CC BY
0Определение маршрута максимального мониторинга на графе реперов на местности
Руденко Эдуард Михайлович
к.т.н., доцент филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого, г. Серпухов, Russia, eduard5529@yandex. ru
Семикина Елена Викторовна
преподаватель филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого, г. Серпухов, Россия, labinfo_serp@inbox.ru
АННОТАЦИЯ_
Введение: в работе рассматривается математический подход к определению на эйлеровом графе маршрутов максимального мониторинга, на которых возможен полет наибольшего количества БПЛА, безопасно двигающихся в группе с интервалом в одно или несколько ребер графа таким образом, чтобы исключить возможность одновременного нахождения в одинаковых вершинах или на ребрах двух и более аппаратов. Определение таких маршрутов имеет важное практическое значение для обеспечения наиболее плотного и непрерывного мониторинга на местности, где расположены реперы. Постановка задачи из множества эйлеровых маршрутов на эйлеровом графе найти маршруты максимального мониторинга. Проблема нахождения маршрутов максимального мониторинга состоит в том, что точное множество всех эйлеровых маршрутов можно подсчитать только методом перебора, которое на графах с большим числом ребер и вершин не удается подсчитать за приемлемое время — часы, дни, недели. Поэтому приходится выбирать не из полного множества замкнутых маршрутов, а из множества рассчитанных с помощью генетического алгоритма, как решение оптимизационной задачи для целевой функции и, поэтому замкнутые маршруты можно назвать оптимальными замкнутыми маршрутами (ОЗМ). Методы: определение маршрута максимального мониторинга из множества эйлеровых маршрутов проводится с помощью программы проверки каждого из них на определение числа БПЛА, совершающих групповой полет по этому маршруту друг за другом с интервалом одно ребро с соблюдением условий безопасности. Таким образом, найденные маршруты максимального мониторинга зависят от исходного набора оптимальных замкнутых маршрутов и могут не совпадать с маршрутами, которые отбираются из полного множества всех эйлеровых маршрутов, которые можно назвать маршрутами наибольшего мониторинга. Результаты: полученное ограниченное число эйлеровых маршрутов, маршрутов максимального мониторинга и маршрутов наибольшего мониторинга может быть увеличено в несколько раз с помощью операторов обращения (инверсии), разрезания в промежуточных вершинах и автоморфизмов, если граф обладает горизонтальной, вертикальной, диагональной симметрией, и тем самым получить возможность оперировать большим многообразием вариантов группового полета на графе реперов. При этом число группы БПЛА на маршрутах максимального мониторинга и маршрутах наибольшего мониторинга не меняется и является инвариантом. Практическая значимость: множество маршрутов максимального мониторинга и маршрутов наибольшего мониторинга могут быть использованы в алгоритмах полета группы БПЛА для организации плотного и непрерывного мониторинга по реперам на местности с соблюдением условий безопасного полета с интервалом в одно и более ребер друг за другом. Операторы обращения, разрезания в промежуточной точке и автоморфизмы графа, применяемые к маршрутам максимального мониторинга и к маршрутам наибольшего мониторинга, позволяют менять маршруты движения одновременно для всей группировки БПЛА непредсказуемо для внешних наблюдателей и реализовать различные схемы совместных действий на графе реперных точек на местности с соблюдением условий безопасности полета.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: эйлеровы графы реперных точек; оптимальные замкнутые маршруты; маршрут максимального и наибольшего мониторинга; БПЛА; целевая функция; генетический алгоритм.
Введение
Одной из важных проблем, которую приходится решать в задаче маршрутизации беспилотных летательных аппаратов на множестве ориентиров местности, между которыми планируется полет, является организация их группового применения.
Ориентиры местности или реперы, соединенные между собой, образуют граф, поэтому задача маршрутизации может быть формализована в оптимизационную задачу на математическом графе. Если маршрут на графе является замкнутым, задача маршрутизации решается во множестве эйлеровых маршрутов на эйлеровом графе, на котором существует конечное число таких маршрутов. Каждый эйлеров маршрут проходит один раз по всем ребрам графа, имеет одинаковую длину, так как содержит все его ребра, следовательно отличается от других маршрутов только порядком следования ребер графа. В такой постановке задача нахождения маршрутов на графе реперов заключается не в определении минимального значения целевой функции, т.к. оно равно нулю и одинаково на всех оптимальных замкнутых маршрутах (ОЗМ), а в определении ее аргументов, которые являются множеством ОЗМ: M ={m}, и может быть решена одним из методов теории оптимизации, например, с помощью генетического алгоритма (ГА) [1].
При организации облета территории и с целью осуществления непрерывного контроля, необходимо обеспечить плотный мониторинг группой БПЛА из максимально большого количества аппаратов с соблюдением безопасных условий полета: не встречаться более двух в одном репере-вершине и на одном ребре не лететь вместе или навстречу друг другу. Такой мониторинг может быть осуществлен на одном и том же ОЗМ с интервалом в одно или несколько ребер друг за другом [2].
Процесс поиска таких уникальных маршрутов осуществлялся в два этапа: сначала генетическим алгоритмом было насчитано некоторое количество ОЗМ на выбранном графе, затем с помощью разработанной программы определения количества аппаратов (count), двигающихся одновременно по заданному ОЗМ с соблюдением условий безопасного полета, были отобраны маршруты с наибольшим составом группы. Следует отметить, что вследствие того, что задача поиска оптимальных замкнутых маршрутов на графе относится к области целочисленной комбинаторной оптимизации. Значение count может быть постоянным и точным только на графах малой размерности, на которых возможно найти все ОЗМ методом перебора. Если на графе методом перебора нельзя рассчитать все ОЗМ из-за больших затрат машинного времени, то приходится выбирать из множества маршрутов, которые можно рассчитать с помощью ГА. Для таких графов максимальное количество аппаратов в группе будет зависеть от имеющегося в распоряжении множества ОЗМ.
Требование группового полета БПЛА с соблюдением условия безопасности может быть выполнено, если обеспечить выполнение равенства времени полета каждого БПЛА на любом из ребер графа. Так как протяженности ребер могут быть разными, то на ребрах большей протяженности БПЛА должен двигаться с большей скоростью, а на более коротких ребрах — с меньшей. Предполагается, что все БПЛА достигнут своих вершин графа в ходе следования по маршруту приблизительно в один и тот же момент времени.
Приведем примеры расчета маршрутов максимального мониторинга на различных эйлеровых графах [3, 4], у которых вершины имеют четную кратность. Это означает, что в каждую вершину должно сходиться четное число ребер.
Примеры нахождения маршрутов максимального мониторинга
1. Рассмотрим граф гбе10, показанный на рис. 1. Он является эйлеровым и на нем ребра (1, 2) и (5, 4) являются кратными.
Рис. 1. Граф убе10, состоящий из 6 вершин и 10 ребер
На графе гбе10 методом перебора на компьютере с частотой 3,4 ГГц за время 1244 секунд можно рассчитать все 40 ОЗМ, которые представлены в таблице 1.
Таб. 1 Результаты расчета ОЗМ на графе бу10е методом перебора
ОЗМ
т 1 = (1 2 1 5 4 2 3 4 5 6 1) т21 = (1 5 4 2 1 2 3 4 5 6 1)
т 2 = (1 2 1 5 4 3 2 4 5 6 1) т22 = (1 5 4 2 1 6 5 4 3 2 1)
тз = (1 2 1 6 5 4 2 3 4 5 1) т23 = (1 5 4 2 3 4 5 6 1 2 1)
т4 = (1 2 1 6 5 4 3 2 4 5 1) т24 = (1 5 4 3 2 1 2 4 5 6 1)
т5 = (1 2 3 4 2 1 5 4 5 6 1) т25 = (1 5 4 3 2 1 6 5 4 2 1)
т6 = (1 2 3 4 2 1 6 5 4 5 1) т26 = (1 5 4 3 2 4 5 6 1 2 1)
т 7 = (1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1) т27 = (1 5 4 5 6 1 2 3 4 2 1)
т8 = (1 2 3 4 5 1 6 5 4 2 1) т28 = (1 5 4 5 6 1 2 4 3 2 1)
т9 = (1 2 3 4 5 4 2 1 5 6 1) т29 = (1 5 6 1 2 3 4 5 4 2 1)
тю = (1 2 3 4 5 4 2 1 6 5 1) т30 = (1 5 6 1 2 4 5 4 3 2 1)
т 11 = (1 2 3 4 5 6 1 2 4 5 1) т31 = (1 6 5 1 2 3 4 5 4 2 1)
т12 = (1 2 3 4 5 6 1 5 4 2 1) т32 = (1 6 5 1 2 4 5 4 3 2 1)
т13 = (1 2 4 3 2 1 5 4 5 6 1) т33 = (1 6 5 4 2 1 2 3 4 5 1)
т14 = (1 2 4 3 2 1 6 5 4 5 1) тз4 = (1 6 5 4 2 1 5 4 3 2 1)
т15 = (1 2 4 5 1 2 3 4 5 6 1) т35 = (1 6 5 4 2 3 4 5 1 2 1)
т16 = (1 2 4 5 1 6 5 4 3 2 1) т36 = (1 6 5 4 3 2 1 2 4 5 1)
т17 = (1 2 4 5 4 3 2 1 5 6 1) тз7 = (1 6 5 4 3 2 1 5 4 2 1)
т18 = (1 2 4 5 4 3 2 1 6 5 1) т38 = (1 6 5 4 3 2 4 5 1 2 1)
т19 = (1 2 4 5 6 1 2 3 4 5 1) т39 = (1 6 5 4 5 1 2 3 4 2 1)
т20 = (1 2 4 5 6 1 5 4 3 2 1) т40 = (1 6 5 4 5 1 2 4 3 2 1)
Введем понятия маршрутов наибольшего и максимального мониторинга.
Маршрут наибольшего мониторинга (МНМ) — это такой маршрут т из всех существующих на графе Г оптимальных замкнутых маршрутов, по которому могут одновременно перемещаться наибольшее число аппаратов в группе. Сложность определения МНМ связана с отсутствием полиномиальных алгоритмов поиска ОЗМ для графов средней и большой размерности.
Число маршрута наибольшего мониторинга (к) — наибольшее число БПЛА в группе выбираемое из множества всех существующих ОЗМ графа Г.
Маршрут максимального мониторинга (МММ) — это такой маршрут т из подмножества всех ОЗМ на графе Г, полученных одним из методов, например, генетическим алгоритмом, оптимальных замкнутых маршрутов, по которому могут одновременно перемещаться максимальное число аппаратов в группе с выполнением требований безопасного полета.
Число маршрута максимального мониторинга — максимальное число БПЛА в группе двигающихся друг за другом с интервалом одно ребро с соблюдением условий безопасности. Это число зависит от множества ОЗМ, но всегда является максимальным для данного множества ОЗМ графа Г.
Для графа гбе10, на котором рассчитаны все 40 ОЗМ (таблица 1), маршруты наибольшего мониторинга (МНМ) имеют номера: 7, 11, 15, 19, 22, 25, 34, 37, отмеченные полужирным начертанием в таблице 1. Все они обеспечивают полет четырех БПЛА с интервалом в одно ребро с соблюдением условий безопасного полета. В таблице 2 показано движение группы для ОЗМ т7 = (1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1) с дистанцией в одно ребро.
Таб. 2 Полет четырех БПЛА с интервалом в одно ребро по ОЗМ №7 на графе убе10
№ столбца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1ЛА №1 1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1| 2 3 4 5 1
2ЛА №2 1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1| 2 3 4 5
ЗЛА №3 1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1| 2 3 4
4ЛА №4 1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1| 2 3
5ЛА №5 1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1| 2
В таблице 2 выделены полужирным начертанием вершины 4 и 5, в которых пятый БПЛА встретится с первым (столбцы 8, 9) и будет нарушена безопасность полета, т.е. count = 4.
Над множеством ОЗМ из таблицы 1 можно провести преобразование обращения уобр ОЗМ. Например, для ОЗМ №7 из таблицы 1 имеем:
Уобр(ш7) = уобр(1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1) = (1 6 5 4 2 1 5 4 3 2 1) = тз4. (1)
Преобразование уобр переставляет ОЗМ из таблицы 1 и переводит МНМ друг в друга. Граф v6e10 имеет вертикальную и горизонтальную симметрию и поэтому имеет вертикальный и горизонтальный автоморфизмы
У.
авт.гор
У
авт.вер.
х 5
2
2 4
2 1
3 3
3 6
4
2
4
5
5 1
5 4
(2)
6 ^
3
Имеем уавт.гор(т7) = (1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1) = (5 4 3 2 1 5 4 2 1 6 5).
Полученный маршрут уавт.гор(т7) можно превратить в маршрут т22 из таблицы 1 с помощью преобразования разрезания в промежуточной вершине 1 — Ураз,1. Применим преобразование Ураз, 1 к маршруту (5 4 3 2 1 5 4 2 1 6 5):
Ураз,:(5 4 3 2 1 5 4 2 1 6 5) ^ (5 4 3 2 1)(1 5 4 2 1 6 5) ^ ^ (1 5 4 2 1 6 5)(5 4 3 2 1) = (1 5 4 2 1 6 5 4 3 2 1) = т22.
(3)
Поэтому можно считать, что уавт.гор(т7) = т22. Следовательно, преобразования автоморфизмов уавт.гор и уавт.вер переставляет ОЗМ таблицы 1 и переводят МНМ в маршруты наибольшего мониторинга.
Оператор разрезания уразд, примененный к МНМ т7 дает снова МНМ:
Ураз,1(т7) = Ураз, ¡(1 2 3 4 5 1 2 4 5 6 1) ^ (1 2 3 4 5 1)(1 2 4 5 6 1) ^ ^ (1 2 4 5 6 1)( 1 2 3 4 5 1) = (1 2 4 5 6 1 2 3 4 5 1) = т19.
Таким образом, после преобразования маршрутов с помощью операторов уобр, ураз,1, Уавт.гор и уавт.вер, маршруты наибольшего мониторинга переводятся в МНМ, при этом получаются другие оптимальные замкнутые маршруты из таблицы 1.
Для данного графа в процентном отношении доля МНМ составляет 8/40 = 0,2 = 20 %. Для графов с большим числом вершин и ребер этот процент может меняться от малых до больших значений.
