CC BY
24
Т. Г1 fíe. шкова, В. В.Лишии
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА НА ИЗОБРАЖЕНИИ ПРИ АПРИОРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ЕГО ЛОКАЛИЗАЦИИ
1 ВВЕДЕНИЕ
Во многих задачах анализа изображений бывает чрезвычайно важно не пропустить объекты и детали, которые важны для правильной интерпретации анализируемой информации. Помочь в этом призваны методы цифровой обработки изображений, позволяющие обнаружить такие объекты и отметить их местоположение на изображении с тем, чтобы привлечь внимание исследователя к важным информативным особенностям изображения.
Для решения этой задачи необходимо знание ряда априорных данных, касающихся как исходного объекта, так и фоновой части изображения. Так, например, если фоновая часть изображения трактуется как реализация двумерного случайного поля, то для локализации объекта необходимо знание статистических характеристик фона, а также априорной вероятности локализации объекта в каждой точке изображения [1-3].
В данной работе рассмотрен случай, кота априорная вероятность появления объекта в разных точках изображения неизвестна, что типично для большинства практически важных задач.
Исходное изображение X рассматривалось как смесь сигнала объекта U и фоновой части изображения W, которая представляла собой реализацию двумерного стационарного случайного процесса:
X = QU+W (1)
Изображение U имеет ненулевые элементы в некоторой связной области S, соответствующей области, занимаемой объектом, матрица Q, изменяет случайным образом амплитуду объекта, его размер, координаты локализации на изображении, ориентацию и тд.
Нами рассмотрен случай, когда амплитуда а и координаты (kj) объекта являются случайными параметрами:
Q=AZ =!«,-*.;-/!• (2)
Матрица Z =|íi-*./-/l сдвигает координаты, задающие область локализации объекта в
точку (к,1). Функция распределения случайных координат (кД) объекта неизвестна. Матрица А = al , где I - единичная матрица. Функция распределения случайных значений амплитуд Р(а) сигнала объекта задана. Фон задан ковариационной матрицей Kw со средним W .
Задача сocioki и юм. чюбы обнаружить объект и огметить на и юоражении ошасть его локализации.
Обнаружение объекта яаляется частным случаем задачи классификации элементов изображения |1|. когда необходимо по анализируемой последовательности элементов июбражения х принять решение о принадлежности ттих элементов »|юну и (k.iасе Я0) и соогветствии с гипотезой Я0: х w. или смеси фона W и обьекга и (класс //,), если верна гипотеза Я,: х = и + w.
.Идя решения задачи необходимо знание апостериорных вероятностей Р{х\Нп) и Р(х\Н1) (функций правдоподобия ) для классов Я0 и Н\. Оптимальное Байесовское решающее правило позволяет классифицировать наблюдаемую последовательность
элементов изображения .т :
Принять гипотезу Я,, если L=P(x\ Я,)/ Р(х\ Ип) ^ ;
Принять гипотезу Я0. если L<Lj. . (3)
где L - огношение правдоподобия (тестовая статистика). - порог классификации.
2. СЛУЧАЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ОБЪЕКТА
Если объект известен точно, а фон яаляется реализацией гауссовского случайного процесса, то функция правдоподобия полностью определена ковариационной матрицей Ь^ Оптимальная тестовая статистика будет задана выражением |||:
У и' А„.'.Г - итК^и (4)
где Т - транспонирование матрицы [/ и А'„.'Л'М. I.
Выражение (4) соответствует обработке исходного изображения разбеливаюшим согласованным фильтром и даст оптимальную Байесовскую статистику для обнаружения объекта Полученное изображение V имеет н каждой точке (/,_/') значение
видеосигнала V, равное значению отношения правдоподобия для соответствую!пей ючки (/',Я исходною изображения А Го же самое изображение V может быть получено с помощью оптимального по критерию максимума отношения сигнал/шум (МОСПГ) жнекного фильтра |4]. Это означает, что преобразование (4) максимизирует отношение сигнал/шум. уменьшает и выравнивает шачение локальной дисперсии на фоновой части изображения В точках локализации объекта значение сигнала будет максимально и равно: С I'1 КЛ' + игК'М (5)
Лля определение порогового значения статистики и локализации объекта необходимо шание априорной вероятности локализации объекта в каждой точке изображения, которая по условию задачи неизвестна.
