CC BY
35
ИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА ч\ чч4;:^- -'.'■'// /.'¡г
doi: 10.24411/2409-5419-2018-10290
МАРШРУТИЗАЦИЯ НА ГРАФЕ, ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ И ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ
АЛЛИЛУЕВА Наталья Владимировна1
РУДЕНКО
Эдуард Михайлович2
СЕМИКИНА Елена Викторовна3
Сведения об авторах:
1ведущий специалист акционерного общества «Научно-производственное предприятие "Радар ММС"», г. Санкт-Петербург, Россия, allilueva_nv@radar-mms.com
2к.т.н., доцент филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, г. Серпухов, Россия, eduard5529@yandex.ru
3преподаватель филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, г. Серпухов, Россия, labinfo_serp@inbox.ru
АННОТАЦИЯ
Рассматривается математический подход к расчету маршрутов беспилотных летательных аппаратов на Эйлеровом графе реперных точек на местности. Проводится сравнение методов построения целевой функции графа на основе алгебраического и теоретико-числового подхода. Целевая функция графа в виде многочлена от нескольких переменных минимальное нулевое значение достигает на наборах номеров вершин графа, которые являются замкнутыми маршрутами на графе. Алгебраический подход приводит к целевой функции в виде суммы нескольких многочленов. Первое слагаемое учитывает информацию о постоянстве минимальной длины замкнутого маршрута Эйлерова графа, проходящего по всем ребрам один раз. Другие слагаемые отражают комбинаторную повторяемость номеров вершин Эйлерова графа в оптимальных замкнутых маршрутах минимальной длины, равной половине их кратности. Анализ алгебраической целевой функций в виде суммы многочленов показывает на примере конкретного графа возможность нахождения замкнутых маршрутов на различных Эйлеровых моделях данного графа. Теоретико-числовой подход приводит к построению целевой функции в виде одного многочлена. Теоретической основой построения целевой функции при данном подходе являются теоремы об однозначности представления целых чисел в виде суммы в s-ической системе счисления и однозначности представления рационального числа в виде несократимого отношения произведений степеней различных простых чисел. Математическая модель расчета маршрутов на графе основана на минимизации генетическим алгоритмом построенных s-ических и р-мультипликативных целевых функций графа. Исследована эффективность вычисления маршрутов с помощью построенных целевых функций графа. Минимальные временные затраты достигаются при вычислении маршрутов с помощью целой s-ической целевой функции. Теоретико-числовой подход дает возможность построения целевых функций для сверхбольших графов и указывает на связь с распределением простых чисел и с теорией р-адических чисел. Все построенные теоретико-числовые целевые функции обладают особенностью достижения минимума равного нулю только на оптимальных замкнутых маршрутах графа минимальной длины. Показана взаимосвязь прикладной задачи маршрутизации беспилотных летательных аппаратов на местности с математической задачей оптимизации на графах средствами теории чисел и генетического алгоритма.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: маршрутизация; графы; целевые функции; генетический алгоритм; математическая модель.
Для цитирования: Аллилуева Н.В., Руденко Э.М., Семикина Е.В. Маршрутизация на графе, теоретико-числовые целевые функции и генетический алгоритм // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2019. Т. 11. № 6. С. 4-14. doi: 10.24411/2409-5419-2018-10290
S/zK
t , /// I ¡¡I [if/
6-2019, H&ES RESEARCW((
RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION
Уо!
Nc
Введение
Нахождение замкнутых маршрутов БПЛА (беспилотных летательных аппаратов) на графе множества реперных точек формализуется в оптимизационную задачу на математическом графе [1-3]. Расчет маршрутов производится с помощью минимизации неотрицательной целевой функции, которая достигает нулевого значения на замкнутых маршрутах, проходящих по всем ребрам графа и содержащих минимальное их количество. Целевая функция (ЦФ) может быть построена с помощью суммы нескольких неотрицательных многочленов от нескольких переменных1
[4-8]. Это так называемый алгебраический подход. В дан-
„2
ной статье рассматривается теоретико-числовой подход к построению целевой функции графа, что упрощает ее программный код, позволяет записать ее одним выражением, что в итоге обеспечивает автоматизацию процессов планирования маршрутов в ходе полета БПЛА.
Так как рассматривается неориентированный граф, то разделяющая функция должна быть симметрической, то есть /х, у) = Xу, х).
Петли и ребра, не принадлежащие графу, но которые могут быть сгенерированы при подсчете целевой функции генетическим алгоритмом, разделяющей функцией переводятся в множество:
Р = [7 7 11 19 31 47 67 91 5 3 1 0 11 12 13 14 20 23 24 39 38 65],
где
f (1,1) = 7; f(2,2) = 7; f (3,3) = 11; f(4,4) = 19;
f (5,5) = 31; f (6,6) = 47; f (7,7) = 67; f (8,8) = 91;
f (1,3) = 5; f (1,5) = 3; f (1,7) = 1; f (1,8) = 0;
f(2,6) = 11; f(2,7) = 12; f(2,8) = 13; f(3,4) = 14;
f(3,6) = 20; f(3,7) = 23; f(4,5) = 24; f(4,8) = 39;
f(5,6) = 38; f(6,8) = 65.
Алгебраический подход в построении целевой функции графа
Проблематику в построении ЦФ алгебраическим методом можно проследить при увеличении размерности графа, т.е. при увеличении числа вершин и ребер. Для этого рассмотрим построение ЦФ и ОЗМ (множества оптимальных замкнутых маршрутов) на Эйлеровом графе у8е16, состоящем из 8 вершин и 16 ребер (рис. 1).
Рис. 1. Граф у8е16
ЦФ этого графа рассчитывается по зависимости [9-11]
г (т) = Х abs(Zi (т)) (1)
1=1
при разделяющей функции
1 = /х, у) = 2ху — 3(х + у) + 11, где х и у — номера вершин.
'Воскресенский В. Е. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп и модули Галуа. Алгебраическая геометрия - 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 24, М.: ВИНИТИ, 2001. С. 5-156.
2Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. Изд. 4-е. М.: ЛЕНЕНД. 2019. 504 с.