Отметим, что операторы горизонтального и вертикального автоморфизмов актуальны для графов средней и большой размерности, на которых невозможно определить абсолютно все оптимальные замкнутые маршруты, т.к. они:
- позволяют увеличить разнообразие используемых группой маршрутов;
- обеспечивают возможность перестраивать маршруты с одного на другой в ходе движения;
- делают групповой полет непредсказуемым для внешнего наблюдателя;
- позволяют изменять маршруты для всей группировки одновременно, изменяя частоту прохождения одних ребер увеличивая, а других уменьшая;
- усиливают непрерывный мониторинг в заданной области расположения реперных точек на местности.
При этом, количество БПЛА в группе на маршрутах, полученных таким способом, не изменится. Это подтверждает проверка, проведённая на множестве ОЗМ из таблицы 1.
2. Рассмотрим граф г8е12, представленный на рис. 2. Он является эйлеровым и на нем нет кратных ребер.
6
6
Рис. 2. Граф у8е12, состоящий из 8 вершин и 12 ребер
На графе г8е12 методом перебора на компьютере с частотой 3,4 ГГц за время 429873 секунд можно рассчитать все 80 ОЗМ, которые представлены в таблице 3.
Таб. 3. Результаты расчета ОЗМ на графе у8е12 методом перебора
3
4
5
2
6
1
8
7
ОЗМ
1 т 1 = (1 2 3 4 2 8 6 4 5 6 7 8 1) 41 т41 = (1 8 2 3 4 5 6 7 8 6 4 2 1)
2 т 2 = (1 2 3 4 2 8 6 5 4 6 7 8 1) 42 т42 = (1 8 2 3 4 5 6 8 7 6 4 2 1)
3 т3 = (1 2 3 4 2 8 7 6 4 5 6 8 1) 43 т43 = (1 8 2 3 4 6 7 8 6 5 4 2 1)
4 т4 = (1 2 3 4 2 8 7 6 5 4 6 8 1) 44 т44 = (1 8 2 3 4 6 8 7 6 5 4 2 1)
5 т5 = (1 2 3 4 5 6 4 2 8 6 7 8 1) 45 т45 = (1 8 2 4 5 6 7 8 6 4 3 2 1)
6 т6 = (1 2 3 4 5 6 4 2 8 7 6 8 1) 46 т46 = (1 8 2 4 5 6 8 7 6 4 3 2 1)
7 ту = (1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 1) 47 т47 = (1 8 2 4 5 6 8 7 6 4 3 2 1)
8 т8 = (1 2 3 4 5 6 7 8 6 4 2 8 1) 48 т48 = (1 8 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 1)
9 т9 = (1 2 3 4 5 6 8 2 4 6 7 8 1) 49 т49 = (1 8 6 4 2 3 4 5 6 7 8 2 1)
10 тю = (1 2 3 4 5 6 8 7 6 4 2 8 1) 50 т50 = (1 8 6 4 2 8 7 6 5 4 3 2 1)
11 тп = (1 2 3 4 6 5 4 2 8 6 7 8 1) 51 т51 = (1 8 6 4 3 2 4 5 6 7 8 2 1)
12 т12 = (1 2 3 4 6 5 4 2 8 7 6 8 1) 52 т52 = (1 8 6 4 3 2 8 7 6 5 4 2 1)
13 т13 = (1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) 53 т53 = (1 8 6 4 5 6 7 8 2 3 4 2 1)
14 т14 = (1 2 3 4 6 7 8 6 5 4 2 8 1) 54 т54 = (1 8 6 4 5 6 7 8 2 4 3 2 1)
15 т15 = (1 2 3 4 6 8 2 4 5 6 7 8 1) 55 т55 = (1 8 6 5 4 2 3 4 6 7 8 2 1)
16 т16 = (1 2 3 4 6 8 7 6 5 4 2 8 1) 56 т56 = (1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3 2 1)
17 т17 = (1 2 4 3 2 8 6 4 5 6 7 8 1) 57 т57 = (1 8 6 5 4 3 2 4 6 7 8 2 1)
18 т18 = (1 2 4 3 2 8 6 5 4 6 7 8 1) 58 т58 = (1 8 6 5 4 3 2 8 7 6 4 2 1)
19 т19 = (1 2 4 3 2 8 7 6 4 5 6 8 1) 59 т59 = (1 8 6 5 4 6 7 8 2 3 4 2 1)
20 т20 = (1 2 4 3 2 8 7 6 5 4 6 8 1) 60 т60 = (1 8 6 5 4 6 7 8 2 4 3 2 1)
21 т21 = (1 2 4 5 6 4 3 2 8 6 7 8 1) 61 т61 = (1 8 6 7 8 2 3 4 5 6 4 2 1)
22 т22 = (1 2 4 5 6 4 3 2 8 7 6 8 1) 62 т62 = (1 8 6 7 8 2 3 4 6 5 4 2 1)
23 т23 = (1 2 4 5 6 7 8 2 3 4 6 8 1) 63 т63 = (1 8 6 7 8 2 4 5 6 4 3 2 1)
24 Ш24 = (1 2 4 5 6 7 8 6 4 3 2 8 1) 64 ш 64 = (1 8 6 7 8 2 4 6 5 4 3 2 1)
25 ш 2 5 = (1 2 4 5 6 8 2 3 4 6 7 8 1) 65 Ш65 = (1 8 7 6 4 2 3 4 5 6 8 2 1)
26 ш 2 6 = (1 2 4 5 6 8 7 6 4 3 2 8 1) 66 Ш66 = (1 8 7 6 4 2 8 6 5 4 3 2 1)
27 ш 2 7 = (1 2 4 6 5 4 3 2 8 6 7 8 1) 67 Ш67 = (1 8 7 6 4 3 2 4 5 6 8 2 1)
28 ш 2 8 = (1 2 4 6 5 4 3 2 8 7 6 8 1) 68 ш 6 8 = (1 8 7 6 4 3 2 8 6 5 4 2 1)
29 ш 2 9 = (1 2 4 6 7 8 2 3 4 5 6 8 1) 69 Ш69 = (1 8 7 6 4 5 6 8 2 3 4 2 1)
30 ш 3 о = (1 2 4 6 7 8 6 5 4 3 2 8 1) 70 ш 70 = (1 8 7 6 4 5 6 8 2 4 3 2 1)
31 Ш31 = (1 2 4 6 8 2 3 4 5 6 7 8 1) 71 ш 71 = (1 8 7 6 5 4 2 3 4 6 8 2 1)
32 ш 3 2 = (1 2 4 6 8 7 6 5 4 3 2 8 1) 72 ш 72 = (1 8 7 6 5 4 2 8 6 4 3 2 1)
33 ш 3 3 = (1 2 8 6 4 2 3 4 5 6 7 8 1) 73 ш 73 = (1 8 7 6 5 4 3 2 4 6 8 2 1)
34 ш 3 4 = (1 2 8 6 4 3 2 4 5 6 7 8 1) 74 ш 74 = (1 8 7 6 5 4 3 2 8 6 4 2 1)
35 ш 3 5 = (1 2 8 6 5 4 2 3 4 6 7 8 1) 75 ш 75 = (1 8 7 6 5 4 6 8 2 3 4 2 1)
36 Ш36 = (1 2 8 6 5 4 3 2 4 6 7 8 1) 76 ш 76 = (1 8 7 6 5 4 6 8 2 4 3 2 1)
37 ш 3 7 = (1 2 8 7 6 4 2 3 4 5 6 8 1) 77 ш 77 = (1 8 7 6 8 2 3 4 5 6 4 2 1)
38 ш 3 8 = (1 2 8 7 6 4 3 2 4 5 6 8 1) 78 Ш78 = (1 8 7 6 8 2 3 4 6 5 4 2 1)
39 ш 3 9 = (1 2 8 7 6 5 4 2 3 4 6 8 1) 79 ш 79 = (1 8 7 6 8 2 4 5 6 4 3 2 1)
40 Ш40 = (1 2 8 7 6 5 4 3 2 4 6 8 1) 80 ш 8 0 = (1 8 7 6 8 2 4 6 5 4 3 2 1)
Для графа г8е12, на котором рассчитаны все 80 ОЗМ, маршруты наибольшего мониторинга (МНМ) имеют номера: 13, 23, 25, 29, 52, 56, 58, 68 и обеспечивают полет пяти БПЛА с интервалом одно ребро с соблюдением условий безопасного полета. На маршрутах 7, 9, 15, 31, 50, 66, 72, 74 по графу г8е12 с интервалом в одно ребро друг за другом могут лететь четыре БПЛА. Все остальные ОЗМ обеспечивают полет трех аппаратов.
В таблице 4 показано движение пяти БПЛА по ОЗМ т13 с соблюдением условий безопасности с интервалом одно ребро.
Таб. 4. Полет пяти БПЛА с интервалом в одно ребро по ОЗМ №13 на графе у8е12
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17
1ЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2 3 4 6 7 8
2ЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2 3 4 6 7
ЗЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2 3 4 6
4ЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2 3 4
5ЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2 3
6ЛА 1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1| 2
В таблице 4 выделены полужирным начертанием вершины, в которых шестой БПЛА встретится с первым в вершинах 4 и 8 (столбцы 9, 12) и будет нарушена безопасность полета, следовательно, count = 5.
Над множеством ОЗМ из таблицы 3 можно провести преобразование обращения уобр ОЗМ. Например, для m13 из таблицы 3 имеем:
уобр(1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) = (1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3 2 1) = т5б. (4)
Преобразование уобр переставляет ОЗМ из таблицы 3 и переводит МНМ друг в друга. Граф г8е12 имеет вертикальную и горизонтальную симметрию и поэтому имеет вертикальный и горизонтальный автоморфизмы:
У
авт.гор
У
авт.вер.
' 1 2 3 4 5 6 7 8 ^
,3 2 1 8 7 6 5 4,
' 1 2 3 4 5 6 7
^7 6 5 4 3 2 1 8,
(5)
Имеем уавт.гор(т13) = (1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) = (3 2 1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3) .
Полученный маршрут уавт.гор(т13) можно превратить в маршрут из таблицы 3 с помощью преобразования разрезания в промежуточной вершине 1 — Уразд. Применим преобразование Ураз, 1 к (3 2 1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3):
Ураз,:(3 2 1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3) ^ (3 2 1)(1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3) ^ ^ (1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3)( 3 2 1) = (1 8 6 5 4 2 8 7 6 4 3 2 1) = т56. (6)
Поэтому можно считать, что уавт.гор(т13) = т56. Следовательно, преобразования автоморфизмов уавт.гор и уавт.вер переставляют ОЗМ таблицы 1 и переводят МНМ в МНМ.
Операторы разрезания ураз2(1) в первой вершине с номером 2 и разрезания ураз2(2) во второй вершине с номером 2, примененные к МНМ т13 дают снова МНМ т^:
Ураз2(1) (т13) = Ураз, ¡(1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) ^ (1 2)(2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) ^ ^ (2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1)( 1 2) = (2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1 2) = тв.
Ураз2(2)(т 13) = Ураз2,2(1 2 3 4 6 7 8 2 4 5 6 8 1) ^ (1 2 3 4 6 7 8 2)(2 4 5 6 8 1) ^ ^ (2 4 5 6 8 1)(1 2 3 4 6 7 8 2) = (2 4 5 6 8 1 2 3 4 6 7 8 2) = тв.
Таким образом, преобразования уобр, уразд, Уавт.гор и уавт.вер переставляют ОЗМ таблицы 1, а одни маршруты наибольшего мониторинга переводятся в другие.
Для данного графа в процентном отношении доля маршрутов наибольшего мониторинга составляет 8/80 = 0,1 = 10 %.
3. На рисунке 3 показан эйлеров граф г8е1б, который имеет кратные ребра (1, 6) и (3, 8).
В работах [5, 6] описан процесс поиска ОЗМ, являющихся целочисленными наборами
из номеров вершин графа, которые обнуляют неотрицательную целевую функцию (ЦФ)
графа Ъ(т) = Ъ (У1, У2, VI!) = 0.
научно-техническим журнал
1
httpy/intech-spb.com/l-methods/
1
2
3
6
7
8
Рис. 3. Граф v8e16, состоящий из 8 вершин и 16 ребер
Для графа г8е16 ОЗМ являются наборы т = (VI, У2, ..., vn), где вершины V, е{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, / = 1,., п, п = ^(т) - 1. Число ребер ^(т) в каждом ОЗМ равно половине суммы кратностей всех вершин:
Число вершин в каждом ОЗМ на единицу больше чем J(m). Например, маршрут m = (1 2 3 8 7 6 1 4 2 5 3 8 5 7 4 6 1) является ОЗМ для эйлерова графа v8e16. Нетрудно проверить, что число возможных вариантов для наборов (не обязательно ОЗМ), которые можно получить из чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} длиной 15 равно числу 815 = 35184372088832. Такое большое число вариантов для получения всех комбинаций номеров вершин оказывается не под силу современным пользовательским компьютерам и перебор может занять недели, месяцы и даже годы. Здесь степень равна 15, так как начало и конец маршрута фиксирован и равен выбранной вершине, например, вершине с номером 1.
Применяя метод минимизации целевой функции с помощью генетического алгоритма для вычисления оптимальных замкнутых маршрутов при числе поколений 'Generations' = 100 и числе особей в популяции 'PopulationSize' = 360, получим полную сходимость для всех значений фактора кроссовера из диапазона: nc = n1: nn : n2 при n1 = 0,1; nn = 0,05; n2 = 0,95 (18 значений).
Время вычисления 18 оптимальных замкнутых маршрутов составило 105,8 с на компьютере с частотой 3,4 ГГц. Генетический алгоритм, по сравнению с методом прямого перебора, показывает высокую эффективность в получении ограниченного числа ОЗМ за малое время. Все 18 оптимальных замкнутых маршрута на графе v8e16 представлены в таблице 5.
В настоящее время неизвестно полное множество ОЗМ этого графа, поэтому в этом случае можно говорить только о поиске маршрута максимального мониторинга (МММ) графа v8e16 в подмножестве насчитанных маршрутов.