Попомч ни юм 'попы определить, какие точки изображения принадлежат объект.'-нами бы. | и ироаналитированы ятаченин ллеметов V (у,. ...1, ,.. ,.>\ ) и окрестности
каждой точки изображения Злссь г - значение центрального момента анализируемой окрестности с коорлинагами {/.]) При анализе выборки у предполагалось, что входящие в нее элементы у,... .уу некоррелированы Необходимо было установить, принадлежи! ли наблюдаемая последовательность у и элемент I. J к фоновой части изображения со средним т,, и стандартным сггкчонением <т0 (шпогеза //,,) или же у включает также и тлемопы. с<ктгве1сгвук)1иие обьекгу (} со средним /и, и стандаршым отклонением а, (гипотеза //,).
Поскольку линейная комбинация Iауссовских величин дает также гауссовскую величину [5|. то функции распределения, описывающие сигнал и фон изображения, после преобразования (4) полностью определены параметрами щ, <т0, т], а,. В этом случае
охггимальное решающее Байесовское правило будет следующим:
Принять гипотезу //,, если А (у) / /Чу^.ст,))] > Ас и А(у1;) > Ас;
Принять гипотезу //0, если А(у) < Ас , (6)
где функция правдоподобия для фона 0=0) и для объекта 0= 1) будет равна:
•v
Р(у ///,) = (2щ )-*п ехр[ - £ (у„ - щ ? / 2ст?],{ = 0,1. (7)
п 1
Параметры функций правдоподобия (7) были определены с исполъзованием обучающих выборок, для которых были использованы типичные образцы фона и объекта, полученные посте преобразования (4).
2.1. Байесовская оценка
Принять гипотезу //,,: А (у) < кс,
v N
Принять гипотезу //,:А(у>= ^(уп т0): /2о£ £(УЛ - т,)2 /2о\ > Ас и А(у(>)> Аг; (8)
Л=1 Л=1
л,. ЫР{НУ))/Р( //,)]> 1В[(С21+С22)/(С12 + Си)]+^/21ё(а1/а0), (9) пе Р( //,). Р( //,)) - априорные вероятное™ того, что элеме!пы выборки >',,...,уу [принадлежат обьекгу или фону соответственно, С^ - матрица штрафов [4|
Необходимые для вычисления порога классификации априорные вероятности Р(Н\).Р(Н{)) были оценены с использованием метола моментов [5]. Выборка у
рассматривалась как двухкомнонстлная смесь гауссовских величин с известными средними значениями. Ятя получения оценки Ж//,). Р(Н0) было использовано среднее значение Г
элементов выборки у:
у «,/><//,). т,,Р( Я,,);
Р< Нх\ * Р( Нп) = I (10>
Необходимые опенки агфиорных вероятностей будут в тгом случае равны
Р(Н0) = (т| -у)/(т{ - щ)\
Р(Н1) = {у-т0)/(тх-щ). (П)
Таким образом, пороговое значение Лс (9) может бьпъ вычислено с использованием уравнений (11).
22. Оценка по максимуму апостериорной вероятности
Предполагая, что априорные вероятности равны (Р{Н0)~ Р(НХ)) и элементы матрицы штрафов Си = Сп = 0,С]2 = С21 = 1, получим оценку, соответствующую критерию
максимума апостериорной вероятности (MAB):
N N
Принять гипотезу Я,: Я(у) = £ (уя - та)2 / 2а^ - £ Ob - m, )2 / 2а\ ;> Хс
н-1 л-=1
иЛ(у<)7.)*Лс; (12)
Принять гипотезу Н0:Цу) < Хс = (N / 2)lg(er, / ст0),
3. СЛУЧАЙ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ОБЪЕКТА
В этом случае Байесовская оценка является нелинейной функцией X [2]. Тестовая статистика V никогда не является оптимальной в Байесовском смысле для реальных задач [1]. Описание сложного фона Гауссовской функцией не подходит для большинства реальных фоновых изображений. Для описания свойств таких изображений необходимо использовать более сложные модели. Например, комбинированную модель фоновой части изображения, составленную из отдельных областей, с разными статистическими свойствами (6). Используя последовательность образцов объекта и фона для получения оптимальной тестовой статистики, можно улучшить результат локализации объекта на изображении и в этих сложных случаях.
4. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДЛЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ НА
ИЗОБРАЖЕНИИ
Для определения областей изображения, занимаемых объектом, был предложен метод, основанный на непараметрическом оценивании статистических характеристик изображения с использованием ранговой фильтрации.
1. Анализировалась выборка у, взятая в окрестности каждой течки (/,_/) изображения V. Размер окрестности соответствовал размеру искомого образования.
2. Из этой последовательности была выбрана подпоследовательность уе , Уе С ~ 2cr,vi y + 2сг]; а = т1п(ст0)ст,).
3. Был проведен кластерный анализ гистограммы, построенной для ус. Элементы, принадлежащие к тому же кластеру, что и v,}, были отобраны для дальнейшего анализа.
4. Для этих элементов вычислялось значение медианы. Исходное значение v(J было заменено на значение медианы.
5. Эта процедура была итеративно использована i раз.
Как показано в работе [7], при итеративном использовании процедуры 1-4 значения элементов v( ; сходятся к средним значениям т, объекта или /Яф фона, соответственно, что
улучшает разделение элементов изображения на области, соответствующие объекту и фону.
6. Для разделения изображении на область объекта и фона преобразованное таким образом изображение квантовали на 2 уровня с использованием одинакового для всех точек глобального порога квантования.
5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ М И КРО КАЛ ЬЦ И НАТО В НА МАММОГРАММАХ
Разработанные методы были использованы для локализации микрокальцинагтов на маммограммах. Преобразование (4) было реализовано в частотной области с использованием модели микрокальцината и оценки энергетического спектра оцифрованной маммограммы [8] (см. Приложния 1 и 2). Параметры функций правдоподобия (7) (щ, а0, т,, ст, ) были определены с использованием обучающих выборок, состоящих из элементов изображения, взятых на участках с микрокальцинатами и на фоновой части контрольного (медицински верифицированного) изображения. Оценка по MAB, Байесовское и непараметрическое оценивание было использовано для выявления областей, занятых микрокальцинатами на анализируемом (тестовом) изображении. Среднее и дисперсия контрольного изображения были приведены (заданы равными) соответствующим значениям на тестовом изображении.
Вычисление сумм в соответствии с уравнением (12) было реализовано с помощью рекурсивной линейной фильтрации с использованием быстрых алгоритмов ¡9]. Непараметрические оценки были найдены с использованием нелинейных рекурсивных филыров, основанных на анализе ранговых статистик (10] и реализованы с помощью быстрых алгоритмов [11].
6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
На рис. 1а показан фрагмент исходной маммограммы. Гистограмма значений плотности этого изображения приведена на рис. 16. Использование преобразования (4)
соответствует обработке изображения оптимальным по MOCIL1 фильтром и ласт экстремумы сигнала в точках локализации микрокальцинаггов (черные точки на рис 2а). Анализ гистограммы (рис. 26) преобразованного таким образом изображения не позволяет определить единственный глобальный уровень квантования для выделения областей, занятых объектом. Анализ обработанной в соответствии с «[юрмулой (4) маммограммы показывает множественные ошибки в локализации объекта при использовании такого глобального порога квантования. На рис. 2в области, занимаемые объектом, отмечены белым, Ц.-143.
На рис За приведено изображение, обработанное оптимальным по M ООП фильтром. На рис.3, б-г показан результат локализации объектов, полученный с использованием оценки по MAB при анализе выборки у, взятой для каждой точки изображения в прямоугольном фрагменте размером КхК- 2x2, 5x5, 10х 10 элементов соответственно. Анализ показал, что такая оценка позволяет отметить области, принадлежащие объектам разного размера, начиная от самых маленьких (рис.3 б) и кончая наиболее крупными. Интересно, что самые большие объекты размером 10х 10 элементов оказались составленными из нескольких объектов меньшего размера.
