CC BY
40
АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
10.36724/2409-5419-2021-13-1-6-17
МАРШРУТИЗАЦИЯ БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ, ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ ГРАФА И ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ
РУДЕНКО
Эдуард Михайлович1
СЕМИКИНА Елена Викторовна2
Сведения об авторах:
к.т.н., доцент филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого, г. Серпухов, Россия, eduard5529@yandex.ru
2преподаватель филиала Военной академии Ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого, г. Серпухов, Россия, labinfo_serp@inbox.ru
АННОТАЦИЯ
Рассматривается задача поиска маршрутов беспилотных летательных аппаратов на различных графах реперных точек на местности с использованием генетического алгоритма. Проводится сравнение методов построения целевой функции графа на основе алгебраического, теоретико-числового подхода, а также с использованием трансцендентных функций. Рассмотрение примеров целевых функций, построенных алгебраическими методами с учетом кратности номеров вершин в замкнутом маршруте, показывает, что такой подход приводит для графов большой размерности к ложным маршрутам. Указанный недостаток можно устранить, учитывая индивидуальную информацию о каждом ребре графа. Это обеспечивается кодированием ребер графа слагаемыми или сомножителями некоторой числовой величины в виде ее однозначного разложения. Построение целевой функции опирается при этом на теоретико-числовые свойства в-ического разложения или на разложение целого числа на простые множители. Теоретико-числовые целевые функции однозначно учитывают индивидуальность каждого ребра. Такое кодирование ребер позволяет сформулировать теорему построения целевых функций на графах, основанную на однозначном разложении числовой величины в сумму или произведение. Дальнейшие исследования показывают, что в качестве числовых кодов могут быть использованы не только числа, но и функции, которые более полно отражают информацию об индивидуальных особенностях задачи маршрутизации на графах и тоже обладают свойствами однозначного разложения. Сочетание свойств кода быть числом и функцией приводит к его трансцендентности и возможности применения в построении целевой функции. Проводится апробирование построенных трансцендентных целевых функций на примерах различных графов. Показана взаимосвязь прикладной задачи маршрутизации беспилотных летательных аппаратов на местности с математической задачей оптимизации на графах средствами теории чисел и генетического алгоритма. Расчеты маршрутов по трансцендентным целевым функциям могут быть применены в автоматизированных системах управления.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: маршрутизация; графы; алгебраические целевые функции; теоретико-числовые целевые функции; трансцендентные целевые функции; генетический алгоритм.
Для цитирования: Руденко Э.М., Семикина Е.В. Маршрутизация беспилотных летательных аппаратов, трансцендентные целевые функции графа и генетический алгоритм // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2021. Т. 13. № 1. С. 6-17. doi: 10.36724/2409-5419-2021-13-1-6-17
Введение
В статье рассматривается математический метод построения алгебраических, теоретико-числовых, трансцендентных целевых функций графа для нахождения оптимальных замкнутых маршрутов беспилотных летательных аппаратов, совершающих полет по подобному графу ре-перных точек на местности. Все целевые функции отражают комбинаторные свойства повторяемости номеров вершин графа в маршрутах, основаны на теоретико-числовых и алгебраических теоремах и предназначены для расчета генетическим алгоритмом.
Алгебраические целевые функции
Планирование маршрутов беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) является оптимизационной задачей по минимизации расходования бортовых ресурсов, которая напрямую зависит от продолжительности и протяженности полета [1-3]. В самом общем виде маршрут на местности представляет собой граф с вершинами в выделенных целевых точках (реперах)1. Для расчета маршрута на графе реперов строится целевая функция (ЦФ), которая обладает свойством принимать нулевые значения только на наборах номеров вершин графа, являющимися оптимальными замкнутыми маршрутами [4, 5]. Для построения ЦФ необходимо использовать свойства замкнутости маршрута и частоту повторяемости номеров вершин графа в них. Замкнутые маршруты, проходящие по всем ребрам один раз, существуют только на Эйлеровом графе, который характеризуется четным количеством ребер, сходящихся в каждой его вершине. Оптимальные замкнутые маршруты (ОЗМ) проходят через все ребра графа и содержат их минимальное количество с учетом их кратности. Число ребер, входящих в ОЗМ графа т = (вр в2, ..., в^ определяется формулой
1 п
d (т) = ~Ър(и), (1)
2 и
где р(к) — кратность вершины V., то есть число ребер, сходящихся (инцидентных) в вершине V,, п — число вершин графа. Так как каждое ребро графа представляет собой пару вершин (V., V. ), то маршрут можно записать в виде последовательности вершин т = v2, ..., vd+1).
Отсюда следует, что все ОЗМ на данном Эйлеровом графе имеют одинаковое число ребер, а, следовательно, и одинаковую частоту повторяемости номеров вершин графа, равную половине кратности вершин. Так, например, для графа с четырьмя вершинами и шестью ребрами у4еб — ромб с кратной диагональю (рис. 1) имеем: р^) = р^3) = 2, р(^) = р(у,) = 4. Сумма (1) равна шести, что означает, что ОЗМ состоят из шести ребер, вершины с номерами один
и три в маршруте встречаются по одному разу, а вершины два и четыре — по два раза. Так, набор m = (1, 2, 4, 2, 3, 4, 1) является ОЗМ. Вершина с номером один, стоящая в начале и в конце маршрута, считается за одну, так как «наложив» их друг на друга получаем замкнутый маршрут.
Исходя из этой информации, можно построить первую серию алгебраических (многочленных) функций, зависящих от d + 1 переменных: x x , ...,xd+1, которые обнуляются на ОЗМ (2):
d+1 1 d
Ziq(xl,.",xd+i) = T xi -~TP(ui)-Vi = 0 (2)
i=1 2 i=1
где первая вершина vp с которой начинается и заканчивается маршрут, дополнительно вычитается. Показатель q является произвольным натуральным числом. Для графа v4e6 имеем
Z\q (X!,..., x7) = ixf - 2(1q + 2q + 4q) - 3q = 0. (3) i=1
В формуле (3) сумма имеет число слагаемых, равное числу компонент в ОЗМ. Слагаемые в круглой скобке учитывают повторяемость номеров вершин графа в маршруте. Так как ОЗМ начинается и заканчивается в вершине с номером один, то она учитывается дважды.