1 n
Таб. 5. Результаты расчета ОЗМ на графе у8е1б с помощью ГА
ОЗМ
Ш] = 1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1 т 10 = 1 6 4 7 5 8 7 6 1 2 3 8 3 5 2 4 1
т2 = 1 6 1 4 6 7 8 3 8 5 7 4 2 3 5 2 1 ти = 1 6 7 8 3 8 5 2 3 5 7 4 2 1 4 6 1
т3 = 1 6 4 7 8 5 2 3 8 3 5 7 6 1 4 2 1 т 12 = 1 2 5 3 8 3 2 4 7 5 8 7 6 1 4 6 1
т4 = 1 6 7 8 3 8 5 2 4 1 2 3 5 7 4 6 1 т 13 = 1 2 5 7 6 1 4 7 8 5 3 8 3 2 4 6 1
т 5 = 1 6 7 5 3 8 3 2 1 6 4 7 8 5 2 4 1 т 14 = 1 6 4 7 5 3 8 3 2 4 1 6 7 8 5 2 1
т 6 = 1 6 7 8 3 2 4 7 5 3 8 5 2 1 4 6 1 т 15 = 1 6 7 4 2 3 8 3 5 8 7 5 2 1 4 6 1
т 7 = 1 6 4 1 6 7 4 2 3 8 3 5 7 8 5 2 1 т 16 = 1 6 7 8 3 5 8 3 2 5 7 4 6 1 4 2 1
т 8 = 1 2 5 8 3 5 7 6 1 6 4 2 3 8 7 4 1 т 17 = 1 4 7 6 4 2 3 8 3 5 7 8 5 2 1 6 1
т 9 = 1 6 4 2 5 8 7 4 1 2 3 8 3 5 7 6 1 т 18 = 1 6 4 2 3 8 3 5 8 7 6 1 4 7 5 2 1
Только маршрут т1 = (1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) из всех оптимальных замкнутых маршрутов, представленных в таблице 5, позволяет реализовать полет шести БПЛА. Схема полета группы, состоящей из шести летательных аппаратов, по данному маршруту на графе г8е1б с интервалом в одно ребро показана в таблице 6.
Таб. б. Полет шести БПЛА с интервалом в одно ребро по графу у8е1б
№ столбца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
ЛА №1 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 4 6 7 8 3
ЛА №2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 4 6 7 8
ЛА №3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 4 6 7
ЛА №4 3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 4 6
ЛА №5 8 3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 4
ЛА №6 5 8 3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1|
ЛА №7 7 5 8 3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4
Разделитель « | » показывает, где «сшиваются» одинаковые маршруты. Из таблицы 6 видно, что при движении первых 6 БПЛА друг за другом с интервалом в одно ребро они не встречаются в вершинах графа с одинаковыми номерами или на одном и том же ребре. Если добавить седьмой БПЛА, то в вершинах 5 (12 столбец) и 4 (16 столбец) одновременно находятся два БПЛА. Для исключения пересечения маршрутов БПЛА в одинаковых вершинах и ребрах графа можно запустить только 6 БПЛА. Таким образом, для графа г8е1б ОЗМ т1 из таблицы 5 является маршрутом максимального мониторинга (МММ) и максимальное число БПЛА в безопасном полете друг за другом с интервалом одно ребро равно шести.
Таким образом, вероятность МММ из 18 ОЗМ равна 1:18 = 0,055555 ~ 5,6%. Является ли этот МММ равным МНМ требует дополнительного исследования.
При использовании оператора разрезания ураз ОЗМ в промежуточной точке с номером 1 можно получить новые маршруты. Оператор разрезания ураз1 переставляет правый и левый блоки вершин, ограниченные единицами, местами. Например, для Ш1 из таблицы 5 имеем:
ураз:(1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) ^ (1 6 7 8 3 5 2 1)(1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) ^ ^ (1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) (1 6 7 8 3 5 2 1) ^ (1 6 4 7 5 8 3 2 4 1 6 7 8 3 5 2 1) = Ш19. (7)
Легко проверить, что такого ОЗМ в таблице 5 нет.
Можно использовать преобразование обращения (инверсии) уобр, которое переставляет номера вершин маршрута в обратной последовательности. Например, для ОЗМ Ш1 из таблицы 5 имеем:
уобр (Ш1) = уобр (1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) = (1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3 8 7 6 1) = Ш20.
Маршрут Ш20 не входит в таблицу 5. Легко проверить, что он является МММ.
Граф г8е16 (рис. 3) имеет вертикальную и горизонтальную симметрии, которые порождают два автоморфизма графа:
' 1 2 3 4 5 6 7 81
У авт.гор. V 6 7 8 4 5 1 2 3 ,
(1 2 3 4 5 6 7 81
Уавт.вер. V 3 2 1 5 4 8 7 6 ,
При использовании автоморфизмов (8) можно получать новые маршруты. Например, для ОЗМ Ш1 из таблицы 5 имеем:
Уавт. гор.(1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) =
= (6 1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6); (9)
Уавт. вер.( 1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) = = (3 8 7 6 1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3).
Для получения из этих оптимальных замкнутых маршрутов, начинающихся в вершине с номером 1, достаточно применить к ним преобразование ураз в первой Ураз1(1) или во второй точке с номером 1 Ураз1(2). С помощью преобразований Ураз, Уобр, Уавт. гор и Уавт. вер из 18 ОЗМ (таблица 5) можно получить 95 различных ОЗМ. Если предположить, что пролет каждого ребра графа проходит за одинаковое время, то можно рассмотреть различные схемы совместного полета группировки БПЛА [7, 8, 9].
Число МММ можно увеличить в несколько раз за счет применения операторов ураз, уобр,
Уавт. гор и Уавт. вер-
Ураз,1 (Ш1) = Ураз,1 (1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) ^
>(1 6 7 8 3 5 2 1)(1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) ^ (1 6 4 7 5 8 3 2 4 1 6 7 8 3 5 2 1) = m2i;
Уавт. гор.( mi) = Уавт. гор.(1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) = = (6 1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6) ^ ураз,1 (6 1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6) ^ ^ (6 1)(1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6) ^ (1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6)(6 1) = = (1 2 3 8 5 7 6 1 4 2 5 3 8 7 4 6 1) = m22;
Уавт. вер.( 1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1) = (3 8 7 6 1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3) ^ = ураз,1(3 8 7 6 1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3) ^ (3 8 7 6 1)(1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3) ^ ^ (1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3)(3 8 7 6 1) ^ (1 4 2 3 8 5 7 4 6 1 2 5 3 8 7 6 1) = m23. (10)
ОЗМ m19, m20, m21, m22, m23 нет в таблице 5, таким образом, применяя повторно операторы Ураз, Уобр, Уавт.гор и уавт.вер можно получить новые маршруты максимального мониторинга, но максимальное число БПЛА, count, на всех этих МММ будет одно и тоже — 6.
Для рассредоточенного порядка применения группировки БПЛА можно использовать тот же ОЗМ m1. Это следует из таблицы 6, если исключить из нее 2-й и 4-й БПЛА. Рассредоточенный полет группировки через три ребра можно реализовать через различные ОЗМ. Такой полет группировки может оказаться предпочтительнее, так как увеличивает непредсказуемость появления БПЛА в вершинах и на ребрах графа v8e16. Непредсказуемость полета группировки увеличивается при применении к каждому маршруту полета автоморфизмов (8), которые меняют маршруты на графе v8e16 [10, 11, 12]. Это показано в таблице 7.
Таб. 7. Полет трех БПЛА по разным маршрутам с интервалом в три ребра
№ столбца 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
ОЗМ Ш1 1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1| 6 7 8 3 5 2 1
ОЗМ Ш17 2 1 6 1| 4 7 6 4 2 3 8 3 5 7 8 5 2 1 6 1| 4 7 6 4
ОЗМ Ш9 3 8 3 5 7 6 1| 6 4 2 5 8 7 4 1 2 3 8 3 5 7 6 1| 6
Четвертый маршрут для таблицы 7 подобрать не удается из того множества ОЗМ, которое имеется в таблице 5, но это не означает, что его не существует в полном множестве ОЗМ.
Таким образом, чем больше ОЗМ известно, тем больше вариантов совместного полета можно спланировать.
4. Рассмотрим эйлеров граф г15е28, который состоит из 15 вершин, соединенных 28 ребрами, представленный на рисунке 4.
13 14 15 Рис. 4. Граф У15е28
Оптимальные замкнутые маршруты на этом графе, полученные с помощью генетического алгоритма, представлены в таблице 8.
Таб. 8. Оптимальные замкнутые маршруты на графе у15е28
ОЗМ
Ш] = ] 4 2 5 3 2 ] 7 ]] 13 14 12 15 9 5 8 1 1 14 15 10 3 9 12 8 4 7 13 б 1
Ш2 = ] б 13 7 4 8 1 1 14 15 12 8 5 2 3 5 9 3 10 15 9 12 14 13 1 1 7 1 4 2 1
Шз = ] 7 4 2 5 9 3 5 8 4 1 2 3 10 15 14 13 1 1 14 12 9 15 12 8 1 1 7 13 б 1
Ш4 = ] б 13 14 1 1 8 5 3 2 4 1 7 1 1 13 7 4 8 12 14 15 9 3 10 15 12 9 5 2 1
Ш 5 = ] 2 5 3 2 4 8 11 13 7 11 14 15 12 8 5 9 15 10 3 9 12 14 13 б 1 4 7 1
Шб = ] 2 5 3 10 15 9 5 8 11 13 14 11 7 13 б 1 4 8 12 14 15 12 9 3 2 4 7 1
Ш 7 = ] 7 13 б 1 4 8 12 15 9 12 14 15 10 3 5 8 11 13 14 11 7 4 2 5 9 3 2 1
Ш 8 = ] 4 2 5 9 15 14 13 7 4 8 5 3 9 12 8 1 1 14 12 15 10 3 2 1 б 13 11 7 1
Ш 9 = ] 7 4 2 1 б 13 1 1 14 15 9 3 5 9 12 15 10 3 2 5 8 12 14 13 7 1 1 8 4 1
Ш]0 = ] 2 5 8 4 1 б 13 7 4 2 3 10 15 14 13 11 8 12 9 3 5 9 15 12 14 11 7 1
Ш]] = ] 4 7 1 1 14 15 9 3 2 1 б 13 14 12 8 5 3 10 15 12 9 5 2 4 8 1 1 13 7 1
Ш ] 2 = ] 4 7 1 2 3 10 15 12 14 15 9 12 8 5 3 9 5 2 4 8 1 1 13 7 1 1 14 13 б 1
Ш]3 = ] б 13 14 12 9 15 14 11 13 7 11 8 5 2 3 5 9 3 10 15 12 8 4 1 7 4 2 1
Ш ] 4 = ] 4 8 5 9 3 5 2 4 7 1 б 13 14 12 8 1 1 7 13 1 1 14 15 9 12 15 10 3 2 1
Ш ] 5 = ] 2 5 3 9 12 14 13 7 4 2 3 10 15 14 11 7 1 4 8 12 15 9 5 8 11 13 б 1
Ш]б = ] б 13 7 4 2 1 4 8 12 15 9 3 2 5 8 11 14 15 10 3 5 9 12 14 13 11 7 1
Ш ] 7 = ] б 13 11 8 5 3 10 15 12 14 11 7 4 8 12 9 5 2 4 1 7 13 14 15 9 3 2 1
Ш ] 8 = ] 2 5 3 10 15 14 13 7 4 8 12 9 15 12 14 1 1 8 5 9 3 2 4 1 7 1 1 13 б 1
Ш ] 9 = ] 4 2 3 10 15 12 8 4 7 13 1 1 8 5 3 9 12 14 13 б 1 2 5 9 15 14 1 1 7 1
Для увеличения числа ОЗМ таблицы 8 могут применялись автоморфизмы горизонтальной и вертикальной симметрии графа, операторы разрезания и инверсии, подобные формулам
(7) - (9). В результате этого были получены 139 маршрутов. Применяя к полученному множеству ОЗМ программу поиска маршрута максимального мониторинга, которая проверяет каждый маршрут на реализацию безопасного группового полета с интервалом одно ребро, получим, что максимальное число БПЛА будет такое же, как и для ОЗМ из таблицы 8.
Алгоритм поиска МММ состоит в том, что из каждого ОЗМ таблицы 8 формируется матрица по количеству столбцов вдвое превышающая длину ОЗМ, за вычетом двух, т.к. первая и последняя вершины закреплены в точке 1. Такое увеличение необходимо для того, чтобы смоделировать сдвиг на одно ребро гипотетически максимально возможного (равного числу вершин) количества летательных аппаратов, двигающихся друг за другом с интервалом в одно ребро на графе, как это имеет место на циклическом графе. Тогда, на графе из к вершин и к ребер возможен групповой полет к БПЛА, т.е. число МНМ равно к, а число ОЗМ равно двум: (1, 2, 3, ..., к - 1, к , 1) и (1, к, к - 1, ..., 3, 2, 1). Так как к-й аппарат только начнет свое движение тогда, когда первый БПЛА будет уже в предпоследней вершине (в ОЗМ первая и последняя вершины совпадают), когда к-й аппарат переместится во 2, 3 и последующие вершины — первый БПЛА (а затем и следующие за ним) пойдет на второй круг.
Для произвольного графа количество БПЛА в группе значительно меньше к и зависит в первую очередь от геометрии графа, во вторую — от выборки найденных маршрутов, т.к. на одном и том же графе по разным ОЗМ может одновременно двигаться разное число летательных аппаратов.
Если расположить один и тот же оптимальный замкнутый маршрут из таблицы 8 друг под другом со сдвигом в одно ребро, то получим для этого ОЗМ матрицу (11):
М = (Шг(/)), / = 1, ..., п; / = 1, ..., 29.
(11)
Номера вершин первого маршрута располагаются в верхней строке матрицы с индексом I = 1, занимая первые 29 позиций с / = 1 по / = 29, начиная с 30 элемента в эту же строку копируются номера вершин этого же ОЗМ с индексами от / = 2 до / = 28 (рис. 5).
Рис. 5. Проверка ОЗМ Ш19 на графе у15е28 смещением в одно ребро на совпадение номеров вершин в
столбцах
Во второй строке матрицы i = 2 вектор номеров вершин маршрута mi9 располагается со сдвигом в одно ребро, т.е. с j = 2 по j = 30, а начиная с j = 31 по j = 57 записываются номера вершин вектора mi9(i) с индексами от i = 2 до i = 27, а номер вершины, находящийся в векторе mi9(i) на 28 позиции, располагается в первом столбце j = 1, имитируя нахождение второго БПЛА в предпоследней вершине маршрута, в то время как первый БПЛА уже вернулся в вершину один, которая является как начальной, так и конечной вершиной замкнутого маршрута, и готов совершить «заход на второй круг».
