты тензора деформаций; ик — Ык (х, 2) - компоненты вектора пе

д-

'V "г]

ремещений. В силу плоской деформации:

и

2

0; е22 е12 е21 £23 е3 2 0 , ^

А-12

23

0.

Уравнения состояния:

е?.—

1 + У

Г

Л ак -

3у

\

1 + у?

к

+ 6] \ак №,

(3)

где Е — Е(Т) - модуль Юнга; ак — ак(Т) - коэффициент температурного расширения; У? - ко-

8 и

эффициент Пуассона; 6\] - символ Кронекера; ак — г] г] - компоненты шарового тензора

напряжений; Тк - начальная температура на третьем температурном этапе формирования оболочки; Т - температура слоя в текущий момент времени.

Уравнения (1)-(3) образуют замкнутую систему уравнений, которая решается при условиях отсутствия внешних сил и условиях сопряжения слоев, не допускающих смещения их относительно друг друга [5].

Рис. 1. Силы взаимодействия между слоями листового стеклометаллокомпозита.

Геометрические условия сопряжения в любой точке поверхности соединения стеклослоя с металлическими обшивками запишутся в виде:

и,

х.

к. 2

и

х, -■

к2 2

х.

2

— и

к

х,

_2_ 2

(4)

Силовые условия сопряжения слоев данного листового стеклометаллокомпозита получаются на основании третьего закона Ньютона, согласно которому силы взаимодействия одной области на другую равны по величине и противоположны по направлению. Принимая во внимание, что направляющие косинусы поверхностей соединения смежных областей различаются только знаками, силовые условия сопряжения стеклослоя с внутренними поверхностями металлических обшивок запишутся в виде:

к

о

к

3

а

13

X,

2

= а

13

x, -

2

= т

1;

а

33

X.

К 2

а

33

X,

Иг. 2

т

з.

(5)

Краевые условия для внешних поверхностей металлических обшивок имеют вид:

а

13

X, -

к 2

= а

13

X,

К. 2

= а

33

X, -

к 2

= а

33

К

X,

_2. 2

= 0

(6)

В результате релаксации напряжений в процессе отжига все напряжения в стекле и обшив-

ках становятся равны нулю:

а=

(7)

Краевые условия на торцевых поверхностях слоев листового стеклометаллокомпозита находятся из условия работ внутренних и внешних сил на возможных перемещениях точек торцевых поверхностей. С физической точки зрения воздействие краевых условий на твердое тело может быть осуществлено только через работу краевых сил, которая полностью воспринимается работой внутренних сил. Поэтому в случае равенства нулю суммарной работы краевых и внутренних сил на возможных перемещениях не может быть никаких причин для изменения перемещений твердого тела [16]. Выполнение этого равенства на торцевых поверхностях позволяет заменить точные краевые условия приближенными без внесения дополнительной погрешности в разрешающие уравнения теории оболочек. В результате граничные условия можно записать так:

и

1 (0, % ) = 0; ди3

дx

= 0;

; 4(0, %) = 0, Ь) = 0; О(±Ь) = 0; М*(±Ь) = 0,

(8)

x=0

где (X) - отнесенная к единице длины в окружном направлении удельная тангенциальная сила, действующая в направлении образующей; О (X) - отнесенная к единице длины в окружном направлении удельная поперечная сила; М^^ - отнесенный к единице длины в окружном направлении изгибающий момент, действующий в направлении образующей. Данные силовые факторы равны, соответственно:

2 2 2 )= [ак^%. Ок (X)= ¡*3(Х, %. Мк^)= |zаl(x,%

(9)

Кк 2

Расчет всех слоев можно с достаточной для практики точностью вести на основе теории тонких упругих оболочек с использованием гипотез Кирхгофа-Тимошенко, которые сводятся к условиям:

ак3 = 0 в законе Дюамеля-Неймана и

4 = 0; 24 =гк,

(10)

(11)

где ук = ук (X) - осредненные по толщине слоя деформации поперечного сдвига.

Система (1)-(3) совместно с начальными условиями (7), условиями сопряжения слоев (4)-(6) и краевыми условиями (8) представляет собой математическую модель формирования листового стеклометаллокомпозита [12].