Если f(x, y) — многочленная разделяющая функция графа, то, кроме формулы (2), существует соотношение (4), также обращающееся в нуль на ОЗМ:
d d
Z2q (ХЪ...> Xd+l) = Z f (xi > Xi+l)-Z Sq = 0 (4)
i=1 i=1
где s.—элементы разрешенного множества S = {s s2, ..., sd} и s. = f(v. , v.+1) — значение разделяющей функции на ребрах, принадлежащих графу.
Кроме функций (2) и (4) имеем также следующие выражения (5):
2
4
'Омельченко А. В. Теория графов. М.: МЦНМО, 2018. 416 с.
Рис. 1. Граф v4e6 — ромб с кратной диагональю (2, 4)
(*!,...,ха+1) = -£х? • -- и! -о?+1 = 0;
I =1 1=1
d d Z4q(х1,..-,11) (х ±х+1)!(и±и+1)! =0; (5)
I=1 1=1
Z5q (Х1,.., ха+1) = - (х 2 + х 2+1)!-- (и2 +и2+1)! = 0.
=1 =1
Подобным образом можно построить и другие функции.
Для графа у4еб в качестве разделяющей функции можно взять многочленДх, у) = х2 + у2. В состав множества А разрешающих ребер входят: А = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 4), (3, 4), (1, 4)}, где ребро (2, 4) кратности 2. Множество = {5, 13, 20, 20, 25, 17} и соотношение (4) примет вид:
6 2 2 ч
Z2q (х1,..., х7 ) =Х + Хг'+1) -
i =1
-(5е + 13е + 2 ■ 20е + 25е + 17е) = 0. (6)
Формулы (2)-(6) относятся к аддитивным функциям. К мультипликативным функциям относится соотношение (7) при различных значениях натурального числа е
d+1 d+1
z6q (Х1,..., Xd+1) = П X = о. (7)
¿=1 ¿=1
Для графа у4еб выражение (7) имеет вид г6ч(ъ,...,х7) = Пх" - (1-1-2• 2• 3 • 4• 4)" = 0. (8)
I=1
Все приведенные функции (2)-(8) обнуляются на ОЗМ, но это не гарантирует, что для достаточно больших графов (с большим числом вершин и ребер) система, составленная из уравнений (2), (4), (5) и (7) имеет нулями наборы, являющиеся ОЗМ. Например, набор (1, 2, 4, 3, 4, 2, 1) удовлетворяет уравнению (3), но в него не входят ребра (1, 4) и (2, 3). Аналогично, набор (1, 4, 3, 4, 1, 4, 1) удовлетворяет уравнению (8), но не является ОЗМ, т. е. маршрутом, проходящим по всем ребрам графа у4еб (отсутствуют ребра (1, 2), (2, 3) и (2, 4)).
Для расчета маршрутов на графах можно использовать генетический алгоритм (ГА), который в настоящее время имеет множество модификаций [6-12].
Для решения задачи маршрутизации на графах наилучшим образом подходит генетический алгоритм с хромосомами, состоящими из наборов номеров вершин [13, 14].
Использование первого уравнения из (5) достаточно для построения ЦФ графа у4еб и получения шести ОЗМ с помощью генетического алгоритма (табл. 1).
Таблица 1
Полный набор ОЗМ графа у4еб
№ ОЗМ
1. (1, 2, 3, 4, 2, 4, 1)
2. (1, 2, 4, 2, 3, 4, 1)
3. (1, 2, 4, 3, 2, 4, 1)
4. (1, 4, 2, 3, 4, 2, 1)
5. (1, 4, 2, 4, 3, 2, 1)
6. (1, 4, 3, 2, 4, 2, 1)
ЦФ графа небольшой размерности может быть построена как сумма абсолютных величин выражений (2), (4), (5) и (7):
2(Х\,...,хё+!) = (Х1,...,ха+1) + ... + (х1,..., ! ), (9)
где е1, е2, • • •, е6 — произвольные натуральные числа.
Для графа у8е16 (рис. 2) целевая функция (9), обращается в нуль на наборах (1, 6, 3, 7, 5, 4, 2, 4, 5, 8, 8, 2, 3, 6, 7, 1, 1) и (1, 8, 5, 6, 2, 3, 5, 4, 6, 3, 7, 8, 7, 2, 1, 4, 1), которые не являются ОЗМ, так как выделенные ребра (6, 3) и (5, 6) не входят в данный граф.
Данных о частоте повторяемости номеров вершин графа в ОЗМ в функциях типа (2), (4), (5) и (7), недостаточно для построения маршрутов, так как не используется информация о ребрах графа [15].
Пересечение решений функций (9), согласно теории алгебраической геометрии, определяет алгебраическое многообразие2 и ОЗМ для больших графов составляют его собственную часть, состоящую из целочисленных точек, т.е. точек с целыми координатами3. Построение ЦФ с привлечением информации о ребрах графа рассмотрено в следующем разделе построения теоретико-числовых целевых функций.
1 2 3
6 7 8
Рис. 2. Граф у8е16 с 8 вершинами и 16 ребрами
2Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Москва: МЦНМО, 2007. 539 с. 3Воскресенский В. Е. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп и модули Галуа. Алгебраическая геометрия - 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 24, М.: ВИНИТИ, 2001. С. 5-156.
Теоретико-числовые целевые функции
Учет в целевых функциях графа только информации о вершинах графа при небольшом числе вершин и ребер приводит с помощью генетического алгоритма к нахождению всех оптимальных замкнутых маршрутов. Это относится к графам у4е8, у4е9, у4е10 — Эйлеровым моделям графа «семь мостов» у4е7, а также к графам «закрытое письмо» — у5е10 и «открытое письмо» — у7е10. В графах большей размерности вершин и ребер отсутствие учета информации о ребрах графа в ЦФ приводит при расчетах ГА к появлению наборов, которые не являются оптимальными замкнутыми маршрутами. Таким графом является, например, граф у8е16.