Аналогичным образом, третий БПЛА в этот момент времени находится за две вершины до окончания маршрута, 4-й — за три вершины и т.д. Следовательно, значение переменной i показывает номер строки, описываемой матрицы и порядковый номер БПЛА в группе. На каждой итерации цикла в матрицу добавляются строки с тем же самым маршрутом, но со сдвигом на одно ребро.
Внутренний цикл осуществляет проверку номеров вершин в каждом столбце, пока не обнаружится их совпадение, что сигнализирует о ситуации попадания одновременно двух БПЛА в одну и туже реперную точку (вершину графа). Следовательно, летательный аппарат с текущим значением i будет при одновременном движении группы «лишним», значит, число БПЛА (count) равно номеру текущей строки минус один: count = i - 1.
Таким образом, на рисунке 5 изображён маршрут mi9 = (1 4 2 3 10 15 12 8 4 7 13 11 8 5 3 9 12 14 13 6 1 2 5 9 15 14 11 7 1) из таблицы 8, по которому возможен полет группы в составе пяти БПЛА с интервалом в одно ребро друг за другом, удовлетворяющий требованиям безопасности.
Модифицированную растяжением в ширину почти в два раза матрицу одного и того же ОЗМ (11) подвергают построчно проверке на совпадение в столбцах номеров вершин и определяют число строк-слоев, когда наступило первое совпадение. Далее в подпрограмме, позволяющей провести поиск наибольшего числа БПЛА в группе, осуществлялся отбор наилучшего ОЗМ с наибольшим числом слоев-строк несовпадения номеров вершин в столбцах.
Группа из трёх аппаратов является наименьшей из всех обнаруженных в результате расчётов, но и наиболее часто встречающейся на ОЗМ графа v15e28.
Наилучшим результатом среди рассматриваемых оптимальных замкнутых маршрутов оказался маршрут m 17 = (1 6 13 11 8 5 3 10 15 12 14 11 7 4 8 12 9 5 2 4 1 7 13 14 15 9 3 2 1), позволяющий одновременный полёт шести беспилотных летательных аппаратов (рис. 6).
Рис. 6. Одновременный полёт группы из 6 БПЛА по ОЗМ m1
Обобщённые результаты поиска оптимальных замкнутых эйлеровых маршрутов с различным количеством БПЛА в группе на графе г15е28 показаны в таблице 9.
Таб. 9. Итоговая таблица ОЗМ с различным количеством БПЛА в группе на графе у15е28
№ ОЗМ, по которым могут двигаться группы в составе 3, 4, 5 и 6 БПЛА
3 БПЛА 1 6 13 7 4 1 2 5 9 12 15 10 3 2 4 8 12 14 15 9 3 5 8 11 13 14 11 7 1
4 БПЛА 1 4 8 12 9 5 2 3 9 15 12 14 11 8 5 3 10 15 14 13 11 7 1 2 4 7 13 6 1
5 БПЛА 1 2 5 3 10 15 14 11 8 12 15 9 5 8 4 1 6 13 11 7 4 2 3 9 12 14 13 7 1
6 БПЛА 1 6 13 11 8 5 3 10 15 12 14 11 7 4 8 12 9 5 2 4 1 7 13 14 15 9 3 2 1
Проведенный поиск приводит к нахождению маршрута максимального мониторинга на графе г15е28.
Наилучшим результатом оказался маршрут шп, позволяющий осуществить одновременный полёт шести БПЛА с интервалом в одно ребро:
Ш17 = МММ=(1 6 13 11 8 5 3 10 15 12 14 11 7 4 8 12 9 5 2 4 1 7 13 14 15 9 3 2 1).
МММ может быть размножен в несколько раз с помощью операторов: ураз, Уобр, Уавт. гор и Уавт. вер. Вероятность МММ в таблице 8 равна 1:19 = 0,0526 ~ 5,3%.
5. Рассмотрим граф г18е36, состоящий из 18 вершин и 36 ребер, и проведем расчет маршрута (или маршрутов) максимального мониторинга группового полета (рис. 7).
Для графа большой размерности г18е36 расчет замкнутых маршрутов целесообразно проводить с помощью генетического алгоритма с использованием векторной целевой функции (ВЦФ) [13, 14, 15]. Для получения большого количества маршрутов целесообразно осуществлять вызов ГА в счетном цикле.
В таблице 10 приведены ОЗМ графа г18е36, рассчитанные ГА.
Таб. 10. Результаты расчета ОЗМ графа у18е36 с помощью векторной ЦФ
_ОЗМ_
Ш1 = 1 2 б 3 7 10 14 11 4 18 17 13 10 б 9 12 1б 13 9 5 8 1 15 8 12 15 1б 17 14 18 11 7 4 3 2 5 1 Ш2 = 1 15 1б 13 10 7 4 3 7 11 4 18 17 1б 12 15 8 12 9 13 17 14 18 11 14 10 б 2 3 б 9 5 8 1 2 5 1 Ш3 = 1 2 б 10 7 4 18 11 4 3 2 5 8 12 1б 13 17 18 14 10 13 9 б 3 7 11 14 17 1б 15 8 1 5 9 12 15 1 Ш4 = 1 15 12 9 б 10 13 1б 15 8 5 9 13 17 14 11 7 4 3 7 10 14 18 11 4 18 17 1б 12 8 1 2 3 б 2 5 1 Ш5 = 1 15 8 12 9 13 17 14 18 4 3 б 2 3 7 10 13 1б 12 15 1б 17 18 11 7 4 11 14 10 б 9 5 8 1 2 5 1 Шб = 1 2 5 8 1 15 8 12 1б 13 17 1б 15 12 9 13 10 б 3 4 11 18 4 7 11 14 17 18 14 10 7 3 2 б 9 5 1 Ш7 = 1 15 8 5 1 8 12 1б 17 13 1б 15 12 9 б 3 7 4 3 2 б 10 7 11 4 18 17 14 18 11 14 10 13 9 5 2 1 ш8 = 1 8 12 1б 13 10 14 18 17 1б 15 12 9 13 17 14 11 7 4 18 11 4 3 7 10 б 3 2 5 9 б 2 1 5 8 15 1 Ш9 = 1 15 12 1б 17 13 10 14 11 18 14 17 18 4 7 11 4 3 7 10 б 9 13 1б 15 8 12 9 5 8 1 5 2 3 б 2 1 тю = 1 5 8 1 15 1б 12 15 8 12 9 5 2 б 10 14 18 4 7 3 б 9 13 1б 17 18 11 7 10 13 17 14 11 4 3 2 1 т„ = 1 2 5 9 б 2 3 б 10 14 17 18 14 11 18 4 11 7 4 3 7 10 13 9 12 1б 17 13 1б 15 8 1 5 8 12 15 1 Ш12 = 1 8 12 9 б 10 7 4 18 17 14 18 11 4 3 2 б 3 7 11 14 10 13 1б 12 15 1 2 5 8 15 1б 17 13 9 5 1 Ш13 = 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 1б 17 14 18 11 7 3 б 2 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1 Ш14 = 1 8 12 1б 15 12 9 б 10 13 1б 17 14 18 4 3 б 2 1 5 2 3 7 11 4 7 10 14 11 18 17 13 9 5 8 15 1 Ш15 = 1 5 8 12 1б 13 17 1б 15 8 1 2 3 4 18 17 14 10 б 9 5 2 б 3 7 4 11 18 14 11 7 10 13 9 12 15 1 Ш1б = 1 2 5 8 12 15 1б 13 9 12 1б 17 18 11 7 4 11 14 17 13 10 7 3 2 б 10 14 18 4 3 б 9 5 1 15 8 1 Ш17 = 1 5 2 1 8 5 9 б 3 7 11 4 7 10 13 17 14 11 18 4 3 2 б 10 14 18 17 1б 12 8 15 12 9 13 1б 15 1 Ш18 = 1 5 9 12 1б 13 9 б 3 2 5 8 15 1б 17 14 18 17 13 10 7 4 11 18 4 3 7 11 14 10 б 2 1 8 12 15 1 Ш19 = 1 5 8 1 15 1б 12 8 15 12 9 б 2 3 б 10 7 4 3 7 11 18 4 11 14 10 13 17 18 14 17 1б 13 9 5 2 1 Ш20 = 1 8 5 1 2 б 9 13 1б 17 14 10 7 11 14 18 17 13 10 б 3 4 11 18 4 7 3 2 5 9 12 15 1б 12 8 15 1 Ш21 = 1 8 12 9 б 2 3 4 18 11 7 10 б 3 7 4 11 14 17 1б 15 1 5 9 13 17 18 14 10 13 1б 12 15 8 5 2 1 Ш22 = 1 2 3 7 11 18 14 10 13 17 18 4 7 10 б 3 4 11 14 17 1б 12 8 1 15 8 5 2 б 9 13 1б 15 12 9 5 1 Ш23 = 1 2 3 б 10 13 1б 17 14 11 4 7 11 18 4 3 7 10 14 18 17 13 9 12 15 1б 12 8 5 2 б 9 5 1 8 15 1 Ш24 = 1 2 3 б 10 14 17 18 11 4 7 3 4 18 14 11 7 10 13 1б 12 15 8 5 1 15 1б 17 13 9 5 2 б 9 12 8 1 Ш25 = 1 2 3 7 4 3 б 9 12 8 15 1б 17 18 4 11 14 17 13 10 7 11 18 14 10 б 2 5 8 1 15 12 1б 13 9 5 1 Ш2б = 1 15 12 1б 13 10 б 2 1 8 15 1б 17 18 14 10 7 4 11 7 3 б 9 13 17 14 11 18 4 3 2 5 8 12 9 5 1 Ш27 = 1 5 8 12 1б 13 17 14 10 13 9 б 3 7 4 11 7 10 б 2 1 15 1б 17 18 11 14 18 4 3 2 5 9 12 15 8 1 Ш28 = 1 8 15 1б 13 9 б 3 4 7 3 2 б 10 14 11 18 17 13 10 7 11 4 18 14 17 1б 12 9 5 1 2 5 8 12 15 1 Ш29 = 1 2 3 б 2 5 8 15 12 8 1 15 1б 17 18 11 4 3 7 4 18 14 10 б 9 12 1б 13 10 7 11 14 17 13 9 5 1 Ш30 = 1 15 1б 17 14 10 13 9 12 8 15 12 1б 13 17 18 14 11 18 4 3 б 10 7 11 4 7 3 2 б 9 5 2 1 8 5 1 Ш31 = 1 8 5 9 13 1б 12 8 15 1б 17 14 18 4 11 18 17 13 10 14 11 7 4 3 б 9 12 15 1 2 б 10 7 3 2 5 1 Ш32 = 1 15 8 12 1б 17 14 10 7 3 2 б 3 4 7 11 14 18 4 11 18 17 13 1б 15 12 9 13 10 б 9 5 8 1 2 5 1 Ш33 = 1 5 9 б 2 3 7 4 11 14 10 б 3 4 18 17 13 1б 15 12 9 13 10 7 11 18 14 17 1б 12 8 1 2 5 8 15 1 Ш34 = 1 5 8 12 1б 17 18 11 4 18 14 10 13 1б 15 12 9 13 17 14 11 7 10 б 2 3 4 7 3 б 9 5 2 1 15 8 1 Ш35 = 1 8 12 1б 17 14 11 18 17 13 10 14 18 4 11 7 3 4 7 10 б 9 12 15 1 2 б 3 2 5 8 15 1б 13 9 5 1 Ш3б = 1 2 5 8 15 1 8 12 15 1б 12 9 б 3 2 б 10 7 3 4 7 11 18 14 17 13 10 14 11 4 18 17 1б 13 9 5 1 Ш37 = 1 8 12 9 13 17 14 11 18 14 10 б 9 5 2 3 7 10 13 1б 17 18 4 7 11 4 3 б 2 1 5 8 15 12 1б 15 1 Ш38 = 1 15 1б 17 14 11 4 18 14 10 13 1б 12 8 5 9 б 3 7 11 18 17 13 9 12 15 8 1 2 3 4 7 10 б 2 5 1 Ш39 = 1 5 8 15 12 9 б 2 3 б 10 13 9 5 2 1 15 1б 13 17 18 11 4 3 7 4 18 14 11 7 10 14 17 1б 12 8 1 Ш40 = 1 15 12 1б 17 13 1б 15 8 1 5 9 12 8 5 2 3 б 10 14 17 18 14 11 4 7 3 4 18 11 7 10 13 9 б 2 1 Ш41 = 1 8 12 15 1б 12 9 б 3 7 11 4 18 11 14 17 1б 13 10 14 18 17 13 9 5 8 15 1 5 2 3 4 7 10 б 2 1 Ш42 = 1 8 5 9 12 8 15 1б 17 14 11 7 4 18 14 10 б 3 2 5 1 15 12 1б 13 10 7 3 4 11 18 17 13 9 б 2 1 Ш43 = 1 2 5 9 12 1б 13 10 б 3 7 10 14 18 11 4 7 11 14 17 18 4 3 2 б 9 13 17 1б 15 8 5 1 8 12 15 1 Ш44 = 1 2 5 8 15 1б 17 18 11 4 7 11 14 10 7 3 2 б 10 13 17 14 18 4 3 б 9 12 8 1 15 12 1б 13 9 5 1 Ш45 = 1 5 8 12 1б 17 18 11 4 3 2 5 9 12 15 1б 13 10 14 18 4 7 3 б 10 7 11 14 17 13 9 б 2 1 8 15 1 Ш4б = 1 15 12 1б 13 17 18 14 10 7 4 18 11 4 3 б 10 13 9 12 8 15 1б 17 14 11 7 3 2 б 9 5 8 1 5 2 1 Ш47 = 1 5 2 3 4 18 14 17 1б 12 15 1б 13 10 14 11 7 4 11 18 17 13 9 5 8 1 2 б 10 7 3 б 9 12 8 15 1 Ш48 = 1 2 5 1 15 12 8 5 9 б 3 7 10 14 18 17 14 11 7 4 18 11 4 3 2 б 10 13 17 1б 12 9 13 1б 15 8 1
Ш49 = 1 5 8 1 15 8 12 9 6 3 4 18 17 16 12 15 16 13 9 5 2 6 10 13 17 14 11 18 14 10 7 11 4 7 3 2 1 Ш50 = 1 2 6 3 4 18 11 14 17 18 14 10 7 11 4 7 3 2 5 9 13 17 16 12 9 6 10 13 16 15 12 8 5 1 8 15 1 Ш51 = 1 8 15 12 8 5 9 12 16 13 9 6 3 4 7 3 2 5 1 15 16 17 18 4 11 18 14 10 7 11 14 17 13 10 6 2 1 Ш52 = 1 2 3 7 11 14 18 4 11 18 17 13 16 17 14 10 13 9 5 1 15 12 16 15 8 12 9 6 10 7 4 3 6 2 5 8 1 Ш53 = 1 8 15 16 17 18 4 7 10 14 18 11 14 17 13 16 12 15 1 5 9 12 8 5 2 6 10 13 9 6 3 4 11 7 3 2 1 Ш54 = 1 8 12 15 16 13 10 14 17 18 11 14 18 4 7 11 4 3 7 10 6 3 2 5 1 15 8 5 9 12 16 17 13 9 6 2 1 Ш55 = 1 15 16 13 10 7 3 6 10 14 17 18 11 7 4 18 14 11 4 3 2 6 9 12 8 15 12 16 17 13 9 5 2 1 8 5 1 Ш56 = 1 5 2 3 4 11 7 10 13 17 16 15 8 12 15 1 8 5 9 12 16 13 9 6 10 14 11 18 14 17 18 4 7 3 6 2 1 Ш57 = 1 15 16 12 15 8 5 2 3 6 10 14 18 4 3 7 11 14 17 18 11 4 7 10 13 17 16 13 9 5 1 2 6 9 12 8 1 Ш58 = 1 5 2 1 8 5 9 6 3 7 4 3 2 6 10 7 11 4 18 11 14 10 13 16 12 9 13 17 18 14 17 16 15 8 12 15 1 Ш59 = 1 15 16 17 18 11 7 10 14 11 4 18 14 17 13 10 6 2 5 9 6 3 4 7 3 2 1 8 12 9 13 16 12 15 8 5 1
Для определения маршрутов максимального мониторинга программными средствами проводится поочередная проверка ОЗМ на возможность группового полета с интервалом в одно ребро [16, 17, 18] и поиска максимального размера группы. Всего для множества оптимальных замкнутых маршрутов (табл. 10) найдено пять уникальных маршрутов максимального мониторинга на графе г18е36:
Ш13=(1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11 7 3 6 2 5 8 15 16 12 9 6 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1);
Ш21=(1 8 12 9 6 2 3 4 18 11 7 10 6 3 7 4 11 14 17 16 15 1 5 9 13 17 18 14 10 13 16 12 15 8 5 2 1);
Ш33=(1 5 9 6 2 3 7 4 11 14 10 6 3 4 18 17 13 16 15 12 9 13 10 7 11 18 14 17 16 12 8 1 2 5 8 15 1);
Ш38=(1 15 16 17 14 11 4 18 14 10 13 16 12 8 5 9 6 3 7 11 18 17 13 9 12 15 8 1 2 3 4 7 10 6 2 5 1);
Ш42=(1 8 5 9 12 8 15 16 17 14 11 7 4 18 14 10 6 3 2 5 1 15 12 16 13 10 7 3 4 11 18 17 13 9 6 2 1).