На рис. 4 б,г и рис.4 вд показаны результаты использования MAB и Байесовских оценок для разных обучающих выборок. Для получения изображений, представленных на рис.4 бз. была использована обучающая выборка, в которой объекты имели небольшое стандартное отклонение (о j= 10). Изображения на рис.4 гд получены с использованием в обучающей выборке менее однородных объектов (о 1=1.7). Сравнение изображений на рис.4 б/ (MAB оценивание) и на рис.4вд (Байесовское оценивание) показывает, что выбор обучающей выборки влияет на результаты локализации объектов. В соответствии с моделью объекта, который необходимо обнаружить (см Приложение I), можно вьшетигь 6t»лее либо менее однородные области на изображении, которые будут отмечены как микрокальцинагы.
Анализ полученных изображений показывает также, что для одинаковых значений сг, (рис.4 б.в и рис.4 Вт) нет существенных отличий в локализации объектов при использовании оценивания по MAB и Байесовского решающего правила. Таким образом оценивание по MAB облапает хорошей устойчивостью к обнаружению микрокатьцинатов. Действительно, когда у близко к пц (элементы принадлежат области, занятой микрокальцинатом), левая часть уравнения (6) при оценке по MAB становится неотрицательной При Байесовской оценке для случая, копа С~1, в выражении для Хс (9) появятся дополнительные слагаемые lg(P(Hfl)/P(H ]))—*-. PIH [Ь 1 и PO-IqM). которые только уменьшат величину Хс но не изменят решение по сравнению с оценкой по MAB Днанчичный результат будет иметь место, когда у близко к то- Случай, когда PiIЬ)i "Pill |). cootbcictbvci оценке по MAB.
IIa рис.4 л.е показаны Байесовские оценки для разных значений С~(Со | 1 С)2' / ' t 12 *4l' и С— НЮ соответственно). Таким образом, выбор С позволяет
котлролироватъ выяаление микрокалыгинами » соогветании с величиной "штрафа • устлиошснпого ia то или другое ошибочное решение (пропуск обьекта или ложное обнаружение i.
Маммограмма после локальной нелинейной ранговой фильтрации представлена на рис.5а. Гистофамма, 1фивепенная на рис.5 б, показывает, что после такой обработки улучшается разделимость смеси. На рис.5 в показан результат использования глобального порога квантования, 1^.-143 (сравните с рис.2 с). На рис.5 i показан результат такой бинаризации. Белым отмечены области, принадлежащие объекту.
Рис.1 Изображение молочной железы.
а) Фрагмент исходной маммотраммы.
б) Гистограмма значений плотности этого изображения.
Рис.2. Квантование изображения после оптимального по МОСШ фильтра.
а) Обработка изображения оптимальным по МОСШ фильтром. В точках локализации микрокалышнатов обработка дает экстремумы сигнала (черные точки).
б). Гистограмма преобразованного изображения.
в) Результат использования глобального порога квантования при 1^=143.
г) Выделенные области нанесены на исходное изображение (отмечены белым).
Рис.3. Локализация объектов с использованием оценки по MAB.
а) Изображение, обработанное оптимальным по МОС 111 фильтром.
б)-г) Результат локализации объектов, полученный с использованием оценки по MAB при анализе выборки у, взятой для каждой точки изображения в прямоугольном фрагменте разметом КхК=2х2, 5x5, 10x10 элементов, соответственно . Найденные объекты отмечены белым.
Rg.4. Локализация объектов при разных обучающих выборках.
а) Результат использование фильтра (4) (МОСШ фильтр);
б) MAB оценка для К=5, m()~I64, <Т()=12, mi=15, а 10;
в) Байесовская оценка для К=5. то~= 164, oq~ 12, mj-15, oj^IO ; G=l;
г) MAB оценка для К=5, mg-164. oq=12, т 15, о i= 17 ;
д) Байесовская оценка для К=5, то= 164, gq= 12, mi= 15, о j= 17 , ОI;
е) Байесовская оценка для К=5, то=164, о0=12, mi=15, о i= 17 , 0100.
тШШШ
эшчтия 1 гнсшгритм 3 *1' .1 ... 1 |..