Для построения ЦФ любого Эйлерова графа, которая имеет нулями только ОЗМ, необходимо учесть информацию о каждом ребре графа, которая должна быть индивидуальна и не смешиваться с информацией о других ребрах [16]. Для этого можно использовать теорему об однозначном разложении целого или рационального числа в виде произведения или в виде отношения степеней простых чисел (основная теорема арифметики), присвоив каждому ребру графа код в виде простого числа в степени, равной кратности ребра в графе. Тогда каждому ОЗМ будет поставлено одно и то же целое или рациональное число, так как разные ОЗМ отличаются друг от друга только порядком следования ребер графа, а сложение и умножение чисел коммутативно. Например, для графа у4е6 (см. рис. 1) соответствие между ребрами и степенями простых чисел можно задать с помощью разделяющей функции
Интерполяционный многочлен V = Г(х) (рис. 3) задается соответствием между х е {2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 32}, а V е {13, 2, 13, 13, 3, 5, 13, 7, 11, 13}.
г = f(x, У) = x + y
(10)
и интерполяционного многочлена V = -Р(х). Разделяющий многочлен (10) на ребрах графа равен:
/1, 2) = 12 + 22 = 5;/1, 4) = 12 + 42 = 17;
/2, 3) = 22 + 32 = 13;.Д2, 4) = 22 + 42 = 20;
/3, 4) = 32 + 42 = 25;
£ = {5, 13, 17, 20, 25}.
На петлях и на недопустимом ребре (1, 3) разделяющая функция (10) принимает значения:
/1, 1) = 12 + 12 = 2; /2, 2) = 22 + 22 = 8;
/3, 3) = 32 + 32 = 18;.Д4, 4) = 42 + 42 = 32;
/1, 3) = 12 + 32 = 10;
Р = {2, 8, 10, 18, 32};
S П Р = 0 — пустое множество.
а)
20
Х:32
-20 -40 -60 -80 •100
5 10 1S 20 25 30 35 X
б)
Рис. 3. График интерполяционного многочлена 9-й степени w = F(z) в диапазоне изменения: а) -250 < w < 2800; б) -100 < w < 30
Целевая функция для ОЗМ графа рис. 1 определяется выражением
Z (xl,..., x7) = П F (f (Xi, )) - 2 • 3 • 5 • 72-11. (11)
i=1
В формуле (11) число 7 стоит во второй степени, так как ребро (2, 4) имеет кратность два и х = _Д2, 4) = 22 + 42 = 20, ^(20) = 7. ЦФ в виде (11), основывается на однозначности разложения целого числа по степеням простых чисел и называется целой мультипликативной функцией.
Если использовать теорему об однозначном представлении рационального числа в виде несократимого произведения и отношения различных степеней простых чисел,
АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
то для построения ЦФ необходимо изменить интерполяционный многочлен V = 0(1), который задается соответствием г е {5, 13, 17, 20, 25}, а V е {2-1, 3, 5-1, 7, 11-1}. Все остальные числа из Р = {2, 8, 10, 18, 32} многочлен V = О(г) отображает в большое число, например, в число 13. На рис. 4 представлен график интерполяционного многочлена в различных диапазонах по высоте. Числа {2-1, 3, 5-1, 7, 11-1} являются кодами ребер графа у4еб.
бер графа могут быть любые взаимно простые числа, например, 2-3, 5-7, 11 13, 173, 19-232.
Если в основу построения ЦФ положить аддитивные теоремы об однозначном представлении чисел в виде суммы, такие как единственность записи числа в полиномиальной форме по степеням числа 5(13):
-т | | -2 | -1 .
г = а +•..+ а -5 + а -5 +
-т -2 -1
| 0 | . 2 . . п
+ а.^5 + а,-5 + а.+•..+ а ,
0 1 2 п '
(13)
а)
б)
Рис. 4. График интерполяционного многочлена 9-й степени м> = 0(г) в диапазонах изменения: а) -35 < V < 4600; б) -165 < V < 30
Целевая функция в этом случае имеет вид
г(X!,..., х7) = П G(f (х,.,х,.+1)) - 2-1 • 3 • 5-1 • 72 • 11-1. (12)
¿=1
В такой форме ЦФ (12) называется дробной мультипликативной. Следует отметить, что в качестве кодов ре-
где 5—положительное натуральное число, а.—целое число удовлетворяющее условию 0 < а. < 5, или теорема об однозначности канонической записи р-адического числа в поле Q в виде конечной суммы ненулевых слагаемых (14)
г = р- т(а0 + а1 р1 + а2р2 + •..+ апрп),
(14)
где р — простое число, а. — целое число из диапазона 0 < а. <р, т, п > 0.
Опираясь на единственность представления чисел в виде сумм (13) и (14), получим ЦФ графа у4еб в аддитивной форме
г(xl,..., х1) = х н (f (х, х+1))-
i=1
(15)
-(5+ 5-1 + 50 + 2 • 51 + 52).
-2 -1 0 2
Здесь коды 5 , 5 , 5 , 5, 5 присвоены соответственно ребрам (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4) и (3, 4). Код кратного ребра (2, 4) в выражении (15) учитывается дважды и поэтому основание счисления берется 5 > 2. Функция м> = Н(т) является интерполяционным многочленом, который осуществляет отображение множеств 5 и Р по правилу соответствия между ними: Н: 5 = {5, 13, 17, 20, 25}^-{5~2, 5Ч, 5°, 5, 52}. Генетический алгоритм минимизирует значение функции, поэтому многочлен Н(г) остальные значения из множества Р переводит в число большее, чем 52, например, Н: Р = {2, 8, 10, 18, 32} ^ 53, таким образом имеем соответствие Н: {2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 32} ^ {53, 5~2, 53,
3 -1 0 3 1 2 3
5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 }.
Если положить 5 = р — простое число, то получим р-ическую ЦФ. Хотя поля Q и 2 представляют разные топологические пространства, для генетического алгоритма р-адическая ЦФ совпадает с р-ичной ЦФ.
Беря в качестве элемента а. из (13) класс вычетов по простому модулю р, мы можем записать каждое р-адическое число в канонической форме с конечным числом ненулевых слагаемых как число в р-ичной системе счисления однозначным образом.
Если веса рёбер в виде суммы или произведения однозначно представляют полученную величину, то есть смысл называть их кодами рёбер графа.
Способ построения ЦФ для произвольного графа на основе однозначного представления числа в s-ичной системе счисления и р-адического числа в каноническом виде приводят к следующим теоремам.