Для графа г18е36 из проведенного исследования число четыре является числом максимального мониторинга в группе БПЛА, следующих друг за другом с интервалом одно ребро с соблюдений условий безопасности.
Возможно, что для графа г18е36 число в группе БПЛА больше, чем четыре, так как в таблице 10 найдены не все ОЗМ данного графа. Для этого необходимо проводить дополнительные исследования.
Схема группового полета четырёх БПЛА представлена в таблице 11 для маршрута максимального мониторинга Ш13 (табл. 10).
Таб. 11. Проверка ОЗМ Ш13 на безопасный групповой мониторинг на графе у18е36
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11 7 3 6 2
2 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11 7 3 6
3 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11 7 3
4 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11 7
5 1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 16 17 14 18 11
Из таблицы 11 следует, что на маршруте максимального мониторинга Ш13 безопасный полет возможен для четырех БПЛА. Маршрут пятого летательного аппарата по данному маршруту невозможен, т.к. он встречается с первым БПЛА в вершине с номером 1 (выделена полужирным начертанием на схеме полета) в столбцах 5 и 41 (табл. 11).
Продолжение таблицы 11
№ 21 22 23 24 25 2б 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3б 37 38 39 40 41 42
1 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1| 8 12 15 1 2
2 3 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1| 8 12 15 1
3 7 3 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1| 8 12 15
4 11 7 3 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1| 8 12
5 18 11 7 3 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1| 8
Граф у18е36 обладает вертикальной и горизонтальной симметрией, поэтому существуют вертикальный и горизонтальный автоморфизмы уавт. гор и уавт. вер, которые переставляют вершины графа:
Г
авт. гор
Г
авт.вер
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18^ 15 16 17 18 12 13 14 8 9 10 11 5 6 7 1 2 3 4
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18^ 4 3 2 1 7 6 5 11 10 9 8 14 13 12 18 17 16 15
(12)
Применение автоморфизмов позволяет преобразовать МММ в новые маршруты:
Уавт.гор (Ш13) = Уавт.гор(1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 1б 17 14 18 11 7 3 б 2 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1) = (15 8 5 1 15 1б 17 18 14 10 б 2 3 7 4 11 14 17 13 1б 12 8 1 2 5 9 13 10 7 11 18 4 3 б 9 12 15) = (15 8 5 1)( 1 15 1б 17 18 14 10 б 2 3 7 4 11 14 17 13 1б 12 8 1 2 5 9 13 10 7 11 18 4 3 б 9 12 15) = ( 1 15 1б 17 18 14 10 б 2 3 7 4 11 14 17 13 1б 12 8 1 2 5 9 13 10 7 11 18 4 3 б 9 12 15) (15 8 5 1) = (1 15 1б 17 18 14 10 б 2 3 7 4 11 14 17 13 1б 12 8 1 2 5 9 13 10 7 11 18 4 3 б 9 12 15 8 5 1) = Шб0;
Уавт.гор (Ш13) = Уавт.гор(1 8 12 15 1 2 3 4 7 10 13 1б 17 14 18 11 7 3 б 2 5 8 15 1б 12 9 б 10 14 11 4 18 17 13 9 5 1) = (4 11 14 18 4 3 2 1 5 9 13 17 1б 12 15 8 5 2 б 3 7 11 18 17 14 10 б 9 12 8 1 15 1б 13 10 7 4) = (4 11 14 18 4 3 2 1)( 1 5 9 13 17 1б 12 15 8 5 2 б 3 7 11 18 17 14 10 б 9 12 8 1 15 1б 13 10 7 4) = (1 5 9 13 17 1б 12 15 8 5 2 б 3 7 11 18 17 14 10 б 9 12 8 1 15 1б 13 10 7 4) (4 11 14 18 4 3 2 1) = (1 5 9 13 17 1б 12 15 8 5 2 б 3 7 11 18 17 14 10 б 9 12 8 1 15 1б 13 10 7 4 11 14 18 4 3 2 1) = Шб1 и т.д.
Частота появления маршрутов максимального мониторинга среди ОЗМ, перечисленных в таблице 10, равна: 5:59 = 0,08475 я 8,5 %.
б. Рассмотрим граф г25е50, состоящий из 25 вершин и 50 ребер, и проведем расчет маршрутов максимального группового полета (рис. 8).
научно-техническим журнал
нпейкхй
http://intech-spb.com/i-methods/
1 2
11 12
19 20
24 25
Рис. 8. Граф у25е50, состоящий из 25 вершин и 50 ребер
Для графа большой размерности г25е50 расчет замкнутых маршрутов целесообразно проводить генетическим алгоритмом с помощью векторной целевой функции [8, 19, 20, 21]. В таблице 12 приведены ОЗМ графа г25е50, рассчитанные ГА.
Таб. 12. Результаты расчета ОЗМ графа у25е50с помощью векторной ЦФ
№ ОЗМ
1 т 1 = 1 4 16 18 19 1 2 3 5 6 8 9 10 7 14 11 13 12 15 13 14 15 22 23 24 25 22 21 10 8 7 6 9 17 18 20 17 16 19 20 24 21 23 25 12 1 1 2 5 4 3 1;
2 т2 = 1 2 1 1 14 13 12 15 14 7 6 5 4 3 2 5 3 1 4 16 19 20 24 25 12 11 13 15 22 21 23 25 22 23 24 21 10 8 9 6 8 7 10 9 17 18 20 17 16 18 19 1;
3 т3 = 1 2 3 1 19 16 18 20 19 18 17 20 24 21 23 22 25 23 24 25 12 15 14 11 12 13 11 2 5 4 16 17 9 10 8 7 14 13 15 22 21 10 7 6 9 8 6 5 3 4 1;
4 т4 = 1 2 1 1 13 14 15 13 12 1 1 14 7 6 8 7 10 8 9 10 21 22 25 23 22 15 12 25 24 23 21 24 20 18 19 20 17 18 16 4 5 2 3 5 6 9 17 16 19 1 3 4 1;
5 т5 = 1 3 4 5 2 11 12 15 13 1 1 14 7 10 9 17 20 24 21 22 25 24 23 25 12 13 14 15 22 23 21 10 8 9 6 7 8 6 5 3 2 1 4 16 19 20 18 16 17 18 19 1;
6 т6 = 1 2 5 4 16 19 18 16 17 18 20 17 9 10 21 23 22 15 13 14 15 12 13 1 1 12 25 23 24 21 22 25 24 20 19 1 3 2 1 1 14 7 10 8 6 9 8 7 6 5 3 4 1;
7 ту = 1 3 2 11 13 14 1 1 12 13 15 22 23 24 20 18 17 9 10 21 24 25 23 21 22 25 12 15 14 7 10 8 9 6 7 8 6 5 3 4 1 19 16 17 20 19 18 16 4 5 2 1;
8 т8 = 1 19 18 16 17 9 8 7 6 9 10 7 14 15 22 23 25 22 21 24 20 18 17 20 19 16 4 5 6 8 10 21 23 24 25 12 11 13 15 12 13 14 1 1 2 3 1 4 3 5 2 1;
9 т9 = 1 3 2 1 1 14 7 10 9 6 5 2 1 19 18 20 24 23 22 25 23 21 24 25 12 11 13 15 12 13 14 15 22 21 10 8 7 6 8 9 17 18 16 17 20 19 16 4 3 5 4 1;
10 тю = 1 2 11 14 13 11 12 13 15 22 23 21 10 7 8 9 6 8 10 9 17 18 16 17 20 19 1 3 5 6 7 14 15 12 25 23 24 25 22 21 24 20 18 19 16 4 5 2 3 4 1;
11 тп = 1 3 4 1 2 11 13 12 25 22 21 23 25 24 21 10 8 7 10 9 6 7 14 13 15 14 1 1 12 15 22 23 24 20 17 16 18 19 20 18 17 9 8 6 5 2 3 5 4 16 19 1;
12 mi2 = 1 3 4 1б 1Т 20 1S 1Т 9 10 Т S 9 б Т 14 11 12 1S 14 13 1S 22 21 23 2S 22 23 24 21 10 S б S 2 3 S 4 1 2 il 13 12 2S 24 20 19 1S 1б 19 1;
13 mi3 = 1 2 il 12 2S 22 21 23 22 1S 12 13 1S 14 il 13 14 Т 10 S б 9 10 21 24 23 2S 24 20 1S 19 1б 1Т 9 S Т б S 3 2 S 4 1б 1S 1Т 20 19 1 4 3 1;
14 mi4 = 1 2 3 1 4 3 S 4 1б 19 20 1S П 20 24 21 22 23 2S 12 il 2 S б 9 10 S Т 10 21 23 24 2S 22 1S 12 13 il 14 1S 13 14 Т б S 9 1Т 1б 1S 19 1;
is miS = 1 19 1б 1Т 20 1S 1Т 9 10 Т S б 9 S 10 21 24 2S 22 1S 13 14 il 13 12 H 14 Т б S 2 1 3 2 il 12 2S 23 21 22 23 24 20 19 1S 1б 4 S 3 4 1;
1б Ш1б = 1 4 3 1 19 1б 1S 20 19 1S 1Т 20 24 2S 22 21 24 23 2S 12 H 13 14 Т 10 9 б Т S 9 1Т 1б 4 S 3 2 S б S 10 21 23 22 1S 14 il 12 13 il 2 1;
П ш1т = 1 2 S 4 3 S б S Т б 9 S 10 9 1Т 20 1S 1б 19 1 3 2 il 13 H 22 23 24 2S 23 21 10 Т 14 il 12 13 14 1S 12 2S 22 21 24 20 19 1S П 1б 4 1;
1S miS = 1 4 S 3 4 1б 19 20 1S 1Т 20 24 23 21 22 2S 24 21 10 S Т б S 9 1Т 1б 1S 19 1 2 S б 9 10 Т 14 13 1S 12 il 14 H 22 23 2S 12 13 il 2 3 1;
19 mi9 = 1 3 2 1 4 1б 1Т 1S 19 1б 1S 20 24 21 22 2S 12 13 1S 14 13 il 12 H 22 23 2S 24 23 21 10 S б S 4 3 S 2 il 14 Т S 9 б Т 10 9 1Т 20 19 1;
20 m20 = 1 4 1б 19 20 1Т 9 S б 9 10 S Т б S 3 2 il 14 1S 12 2S 22 1S 13 12 il 13 14 Т 10 21 22 23 2S 24 23 21 24 20 1S П 1б 1S 19 1 2 S 4 3 1;
21 m21 = 1 2 3 1 19 1S 20 19 1б 1Т 20 24 23 21 22 2S 24 21 10 Т б S 9 б S 3 4 S 2 il 14 13 1S 22 23 2S 12 13 il 12 H 14 Т S 10 9 1Т 1S 1б 4 1;
22 m22 = 1 2 S 4 3 S б 9 S б Т 10 S Т 14 1S 12 13 1S 22 23 2S 22 21 10 9 П 1S 19 20 1Т 1б 1S 20 24 21 23 24 2S 12 il 13 14 il 2 3 1 19 1б 4 1;
23 m23 = 1 3 S 4 1б 19 1S 1Т 9 б Т 14 13 il 14 1S 12 il 2 3 4 1 2 S б S 10 Т S 9 10 21 22 23 24 21 23 2S 12 13 1S 22 2S 24 20 1Т 1б 1S 20 19 1;
24 m24 = i 3 4 1б 1S 19 20 1Т 1б 19 1 4 S б S 9 10 Т б 9 1Т 1S 20 24 21 10 S Т 14 11 13 12 2S 24 23 22 2S 23 21 22 1S 13 14 Н 12 11 2 3 S 2 1;
2S m2S = i 19 1б 1Т 9 S Т б S 2 3 S 4 i 3 4 1б 1S 19 20 1S 1Т 20 24 2S 12 13 1S 22 21 24 23 2S 22 23 21 10 9 б S 10 Т 14 13 il 14 H 12 il 2 1;
2б m2б = 1 4 S 2 3 S б Т 10 21 22 1S 13 12 il 2 1 19 20 1S 1б 19 1S 1Т 9 10 S 9 б S Т 14 13 il 14 H 12 2S 22 23 24 2S 23 21 24 20 П 1б 4 3 1;
2Т ш2т = i 2 3 4 1б 19 20 24 21 23 22 2S 23 24 2S 12 1S 13 il 12 13 14 il 2 S 3 1 4 S б S 10 21 22 1S 14 Т S 9 б Т 10 9 1Т 1б 1S 20 1Т 1S 19 i;
2S m2S = i 4 S 3 4 1б 1Т 20 1S 1б 19 1S 1Т 9 S 10 Т S б S 2 3 i 2 il 13 1S 12 2S 23 22 1S 14 il 12 13 14 Т б 9 10 21 24 2S 22 21 23 24 20 19 i;
29 m29 = i 19 1б П 9 S б 9 10 Т S 10 21 22 2S 12 13 14 Т б S 2 11 12 1S 13 11 14 Н 22 23 2S 24 23 21 24 20 1S 1Т 20 19 1S 1б 4 S 3 2 1 3 4 1;
30 mзo = i 2 il 12 H 22 21 10 S Т б S 3 2 S 4 1 3 4 1б 1Т 1S 1б 19 20 1Т 9 б S 9 10 Т 14 il 13 14 1S 13 12 2S 22 23 2S 24 23 21 24 20 1S 19 i;
31 mзi = i 3 S 2 3 4 S б S 10 Т S 9 б Т 14 il 2 1 4 1б 19 20 1S 1Т 20 24 2S 22 23 21 22 H 13 12 1S 14 13 il 12 2S 23 24 21 10 9 П 1б 1S 19 1;
32 m32 = 1 4 3 S б 9 S 10 9 П 20 24 2S 12 H 13 12 il 14 Т б S Т 10 21 22 2S 23 24 21 23 22 H 14 13 il 2 1 3 2 S 4 1б 1Т 1S 20 19 1б 1S 19 i;
33 mзз = i 3 2 i 19 20 24 2S 22 23 24 21 10 S 9 10 Т б S 2 il 12 13 il 14 13 H 22 21 23 2S 12 1S 14 Т S б 9 П 1б 1S 20 1Т 1S 19 1б 4 3 S 4 i;
34
m з 4 = 1 4 5 6 9 10 7 14 11 12 15 14 13 12 25 22 21 10 8 6 7 8 9 17 16 4 3 1 19 18 20 19 16 18 17 20 24 25 23 21 24 23 22 15 13 1 1 2 5 3 2 1
Определение МММ проводится программными средствами.