Допустимые на графе ребра разделяющей функцией переводятся в множество:
£ = [6 4 2 8 9 10 17 26 29 34 45 52 56 78], где
/ (1,2) = 6; / (1,4) = 4; / (1,6) = 2; / (2,3) = 8;
/(2,4) = 9; /(2,5) = 10; /(3,5) = 17; /(3,8) = 26;
/(4,6) = 29; /(4,7) = 34; /(5,7) = 45; /(5,8) = 52;
/(6,7) = 56; /(7,8) = 78.
Имеем Р П £ = 0.
Многочлен на множестве £ и Р, присваивающий ребрам графа весовые значения, имеет вид
I ^) = 1 + с • abs((t - 2)^ - 4)^ - 6)^ - 8)^ - 9)^ -10) х х^ -17)^ - 26)^ - 29)^ - 34)^ - 45)^ - 52)^ - 56)^ - 78)),
где с > 0 — выравнивающий коэффициент на множестве Р.
Многочлен 1(1) на множестве £ принимает значение равное единице, а на Р больше 1(1) > 1.
Многочлен 1(1) может быть построен как интерполяционный, принимающий на S значение равное единице, а на Р больше единицы.
Первое слагаемое ЦФ ^(т) определяется по формуле (2)
16
^ (т) = ^ (х1, х2>...> х17 ) = X1 (/(X' Х+1))-16 (2)
i=1
Второе слагаемое определяется по формуле (3) и задает модели Эйлерова графа
16
^(т) = Z2(xl, х17) = Х х • х+1 - 33°. (3)
I=1
втШ
Следующие слагаемые (4)-(6)
Z3(m) = Хх,. -i-1,
i=1 i=l
Z4(m) = £ x* - i2 -12,
¿=1
i=1
Z5(m) = £x, -2£i3 -13,
(4)
(5)
(6)
i=1
i=1
учитывают повторяемость номеров вершин в ОЗМ, равной половине их кратности. Первая вершина с номером 1, с которой начинается и заканчивается маршрут, встречается три раза, так как в замкнутом маршруте начальную и ко-
3
нечную вершину считают за одну .
В ЦФ графа (1) Z(m) = Z(m1, т2,..., тп), где т = (тр т2, ..., тп) ОЗМ и т. е {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 1= 1, .,17. Число возможных вариантов для наборов (не обязательно ОЗМ), которые можно получить из чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} длиной 15 равно числу 815 = 35184372088832 (если исключить начальную и конечную вершину графа у8е16 с номером 1). Например, маршрут т = (1, 2, 3, 8, 7, 6, 1, 4, 2, 5, 3, 8, 5, 7, 4, 6, 1) является ОЗМ для Эйлерова графа (рис. 1).
Отсюда следует, что при ограниченной вычислительной производительности ЭВМ для расчета ОЗМ прямым перебором понадобится несколько суток. ГА позволяет эффективно за короткое время решить систему уравнений целочисленного программирования (1)
(7)
Z (m) = 0 о Zj(m) = 0;
Z 2(m) = 0;
Z3 (m) = 0; Z 4(m) = 0; Z5(m) = 0.
Таким образом, с помощью ГА [12-13] в цикле по изменению фактора кроссовера можно получить конечное число ОЗМ, размножив их с помощью преобразований группы автоморфизмов, разрезания в промежуточной вершине маршрута и сшивания в одинаковых вершинах начала и конца. Наконец, после прочтения всех полученных таким образом маршрутов в обратном порядке, получается во много раз большее количество ОЗМ, достаточное для решения задачи планирования маршрутов полета одного или группы БПЛА.
Применяя ГА при числе поколений 'Generations' = 100 и числе особей в популяции 'PopulationSize' = 360, полу-
чим полную сходимость для всех 20-ти значений фактора кроссовера из диапазона от 0,05 до 1 с шагом 0,05 (рис. 2).
На рис. 2 значение ЦФ равное нулю говорит о достижения минимума при различных значениях фактора кроссовера. Время вычисления 20 ОЗМ составило на компьютере с частотой 3,4 ГГц 105,83 с. Это показывает высокую эффективность ГА по сравнению с методом прямого перебора.
В ходе подсчета получено 18 ОЗМ, которые приведены в табл. 1, и два набора:
п1 = (1 4 7 6 1 2 5 3 8 3 8 5 7 6 4 2 1); п2 = (1 4 6 1 2 3 8 3 8 7 5 2 5 7 6 4 1),
являющиеся нулями всех уравнений целевой функции (7), но которые не являются оптимальными замкнутыми маршрутами на графе у8е16 (см. рис. 1), так как в них ребра (3, 8) и (5, 7) имеют кратность, равную трем и двум соответственно (табл. 1).
Это показывает неточность алгебраического подхода к построению целевой функции графа, недостаточность количества слагаемых в математической форме записи (1), а также ограниченность учета только комбинаторных свойств повторяемости номеров вершин в маршруте. Появление ложных наборов не проявлялось для графов с меньшим числом вершин и ребер, но было выявлено на данном графе.
Наборы п1 и п2 удовлетворяют уравнениям (7), но им соответствуют маршруты на других моделях Эйлерова графа (МЭГ), приведенные на рис. 3 и 4. Эти МЭГ содержат все 8 вершин и имеют 16 ребер, но среди них много кратных и они не содержат все ребра графа у8е16. Получение наборов п1 и п2, не являющихся ОЗМ графа у8е16, произошло по причине увеличения размерности графа и из-за того, что из пяти выражений (2)-(6) только в Z1(m) учитывается информация о весе ребер графа у8е16, равным единице у каждого из них. Остальные четыре выражения
Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их вложения. М.: МЦНМО. 2010. 480 с.
Рис. 2. График сходимости целевой функции в зависимости от фактора кроссовера
ш/Ш^ш
Уо! 11 N0 6-2019, Н&ЕБ РЕБЕАРС-АУ!АТ!ОМ, БРАБЕ-РОСКЕТ HARDWARE
зависят от номеров вершин. Причем, выражения (4), (5) и (6) показывают, что функции вершин графа будут на наборах п1 и п2 выполняться при любой сумме к-степеней х.