Теорема 1. Целевая функция оптимальных замкнутых маршрутов Эйлерова графа может быть построена на основе теоретико-числовых свойств однозначного представления числа в виде произведения или суммы кодов ребер.
Теорема 2. Целевая функция Эйлерова графа является многочленом от нескольких переменных равного произведению или сумме суперпозиций разделяющего многочлена х = /х, у) и интерполяционного многочлена V = Е(х) минус произведение или минус сумма кодов ребер графа. Степень интерполяционного многочлена числу суммы ребер графа плюс число ребер и петель, не принадлежащих графу, которые могут быть сгенерированы ГА, минус один. При этом, кратные ребра считаются за одно. Число произведений или слагаемых равно числу ребер графа. Число переменных в ЦФ равно числу ребер графа плюс один, т.е. п + 1.
Алгоритм построения теоретико-числовых ЦФ и теоремы 1 и 2, в основе которых лежит однозначное представление чисел в виде суммы в системе счисления, в канонической форме р-адического числа или в виде произведения и отношения взаимно простых чисел, приводят к выводу о возможности подобного представления функциями от нескольких переменных.
Трансцендентные целевые функции
Метод построения трансцендентных целевых функций графа для нахождения оптимальных замкнутых маршрутов на Эйлеровом графе основывается, согласно теореме 1, на свойствах однозначного представления выражений от трансцендентных чисел в виде суммы или произведения. Трансцендентные целевые функции, в отличие от трансцендентных элементарных функций: вх, sinx, cosx, tgx и т.д., хотя и принимают трансцендентные значения, но принцип их построения опирается на свойства трансцендентных расширений рациональных 2 или алгебраических К полей чисел (2 с К). Каждое алгебраическое число из К является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из 2. Многочлены и дробные рациональные функции от нескольких переменных х1, х2, ..., хк с коэффициентами в 2 или в К образуют кольца и поля4:
многочлен:
дробная функция:
г( xi,...xk ) =
f ( xl, x2,...xk ) g ( xu x2,...xk )
. (17)
f(x\,...xk ) - X ail,i2,...,ikxi x2 ."xk
(16)
Для многочленов справедливо однозначное представление в виде суммы одночленов и выполняется основная теорема алгебры об однозначном разложении многочленов и рациональных дробей в произведение неприводимых многочленных и рациональных множителей, а для отношения многочленов — теорема об однозначном представлении правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей [17, 18]. Это говорит о выполнении условий теоремы 1.
Так как ГА работает с хромосомами определенной длины п > 1, составленными из чисел, то целевые функции являются числовыми функциями от п переменных. Алгебраические ЦФ являются функциями, обнуляющимися на целочисленных наборах номеров вершин графа, и представляют собой многочлены п переменных. Теоретико-числовые ЦФ обнуляются на наборах кодов ребер, которые представляют собой либо суммы 5-ических или />-адических чисел, либо произведение положительных и отрицательных степеней простых чисел.
Для того, чтобы многочлены (16) и рациональные дроби (17) с коэффициентами в поле рациональных 2 или алгебраических К чисел, можно было перевести в числовой формат и сохранить однозначность их разложения, переменным х1, х2, ., хк, можно присвоить трансцендентные алгебраически независимые значения [19].
Трансцендентные числа по определению не могут быть корнем никакого многочлена с коэффициентами из 2, т. е. они могут быть приняты за переменные х1, х2, ..., хк над алгебраическим полем. Трансцендентные вещественные числа — это часть вещественных чисел без алгебраических вещественных чисел: Я\К. Трансцендентные комплексные числа — это комплексные числа С без алгебраических комплексных чисел: СК5.
Одночлены, неприводимые множители и простейшие дроби с трансцендентными неизвестными могут быть приняты за коды ребер или вершин графов при использовании в построении ЦФ многочленов или рациональных функций. Построенные трансцендентные ЦФ представляют собой многочлены или рациональные функции от нескольких переменных, которые по своей структуре имеют однозначное представление в виде суммы одночленов или однозначно раскладываются в произведение неприводимых сомножителей или рациональных функций в сумму элементарных дробей [20-22]. Они обнуляются на набо-
4Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. URSS, 2019. 408 с.
Артин Э. Теория Галуа: пер. с англ. А. В. Самохина. 2-е изд. стереотипное. М.: МЦНМО, 2008. 66 с.
рах кодов ребер, которые равны значениям одночленов или многочленов нескольких переменных от трансцендентных чисел с коэффициентами из поля рациональных 2 или алгебраических чисел К.
Структура целевой функции графа, нулями которой являются оптимальные замкнутые маршруты на графе, отражает единственность разложения в произведение или в сумму кодов ребер графа. Исходя из теоремы 1, можно для построения ЦФ использовать однозначность записи многочлена в виде суммы п одночленов,
/ \ n-1 | n-2 I I
g .(z) = a 'z + a -z + ...+ a,
c>n-1v ' n-1 n-2 0
(18)
где все коэффициенты а. е 2 или К. В этом случае ребра графа имеют веса-коды, равные слагаемым gn_1(x) из (18), а числовые коэффициенты а. равны кратности ребра с кодом Х. Роль неизвестного х может выполнить любое трансцендентное число, которое не может быть корнем никакого многочлена (16) с коэффициентами в поле К, а, тем более, с рациональными (целыми) коэффициентами. В этом случае ЦФ графа имеет вид
Z ( X . ■.... ХП +1 ) = Z F ( f ( x. X+i)- gn-1 ( z)). (19)
i=1
где и = /х, у) разделяющая функция, которая ребрам (х, у) графа ставит в соответствие числа из множества £, а парам (х, у), которые не являются ребрами графа, ставит в соответствие числа из множества Р. Множества £ и Р не пересекаются (£ П Р = 0 — пустое множество). Функция Е(и) на множестве £ принимает трансцендентные значения (20), кроме а0:
F(S) = {an_{z-
n-2
2z > •••> ao}.