Аналогично предыдущим графам, на множестве ОЗМ графа г25е50 действуют операторы обращения уобр и разрезания ураз,1 в промежуточной вершине с номером 1, автоморфизмы вертикальной уавт. вер и горизонтальной симметрии уавт. гор, которые переставляют вершины в маршрутах и размножают ОЗМ из таблицы 10. При этом МММ при размножении дают опять МММ с тем же числом безопасного полета БПЛА. Это следует из факта перестановок вершин при действии операторов уобр, Ураз,ь Уавт.вер, Уавт.гор с сохранением расстояния между одинаковыми номерами вершин [22, 23, 24].
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19 20 18 16 17 9 10 8 6 7 24 25 23 21 22 4 5 3 1 2 14 15 13 11 12
(13)
' авт.вер
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 12 11 13 15 14 7 6 8 10 9 2 1 3 5 4 22 21 23 25 24 17 16 18 20 19
!
Применение автоморфизмов порождает новые маршруты, которые объединяются с исходными, образуя большее множество ОЗМ, над которым может быть проведена проверка по методике определения маршрута максимального мониторинга на графе программными средствами.
Методика отыскания маршрута максимального мониторинга повторяет построение схемы полета по одному и тому же оптимальному замкнутому маршруту друг за другом с интервалом в одно ребро. Данная схема полета для ОЗМ Ш1 представлена в таблице 13.
Таб. 13. Проверка ОЗМ Ш1 на безопасный групповой мониторинг на графе у25е50
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 4 16 18 19 1 2 3 5 6 8 9 10 7 14 11 13 12 15 13 14 15 22 23 24
2 1 4 16 18 19 1 2 3 5 6 8 9 10 7 14 11 13 12 15 13 14 15 22 23
3 1 4 16 18 19 1 2 3 5 6 8 9 10 7 14 11 13 12 15 13 14 15 22
4 1 4 16 18 19 1 2 3 5 6 8 9 10 7 14 11 13 12 15 13 14 15
Таблица 13 показывает, что по МММ Ш1 может быть организован полет трех БПЛА с интервалом одно ребро. Четвертый БПЛА будет встречаться с другими БПЛА в вершинах, выделенными полужирным начертанием.
Особенность графа v25e50 состоит в том, что программная проверка по алгоритму поиска маршрутов максимального мониторинга среди всех ОЗМ из таблицы 13 показывает, что для всех маршрутов значение count является постоянным и равно трем. Это наводит на мысль, что
все ОЗМ, которые можно рассчитать, например, с помощью ГА, на графе г25е50 совпадают: МММ = МНМ = ОЗМ, но это требует своего доказательства.
Продолжение таблицы 13
№ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
1 25 22 21 10 8 7 6 9 17 18 20 17 16 19 20 24 21 23 25 12 11 2 5 4 3 1| 4
2 24 25 22 21 10 8 7 6 9 17 18 20 17 16 19 20 24 21 23 25 12 11 2 5 4 3 1|
3 23 24 25 22 21 10 8 7 6 9 17 18 20 17 16 19 20 24 21 23 25 12 11 2 5 4 3
4 22 23 24 25 22 21 10 8 7 6 9 17 18 20 17 16 19 20 24 21 23 25 12 11 2 5 4
Это можно было бы легко доказать, если бы можно было найти все ОЗМ графа г25е50. Сделать это можно, например, методом перебора, но для это потребуется время —недели, месяцы или годы, — оценивание которого в данной статье не проводится [25, 26].
Вероятность МММ среди ОЗМ для данного графа составляет 100%.
На основании проведенных исследований [28] на различных графах можно сформулировать следующие определения, теоремы и следствия из них, в основе которых находятся положения теории графов справедливые для эйлеровых и гамильтоновых графах с конечным числом ребер и вершин о конечности множеств эйлеровых и гамильтоновых графов.
Определение 1. Пусть М — множество замкнутых эйлеровых маршрутов на эйлеровом или замкнутых гамильтоновых маршрутов на гамильтоновом графе, то маршрут ш е М называется маршрутом максимального мониторинга, если по нему может перемещаться максимальное число аппаратов в группе с интервалом в одно ребро друг за другом. Это количество аппаратов в группе называется числом максимального мониторинга для множества М и зависит от рассматриваемого подмножества ОЗМ.
Определение 2. Пусть М — полное множество эйлеровых или гамильтоновых маршрутов на эйлеровом или гамильтоновом графе, то маршрут Ш е М называется маршрутом наибольшего мониторинга, если по нему может перемещаться наибольшее количество аппаратов в группе с интервалом в одно ребро друг за другом, которое называется числом наибольшего мониторинга и значение которого является константой для рассматриваемого графа Г.
Рассмотрение примеров расчета МММ на графах г6е10, г8е12, г8е16, г15е28, г18е36, г25е50 приводит к справедливости следующих теорем.
Теорема 1 (о замкнутости множества эйлеровых маршрутов при действии на них операторов обращения уобр, разрезания ураз,п в промежуточной вершине с номером п и автоморфизмов уавт графа).
Преобразование любого множества эйлеровых маршрутов на графе с помощью операторов обращения уобр, разрезания ураз,п в промежуточной вершине и автоморфизмов уавт графа переводит их в эйлеровы маршруты.
Доказательство. Пусть ш является эйлеровым маршрутом из некоторого множества М эйлеровых маршрутов эйлерова графа Г, тогда ш, как набор номеров вершин ш = (VI, У2, ..., ^+1), удовлетворяет целевой функции эйлерова графа: 2(ш) = 2^1, V2, ., Vn-2, Vn- 1, Vn) = 0.
1. Подействуем на эйлеров маршрут ш оператором обращения уобр. Получим уобр (ш) = (Уп, Уп-1, Уп-2, ..., У2, уО. Так как целевая функция эйлерова графа может быть записана в аддитивной или мультипликативной форме (14):
# E
ZE (m) = X codE (Vi, vi+1) - Ае = 0 или
i=1
#E (14)
ZE (m) = П COdE (vi, v.+!) - МЕ =
i=1
где Е — множество ребер, codв(yг■, у, + 1) — коды ребер графа, которые являются величинами однозначного разложения. Для аддитивного варианта ЦФ (верхняя строка (14)) codE(Vг, у■ + 1) являются слагаемыми его однозначного разложения. Например, если Ае — векторная величина, то коды ребер codE(Vг, у, + 1) — векторы, а ЦФ является векторной аддитивной функцией [5, б]. Для мультипликативного варианта (нижняя форма ЦФ (14)) коды ребер являются образующими мультипликативных групп. Таким образом, Ае и Ме — соответственно, сумма аддитивных и произведение мультипликативных кодов всех ребер графа. Слагаемые и множители ЦФ (14), в силу коммутативности сложения и умножения не зависят от порядка следования ребер графа в сумме или произведении кодов. Поэтому, если ЦФ на маршруте ш равна нулю, то и на уобр(ш) она равна нулю. Следовательно, уобр(ш) — эйлеров маршрут.
2. Подействуем на эйлеров маршрут ш = (1, У2, ., Уг, 1, Уг+2, ., Уп -1, 1), который имеет внутри вершину с номером 1, оператором разрезания ураз,1. Получим уразл(т) = уразл (1, У2, ., Уг, 1, Уг + 2, ..., Уп - 1, 1) = (1, У2 , ..., Уг,1)(1, Уг +2, ..., Уп - 1, 1) = (1, Уг + 2, ..., Уп - 1, 1, У2, ..., Уг, 1). Новый набор номеров вершин графа уразл(т), состоит из тех же ребер, что и ш и поэтому на Ураз,1(т) ЦФ (14) будет равна нулю. Следовательно, уразл(ш) — эйлеров маршрут. Т.к. в графе любая вершина может быть занумерована числом 1, то обозначение концевой точки маршрута единицей не влияет на доказательство.
3. Подействуем на эйлеров маршрут ш = (У1, У2, ., Уг, Уг + 1 , ., Уп -1, Уп) графа Г автоморфизмом уавт(т). Автоморфизм при действии на маршрут ш действует на вершины, которые, например, перенумерованы натуральными числами от 1 до #У, где #У — число всех вершин, переставляя их номера, как перестановка.
Важной особенностью определения автоморфизма является то, что множества вершин у автоморфных графов одинаковы и для них сохраняется отношение смежности: если (у,, у,) — ребро в Г, то и (уавт(Уг) , Уавт(у,)) — ребро в Г. Автоморфизмы графа образуют группу и у каждого автоморфизма есть обратный1. Автоморфизм переводит ребра (у,, у,) графа Г в пару (уавт(Уг) , Уавт(Уу)), которые тоже являются ребрами на графе Г. Следовательно, уавт (ш) состоит из ребер графа и образует маршрут.
Если предположить, что какое-то ребро графа Г отсутствует в маршруте уавт (ш) = уавт (У1,
^ уг + ь уп - ь уп) = (Уавт (у1Х Уавт (y2), Уавт (yг), Уавт (уг + Уавт (уп-1 ^ Уавт (Уп)), а
число их одинаково в обоих маршрутах, то для какого-то ребра увеличилась его кратность (уавт (Уг), Уавт (Уг + 1)) = (уавт (у«), Уавт (Уs + 1)). Применяя обратный автоморфизм, получим, что ребра равны: (Уг, Уг + 1) = (у«, у« + 1), т.е. увеличилась кратность ребра в графе, что противоречит
1 ОмельченкоА.В. Теория графов. М.: МЦНМО, 2018. 416 с.
определению автоморфизма графа, который сохраняет смежность вершин. Таким образом, любой автоморфизм графа Г взаимно однозначно переводит множество ребер графа в ребра этого же графа с учетом кратности в Г. Поэтому в маршрутах ш и уавт (ш) число ребер одно и тоже и ЦФ (14) на маршруте уавт (ш) равна нулю. Следовательно, уавт (ш) — эйлеров маршрут на графе Г. Теорема доказана.
Теорема 2 (о замкнутости множества маршрутов максимального мониторинга эйлерова графа при действии на них операторов обращения уобр, разрезания ураз, п в промежуточной вершине и автоморфизмов Уавт графа).
Преобразование любого множества маршрутов максимального мониторинга эйлерова графа с помощью операторов обращения уобр, разрезания ураз,п в промежуточной вершине и автоморфизмов уавт графа переводится в множество маршрутов максимального мониторинга эйлерова графа. При этом число максимального мониторинга не меняется и является инвариантом.