Цель решения поставленной деформационной задачи заключается в определении напряжений, возникающих на стыках сопряжения разнородных слоев (стекло и металл) стеклометаллоко-мозита т1 и т3.

2

1

2

2

1

2

V

И

К

К

к

к

к

К

К

к

к

2

2

Разработка аналитического решения деформационной задачи

Для нахождения решения используется метод физической дискретизации, который заключается в расчленении композитной оболочки на естественные слои, что позволяет понизить размерность краевой задачи на единицу.

Листовой стеклометаллокомпозит расчленяется на два слоя, каждый из которых рассматривается в своей местной системе координат как самостоятельная однородная оболочка. Силовые и геометрические условия сопряжения слоев сводят уравнения отдельных оболочек-слоев в общую систему уравнений. Вывод уравнений оболочек-слоев производится из трехмерных уравнений теории упругости на базе гипотез Кирхгофа-Тимошенко применительно к каждому слою. При понижении размерности уравнений теории упругости неизбежно их нарушение, поэтому основной задачей механики оболочек является построение физически состоятельных двумерных уравнений. Эта задача решена в работах [4, 5, 13, 14-16]. Установлено, что при построении двумерных уравнений механики оболочек недопустимо нарушение трехмерных уравнений равновесия и геометрии сплошной среды. Понижение размерности трехмерных уравнений возможно лишь за счет уравнений закона Гука, связывающих поперечные деформации с соответствующими компонентами тензора напряжений. Такой подход отражает физические закономерности деформирования оболочечных тел. Он также применяется и для понижения размерности трехмерных уравнений теории упругости, рассматривая каждый слой как тонкую оболочку.

Суть физически состоятельного метода построения двумерных уравнений механики оболочек определяется следующим:

- введение допущений через поперечные деформации;

- полное удовлетворение уравнений равновесия и геометрии сплошной среды;

- внесение погрешности, которая появляется при построении, в уравнения закона Гука, связывающие поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений, и за счет ее минимизации осуществление корректировки модели материала оболочки;

- ограничение степеней свободы перемещения материала оболочки путем приравнивания к нулю суммы работ внутренних и внешних сил на возможных для торцевых поверхностей листового стеклометаллокомпозита перемещениях.

Суть метода физической дискретизации оболочек заключается в следующем:

- каждый физический слой оболочки рассматривается как самостоятельная оболочка, на которую действуют соседние слои или окружающая среда;

- расчетные слои в сплошной оболочке не могут при деформировании проскальзывать и отслаиваться друг от друга, поэтому все компоненты перемещения общих точек поверхностей расчленения должны совпадать между собой;

- силовое взаимодействие расчетных слоев через напряжения приводит к автоматическому выполнению третьего закона Ньютона (действие равно противодействию), а следовательно, к полному удовлетворению силовых условий сопряжения слоев;

- учет линейных деформаций по толщине каждого слоя осуществляется через функции дополнительных прогибов поверхностей сопряжения слоев, вызванных стесненной частью поперечных деформаций.

Приведенный способ позволяет внести коррективы в модель материала и тем самым учесть особенности его деформирования в составе оболочки.

Из уравнений (11) и соотношений Коши (2) следует:

ди3 А ди1 ди3

—^ = 0 и —3- + —^ = Р . (12)

д%к д%к ^

Первое равенство (12) позволяет определить поперечные перемещения срединных поверхностей:

к

щ = щ >

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2017. № 4(33)

а второе - тангенциальные перемещения и , которые находятся путем интегрирования в пределах [о, 2^ ]. Компоненты вектора перемещений каждого слоя определяются через перемещения срединных поверхностей следующими формулами: к * к

и3 — Щ + Ащк; Ы1 —и? + 2к¥к, (13)

где Щк — Щк (х) - прогиб срединной поверхности к-го слоя; Ы? — Ы? (х) - перемещение средин-

ной поверхности к-го слоя вдоль образующей; у к — у к (х) -

угол поворота нормали к средин-

ной поверхности к-го слоя:

У к —Гк

dw,,

dx '

Ащ? - дополнительные прогибы поверхностей сопряжения слоев, вызванные стесненной частью поперечных деформаций:

1 2

Ащк— -1 ¡с33 ^

Е.