(20)
На множестве Р функция Е(и) принимает постоянное значение большее, чем на £: Е(Р) >> ^(£). Для графа v4e6 (см. рис. 1) трансцендентная ЦФ (19) имеет вид (21):
Z ( xl,..., x7 ) = Ё F ( f ( xi, xi+i))- A
(21)
i=1
где аддитивный код графа v4e6 A = z5 + z4 + z3 + 2z2 + zZ состоит из слагаемых соответствующих кодов ребер (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4) и (3, 4). Код кратного ребра (2, 4) в ЦФ (21) учитывается дважды и поэтому коэффициент при степени z2 равен 2. В качестве трансцендентного числа z, согласно теореме А. О. Гельфонда (7-я гипотеза Эйлера-Гильберта), можно взять z = log к, где m и к — натуральные числа такие, что к ф m, l е Q6.
Для графа v4e6 подсчет ОЗМ с помощью генетического алгоритма при условиях 'Generations', 10, 'PopulationSize', 10, 'StallGenLimit', 6, 'Vectorized', 'on' за время 7,75 с можно получить 18 маршрутов, из которых различные между собой приведены в табл. 2.
Таблица 2
Маршруты на графе v4e6
№ ОЗМ
1. 1 2 4 2 3 4 1
2. 1 2 4 3 2 4 1
3. 1 4 2 3 4 2 1
4. 1 4 2 4 3 2 1
Если исходить из основной теоремы алгебры об однозначности разложения многочлена в произведение неприводимых множителей, и теоремы 1 о структуре ЦФ, приходим к выводу о возможности кодирования ребер графа неприводимыми многочленами. Простейшими неприводимыми многочленами являются, например, линейные двучлены z _ а,, где х трансцендентно, а а ее2 (или К), а. ф а. при , ф ]. В этом случае ЦФ будет мультипликативно-трансцендентной:
г(X!,..., х^) = п р(/(х,-, х+1)) - п (2 - а, (22)
¿=1 ¿=1
где в, — кратность ребра с кодом х _ а.
Минимизирование ЦФ (22) для графа у4е6 с помощью ГА приводит к нахождению 18-ти ОЗМ за 7,3 с, среди которых различные пять маршрутов (табл. 3).
Таблица 3
Маршруты на графе v4e6
№ ОЗМ
1. 1 2 3 4 2 4 1
2. 1 2 4 2 3 4 1
3. 1 2 4 3 2 4 1
4. 1 4 2 3 4 2 1
5. 1 4 2 4 3 2 1
Рассмотрим поле расширения Галуа 2 ©/ 2, образованного добавлением к полю рациональных чисел 2 всех комплексных корней многочлена х5_2 = 0:
„ . 2nn . . 2пп
qn = v2 • (cos —5— + г sin—5—),
(23)
6Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. М.: URSS, 2019. 224 с.
где п = 0, ., 4. При кодировании в графе у4е6 (см. рис. 1) ребер комплексными числами (23) с помощью соответствия присвоим код двойному ребру (2, 4), ^ — ребру (1, 2), — ребру (1, 4), — ребру (2, 3) и, наконец, — ребру (3, 4). Всем не принадлежащим ребрам и пет-
a
лям графа, но которые могут быть сгенерированы ГА, присвоим число 5. Тогда целевая функция (22) будет иметь вид с мультипликативным кодом М:
M = П (z - a, = (z5 - 2) • (z - ^2). (24)
i=1
Число z положим равным трансцендентному числу п (z = п). Подсчет маршрутов на графе v4e6 (см. рис. 1) при условиях: 'Generations', 16, 'PopulationSize', 8, 'StallGenLimit', 4, 'Vectorized', 'on' приводит к подсчету 18 маршрутов, из которых различными являются четыре (табл. 4).
Таблица 4
Маршруты на графе v4e6
ЦФ в этом случае будет аддитивно-трансцендентной с кодами в виде простейших рациональных дробей
Z(x1,x2,...,x+1) = ±F(f (х, хы))-Е—, (25) 1=1 I =1 2 - ах:
где р. — кратность ребра с кодом 1/(г - а.).
Минимизирование аддитивной целевой функции (25) для графа у4еб приводит к нахождению 18 оптимальных замкнутых маршрутов за 6,6 с, среди которых различными являются пять (табл. 5).
Таблица 5
Маршруты на графе у4еб
№ ОЗМ
1. 1 2 4 2 3 4 1
2. 1 2 4 3 2 4 1
3. 1 4 2 4 3 2 1
4. 1 4 3 2 4 2 1
№ ОЗМ
1. 1 2 3 4 2 4 1
2. 1 2 4 3 2 4 1
3. 1 4 2 3 4 2 1
4. 1 4 2 4 3 2 1
5. 1 4 3 2 4 2 1
Значения целевой функции приведены на графике рис. 5. Расчет показывает, что график имеет четыре локальных минимума, в которых находятся найденные маршруты.
Рис. 5. График сходимости ЦФ (22) с мультипликативным кодом (24)
Как следует из графика на рис. 5, значения ЦФ находятся в малой окрестности нуля. Это объясняется компьютерной неточностью округления значений комплексной ЦФ.
Если исходить из однозначности разложения правильной рациональной дроби в сумму элементарных дробей, то, по теореме 1 о структуре ЦФ, можно использовать для кодирования ребер графа элементарные дроби. Простейшими элементарными рациональными дробями является, например, 1/(г - а.), а. е Q, а. ф а. при / ф].
Применение трансцендентных ЦФ для графа у15е28 большей размерности (рис. 6) приводит к медленной сходимости из-за большой длины ОЗМ, состоящих из 29 номеров вершин, по сравнению с графом у4еб.
Рис. 6. Граф v15e28 с 15 вершинами и 28 ребрами
Для ЦФ (21) в качестве аддитивного кода A графа v15e28 взято трансцендентное число на основе п ~ 3,1415 926535897932384626433832795...:
Л А | -9 I -8 I .0.1. 2 . I 17
A = 0 + п + п +...+п + п + п + ... + п ,
которое содержит сумму 28 кодов ребер графа в виде последовательных степеней и нуля (0 = п-шГ). При условиях настройки ГА: 'Generations', 160, 'PopulationSize', 3000, 'StallGenLimit', 280, 'Vectorized', 'on' найдены маршруты, приведенные в табл. 6.