Таблица 1
Множество ОЗМ графа у8е16, полученное генетическим алгоритмом
№ ОЗМ
1 (1 2 5 3 8 3 2 4 7 5 8 7 6 1 4 6 1)
2 (1 2 5 7 6 1 4 7 8 5 3 8 3 2 4 6 1)
3 (1 2 5 8 3 5 7 6 1 6 4 2 3 8 7 4 1)
4 (1 4 7 6 4 2 3 8 3 5 7 8 5 2 1 6 1)
5 (1 6 1 4 6 7 8 3 8 5 7 4 2 3 5 2 1)
6 (1 6 4 1 6 7 4 2 3 8 3 5 7 8 5 2 1)
7 (1 6 4 2 3 8 3 5 8 7 6 1 4 7 5 2 1)
8 (1 6 4 2 5 8 7 4 1 2 3 8 3 5 7 6 1)
9 (1 6 4 7 5 3 8 3 2 4 1 6 7 8 5 2 1)
10 (1 6 7 8 3 8 5 2 4 1 2 3 5 7 4 6 1)
11 (1 6 7 8 3 8 5 2 3 5 7 4 2 1 4 6 1)
12 (1 6 7 8 3 5 8 3 2 5 7 4 6 1 4 2 1)
13 (1 6 7 8 3 5 2 1 6 4 7 5 8 3 2 4 1)
14 (1 6 7 8 3 2 4 7 5 3 8 5 2 1 4 6 1)
15 (1 6 7 5 3 8 3 2 1 6 4 7 8 5 2 4 1)
16 (1 6 7 4 2 3 8 3 5 8 7 5 2 1 4 6 1)
17 (1 6 4 7 8 5 2 3 8 3 5 7 6 1 4 2 1)
18 (1 6 4 7 5 8 7 6 1 2 3 8 3 5 2 4 1)
Следовательно, при увеличении размерности графа, подход к построению ЦФ с помощью наращивания числа слагаемых для отсеивания ложных наборов и отбора только ОЗМ является неэффективным и требует проведения в каждом конкретном случае исследования. Пример построения ЦФ графа v8e16 показывает, что для отсеива-
Рис. 4. МЭГ, отвечающая набору п2 = (1 4 6 1 2 3 8 3 8 7 5 2 5 7 6 4 1)
ния таких наборов, как п1 и п2, при большой размерности графа необходимо изменить первое слагаемое ЦФ, так, чтобы каждому ребру был присвоен индивидуальный вес, сумма которых содержала бы информацию о каждом ребре и эта информация не смешивалась с информацией других ребер. Число 16 в выражении (2) не имеет структуры носителя индивидуальной информации о каждом из ребер графа, как это будет следовать ниже.
Теоретико-числовой подход построения •-ических и /»-мультипликативных целевых функций графа
Структурой однозначного представления числа в виде слагаемых обладают •-ические числа, которые применяются в системах счисления по основанию натурального числа s и которые имеют вид суммы
-к
л-к
(8)
СгаГуВе16"
6 1 2 3
5 4 \/\Л \
3 X X
г 1 ЛУЧ I
6 7 8
"0 23456789 10 х
Рис. 3. МЭГ, отвечающая набору п1 = (1 4 7 6 1 2 5 3 8 3 8 5 7 6 4 2 1)
где • — натуральное число;
а. — целое число удовлетворяющее условию 0 < а. <
Числа вида (8) обладают особенностью единственности представления чисел такого вида г. Поэтому, например, для графа у8е16 можно в качестве весов ребер графа рассмотреть числа а-в (/' = -к,-к + 1, ..., 1, 0, 1, ..., п и к+п + 1 = 14), где коэффициент а1 равен кратности 1 -го ребра. Так как ребра (1,6) и (3,8) (рис. 1) имеют кратность равную двум, то основание системы счисления берется • > 3 > 2. Все остальные ребра имеют кратность равную единице и поэтому а. = 1, а их веса равны • [14].
Отсюда следует, что ребра графа у8е16 (см. рис. 1) будут иметь веса, например, при значениях к = 8, п = 5:
Wj = w(1,2) = s 8 ; w2 = w(1,4) = s 7 ; w3 = w(1,6) = s 6 ; w4 = w(2,3) = s~5; w5 = w(2,4) = s~4; w6 = w(2,5) = s~3; w7 = w(3,5) = s-2; w8 = w(3,8) = s_1; w9 = w(4,6) = s0; Wjo = w(4,7) = s1; wu = w(5,7) = s2; = w(5,8) = s3; w13 = w(6,7) = s4; w14 = w(7,8) = s5,
где к—число отрицательных степеней; п — число положительных степеней.
Целевая функция графа (см. рис. 1) имеет вид
n+d+£+1 n+k
Zi(m) = ( Z g (mt, m,+1) -£ a,si-k )2 > 0, i=1 i=0
(9)
где п+к+ё + 1 — число ребер (каждое кратное ребро считается за одно);
ё — число ребер, кратность которых больше единицы; а. • 5' — веса ребер.
Для графа у8е16 (рис. 1) получим ё = 2, п + к + 1 = 14, все а. равны единице, кроме а и а 1 = 2.
Функция g(x,y) имеет структуру композиции трех функций:
g(x, у) = и(д( У(х у))).
Внутренняя функция t = ^х, у) = 2ху - 3(х + у) + 11, разделяет множества разрешенных S и запрещенных ребер Р. Функция V = д(Г) задается соответствием
t ( 2 4 6 8 9 10 17 26 29 34 45 52 56 78 P , (1Q) 4 ' v 1-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 inf, '
В отображении (10) всем элементам множества Р ставится в соответствие М- (символ тГ обозначает очень большое число). Внешняя функция задается формулой: м(v) = а • 5.
Следует отметить, что суперпозиция функций и(д(ф может быть заменена одним интерполяционным многочленом на множестве и Р.
При значениях всех а. = 1 или 2 и 5 = 3 имеем согласно (9)
А = "^а/- = ШШ,2Ш12113 = 35 + 34 + 33 + 32 +
¿=0
+31 + 30 + 2 • 3-1 + 3-2 + 3-3 + 3-4 + 3-5 + 2 • 3-6 + 3-7 +
+3-8 « 364,835
10-
Это относительно небольшое число для графа с 16 ребрами можно считать «дробным 3-ическим кодом» графа у8е16. Если все показатели простых чисел в формуле (9) положительные, то имеем целый 3-ический код:
№ 6-2019
А = ШШ2Ш12113 = 30 + 31 + 2 • 32 + 33 + 34 + 35 + +36 + 2 • 37 + 38 + 39 + 310 + 311 + 312 + 313 = 239368010.