к 0

Подстановка (13) в соотношения Коши (2) приводит их к виду: dut

ек — е11

dx

? + е? —

к 1 ' е22

Щи

dx

^к + 2?

(14)

Подстановка равенств (14) в уравнения Дюамеля-Неймана (3) позволяет определить ком-

поненты тензора напряжений:

1 + у

Е

с,,

3у 1 + у

С06]

6

+ -

Т - Т

к н Т

Тн

jаdT -

(15)

где с? - температурная составляющая напряжений:

Е Т

с

1 -у

¡а^Т •

кТ,0

Поперечные компоненты тензора напряжений СГ? и (Т?^ находятся из уравнений равнове-

сия (2) интегрированием по 2 в пределах

к

к.

2

с

13

С

2 к +

г

С33 — С33

—к

где с13

с

13

V

х, -■

2

к? 2 к + — к 2

тИ

2

\ г

с

дх

^к ;

У

V

кк 2к + —

к2

\

dG

2к 2 к д 2 _ к

13

У

dx

+

и

2 2

52 _к

(11 Л Л

-ГЦ- ^к^к дх

(16)

к? 2

-к

и С33

с

33

х, -■

2

соответственно касательное и нормальное

напряжение, действующее на нижней лицевой поверхности оболочки-слоя, определяемое из соотношений (5) и (6), (1 определятся из (15):

к

к

к

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2017. № 4(33)

а

Е„

11

1 -V

к V

Сик dx

+ г,

С¥к dx

-а

Из полной системы трехмерных уравнений (1)-(3) осталось незадействованным одно уравнение закона Гука (3), разрешив которое относительно поперечных компонент тензора деформаций можно найти вторую форму представления поперечной деформации:

1 + У.

413 =

к к

Еь

а

13 •

(17)

в пределах

Для понижения размерности уравнений равновесия они интегрируются по координате % учитывая выражения (6), и принимают вид:

Кк. Кк

2 2

dNku dx

+ ак - а-к = 0 • + а

.-к '13

dQk

dx

+к 33

о? = 0

(18)

_+к _к где а!3 =а!3

X,

Кк? 2

/т+к — ,г-к

и а33 = а33

X,

Икс? 2

соответственно касательное и нормальное напряже-

ние, действующее на верхней лицевой поверхности оболочки-слоя, определяемое из соотношений

(5) и (6);

\ . Кк_ 2 ' 2

(18')

Первое уравнение равновесия (2) умножается на % и интегрируется в пределах

^+К к+а-к 1-о = 0 -X 2 1 13 131 1 .

Если со вторым уравнением равновесия (1) проделать ту же операцию, оно удовлетворится тождественно [22]. Условия сопряжения слоев (4) через одномерные функции Щ, Щ и Щ. запишутся следующим образом:

щ +—щ = и2 -—щ; щ + Ащ+ = Щ + Ащ2;

где

Ащ±к =

кк +—

1 "2

Еь

| а33 Сг.

(19)

(20)

'к 0

Удельные силовые факторы выражаются через перемещения:

ЕК ¿и . „ ЕИ3 Сщ ~ ЕИ3 (

=—-Щ; М" = -Щ • 01 = +

—щ СX

(21)

Уравнения (14), (15), (16) и (19) являются фундаментальными уравнениями математической модели деформирования листового стеклометаллокомпозита, они образуют замкнутую систему уравнений [13].

Пример расчета

В качестве объекта расчета взят двуслойный стеклометаллокомпозит, состоящий из сталь -ной обшивки марки 40Х13 и технического стекла типа ВВ со следующими параметрами [8, 11, 21]:

к

2

ширина - 2 м;

толщина стеклянного слоя (техническое стекло типа ВВ) - 7 мм;

толщина металлической обшивки (сталь) - 3 мм;

перепад температур (остывание) - 530 оС;

модуль Юнга металла - 185 ГПа;

модуль Юнга стекла - 67 ГПа;

ТКЛР металла - 12,653*10-6 оС-1;

ТКЛР стекла - 8,5*10-6 оС-1;

коэффициент Пуассона металла - 0,3;

коэффициент Пуассона стекла - 0,22.