Таблица 6
Маршруты на графе v15e28
№ Фактор кроссовера ОЗМ
1. 0,2 [1 4 2 5 3 2 1 7 11 13 14 12 15 9 5 8 11 14 15 10 3 9 12 8 4 7 13 6 1]
2. 0,4 [1 6 13 7 4 8 11 14 15 12 8 5 2 3 5 9 3 10 15 9 12 14 13 11 7 1 4 2 1]
3. 0,6 [1 7 4 2 5 9 3 5 8 4 1 2 3 10 15 14 13 11 14 12 9 15 12 8 11 7 13 6 1]
4. 0,8 [1 6 13 14 11 8 5 3 2 4 1 7 11 13 7 4 8 12 14 15 9 3 10 15 12 9 5 2 1]
Время счета составило 470,5 секунды. Поиск ГА ОЗМ на графе v18e36 (рис. 7) с помощью аддитивной трансцендентной ЦФ (26)
1 2 3 4
15 16 17 18
Рис. 7. Граф v18e36 с 18 вершинами и 36 ребрами
Z^.-.xj = ±F (f (x, xM))-± p; , (26) 1=1 i=1 logio 2 + ai
где a. — различные рациональные числа, p. — кратность ребра, n = 36.
При моделировании принимались значения: a. = 1/(log102 - 0,3 + 2i-15), i = 0,., 35, 'Generations', 60, 'PopulationSize', 2800, 'StallGenLimit', 25, 'Vectorized', 'on', при которых за время 4124 секунды в цикле изменения фактора кроссовера длиной четыре найден только один ОЗМ
m = [1 15 8 5 9 12 16 13 10 14 11 4 3 2 5 1 2 6 10 7 11 18 14 17 13 9 6 3 7 4 18 17 16 15 12 8 1].
Отсюда следует, что при большой размерности графа оперативность расчета ОЗМ генетическим алгоритмом уменьшается, и он может использоваться в предполетной подготовке БПЛА. Трансцендентные целевые функции могут быть использованы для подсчета ОЗМ наравне с другими: алгебраическими и теоретико-числовыми.
Заключение
На данном этапе развития компьютерной техники использование очевидных преимуществ трансцендентных чисел при поиске оптимальных маршрутов, в том числе
с помощью генетического алгоритма, ограничено на графах большой размерности. Это связано, во-первых, с ограничением количества битов, отводимых под мантиссу, а, следовательно, с неизбежным ограничением количества цифр бесконечно большой дробной части у трансцендентного числа при записи в разрядную сетку компьютера. Во-вторых, с тем, что числа в ЭВМ представлены в двоичной системе счисления (СС2), а ввод информации производится в десятичном виде, поэтому при их переводе неизбежны ошибки округления. В-третьих, при представлении числа с требуемой точностью в СС2 под запись мантиссы требуется отвести большее число разрядов, чем при представлении числа в СС10.
Теоретико-числовые и трансцендентные ЦФ графа показывают, что принцип кодирования ребер может быть перенесен на кодирование и вершин графа при решении задач с приоритетом информации о вершинах, например, в задаче о маршрутах на Гамильтоновых графах, на которых существует маршрут, проходящий по всем вершинам один раз.
Трансцендентные ЦФ содержат кодировки ребер графа не числовой, а более насыщенной функциональной информацией, которая может описывать процесс, протекающий при прохождении данного ребра.
Генетический алгоритм, используя кодирование ребер и вершин математическими величинами различной природы (многочленами, рациональными функциями, линейно независимыми функциями, неприводимыми множителями и т.д.), позволяет определять маршруты на графах. При этом должна соблюдаться теорема об однозначности аддитивного или мультипликативного представления выбранной математической величины. Слагаемые целевой функции должны быть (как минимум) линейно независимы, а множители — неприводимы.
Если рассматривать в качестве кодов рациональные функции г(х1, Ху .., хк) = /(хр х2, •.., х^х^ х2, •.., хк), для которых справедливы свойства независимости и неприводимости, то эти функции могут быть использованы как коды ребер (дуг для ориентированных графов) и вершин, так же, как и указатели функционального преобразования информации вдоль ребра или в вершинах [23, 24].
Функциональные ребра и вершины, представляющие собой правильные рациональные функции, наблюдаются
в ориентированных графах, описывающих контуры управления в сложных технических системах с помощью передаточных функций, и могут рассматриваться как прямые коды маршрутов, выбираемые генетическим алгоритмом [25, 26].
В статье рассмотрено обобщение кодирования ребер и вершин графа в метод построения трансцендентных целевых функций. Трансцендентные целевые функции строятся на основании однозначного представления любой математической величины как суммы независимых слагаемых или произведения неприводимых множителей. Дуализм представления кодов ребер и вершин графа в числовой и функциональной форме открывает направление применения их в автоматизированных системах управления для выбора оптимального контура с помощью генетического алгоритма, как маршрута на графе.
Литература
1. Подлипьян П. Е., Максимов Н. А. Многофазный алгоритм решения задачи планирования полета группы беспилотных летательных аппаратов // Труды МАИ. 2011. № 43. С. 1-16. URL: http: //trudymai.ru/ published. php? ID=24769 (дата обращения 03.06.2020).
2. Michail O., Spirakis P. G. Traveling salesman problems in temporal graphs // Theoretical Computer Science. 2016. Vol. 634. Pp. 1-23. DOI: https://doi.org/10.1016/j.tcs.2016.04.006
3. Sabino S., Horta N., Grilo A. Centralized unmanned aerial vehicle mesh network placement scheme: A multi-objective evolutionary algorithm approach // Sensors. 2018. Vol. 18. No. 12. URL: https://www.mdpi. com/1424-8220/18/12/4387/htm (дата обращения 03.06.2020).
4. Аллилуева Н. В., Руденко Э.М. Математический метод расчета целевой функции на графах и решение задачи маршрутизации // Труды МАИ. 2017. № 96. URL: http://trudymai.ru/published.php? ID=85773 (дата обращения 11.05.2020).
5. Аллилуева Н. В., Руденко Э.М. Задача маршрутизации беспилотных летательных аппаратов на графе реперных точек // I-methods. 2018. Т. 10. № 1. С. 5-18.
6. Руденко Э.М., Аллилуева Н. В., Семикина Е. В. Маршрутизация беспилотных летательных аппаратов, алгебраические целевые функции графа и генетический алгоритм // Научно-технический сборник 2019. Часть 1. Серпухов: ФВА РВСН им. П. Великого, 2020. С. 196-200.