Для графов большой размерности целое 3-ическое число А может выйти за границу обрабатываемых ЭВМ чисел. В математических пакетах этими числами являются: а = 2,2250738585072 10-308 и ю = 1,7976931348623 10+ 308. Меньшая граница а позволяет присваивать веса 2^ ребрам графа без кратных ребер до значений
V < (- 1п2,2250738585072 + 308• 1п10)/1п2 = 1022, то есть
V < 1022.
Верхняя граница ю позволяет присваивать веса 2",
V < (1п 1,7976931348623 + 308 • 1п10)/1п2 -1 = 1023 ребрам графа до V < 1023. Таким образом, дробные 5-ические функции можно строить в математических программных пакетах для Эйлеровых графов с числом ребер не более 1023 + 1022 + 2 = 2047. Здесь цифра 2 прибавляется для случая весов ребер 5° = 1 и 5~111Т = 0.
Опираясь на теорему об однозначности канонической записи />-адического числа в виде суммы слагаемых в поле О
-m / 1 1 1 2 . . n 1 ч
■ = p (a0 + a1 p + a2p+ ...+ anp + ...),
(11)
где р—простое число;
а. — целое число из диапазона 0 < а. <р, т > 0, можно кодировать ребра графа конечной и бесконечной мощности.
Пользуясь однозначностью разложения рационального числа на простые множители (основная теорема арифметики) первое слагаемое ЦФ можно записать мультипликативно
Z(m) = ( Пr (h(f (mi,mM ))) - П pi
i=1
(12)
где f (m,, m. +1) — разделяющая функция; h(t) — функция, задаваемая соответствием
t ( 2 4 6 8 9 10 17 26 29 34 45 52 56 78 P
h :
w^Pl P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Pl0 Pli Pl2 Pl3 Pl4 Pl6 , r (w) = pai ;
p— различные простые числа;
a.— целые числа, учитывающие кратность ребер графа.
Следует отметить, что суперпозиция функций r(h(t)) может быть заменена одним интерполяционным многочленом на множестве S U P.
n
Для графа v8e16 число M = П pt' можно считать
i =1
«p-мультипликативным кодом». Здесь а. = +1 или -1 для некратных ребер и а. = +k или -k — для кратных. Например, с учетом кратности ребер (1,6) и (3,8) графа v8e16 имеем
Т
ш/Ш^ш
Vol 11 No 6-2019, H&ES RESEARC-AVIATION, SPASE-ROCKET HARDWARE
M = 2 • 3-1 • 52 • 7-1 1113-1 -17 -19-2 • 23 • 29-1 x x 3137-1 • 4Ь 43-1 = 0,06011.
Здесь величина М принята рациональной. Если считать все степени простых чисел положительными, то М является целым числом
M = 2 • 3 • 52 • 7 -11-13-17 -192 • 23 • 29 • 31-37 • 41- 43 = = 1,242862326508652850 -1018.
Аналогично в наборах m = (m.) могут быть пары-ребра (m,, m . + 1), не принадлежащие графу, но которые сгенерированные ГА, тогда им ставится штрафное значение равное простому числу p , которое превосходит все p. в функции w = h(t), например, 53 для графа v8e16.
Для дробных /»-мультипликативных ЦФ число ребер графа для их кодирования будет значительно больше, так как в выражении (12) для числа М можно выбрать два простых наибольших числар < q < ю = 1,7976931348623 10+308 и присвоить двум ребрам графа веса р и q'\ Затем взять следующие два простых числа pa < qo такие, что pa < qo < p и присвоить веса po и q~l следующим двум ребрам графа и так далее до простых чисел 2 и 3.
Из теоремы П. Л. Чебышева до границы ю приблизительно расположены п(ю) = ю/1пю = 2,5327372760801 10+305 простых чисел. Следовательно, для графа p-мультиплика-тивная ЦФ теоретически может быть построена с числом ребер не превосходящим п(ю).
При опросе ЦФ ГА дробные s-ическая, р-адическая и р-мультипликативная функции графа позволяют уменьшить вычислительные затраты компьютера и избежать выхода за границы самых малых и самых больших чисел в ЭВМ.
Построение целой и дробной s-ической (9), р-мульти-пликативной (12) функции графа имеет важный теоретический смысл, так как устанавливает связь с теорией чисел, и они имеют самый простой программный код.
Способ построения для Эйлеровых графов s-ических и р-мультипликативных функций является неоднозначным и зависит от правила кодирования ребер графа составными или простыми числами.
Результаты моделирования
Применяя генетический алгоритм для вычисления оптимальных замкнутых маршрутов с помощью минимизации дробной s-ической функции (9) при условиях 'Generations', 40, 'PopulationSize', 475, 'StallGenLimit', 20, 'Vectorized', 'on' и циклическом изменении фактора кроссовера из диапазона от 0,2 до 0,8 с шагом 0,2 с 3-ическим кодом графа v8e16
A = 3-8 + 3-7 + 2 • 3-6 + 3-5 + 3-4 + 3-3 + 3-2 +
+ 2 • 3-1 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 = 364,4999,
получим четыре оптимальных маршрута (табл. 2).
Таблица 2
Результаты расчета маршрутов с помощью 3-ической целевой функции
№ Маршруты
1 (1, 6, 4, 1, 2, 4, 7, 5, 3, 8, 5, 2, 3, 8, 7, 6, 1)
2 (1, 2, 5, 8, 3, 8, 7, 6, 4, 7, 5, 3, 2, 4, 1, 6, 1)
3 (1, 2, 5, 8, 3, 5, 7, 8, 3, 2, 4, 6, 1, 6, 7, 4, 1)
4 (1, 6, 4, 2, 1, 6, 7, 5, 3, 8, 5, 2, 3, 8, 7, 4, 1)
Время вычисления четырех маршрутов на компьютере с частотой 3,4 ГГц равно 12,8 с. Время расчета одного маршрута составляет 3,2 с. Все это достигается простым кодом функции (9) и показывает высокую эффективность генетического алгоритма. Моделирование подтверждает, что дробная 5-ическая функция (9) может быть использована в качестве ЦФ графа без дополнительных слагаемых, и являться критериальной функцией для задачи оптимизации нахождения ОЗМ, сводя ее к безусловному экстремуму.