: -0 ч \ 1 ТОТ | : лт'яжи* | ... и/импост*
■ •> Чу - \ ' :
. '>"' • ; ■ л.
V-'
.ч • - •;.?■. ••*•-
Е
РИс.5. Квангование маммограмма после локальной нелинейной ранговой фильтрации.
а) Маммограмма после локальной нелинейной ранговой фильтрации.
б) Гистограмма обработанного изображения.
в) Результат использования глобального порога квантования при Ц.^143 ( см рис.2с).
г) результат такой бинаризации нанесен на исходное изображение. Белым отмечены области, принадлежащие объекту
7. ВЫВОДЫ
1. Разработаны методы параметрического и непараметрического статистического оценивания, позволяющие отметить на изображении области, занятые интересующими исследователя объектами в случае, когда нет априорной информации о наличии объекта и его и местоположении на изображении.
2. Оценки по MAB и Байесовские оценки, использующие анализ элементов изображения из локальной окрестности КхК элементов, позволяет отметить на изображении объекты соответствующего размера. Такие оценки позволяют минимизировать число ложных обнаружений и пропусков объектов. При использовании Байесовских оценок можно менять стратегию принятия решений о наличии или отсутствии объекта, изменяя величину штрафа так, чтобы минимизировать ошибки, наиболее нежелательные для пользователя.
3. Непараметрическая оценка, основанная на использовании порядковых статистик, позволяет улучшить разделение элементов, соответствующих объекту и фону.
4. Предварительные исследования показали, что разработанные методы могут быть успешно использованы для обнаружения и выявления микрокальцинаггов на маммограммах.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Моделирование сигнала объекта
Первым этапом построения фильтров, предназначенных для выделения формализуемого объекта [8], является адекватное задание в цифровой форме сигнала объекта U. Для этой цели должна быть использована априорная информация, позволяющая описать объект функцией, известной с точностью до случайных параметров. Для синтеза фильтров необходимо также знать функцию распределения Рф) значений параметров р объекта, которая часто бывает неизвестна. В работе рассмотрено 2 предельных случая.
1) Р(р) - узкая одномодовая функция, близкая к дельта-функции:
О < Р(р р) <\,p=D е [ D^, D^i р=<р>; Р(р)= |Р(0)*1, (13)
Р(р-р) = 0,р= DelD^D^].
Частотные характеристики соответствующих оптимальных линейных фильтров,
необходимых для получния тестовой статистики V (4) будут равны:
H(r,s) = S'p(r,s)/KAr,s) (14)
Здесь 5*(г,S) -комплексно сопряженный спектр объекта, имеющего среднее значение параметров ~р -< р >.
Можно построить фильтры для объектов, имеющих наиболее верояллтые значения параметров р из интервала | Dmm, Dm3X ], и найти соответствующие им оттенки
сиптала объекта.
2. Параметры объекта имеют равномерное распределение в пределах значетшй, характерных для объекта:
1/(А™„ - А™), Р = D е |Dmia. D^), О, p=De\Dmm,D^\. (15)
Р(р) =
Для получения тестовой статистики V в соответствии с оптимальной
Байессовской сфатегией (4). необходимо использовать набор из I фильтров, которые
синтезированы для допустимых значений р, I), е [ , |
И (г.5) = {5; (г,5)/ЛГг(г,^)}' (16)
Если интервал | Отт, | значений парамефов невелик, то, как легко показать, можно использовал, фильтр (14). настроенный на обьект, имеющий средние значения параметров /7 р - ( Отхк Ашп )/2 .
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Синтез оптимальных линейных фильтров в задаче выделения микрокалышнатов на
маммограммах
Для многих заболеваний молочной железы характерно появление в ее тканях вкраплений извести - микрокалышнатов. При злокачественных поражениях они мелки, имеют дискообразную форму, множественны и располагаются кластерами (12). Часто они являются единственным и наиболее груди «дифференцируемым признаком рака молочной железы. Точность их выявления с использованием ведущей в настоящее время технологии - маммографических исследований - не превышает 60%: [13].
В работе решена задача синтеза линейного фильтра для выделения диагностически важных объектов - микрокалышнатов на маммограммах.