На рис. 2 и 3 показаны графики распределения соответственно отрывного и касательного напряжений по длине листового стеклометаллокомпозита: от срединного поперечного сечения к торцевой поверхности.

Рис. 2. Отрывное напряжение на стыке слоев.

Рис. 3. Касательное напряжение на стыке слоев.

Заключение

Итак, построена математическая модель процесса формирования двуслойного листового стеклометаллокомпозита.

Разработано аналитическое решение задачи по определению остаточных напряжений в двуслойном листовом стеклометаллокомпозите. Установлено, что остаточные напряжения на границах сопряжения слоев существенно меньше разрушающих, что обеспечивает достаточный резерв прочности для практического применения данного материала [7, 9, 12].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бартенев Г.М., Сандитов Д.С. Релаксационные процессы в стеклообразных системах. Новосибирск: Наука, 1986. 235 с.

2. Бессмертный В.С., Крохин В.П. Количественные критерии оценки вязкости стекол // Стекло и керамика. 2001. № 1. С. 11-13.

3. Боровицкий С.В. О моделировании термомеханического поведения стекол и стеклокристалличе-ских материалов в интервале стеклования. СПб., 1993. 27 с.

4. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 269 с.

5. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. С. 26-47.

6. Диомидов М.Н., Дмитриев А.Н. Подводные аппараты. Л.: Судостроение, 1966. 243 с.

7. Ибсен-Марведель Г.В. Варка и формовка стекла. М.; Л.: Госмашлитиздат, 1932. 175 с.

8. Ищатов А.И., Тодорова В.Л., Боровский А.Е. Взаимосвязь константы деформации стекла и его вязкости при температурах выше температуры стеклования // Стекло и керамика. 1997. № 9. С. 10-11.

9. Китайгородский И.И. Высокотемпературное формирование стекла. Л.: Легкая промышленность, 1949. 154 с.

10. Китайгородский И.И. Стекло и стекловарение. М.: Металлургиздат, 1950. 416 с.

11. Краткий справочник физико-химических величин / под ред. К.П. Мищенко, А.А. Равделя. Л.: Химия, 1974. 200 с.

12. Мазурин О.В. Отжиг спаев стекла с металлом. Л.: Энергия, 1980. 140 с.

13. Пикуль В.В. К проблеме построения физически корректной теории оболочек // Изв. АН. МТТ. 1992. № 3. С. 18-25.

14. Пикуль В.В. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1989. 221 с.

15. Пикуль В.В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1982. 261 с.

16. Пикуль В.В., Пикуль М.В. Математическая модель упруго-вязкопластического оболочечного тела // Дальневосточный мат. сб. 1996. Вып. 2. С. 146-152.

17. Рубанов В.Г., Филатов А.Г. Адекватность математической модели процесса отжига стеклоизделий // Стекло и керамика. 1999. № 2. С. 10-11.

18. Рубанов В.Г., Филатов А.Г. Математическая модель для расчета температурного поля и напряжений при отжиге стеклянных труб // Стекло и керамика. 1998. № 6. С. 3-5.

19. Рубанов В.Г., Филатов А.Г. Математическая модель процесса отжига строительных стеклоблоков // Стекло и керамика. 1998. № 7. С. 8-9.

20. Сильвестрович С.И. Теоретические основы повышения эксплуатационной надежности стеклянной тары // Стекольная промышленность. М.: ВНИИЭСМ, 1987. Вып. 3. 70 с.

21. Соломин Н.В. О замедленно-упругой деформации и низкотемпературной вязкости стекла. Механические и тепловые свойства и строение неорганических стекол: сб. ст. М.: ВНИИЭСМ, 1972. С. 85-90.

22. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002. 736 с.

23. Шульц М.М., Мазурин О.В. Современные представления о строении стекол и их свойствах. Л.: Наука, 1988. 198 с.

THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE

MECHANICS. Mechanics of Deformable Solids

D0l.org/10.5281/zenodo.1119149

Ratnikov A., Mega M.