Результаты сходимости приведены на рис. 5, на котором показаны графики перемещения номеров вершин ОЗМ из табл. 2 по столбцам при изменении фактора кроссовера.
Используя для вычисления ОЗМ дробную р-мультип-ликативную функцию (11) с дробным р-мультипликативным кодом графа v8e16
M = 2 • 3-1 • 52 • 7• 11-13"1 • 17 • 19"2 • 23 • 29-1 х
х 31 • 37"1 • 41 • 43"1 = 0,0601,
и ГА при условиях: 'Generations', 30, 'PopulationSize', 2000, 'StallGenLimit', 80, 'Vectorized', 'on' с циклическим
Рис. 5. Перемещение номеров вершин графа в зависимости от кроссовера
изменением фактора кроссовера из диапазона от 0,2 до 0,8 с шагом 0,2, получим 4 ОЗМ (табл. 3).
Таблица 3
Результаты расчета маршрутов с помощью дробной р-мультипликативной функции
№ Маршруты
1 (1, 4, 2, 3, 8, 5, 7, 8, 3, 5, 2, 1, 6, 4, 7, 6, 1)
2 (1, 6, 7, 4, 6, 1, 4, 2, 3, 8, 7, 5, 3, 8, 5, 2, 1)
3 (1, 6, 1, 4, 7, 6, 4, 2, 3, 8, 7, 5, 3, 8, 5, 2, 1)
4 (1, 4, 7, 8, 3, 2, 4, 6, 7, 5, 8, 3, 5, 2, 1, 6, 1)
Время вычисления 4 ОЗМ на компьютере с частотой 3,4 ГГц равно 118,28 с. Время расчета одного маршрута приблизительно 29,6 с.
Время, затрачиваемое на сходимость генетического алгоритма при подсчете оптимальных замкнутых маршрутов с помощью дробной /»-мультипликативной функции, из-за сложной структуры, на порядок больше, чем для 3-ической целевой функции. Числовое моделирование подтверждает, что дробная /-мультипликативная функция (12) может быть использована в качестве целевой функции графа без дополнительных слагаемых для расчета оптимальных замкнутых маршрутов в оптимизационной задаче, сводя ее к безусловному экстремуму. Преимущество дробной функции (12) по отношению к целой /-мультипликативной состоит в том, что ее /-мультипликативный код, позволяет подобрать такие коды ребер графа, которые дают произведение, не превосходящее заранее заданного числа.
Результаты сходимости для дробной /-мультипликативной функции графа у8е16 представлены на рис. 6, на котором показано перемещение номеров вершин по координатам столбца из табл. 3.
Значениями ЦФ (12) являются дробные рациональные числа и поэтому ГА при вычислении ОЗМ сходится до значений:
10-17 • (0,69; 0,69; 0,69; 0).
Эти значения можно считать неточностью машинного округления и принять за 0.
Результаты сходимости в зависимости от фактора кроссовера отражены на рис. 7.
Числовое моделирование сходимости генетического алгоритма подтверждает, что целая и дробная s-ическая (/-адическая) (9) и/-мультипликативная функция (12) могут быть использованы в качестве ЦФ графа без дополнительных слагаемых.
Возможность достаточно оперативного подсчета нескольких различных маршрутов на графе реперных точек генетическим алгоритмом позволяет проводить планирование совместных полетов группы БПЛА без встречи одновременно в вершинах и на ребрах [15], делает возможным эффективное машинное обучение при выборе маршрутов [16], облегчает навигацию [17] в роевом применении [18] и может являться основой для применения БПЛА различного назначения [19-24].
Замечание. Число 16 в функции (2) не может являться ни целым «5-ическим», ни «/-мультипликативным кодом» для графа у8е16. Действительно, из равенства А = 239368010 следует, что минимальный целый 3-иче-ский код намного больше 16.
Рис. 6. Перемещение номеров вершин в маршрутах по столбцам в зависимости от изменения фактора кроссовера
Рис. 7. Результаты сходимости ГА дробной р-мультипликативной функции в зависимости от изменения фактора кроссовера
шШ
Vol 11 No 6-2019, H&ES RESEARC-AVIATION, SPASE-ROCKET HARDWARE
Тем более число 16 не может быть и целым минимальным р-мультипликативным кодом, который равен M = 1,242862326508652850 -1018.
Целые s-ические (p-адические) и p-мультипли-кативные коды А и М графа представляют собой дискретные значения и образуют бесконечно возрастающие числовые последовательности без точек сгущения.
Теоретико-числовые ЦФ графа показывают, что принцип кодирования ребер может быть перенесен на кодирование и вершин графа при решении задач с приоритетом информации о вершинах, например, в задаче о раскраске вершин и т.д.
А- и М-коды являются двойственными подходами к представлению информации о графе в виде суммы линейно-независимых слагаемых или в виде алгебраически независимых множителей. Известно, что сумма преобразуется в произведение с помощью функции y = ех и, наоборот, произведение переводится в сумму с помощью функции ln y = x. Экспонента и логарифм практически всегда имеют трансцендентные значения. Это приводит к возможности кодирования ребра и вершины трансцендентными функциями.
Трансцендентные ЦФ позволяют кодировать ребра и вершины графа не числовой, а функциональной информацией, которая может быть расшифрована как описание процесса, который протекает при прохождении данного ребра или вершины.
Подобная ситуация функциональных ребер и вершин наблюдается, например, в графах нейронных искусственных сетей, на ребрах которых происходит линейное функциональное преобразование информации, а в вершинах нелинейное преобразование функциями активации.
Обоснование и построение трансцендентных целевых функций графа является предметом дальнейших исследований.
На основе проведенных исследований и полученных результатов можно сформулировать:
Теорема 1. Теоретико-числовая целевая функция (9) или (12) для нахождения замкнутых маршрутов на графе имеет такой s-ический код А, который однозначно представляется в виде суммы весов ребер или имеет такой р-мультипликативный код М, который однозначно представляется в виде произведения весов ребер. Коды А и М одного и того же графа при различной кодировке его ребер представляют собой дискретные значения и образуют числовые последовательности.