7. Jackson W. C., Norgard J. D. A hybrid genetic algorithm with Boltzmann convergence properties // Journal of Optimization Theory and Applications. 2008. Vol. 136. No. 3. Pp. 431-443.
8. Razali N. M., Geraghty J. Genetic Algorithm Performance with Different Selection Strategies in Solving TSP // Proceedings of the World Congress on Engineering. London, U. K. Jule 6-8. 2011. Vol. 2. Pp. 1-6.
9. Oladele R. O, NIGERIA J. S. Genetic Algorithm Performance with Different Selection Methods in Solving Multi-Objective Network Design Problem // International Journal of Computer Applications. 2013. Vol. 70. No. 12. Pp. 5-9.
10. Karakaya M., Seving E. An Efficient Genetic Algorithm for Routing Multiple UAVs under Flight Range and Service Time Window Constraints // International Journal of InformaticsTechnologies. 2017. Vol. 10 Issue 1. Pp. 113-121. DOI: 10.17671/btd.15848
11. Such F. P., Madhavan V., Conti E., Lehman J., Stanley K. O., Clune J. Deep Neuroevolution: Genetic Algorithms Are a Competitive Alternative for Training Deep Neural Networks for Reinforcement Learning // arXiv.org. 20 Apr 2018. URL: https://arxiv.org/pdf/1712.06567v3.pdf. (дата обращения 24.07.2020).
12. Xin J., Zhong J., Yang F., Cui Y., Sheng J. An Improved Genetic Algorithm for Path-Planning of Unmanned Surface Vehicle // Sensors. 2019. Vol. 19. No. 11. DOI: https://doi.org/10.3390/s19112640
13. Kitjacharoenchai P., Ventresca M., Moshref-javadi M., Lee S., Tanchoco J. M. A., Brunese P. A., Engineering I., Lafayette W., States U. Multiple traveling salesman problem with drones: Mathematical model and heuristic approach // Computers & Industrial Engineering. 2019. Vol. 129. Pp. 14-30. Doi: https://doi.org/10.1016/j.cie.2019.01.020
14. Peng K., Du J., Lu F., Sun Q., Dong Y., Zhou P., Hu M. A hybrid genetic algorithm on routing and scheduling for vehicle-assisted multi-drone parcel delivery // Computer Science. IEEE Access. 2019. URL: https://ieeex-plore.ieee.org/document/8692362 (дата обращения 21.08.2020).
15. РуденкоЭ.М., СемикинаЕ. В., СерегинЕ. И. Моделирование охранного мониторинга беспилотных летательных аппаратов в программной среде // Научно-технический сборник. Серпухов, 2019. С. 109-117.
16. Смирнов ДА., Молчанов А.С., Бондарев В.Г., Майгурова Н.И. Методика увеличения дальности получения устойчивого изображения лазерных наземных маяков на фотоматрице бортовой камеры беспилотного летательного аппарата // I-methods. 2020. Т. 12. № 2. С. 1-13.
17. Yu X., Liao X., Li W., Liu X., Tao Z. Logistics automation control based on machine learning algorithm // Cluster Computing. 2019. Vol. 22. Pp. 14003-14011. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s10586-018-2169-0 (дата обращения 21.08.2020)
18. Franke J. Rational functions and modular forms // Proceedings of the American Mathematical Society. June 30, 2020. Vol. 148. DOI: https://doi. org/10.1090/proc/15034. URL: https://www.ams.org/journals/proc/2020-148-10/S0002-9939-2020-15034-4/home.html (дата обращения 21.08.2020)
19. Trojovsky P. Algebraic numbers as product of powers of transcendental numbers // Symmetry. 2019. Vol. 11. No. 7. URL: https://www.mdpi. com/2073-8994/11/7/887 (дата обращения 23.08.2020).
20. CimattiA., GriggioA., IrfanA., RoveriM., SebastianiR. Incremental Linearization for Satisfiability and Verification Modulo Nonlinear Arithmetic and Transcendental Functions // ACM Transactions on Computational Logic. 2018. No. 19. DOI: https://doi.org/10.1145/3230639
21. Cimatti A., Griggio A., Irfan A., Roveri M., Sebastiani R. Satisfiability Modulo Transcendental Functions via Incremental Linearization // International Conference on Automated Deduction. 2017. Pp. 95-113. URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-63046-5_7 (date of access 30.06.2020).
22. Wali S. L., Shah W. M. Some applications of Dubinin's lemma to rational functions with prescribed poles // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2017. Vol. 450. No. 1. Pp. 769-779. DOI: https://doi.org/10.1016/j. jmaa.2017.01.069
23. Волков Д. А. Многокритериальная модель оптимизации вертикального профиля полета среднемагистрального авиалайнера // Сборник трудов 27-й Санкт-Петербургской Международной конференции по интегрированным навигационным системам (ICINS). (Санкт-Петербург, 25 мая-05 июня 2020 г.). СПб., 2020. С. 84-87. DOI: 10.23919/ICINS43215
24. Khan G. R., Novara C., Haseeb K., Ishtiaq A. A novel algorithm for integrated control model using swarm robots for intruder detection and rescue schedules // Telecommunication Systems. 2019. Vol. 72. Pp. 273-284. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11235-019-00569-5 (date of access 30.06.2020).
25. Nguyen T., Bui T., Vo B. Multi-Swarm Single-Objective Particle Swarm Optimization to Extract Multiple-Choice Tests // Vietnam Journal of Computer Science. 2019. Vol. 06. No. 02. Pp. 147-161. DOI: https://doi. org/10.1142/S219688881950009X
26. Касимов А.М., Мамедли Э.М., Чернявский Л. Т., Короткое А.В., Пустовалов Е.В., Харитонов П. А. Схемно-технические решения построения аппаратуры резервного канала комплекса командных приборов системы управления летательным аппаратом // Датчики и системы. 2005. № 12. С. 2-7.
UNMANNED AIRCRAFT ROUTING, GRAPH TRANSCENDENT TARGET FUNCTIONS AND GENETIC ALGORITHM
EDUARD M. RUDENKO
Serpukhov, Russia, eduard5529@yandex.ru
ELENA V. SEMIKINA
Serpukhov, Russia, lablnfo_serp@lnbox.ru
KEYWORDS: routing; graphs; algebraic objective functions; number-theoretic objective functions; transcendental target functions; genetic algorithm.