ALEXANDR RATNIKOV, Head of Laboratory, Department of Mechanics and Mathematical

Modelling, School of Engineering, e-mail: [email protected]

MAXIM MEGA, Student, School of Engineering, e-mail: [email protected]

Far Eastern Federal University

8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091

Determination of stress-strain state of glass-metal composite sheet occurring when manufacturing it

Abstract: Basing on the method of dimensionality reduction of the three-dimensional equations of deformable body mechanics, there has been created a mathematical model to determine the residual stressstrain state in the two-layer panel of glass-metal. The analytical solution of the problem is presented. As a result, it has been found that the residual stresses on the borders of the layer conjugation are significantly lower than the failure stresses. It provides an adequate safety margin to start practical application of the material.

Key words: mathematical model, dimensionality reduction, stress-strain state, residual stress, glass-metal composite sheet.

REFERENCES

1. Bartenev G.M., Sanditov D.S. Relaxation processes in vitreous systems. Novosibirsk, Nauka, 1986, 235 p.

2. Bessmertny V.S., Krokhin V.P. Quantitative criteria for assessing the viscosity of glass. Glass and ceramics. 2001;1:11-13.

3. Borovitsky S.V. On modeling of thermomechanical behavior of glasses and glass-crystalline materials in the glass transition interval. St. Petersburg, 1993, 27 p.

4. Vasiliev V.V. Mechanics of constructions from composite materials. Moscow, Mechanical Engineering, 1988, 269 p.

5. Vasiliev V.V. On the theory of thin plates, Izv. AN. SM. 1992;3:26-47.

6. Diomidov M.N., Dmitriev A.N. Underwater vehicles. L., Sudostroenie, 1966, 243 p.

7. Ibsen-Marvedel G.V. Cooking and molding of glass. M., L., Gosmashlitizdat, 1932, 175 p.

8. Ishchatov A.I., Todorova V.L., Borovsky A.E. Interrelation of the glass deformation constant and its viscosity at temperatures above the glass transition temperature. Glass and ceramics. 1997;9:10-11.

9. Kitaygorodsky I.I. High-temperature glass formation. L., Light industry, 1949, 154 p.

10. Kitaygorodsky I.I. Glass and glass making. Moscow, Metallurgizdat, 1950, 416 p.

11. A Brief Directory of Physicochemical Quantities, eds K.P. Mishchenko, A.A. Ravdelya. L., Himiya, 1974, 200 p.

12. Mazurin O.V. Annealing of the junctions of glass with metal. L., Energia, 1980, 140 p.

13. Pikul V.V. To the problem of constructing a physically correct theory of shells, Izv. AN. SM. 1992;3:18-25.

14. Pikul V.V. Applied mechanics of deformable solids. M., Nauka, 1989. 221 p.

15. Pikul V.V. Theory and calculation of shells of revolution. M., Nauka, 1982, 261 p.

16. Pikul V.V., Pikul M.V. Mathematical model of an elastic-visco-plastic shell body. Far Eastern Mat. Sat. 1996;2:146-152.

17. Rubanov V.G., Filatov A.G. Adequacy of the mathematical model of the annealing process of glass products. Glass and ceramics. 1999;2:10-11.

18. Rubanov V.G., Filatov A.G. A mathematical model for calculating the temperature field and stresses during annealing of glass pipes. Glass and ceramics. 1998;6:3-5.

19. Rubanov V.G., Filatov A.G. Mathematical model of the process of annealing of building glass blocks. Glass and ceramics. 1998;7:8-9.

20. Silvestrovich S.I. Theoretical bases of increase of operational reliability of glass container. Glass industry. 1987;3,70 p.

21. Solomin N.V. Slow-elastic deformation and low-temperature viscosity of glass. Mechanical and thermal properties and structure of inorganic glasses: Sat. of articles. M., VNIIESM, 1972, p. 85-90.

22. Fadeev D.K., Fadeeva V.N. Computational methods of linear algebra. St. Petersburg, Publishing house Lan, 2002, 736 p.

23. Shultz M.M., Mazurin O.V. Modern ideas about the structure of glasses and their properties. L., Nauka, 1988, 198 p.