Теорема 2. Теоретико-числовая целевая функция для нахождения замкнутых маршрутов графа является многочленом от нескольких переменных равного сумме или произведению суперпозиций разделяющего многочлена t = f(x, y) и интерполяционного многочлена w = I(t) минус 5-ический код или минус p-мультипликативный код весов
ребер графа. Число слагаемых или произведений равно числу ребер графа. Число переменных в целевой функции равно числу ребер графа плюс один п + 1.
Заключение
В результате проведенных исследований можно отметить следующее:
- генетический алгоритм формирует метод решения задачи маршрутизации, который приводит к методике построения теоретико-числовых целевых функций на графах в виде 5-ической, /-адической или /»-мультипликативной функции для нахождения замкнутых маршрутов;
- теоретико-числовые целевые функции графа основаны на теоремах теории чисел: однозначного представления чисел в 5-ической системе счисления, /-адических чисел в канонической форме и основной теоремы арифметики об однозначности разложения целого числа в произведение степеней простых чисел;
- для нахождения оптимальных замкнутых маршрутов на Эйлеровом графе строится 5-ическая, /-адическая или /-мультипликативная ЦФ, которая определяется, согласно теоремы 1, имеет вид, описанный в теореме 2 и задается неоднозначно с точностью до способа кодирования ребер;
- 5-ические, /-адические и /-мультипликативные функции наследуют и усиливают свойства всех слагаемых алгебраических целевых функций (1)-(6) и обнуляются только на оптимальных замкнутых маршрутах Эйлеровой модели самого графа;
- 5-ические, /-адические и /-мультипликативные функции графа обеспечивают применение генетического алгоритма для решения задачи маршрутизации на графе, объединяя в себе все слагаемые алгебраической целевой функции (1);
- дробные 5-ические, /-адические и дробные /-мультипликативные функции графа позволяют строить целевые функции для сверхбольших графов с конечным или бесконечным числом ребер и вершин;
- 5-ические, /-адические и /-мультипликативные функции графа устанавливают тесную связь с теорией чисел и распределением простых чисел;
- 5-ические, /-адические и /-мультипликативные целевые функции совместно с генетическим алгоритмом с особями-перестановками позволяют в значительной мере разрешить противоречие между сложностью и оперативностью в задаче маршрутизации и повысить вычислительную эффективность;
- дальнейшее разрешение противоречия может быть выполнено на основе поиска новых методов построения целевых функций, например, трансцендентных, и функционирования генетического алгоритма;
- генетический алгоритм позволяет с помощью 5-ических, /-адических и /-мультипликативных целевых
функций, рассчитывать маршруты в режиме реального времени на борту БПЛА или заблаговременно при предполетной подготовке.
- целевые функции и генетический алгоритм могут быть использованы в программных алгоритмах планирования оптимальных маршрутов по реперным точкам на местности в одиночном и групповом полете БПЛА для повышения автономности и автоматизации процессов управления.
Литература
1. Подлипьян П. Е., Максимов Н. А. Многофазный алгоритм решения задачи планирования полета группы беспилотных летательных аппаратов // Труды МАИ. 2011. № 43. URL: http: // trudymai.ru/ published. php? ID=24769 (дата обращения 14.06.2019).
2. Zadeh S.M., Powers D., Sammut K., Lammas A., Yazdani A.M. Optimal Route Planning with Prioritized Task Scheduling for AUV Missions // Proceedings of the IEEE International Symposium on Robotics and Intelligent Sensors (Langkawi, Malaysia, 18-20 October 2015). URL: https://arxiv.org/abs/1604.03303 (дата обращения 17.06.2019).
3. He P., Dai S. Stealth Real-time Paths Planning for Heterogeneous UAV Formation Based on Parallel Niche Genetic Algorithm // Journal of Computational Information Systems. 2014. No. 10(15). Pp. 6731-6740.
4. Халимов Н. Р., Анищенко А. И. Особенности программно-алгоритмического обеспечения решения задачи целера-спределения истребителей в АСУ // Труды Военно-космической академии им. А. Ф. Можайского. 2016. Т. 8. № 3. С. 5-11.
5. ТаньЛиго, Фомичев А. В. Планирование пространственного маршрута полета беспилотного летательного аппарата с использованием методов частично целочисленного линейного программирования // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 2. C. 53-66. DOI: 10.18698/0236- 3933-2016-2-53-66
6. Аллилуева Н. В., Руденко Э.М. Задача маршрутизации беспилотных летательных аппаратов на графе реперных точек // I-methods. 2018. Т. 10. № 1. С. 5-18.
7. Зенкевич С. Л., Болотин Е. И. О планировании в муль-тиагентных системах, использующих методы искусственного интеллекта // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 11. С. 21-27.
8. Аллилуева Н. В., Руденко Э.М. Математический метод расчета целевой функции на графах и решение задачи маршрутизации // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: http://trudymai.ru/ published.php? ID=85773 (дата обращения 28.06.2019).
9. Аллилуева Н. В. Интеллектуальная система БПЛА противодействия несанкционированному вторжению на охраняемую территорию // Вопросы радиоэлектроники. 2018. № 1. С. 47-54.
10. Михайлин Д. А., Аллилуева Н. В., Руденко Э.М. Сравнительный анализ эффективности генетических алгоритмов маршрутизации полета с учетом их различной вычислительной трудоемкости и многокритериальности решаемых задач // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php? ID=90386 (дата обращения 30.06.2019).
11. Аллилуева Н.В., Дараган А. Д., Ефремов А.А., Руден-ко Э. М., Семикина Е. В. Применение оптимальных замкнутых
маршрутов для маршрутизации группового полета БПЛА при изменении геометрии графа реперных точек на местности // Научно-технический сборник. Серпухов: Филиал ВА РВСН имени Петра Великого. 2018. Ч. 1. С. 91-95.
12. Kim J. W., Kim S. K. Fitness switching genetic algorithm for solving combinatorial optimization problems with rare feasible solutions // The Journal of Supercomputing. 2016. Vol. 72. Issue 9. Pp. 3549-3571.
13. WagnerM., NeumannF. Single- and Multi-Objective Genetic Programming: New Runtime Results for SORTING // Proceedings of the 2014 IEEE Congress on Evolutionary Computation, Beijing, China, 6-11 july 2014. Pp. 125-133.
14. Гравченко Ю. А., Гранкин Б. К., Кукушкин И. О., Мо-кан Д. О. Кодирование графов для решения задач распределения и преобразования потоков // Труды Военно-космической академии имени А. Ф. Можайского. 2015. Вып. 649. С. 23-28.