Доказательство. Согласно теореме 1, операторы обращения уобр, разрезания ураз,п в промежуточной вершине и автоморфизмы уавт графа Г переводят эйлеровы маршруты в эйлеровы маршруты на графе Г. Пусть ш является маршрутом максимального мониторинга для некоторого множества Мэйлеровых маршрутов эйлерова графа Г, тогда ш = ^1, V2, ..., Vn), а к — число максимального мониторинга. Т.е. в маршруте ш существует пара одинаковых вершин VI и V], между которыми число ребер равно к = ] - V. ш = ^1, V2, ., V*, VI + 1, ., V *+к = ], ., Vn). Причем, для всех одинаковых пар вершин Vr = vs, (я > г) маршрута ш имеем к < шт (я - г) и (V*, V,) — пара, на которой достигается этот минимум.
1. Если на маршрут ш действует оператор обращения уобр, то маршрут ш переходит в маршрут уобр(ш), в котором порядок вершин поменялся на противоположный. уобр(ш) = ^п, Vn -1, Vn - 2, ..., V], V] -1, V] - 2, ..., V] - к = г , ..., V:), т.е. вершины расположены в обратном порядке, но расстояние между ними, равное числу ребер, сохраняется неизменным и равно к = ] - (] - к). Если в маршруте уобр(ш) число минимума расстояния между одинаковыми номерами вершин изменилось: например, к = шт (я' - г ) < к, то в маршруте уобр(ш) имеется пара одинаковых вершин Vr', Vs', которая при обращении уобр(уобр(ш)) = ш сохраняет расстояние, что противоречит тому, что к = шт (я - г) между любыми парами с одинаковыми номерами вершин.
2. Рассмотрим влияние оператора разрезания маршрута в промежуточной точке с номером 1 на получение нового маршрута.
а) пусть на замкнутый маршрут ш = (1, V2, ..., 1, ..., Vn- 1, 1) действует оператор разрезания Ураз, 1, тогда имеем перестановку блоков, ограниченных единицами: уразл(ш) = (1, ..., Vn- 1, 1, V2, ..., 1). Если минимум расстояния к между вершинами с одинаковыми номерами Vr = vs, (я > г) достигается между вершинами, расположенными либо в блоке (1, Vr + 2 , ..., 1), либо в блоке (1, V2, ., Vr, 1), то в маршруте ураз,1(ш) = (1, ., Vn -1, 1, V2, ., 1) минимум расстояния к не больше к. Если к< к, применяем к маршруту уразл(ш) оператор разрезания повторно ураз,1, то получим исходный маршрут ураз,1(ураз,1(ш)) = ш, в котором достигается шт (я - г) = к и поэтому к < к. Это противоречит предположению к < к. Поэтому к = к, то есть, в этом случае сохраняется минимальное число ребер между одинаковыми вершинами.
б) пусть к = шт (я - г) достигается на вершинах маршрута с одинаковыми номерами, равными 1 = Vr = и ш = (1, V2, ..., Vr-1, 1 = Vr, Vr + 1, ..., vs-1, 1 = Vs). Отсюда следует, что минимальное число ребер между Vr и Vs измеряется в левом блоке (1 = Vr, Vr + 1, ..., Vs - 1, 1 = Vs). Применив оператор разрезания, получим маршрут ураз,1(ш) = (1= Vr, Vr + 1, ..., vs- 1, 1 = vs, V2,
..., Vr- i, 1 = Vr), в котором правый и левый блок, ограниченные единицами, поменялись местами и поэтому число ребер между вершинами Vr и Vs сохраняется и равно k. Таким образом, минимальное число ребер между вершинами с номерами, равными 1, сохраняется.
в) рассмотрим случай, когда вершины vs и Vr находятся в разных блоках маршрута, ограниченных единицами. Пусть k = min (s - r) достигается на вершинах ОЗМ с одинаковыми номерами, равными Vr=vs в маршруте m = (1, V2, ., Vr, ., 1, ., vs, ., Vn - 1, 1). Отсюда следует, что k — это число ребер между вершинами: Vs, и Vr.
При разрезании оптимального замкнутого маршрута в вершине с номером 1 оператором Ураз, 1 имеем уразл(т) = (1, ., Vs, ., Vn - 1, 1, V2, ., Vr, ., 1). Вершины Vs, и Vr оказались в разных блоках и расстояние между этими вершинами будет по-прежнему равно k = min (p - s) ребер. Действительно, в ОЗМ ураз,1(т) = (1, ..., vs, ..., Vn - 1, 1, V2, ..., Vr, 1) между вершинами Vr и Vs число ребер можно подсчитать через концевые вершины 1, которые выделены полужирным начертанием шрифта, при счете ребер слева направо: vs, ..., 1, ..., Vr, что совпадает с исходным числом ребер.
Поэтому при всех возможных случаях оператор ураз,1 не меняет число маршрута максимального мониторинга (размер группы), а, следовательно, переводит маршруты максимального мониторинга друг в друга, сохраняя постоянным число k.
3. Рассмотрим действие автоморфизма графа уавт на маршрут максимального мониторинга m = (1, V2, ., Vs, ., Vr, 1, Vr +2, . • •, Vp, . . ., Vn-1, 1) с числом k = min (p - s). Автоморфизм графа, применяемый к маршруту m, действует на вершины, переставляя их номера как перестановка, образуя подгруппу перестановок вершин. У каждого автоморфизма есть обратный. При этом одинаковые вершины Vp и Vs перейдут в одинаковые вершины уавт^р) = уавт^), которые удалены на k ребер друг от друга и между ними не может быть других равных им вершин, так как при обратном автоморфизме у-1авт между Vp и Vs существовала бы равная им вершина Vu = Vp = Vs и число k не является минимальным числом ребер в маршруте между вершинами с одинаковыми номерами: k = min (p - s) > min(u -p, s - u) = k\ что противоречит определению числа k.
Таким образом, любой автоморфизм переводит маршруты максимального мониторинга друг в друга, сохраняя постоянным число k. Принятие вершины 1 за концевую точку в эйлеровых маршрутах не влияет на доказательство, т.к. в графе любая вершина может быть занумерована числом 1. Таким образом, теорема доказана.
Так как маршрут наибольшего мониторинга является маршрутом максимального мониторинга, то на МНМ распространяется выводы теоремы 2.
Следствие 1 из теоремы 2. Операторы обращения уобр, разрезания ураз,1 в промежуточной вершине и автоморфизмов уавт графа переводят маршруты наибольшего мониторинга в маршруты наибольшего мониторинга с сохранением числа наибольшего мониторинга, которое является инвариантом относительно этих операторов.
Если рассматривать гамильтоновы графы, на которых существуют замкнутые маршруты, проходящие один раз через каждую вершину, то опираясь на теоремы 1 и 2 и следствие 1 , можно отметить следующее: на всех гамильтоновых маршрутах возможно движение наибольшего числа БПЛА с интервалом одно ребро, равного числу вершин графа. Поэтому все гамильтоновы маршруты являются маршрутами наибольшего мониторинга. Если рассматривать действие операторов обращения уобр, разрезания ураз,1 в промежуточной вершине и автоморфизмов уавт графа на гамильтоновы маршруты, то можно сформулировать теорему 3.
Теорема 3. (о замкнутости множества гамильтоновых маршрутов гамильтонова графа при действии на них операторов обращения уобр, разрезания ураз,1 в промежуточной вершине и автоморфизмов уавт графа). Операторы обращения уобр, разрезания ураз,1 в промежуточной вершине и автоморфизма уавт переводят гамильтоновы маршруты в гамильтоновы.
Доказательство следует из свойства гамильтоновых маршрутов, которые содержат все вершины графа без повторений, а все перечисленные операторы являются перестановками вершин с сохранением матрицы смежности.
Оператор обращения маршрута уобр переставляет вершины маршрута в обратном порядке. Оператор разрезания ураз в промежуточной вершине vs делит замкнутый маршрут ш = ^1, V2, ..., vs, ..., Vn -1, 1) на два блока ^1, V2, ..., V), (^ ..., Vn - 1, V!) и переставляет их местами V ., Vn- 1, Vl), (vl, V2, ., Vs), затем склеивает их в вершине Vl. (^ ., Vn- 1, Vl, V2, ., Vs), получая перестановку вершин, которая является исходным замкнутым маршрутом ш с начальной вершиной vs. Операторы автоморфизмов уавт графа по определению на вершинах графа переставляет вершины с сохранением матрицы смежности, то есть переводит гамиль-тонов маршрут в другой гамильтонов маршрут.
Так как каждый гамильтонов маршрут является МНМ, то операторы уобр, ураз, Уавт переводят МНМ в МНМ, оставляя неизменным число БПЛА на них.
Заключение
1. Поиск МММ, МНМ и максимального числа БПЛА в группе для одновременного безопасного движения в группе с интервалом в одно ребро имеет важное прикладное значение, т.к. позволяет обеспечить плотный мониторинг территории по реперам, образующим математический граф.
2. Для того, чтобы обнаружить маршрут с наибольшим количеством аппаратов, необходимо подсчитать все ОЗМ или получить достаточно большое множество ОЗМ.
3. Нахождение маршрута максимального мониторинга с наибольшим количеством БПЛА может быть осуществлено программными средствами из любого конечного числа ОЗМ, насчитанных с помощью вызова генетического алгоритма в счетном цикле.
4. Маршруты наибольшего мониторинга для больших графов не могут быть рассчитаны на современных компьютерах из-за недостаточного их быстродействия.
5. Множество ОЗМ, МММ и МНМ можно размножить, используя такие свойства графа как симметрию и операторы автоморфизма, инверсии и разрезания в промежуточных точках.
6. На множестве размноженных маршрутов максимального мониторинга или маршрутов наибольшего мониторинга число БПЛА, совершающих безопасный полет с интервалом в одно ребро друг за другом, не меняется и является инвариантом.
7. На гамильтоновом графе все гамильтоновы маршруты являются маршрутами наибольшего мониторинга, их множество замкнуто относительно операторов обращения уобр, разрезания ураз в промежуточной вершине, автоморфизмов уавт графа, а число наибольшего маршрута мониторинга, равное числу вершин графа, является их инвариантом [2].
Литература
1. Руденко Э.М., Аллилуева Н.В., Семикина Е.В. Маршрутизация на графе, теоретико-числовые целевые функции и генетический алгоритм // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2019. № 6. С. 4-14.
2. Bing Han, Tengteng Qu, Xiaochong Tong, Jie Jiang, Sisi Zlatanova, Haipeng Wang, Chengqi Cheng. Grid-optimized UAV indoor path planning algorithms in a complex environment // International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation Vol. 111, July 2022, Article 102857. URL: https://doi.org/10.1016/jjag.2022.102857
3. Дараган А.Д., Руденко Э.М., Залогин В.С., Ефремов А.А., Финогенов М.А. Системы искусственного интеллекта. Монография. Том 2. Серпухов: ФВА РВСН им. Петра Великого, 2021. 228 с.
4. Аллилуева Н.В., Руденко Э.М. Математический метод расчета целевой функции на графах и решение задачи маршрутизации // Электронный журнал «Труды МАИ». 2017. № 96. URL: http://tmdymai.m/published.php?ro=85773 (дата обращения 28.06.2022)
5. Руденко Э.М., Семикина Е.В. Маршрутизация беспилотных летательных аппаратов, трансцендентные целевые функции графа и генетический алгоритм // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2021. Т. 13. № 1. С. 6-16.
6. Лебедев Г.Н., Малыгин В.Б. Оценка возможности применения генетического алгоритма для оптимизации операций в аэропортах на основе принципов совместного принятия решений. // Научный вестник МГТУ ГА. 2019. Т. 22. №5. С. 85-93. URL: https://doi.org/10.26467/2079-0619-2019-22-5-85-93 (дата обращения 12.05.2022)
7. Руденко Э.М., Семикина Е.В. Интеллектуальный мониторинг группы БПЛА на эйлеро-га-мильтоновых графах реперов на местности // Научно -технический журнал «Известия ИИФ». 2021. №4 (62). С.75-80.
8. Руденко Э.М., Семикина Е.В. Методика построения векторной целевой функции расчёта маршрутов на графах генетическим алгоритмом // Научно -технический журнал «Известия ИИФ». 2022. №1 (63). С.93-97.
9. Гончаренко В.И., Лебедев Г.Н., Михайлин Д.А. Задача оперативной двумерной маршрутизации группового полета беспилотных летательных аппаратов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2019. № 1. С. 153-165.
10. Sabino S., Horta N., Grilo A. Centralized unmanned aerial vehicle mesh network placement scheme: A multi-objective evolutionary algorithm approach. // Sensors. 2018. Vol. 18. No. 12. https://doi.org/10.3390/s18124387
11.Agatz N., Bouman P., SchmidtM. Optimization approaches for the traveling salesman problem with drone. // Transp. Sci. 2018. Vol. 52. No. 4. Pp. 965-981. https://doi.org/10.1287/trsc.2017.0791
12. Shuai Zhang, Siliang Liu, Weibo Xu, Wanru Wang. A novel multi-objective optimization model for the vehicle routing problem with drone delivery and dynamic flight endurance. // Computers & Industrial Engineering. 2022. Vol. 173. URL: https://doi.org/10.1016/j.cie.2022.108679
13.Adam J. Sobey, Przemyslaw Grudniewski. Re-inspiring the genetic algorithm with multi-level selection theory: Multi-Level Selection Genetic Algorithm (MLSGA) // Bioinspiration & Biomimetics. 2018. Vol. 13. No. 5. D0I:10.1088/1748-3190/aad2e8 (дата обращения: 02.07.2022).
14. Harshavardhan P.K., Kousik Krishnan. Hierarchical Genetic Algorithms with evolving objective functions // arXiv.org. 05 Aug 2019. URL: https://arxiv.org/pdf/1812.10308.pdf (дата обращения: 09.07.2022).