Изображение микрокалышната было смоделировано кружком с диаметром <1=1)/И элементов (в дискретном представлении- многоугольником высотой (1) Здесь И -шаг дискретизации; О - линейный размер микрокалышна, характерный для случая злокачественного поражения I) < 7)^ = 0.05см [8].
Круг имел значение видеосигнала, равное А^ , и располагался на равномерном фоне с видеосигналом Ат1П. Здесь А^ -ь Атт - допустимый диапазон значений видеосигнала.
При использовании построенной модели в числителе фильтра (14) и (16) будет стоять комплексно-сопряженный спектр сигнала, моделирующего объект размером
Если линейные размеры объекта на цифровой маммограмме порядка нескольких
элементов, то многоугольник, аппроксимирующий круг, будет в дискретном случае
близок к квадрату и может быть заменен им. В этом случае спектр сигнала объекта Sr(r4s) при г # s * 0 , будет равен:
S„(r,s) = (Л^ - Armn )d1SINC(nrdR)SINC(nsdR)SINC(nrR)SINC(nsR) (17) 3iaecbp=d (сторона квадрата), SINC(x) = sin (д:) /х.
Поскольку площадь микрокалышната много меньше площади всего изображения, то в качестве оценки Kw при синтезе оптимальных фильтров (14) и (16) была использована оценка энергетического спектра, наблюдаемого изображения Кх
|14)
(18)
Литература
1. Beigcr J.О Statistical decision theory and Bayesian analysis, 2-nd Fx!., Springer-Verlag, New York, 1985.
2. Burret H.H.,.Myers KJ, Wagner R.F., Beyond signal-detection theory. SPIF., Application of Optical Instrumentation in Medicine XIV, I486.
3. Yartslavsky L.P., Accuracy and reliability of localization of objects in picture.// In Proc. Symposium on Image Analysis, Uppsala, Sveden, pp. 1-7, 1992.
4. Левти Б. Статистическая радиотехника, М:Советское Радио Vol. 2, 1968.
5. Lindgren B.W., Statistical Theory, Collier-Macmillan Limited, London, 1968.
6. Лебедев Д.С Статистическая теория обработки видеоинформации. Учебное пособиею М: МФТИ, 1988, 80с.
7. ШлезииерМ.И. Последовательные алгоритмы самообучения.// Труды семинара Распознавание образов и конструирование читающих автоматов. Вып. 1 Киев: Ин-т Кибернетики АН СССР 1969, с. 3-11.
8. Беликова Т.П. Синтез линейных фильтров для выявления диагностически важных объектов в задачах медицинской. // В сб.: "Цифровая оптика в медицинской интроскопии", М.: Наука, 1992г., сс.57-72.
9..Lashin V.V. 1лса1 Histogram Processor, Report N.8, Center for Image Analysis, Uppsala, Sweden, 1992.
10. Kim V., Yaroslavsky L. Rank Algorithms for picture processing.// Comput. Vision Graphics and Image Processing, Vol.35, pp. 234-246, 1986.
11. Лашш В.В. Методика стандартизации цифровых рентгенограмм. // Труды 27 конференции молодых ученых ИППИ РАН, Москва, 1992, с. 13-16.
12. Демцэосий Л.Ю.. Рак молочной железы, Москва, Медицина, 1980.
13. Gold R.H., Basset L.W., Smith СК.. Breast Imaging: State of the art. Investigative radiology, V.21, N.4, 1986, pp.298-304.
14. %ославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии М.: Радио и связь, 1987, -2% стр.
ECOLINK /3KO/1MHK/ Periodical. Issue Nos 1 4
// /v the first and at pri sent the only puhlieation in Russia, which presents to its remlers carefully selected and systematized information ahout unique products, technologies. technical solutions, projects and fundamental research developed by State Scientific Centers of the Russian federation within the framework of state programs, and also information ahout fundamentally new and often unique projects and solutions which can he of value to the international cooperation.
Joint bilingual the Russian and English Languages/ publication of the Ministry of Science and Technology Policy of the Russian Federation and the information joint-stock Co. and Fund F consulting Co.
PRICE: 30 US dollars per issue, 110 US dollars per annual set.
Commenced publiait ion 1993.