15. Kothari M., Postlethwaite I., Gu D. Multi-UAV path planning in obstacle rich environments using rapidly-exploring random trees // Proc. of the combined 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference Shanghai, P. R. China, December 16-18, 2009. Pp. 3069-3074.
16. Bai A., Russell S. Efficient Reinforcement Learning with Hierarchies of Machines by Leveraging Internal Transitions // Proceedings of the Twenty-Sixth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI-17) (Melbourne, Australia 19-25 August 2017). URL: https://www.ijcai.org/proceedings/2017/0196. pdf (дата обращения 18.03.2019).
17. Яковлев К. С., Хитьков В. В., Логинов М.И., Петров А.В. Система навигации группы БЛА на основе маркеров // Робототехника и техническая кибернетика. 2014. № 4(5). С. 44-48.
18. Dorigo M., Floreano D., Gambardella L. M., Mondada F. et al. Swarmanoid: A Novel Concept for the Study of Heterogeneous Robotic Swarms // IEEE Robotics & Automation Magazine. 2013. Vol. 20. Issue 4. Pp 60-71.
19. Sa I., Corke P. Vertical Infrastructure Inspection Using a Quadcopter and Shared Autonomy Control // Field and Service Robotics. 2014. Pp. 219-232.
20. MerwadayA., TuncerA., KumbharA., Guvenc I.Improved throughput coverage in natural disasters: Unmanned aerial base stations for public-safety communications // IEEE Veh. Technol. Mag. 2016. Vol. 11. No. 4. Pp. 53-60.
21. Zeng Y., Zhang R., Lim T. J. Throughput maximization for UAV-enabled mobile relaying systems // IEEE Trans. Commun. 2016. Vol. 64. No. 12. Pp. 4983-4996.
22. Chen J., Gesbert D. Optimal positioning of flying relays for wireless networks: A LOS map approach // Proceedings of the IEEE International Conference on Communications (ICC) (Paris, France, May 21-25, 2017). IEEE, 2017. Pp. 1-6.
23. MozaffariM., Saad W., BennisM., DebbahM. Mobile unmanned aerial vehicles UAVs for energy-efficient internet of things communications // IEEE Trans. Wireless Commun. 2017. Vol. 16. No. 11. Pp. 7574-7589.
24. Wu Q., Zeng Y., Zhang R. Joint trajectory and communication design for multi-UAV enabled wireless networks // IEEE Trans. Wireless Commun. 2018. Vol. 17. No. 3. Pp. 2109-2121.
ROUTING ON A GRAPH OF NUMBER-THEORETIC OBJECTIVE FUNCTION AND GENETIC ALGORITHM
NATALIA V. ALLILUYEVA, KEYWORDS: routing; graphs; target functions; genetic algorithm;
St. Petersburg, Russia, allilueva_nv@radar-mms.com mathematix model.
EDUARD M. RUDENKO,
Serpukhov, Russia, eduard5529@yandex.ru
ELENA V. SEMIKINA,
Serpukhov, Russia, labinfo_serp@inbox.ru
ABSTRACT
It is considered the mathematical approach to calculation of routes of unmanned vehicles on the Euler graph of reference points on the ground. The methods for constructing of the objective function of the graph based on algebraic and number-theoretic approach are compared. The objective graph function as a polynomial of several variables reaches minimal zero value on the sets of vertices of the graph which are the closed routes on the graph. Algebraic approach leads to the objective function as a sum of several polynomials. The first augend takes into account the information about permanence of the minimum length of closed route of Euler graph passing through all edges once. The other augends represent the combinatorial frequency of the vertices of Euler graph in the optimal closed routes of minimal length which is equal to a half of their multiplicity. Analysis of an algebraic objective function as a sum of polynomials shows possibility of finding of closed routes on various Euler models of this graph on the example of the specific graph. Number-theoretical approach leads to construction of the objective function as a polynomial. The theoretical basis for construction of the objective function in this approach are theorems of uniqueness of the representation of integers as a sum in the s-number system and on the uniqueness of a rational number as an irreducible ratio of product of powers of different primes. The mathematical model of route calculation on the graph is based on minimization of s- and p-multiplicative objective functions of the graph made by genetic algorithm. The effectiveness of the routes calculation has been studied using by means of the constructed objective functions of the graph. Minimal required time is achieved by route calculation using the whole s-objective function. Number-theoretical approach makes it possible to construct the objective functions for extra-large graphs and points to the connection with the distribution of primes and the theory of p-adic numbers. All constructed number-theoretical objective functions have the specific-
ity of achieving the minimum which is equal to zero only on optimal closed routes of the minimal length graph. The interconnection of the applied problem of unmanned aerial vehicles routing on the ground with the mathematical problem of optimization on the graphs by means of number theory and genetic algorithm is shown.
REFERENCES
1. Podlipyan P. E., Maximov N. A. Multi-phase algorithm for solving the problem of planning the flight of unmanned aerial vehicles. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2011. No. 43. Pp. 1-16. URL: http: //trudymai.ru/ published. php? ID=24769 (date of access 14.06.2019). (In Russian)
2. Zadeh S. M., Powers D., Sammut K. Optimal Route Planning with Prioritized Task Scheduling for AUV Missions Article. Proceedings of the IEEE International Symposium on Robotics and Intelligent Sensors (Langkawi, Malaysia, 18-20 October 2015). URL: https://arxiv. org/abs/1604.03303 (date of access 17.06.2019).
3. He P., Dai S. Stealth Real-time Paths Planning for Heterogeneous UAV Formation Based on Parallel Niche Genetic Algorithm. Journal of Computational Information Systems. 2014. No. 10(15). Pp. 6731-6740.