15.Xin J., Zhong J., Yang F., Cu, Y., Sheng J. An Improved Genetic Algorithm for Path-Planning of Unmanned Surface Vehicle. // Sensors 2019. Vol. 19. No. 11. https://doi.org/10.3390/s19112640
16. Карпов В.Э. От роевой робототехники к социуму роботов. // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Искусственный интеллект: проблемы и пути решения - 2018» (Кубинка, 14-15 марта 2018), Кубинка, 2018. С.122-130. URL: http://raai.org/library/books/Konf_II_problem-2018/book1_intellect.pdf
17. Лебедев Г.Н., Михайлин Д.А. Автоматизированная система планирования групповых действий беспилотников при заданном графике обслуживания мобильных наземных объектов в прогнозируемой динамической обстановке. // Сборник научных статей по материалам VI Международной научно-практической конференции «АВИАТОР» (Воронеж, 14-15 февраля 2019), Воронеж, 2019. URL: https://vva.mil.ru/upload/site21/document_file/JG8GpML43d.pdf
18. Khanra A., Pal T., Maiti M.K., MaitiM. Multi-objective four-dimensional imprecise TSP solved with a hybrid multi-objective ant colony optimization-genetic algorithm with diversity. // J. Intell. Fuzzy Syst. 2019. Vol. 36. No. 1. Pp. 47-65. DOI: 10.3233/JIFS-172127
19. Bence Keresztury. Genetic algorithms and the Traveling Salesman Problem. Budapest. ELTE, Department of Operations Research. 2017. р. 56. URL: https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_alk-mat/2017/keresztury_bence.pdf
20. Patchara Kitjacharoenchai, Mario Ventresca, MohammadMoshref-Javadi, Seokcheon Lee, Jose MA Tanchoco, Patrick A Brunese. Multiple traveling salesman problem with drones: Mathematical model and heuristic approach. // Computers & Industrial Engineering. 2019. Vol. 129. Pp. 14-30. URL: https://doi.Org/10.1016/j.cie.2019.01.020
21. Dharm Raj Singh, Manoj Kumar Singh, Tarkeshwar Singh, Rajkishore Prasad. Genetic Algorithm for Solving Multiple Traveling Salesmen Problem using a New Crossover and Population Generation. // Computación y Sistemas, Vol. 22, No. 2, 2018, Pp. 491-503 doi: 10.13053/CyS-22-2-2956
22. Kayan Herdiana, Made Candiasa, Gede Indrawan. Optimization of Adaptive Genetic Algorithm Parameters in Traveling Salesman Problem. // Journal of Computer Networks, Architecture and High-Performance Computing. 2022. Vol. 4. No. 2. Pp. 169-176. URL: https://doi.org/10.47709/cnahpc.v4i2.1581
23.Хачумов М.В., Талалаев А.А., Хачумов В.М. Об одном эвристическом критерии в задаче определения изоморфизма графов на основе инвариантов. // Современные наукоемкие технологии. 2022. №2. С.159-163. DOI: 10.17513/snt.39051
24. Can Ke, Huifang Chenab. Cooperative path planning for air-sea heterogeneous unmanned vehicles using search-and-tracking mission// Ocean Engineering. 2022. Vol. 262, 15 October 2022, Article 112020 URL: https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2022.112020
25. Jihoon Park, Sukkeun Kim, Geemoon Noh, Hyeongmin Kim, Daewoo Lee, Inwon Lee. Mission planning and performance verification of an unmanned surface vehicle using a genetic algorithm // International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering. 2021. Vol.13, Pp. 575-584. URL: https://doi.org/10.1016/jijnaoe.2021.07.002
26. Wonhee Lee, Gwang-Hyeok Choi. Visibility graph-based path-planning algorithm with quadtree representation // Applied Ocean Research Vol. 117, December 2021, Article102887. https://doi.org/10.1016/j.apor.2021.102887
DETERMINING THE ROUTE OF MAXIMUM MONITORING ON THE GRAPH OF BENCHMARKS ON THE GROUND
EDUARD M. RUDENKO
PhD., associate professor at the Department of Mathematics of the Military Academy of Strategic Rocket Troops after Peter the Great (Serpukhov Branch).Rus-
sia, eduard5529@yandex.ru
ELENA V. SEMIKINA
lecturer at the Military Academy of Strategic Rocket Troops after Peter the Great (Serpukhov Branch).Rus-
sia, labinfo_serp@inbox.ru
ABSTRACT
Introduction: the paper considers a mathematical approach to determining the routes of maximum monitoring on the Euler graph, on which the largest number of UAVs can fly with an interval of one edge of the graph in such a way that a safe flight is carried out: not to be at the same vertices and edges at the same time for two or more devices . The determination of such routes is of great practical importance for the implementation of a group flight by the maximum number of vehicles. This provides the most dense and continuous monitoring in the area where the benchmarks are located. Problem statement: the problem from the set of Euler routes on the Euler graph to find routes of maximum monitoring. The problem of finding maximum monitoring routes is that the exact set of all Euler routes can be calculated only by enumeration, which cannot be calculated in a reasonable time for graphs with a large number of edges and vertices. Therefore, one has to choose from not a complete set of closed routes, but from a set calculated using a genetic algorithm, as a solution to an optimization problem for the objective function. Methods: determining the route of maximum monitoring from a set of Eulerian routes is carried out using a program for checking each of them to determine the number of UAVs making a formation flight along this route one after another with an interval of one edge in compliance with safety conditions. Thus, the maximum monitoring routes found depend on the initial set of optimal closed routes and may not coincide with the routes selected from the full set of all Euler routes, which can be called the maximum monitoring routes. Results: the resulting limited number of Euler routes, routes of maximum monitoring and routes of maximum monitoring can be increased by several times using the operators of inversion (inversion), cutting at intermediate vertices and automorphisms, if the graph has horizontal, vertical, diagonal symmetry, and so thereby get the opportunity to operate with a large variety of group flight options on the graph of benchmarks. At the same time, the number of the UAV group on the routes of maximum monitoring and the routes of the greatest monitoring does not change and is an invariant. Practical significance: a set of routes of maximum monitoring and routes of the greatest monitoring can be used in the flight algorithms of a UAV group to organize dense and continuous monitoring by benchmarks on the ground in compliance with the conditions of safe flight with an interval of one edge after each other.
Keywords: euler graphs of fixed points; optimal closed routes; maximum and maximum monitoring route; UAV; objective function; genetic algorithm.
REFERENCES
1. Rudenko E.M., Allilueva N.V., Semikina E.V. Routing on a graph of number-theoretic objective function and genetic algorithm. Naukoemkie tehnologii v kosmicheskih issledovanijah Zemli [High tech in earth space research]. 2019. Vol. 11. No. 6. Pp. 4-14 (In Rus)
2. Bing Han, Tengteng Qu, Xiaochong Tong, Jie Jiang, Sisi Zlatanova, Haipeng Wang, Chengqi Cheng. Grid-optimized UAV indoor path planning algorithms in a complex environment. International Journal of Applied Earth Observation and Geoinformation Vol. 111, July 2022, Article 102857. URL: https://doi.org/10.1016/jjag.2022.102857
3. Daragan A.D. Rudenko E.M., Zalogin V.S., Efremov A.A., Finogenov M.A. Sistemy iskusstvennogo intellekta. Monografija. Vol. 2. [Artificial intelligence systems. Monograph. Vol. 2.]. Serpukhov: FVA RVSN (filial v g. Serpuhov), 2021. 228 p. (In Rus)
4. Allilueva N.V., Rudenko E.M. Matematicheskij metod rascheta celevoj funkcii na grafah i reshenie zadachi marshrutizacii [Mathematical method of calculation of objective function on graphs and solution of routing task]. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2017. No. 96. http://trudymai.ru/published.php?ID=85773 (date of access 30.06.2020). (In Russian)
5. Rudenko E.M., Semikina E.V. Unmanned aircraft routing, graph transcendent target functions and genetic algorithm. Naukoemkie tehnologii v kosmicheskih issledovanijah Zemli [High tech in earth space research]. 2021. Vol. 13. No. 1. Pp. 6-16 (In Rus)
6. Lebedev G.N., Malygin V.B. Assessment of the application feasibility of the genetic algorithm for airports operations optimization based on the collaborative decision-making principles. Nauchnyj vestnikMGTU GA [Civil Aviation High TECHNOLOGIES]. 2019. Vol. 22. No. 5. Pp. 85-93.
7. Rudenko E.M., Semikina E.V. Intelligent monitoring of UAV group on eyler-hamilton reference graphs on the local. Institut inzhenernoj fiziki [Institute of Engineering Physics]. 2021. Vol. 62. No. 4. Pp. 75-80.
8. Rudenko E.M., Semikina E.V. Unmanned aircraft routing, graph transcendent target functions and genetic algorithm. Institut inzhenernoj fiziki [Institute of Engineering Physics]. 2022. Vol. 63. No. 1. Pp. 93-97
9. Goncharenko V.I., Lebedev G.N., Mikhailin D.A. Online two-dimensional route planning for a group of unmanned aerial vehicles. Izvestija RAN. Teorija i sistemy upravlenija [Journal of Computer and Systems Sciences International]. Luxembourg: Pleiades Link. 2019. Vol. 58. No. 1. Pp. 153-165
10. Sabino S., Horta N., Grilo A. Centralized unmanned aerial vehicle mesh network placement scheme: A multi-objective evolutionary algorithm approach. Sensors. 2018. Vol. 18. No. 12. https://doi.org/10.3390/s18124387
11. Agatz N., Bouman P., Schmidt M. Optimization approaches for the traveling salesman problem with drone. Transp. Sci. 2018. Vol. 52. No. 4. Pp. 965-981. https://doi.org/10.1287/trsc.2017.0791
12. Shuai Zhang, Siliang Liu, Weibo Xu, Wanru Wang. A novel multi-objective optimization model for the vehicle routing problem with drone delivery and dynamic flight endurance. Computers & Industrial Engineering. 2022. Vol. 173. URL: https://doi.org/10.1016Zj.cie.2022.108679
13. Adam J. Sobey, Przemyslaw Grudniewski. Re-inspiring the genetic algorithm with multi-level selection theory: Multi-Level Selection Genetic Algorithm (MLSGA). Bioinspiration & Biomimetics. 2018. Vol. 13. No. 5. DOI:10.1088/1748-3190/aad2e8 (date of access 02.07.2022).
14. Harshavardhan P.K., Kousik Krishnan. Hierarchical Genetic Algorithms with evolving objective functions. arXiv.org. 05 Aug 2019. URL: https://arxiv.org/pdf/1812.10308.pdf (date of access: 09.07.2022).
15. Xin J., Zhong J., Yang F., Cu, Y., Sheng J. An Improved Genetic Algorithm for Path-Planning of Unmanned Surface Vehicle. Sensors. 2019. Vol. 19. No. 11. https://doi.org/10.3390/s19112640
16. Karpov V. E. Ot roevoj robototehniki k sociumu robotov. [From swarm robotics to the society of robots]. Materialy Vserossijskoj nauchno-tehnicheskoj konferencii «Iskusstvennyj intellekt: problemy i puti reshenija - 2018» [Proceedings of the All-Russian Scientific and Technical Conference "Artificial Intelligence: Problems and Solutions - 2018" (Kubinka, March 14-15, 2018)]. Pp.122-130. URL: http://raai.org/library/books/Konf_II_problem-2018/book1_intellect.pdf
17. Lebedev G.N., Mikhailin D.A. Avtomatizirovannaja sistema planirovanija gruppovyh dejstvij bespilotnikov pri zadannom grafike obsluzhivanija mobil'nyh nazemnyh ob#ektov v prognoziruemoj dinamicheskoj obstanovke [Automated system for planning group actions of drones with a given schedule for servicing mobile ground objects in a predictable dynamic environment]. Sbornik nauchnyh statejpo materialam VI Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii «AVIATOR» [Collection of scientific articles based on the materials of the VI International Scientific and Practical Conference "AVIATOR" (Voronezh, February 14 -15, 2019)]. 2019. Pp. 39-45. (In Rus).
18. Khanra A., Pal T., Maiti M.K., Maiti M. Multi-objective four-dimensional imprecise TSP solved with a hybrid multi-objective ant colony optimization-genetic algorithm with diversity. J. Intell. Fuzzy Syst. 2019. Vol. 36. No. 1. Pp. 47-65. DOI: 10.3233/JIFS-172127
19. Bence Keresztury. Genetic algorithms and the Traveling Salesman Problem. Budapest. ELTE, Department of Operations Research. 2017. p. 56. URL: https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_alkmat/2017/keresztury_bence.pdf
20. Patchara Kitjacharoenchai, Mario Ventresca, Mohammad Moshref-Javadi, Seokcheon Lee, Jose MA Tanchoco, Patrick A Brunese. Multiple traveling salesman problem with drones: Mathematical model and heuristic approach. Computers & Industrial Engineering. 2019. Vol. 129. Pp. 14-30. URL: https://doi.org/10.1016/j.cie.2019.01.020
21. Dharm Raj Singh, Manoj Kumar Singh, Tarkeshwar Singh, Rajkishore Prasad. Genetic Algorithm for Solving Multiple Traveling Salesmen Problem using a New Crossover and Population Generation. Computación y Sistemas, 2018. Vol. 22, No. 2. Pp. 491 — 503 doi: 10.13053/CyS-22-2-2956
22. Kayan Herdiana, Made Candiasa, Gede Indrawan. Optimization of Adaptive Genetic Algorithm Parameters in Traveling Salesman Problem. Journal of Computer Networks, Architecture and High-Performance Computing. 2022. Vol. 4. No. 2. Pp. 169— 176. URL: https://doi.org/10.47709/cnahpc.v4i2.1581
23. Khachumov M.V., Talalaev A.A., Khachumov V.M. On a heuristic criterion in the problem of determining the isomorphism of graphs based on invariants. Tehnicheskie nauki [Technical sciences]. 2022. No. 2. Pp.159-163. DOI: 10.17513/snt.39051
24. Can Ke, Huifang Chenab. Cooperative path planning for air-sea heterogeneous unmanned vehicles using search-and-tracking mission// Ocean Engineering. 2022. Vol. 262, 15 October 2022, Article 112020 URL: https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2022.112020
25. Jihoon Park, Sukkeun Kim, Geemoon Noh, Hyeongmin Kim, Daewoo Lee, Inwon Lee. Mission planning and performance verification of an unmanned surface vehicle using a genetic algorithm. International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering. 2021. Vol.13, Pp. 575-584. URL: https://doi.org/10.1016/j.ijnaoe.2021.07.002
26. Wonhee Lee, Gwang-Hyeok Choi. Visibility graph-based path-planning algorithm with quadtree representation. Applied Ocean Research Vol. 117, December 2021, Article102887. https://doi.org/10.1016/j.apor.2021.102887