4. Khalimov N. R., Anishenko A. I. Osobennosti programmno-algorit-micheskogo obespechenija reshenija zadachi celeraspredelenija istrebitelej v ASU [Especially software algorithmic support for solving target allocation fighters in automatic control system]. Trudy Voenno-kosmicheskoj akademii imeni A.F. Mozhajskogo [Proceedings of the Mozhaisky Military Space Academy]. 2016. Vol. 8. No. 3. Pp. 5-11. (In Russian)
5. Tan Liguo, Fomichev A. V. The spatial flight route planning of unmanned aerial vehicles using the methods of mixed- i nteger linear programming. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering. 2016. No. 2. Pp. 53-66. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-53-66 (In Russian)
/
6. Allilueva N. V., Rudenko E. M. The routing problem of unmanned aerial vehicles in a graph of reference points. ¡-methods. 2018. Vol. 10. No. 1. Pp. 5-18. (In Russian)
7. Zenkevich S. L., Bolotin E. I . Planning in Multiagent Systems that Use Artificial Intelligence Methods. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie. 2014. No. 11. Pp. 21-27. (In Russian)
8. Allilueva N. V., Rudenko E. M. Mathematical method of objective function calculation and routing problems solving. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2017. No. 96. http://trudymai.ru/ published.php? ID=85773 (date of access 28.06.2019). (In Russian)
9. Allilueva N. V. UAV intellectual system for counteraction against unauthorized intrusion into the protected territory]. Issues of radio electronics. 2018. No.1. Pp. 47-54. (In Russian)
10. Mihajlin D. A., Allilueva N. V., Rudenko E. M. Comparative analysis of the effectiveness of genetic algorithms the routing of the flight, taking into account their different computational complexity and multicriteria tasks. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2018. No. 98. URL: http://trudymai.ru/published.php? ID=90386 (date of access 30.06.2019). (In Russian)
11. Allilueva N. V., Daragan A. D., Efremov A. A., Rudenko E. M., Se-mikina E. V. Primenenie optimal'nyh zamknutyh marshrutov dlya marshrutizacii gruppovogo poleta BPLA pri izmenenii geometrii grafa repernyh tochek na mestnosti [Application of optimal closed routes for UAV group flight routing when changing the geometry of the graph of reference points on the ground]. In book Nauchno-tekhnicheskiy sbornik. Serpuhov: Filial VA RVSN imeni Petra Velikogo Publ., 2018. Pt. 1. Pp. 91-95. (In Russian)
12. Kim J. W., Kim S. K. Fitness switching genetic algorithm for solving combinatorial optimization problems with rare feasible solutions. The Journal of Supercomputing. 2016. Vol. 72. Issue 9. Pp. 3549-3571.
13. Wagner M., Neumann F. Single- and Multi-Objective Genetic Programming: New Runtime Results for SORTING. Proceedings of the 2014 IEEE Congress on Evolutionary Computation. Beijing, China, 6-11 july 2014. Pp. 125-133.
14. Gravchenko YU.A., Grankin B. K., Kukushkin I. O., Mokan D. O. Ko-dirovanie grafov dlya resheniya zadach raspredeleniya i preobra-zovaniya potokov [Coding of graphs for solving problems of distribution and transformation of flows]. Trudy Voenno-kosmicheskoj akademii im. A. F. Mozhajskogo [Proceedings of the Mozhaisky Military Space Academy]. 2015. Issue 649. Pp.23-28. (In Russian)
15. Kothari M., Postlethwaite I., Gu D. Multi-UAV path planning in obstacle rich environments using rapidly-exploring random trees. Proc. of the combined 48th IEEE Conference on Decision and Control and
28th Chinese Control Conference. Shanghai, P. R. China, December 16-18, 2009. Pp. 3069-3074.
16. Bai A., Russell S., Efficient Reinforcement Learning with Hierarchies of Machines by Leveraging Internal Transitions. Proceedings of the Twenty-Sixth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJ-CAI-17), Melbourne, Australia 19-25 August 2017. URL: https://www. ijcai.org/proceedings/2017/0196.pdf (date of access 18.03.2019)
17. Yakovlev K. S., Khitkov V. V., Loginov M. I., Petrov A. V. Navigation system based on markers for UAV group. Robototekhnika i tekhnich-eskaya kibernetika [Purposes and objectives of journal]. 2014. No. 4(5). Pp. 44-48. (In Russian)
18. Dorigo M., Floreano D., Gambardella L. M., Mondada F. et al. Swarmanoid: A Novel Concept for the Study of Heterogeneous Robotic Swarms. IEEE Robotics & Automation Magazine. 2013. Vol. 20. Issue 4. Pp 60-71.
19. Sa I., Corke P. Vertical Infrastructure Inspection Using a Quadcop-ter and Shared Autonomy Control. Field and Service Robotics. 2014. Pp. 219-232.
20. Merwaday A., Tuncer A., Kumbhar A., Guvenc I. Improved throughput coverage in natural disasters: Unmanned aerial base stations for public-safety communications. IEEE Veh. Technol. Mag. 2016. Vol. 11. No. 4. Pp. 53-60.
21. Zeng Y., Zhang R., Lim T. J. Throughput maximization for UAV-en-abled mobile relaying systems. IEEE Trans. Commun. 2016. Vol. 64. No. 12. Pp. 4983-4996.
22. Chen J., Gesbert D. Optimal positioning of flying relays for wireless networks: A LOS map approach. Proceedings of the IEEE International Conference on Communications (ICC), Paris, France, May 21-25, 2017. IEEE, 2017. Pp. 1-6.
23. Mozaffari M., Saad W., Bennis M., Debbah M. Mobile unmanned aerial vehicles UAVs for energy-efficient internet of things communications. IEEE Trans. Wireless Commun. 2017. Vol. 16. No. 11. Pp. 7574-7589.
24. Wu Q., Zeng Y., Zhang R. Joint trajectory and communication design for multi-UAV enabled wireless networks. IEEE Trans. Wireless Commun. 2018. Vol. 17. No. 3. Pp. 2109-2121.
INFORMATION ABOUT AUTHORS:
Alliluyeva N.V., Leading specialist of Joint stock company "Scientific-production enterprise "Radar MMS";
Rudenko E.M., PhD., associate professor at the Department of Mathematics of Peter the Great Strategic Missile Academy (Serpukhov Branch); Semikina E.V., Lecturer at the Department of Mathematics of Peter the Great Strategic Missile Academy (Serpukhov Branch).
For citation: Alliluyeva N.V., Rudenko E.M., Semikina E.V. Routing on a graph of number-theoretic objective function and genetic algorithm. H&ES Research. 2019. Vol. 11. No. 6. Pp. 4-14. doi: 10.24411/2409-5419-2018-10290 (In Russian)