ABSTRACT
The problem of finding routes for unmanned aerial vehicles on various graphs of reference points on the ground using a genetic algorithm is considered. A comparison of methods for constructing graph functions based on the algebraic number-theoretic approach, as well as using transcendental functions, is carried out. Consideration of examples of objective functions constructed by algebraic methods taking into account the multiplicity of the numbers of vertices in a closed route shows that this approach leads to false routes for graphs of large dimension. This drawback can be eliminated by taking into account the individual information about each edge of the graph. This is ensured by encoding the edges of the graph by terms or by some numerical value in the form of its unambiguous expansion. The construction of the objective function is based in this case on the number-theoretic properties of the s-ary expansion or on the decomposition of an integer into prime factors. Number-theoretic objective functions uniquely take into account the individuality of each edge. Such coding of edges defines a theorem for constructing objective functions on graphs, based on the unambiguous expansion of a numerical value in a sum or product. Further studies show that not only numeric values can be used as numeric codes, but also functions that more fully reflect information about the features of routing functions on graphs and have the properties of an unambiguous expansion. The combination of the properties of the device and function leads to its transcendence and the possibility of using it in the construction of target functions. The constructed transcendental objective functions are tested on examples of various graphs. The relationship of the applied problem of routing unmanned aerial vehicles on the ground with mathematical optimization on graphs of means of number theory and a genetic algorithm is shown. Calculations of routes for transcendental objective functions can be applied in automated control systems.
REFERENCES
1. Podlip'yan P. E., Maksimov N. A. Mnogofaznyj algoritm resheniya zadachi planirovaniya poleta gruppy bespilotnyh letatel'nyh appara-tov [Multi-phase algorithm for solving the problem of planning the UAV flight]. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2011. No. 43. Pp. 1-16. URL: http: //trudymai.ru/ published. php?ID=24769 (date of access 03.06.2020). (In Rus)
2. Michail O., Spirakis P.G. Traveling salesman problems in temporal graphs. Theoretical Computer Science. 2016. Vol. 634. Pp. 1-23. DOI: https://doi.org/10.1016Zj.tcs.2016.04.006
3. Sabino S., Horta N., Grilo A. Centralized unmanned aerial vehicle mesh network placement scheme: A multi-objective evolutionary algorithm approach. Sensors. 2018. Vol. 18. No. 12. https:// doi.org/10.3390/s18124387 URL: https://www.mdpi.com/1424-8220/18/12/4387/htm (date of access 03.06.2020).
4. Allilueva N.V., Rudenko E.M. Matematicheskij metod rascheta celev-oj funkcii na grafah i reshenie zadachi marshrutizacii [Mathematical method of calculation of objective function on graphs and solution of routing task]. Trudy MAI [Proceedings Moscow Aviation Institute]. 2017. No. 96. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=85773 (date of access 30.06.2020). (In Rus)
5. Allilueva N.V., Rudenko E.M. The routing problem of unmanned aerial vehicles in a graph of reference points, the objective function of the graph and genetic algorithm. I-methods. 2018. Vol.10. No. 1. Pp. 5-18. (In Rus)
6. Rudenko Je.M., Allilueva N.V., Semikina E.V. Unmanned aerial vehicle routing, algebraic graph objective functions and genetic algorithm. Materialy nauchno-tekhnicheskogo sbornika [Materials of the scientific and technical collection]. Serpuhov. Filial VA RVSN im. Petra Velikogo [SRTMA]. 2020. Pp. 196-200. (In Rus)
7. Jackson W.C., Norgard J.D. A hybrid genetic algorithm with Boltz-
mann convergence properties. Journal of Optimization Theory and Applications. 2008. Vol. 136. No. 3. Pp. 431-443.
8. Razali N. M., Geraghty J. Genetic Algorithm Performance with Different Selection Strategies in Solving TSP. Proceedings of the World Congress on Engineering, London, U.K. Jule 6-8. 2011. Vol. 2. Pp. 1-6.
9. Oladele R. O., NIGERIA J. S. Genetic Algorithm Performance with Different Selection Methods in Solving Multi-Objective Network Design Problem. International Journal of Computer Applications. 2013. Vol. 70. No.12. 2013. Pp. 5-9.
10. Karakaya M., Sevinf E. An Efficient Genetic Algorithm for Routing Multiple UAVs under Flight Range and Service Time Window Constraints. International Journal of Informatics Technologies. 2017. Vol. 10 Issue 1. Pp. 113-121. DOI: 10.17671/btd.15848 https://dergipark. org.tr/en/download/article-file/273145
11. Such F.P., Madhavan V., Conti E., Lehman J., Stanley K. O., Clune J. Deep Neuroevolution: Genetic Algorithms Are a Competi-tive Alternative for Training Deep Neural Networks for Reinforcement Learning. arXiv.org. 20 Apr 2018. URL: https://arxiv.org/pdf/1712.06567v3.pdf. (date of access 24.07.2020).
12. Xin J., Zhong J., Yang F., Cui Y., Sheng J. An Improved Genetic Algorithm for Path-Planning of Unmanned Surface Vehicle. Sensors. 2019. Vol. 19. No. 11. DOI: https://doi.org/10.3390/s19112640
13. Kitjacharoenchai P., Ventresca M., Moshref-javadi M., Lee S., Tan-choco J. M. A., Brunese P. A., Engineering I., Lafayette W., States U. Multiple traveling salesman problem with drones: Mathematical model and heuristic approach. Computers & Industrial Engineering. 2019. Vol. 129. Pp. 14-30. DOI: https://doi.org/10.10Wj.cie.2019.01.020
14. Peng K., Du J., Lu F., Sun Q., Dong Y., Zhou P., Hu M. A hybrid genetic algorithm on routing and scheduling for vehicle-assisted multi-drone parcel delivery. Computer Science. IEEE Access. 2019. URL: https://iee-explore.ieee.org/document/8692362. (date of access 21.08.2020).
15. Rudenko E.M., Semikina E.V., Seregin E.I. Modeling security monitoring of unmanned aerial vehicles in a software environment. Nauch-no-tehnicheskij sbornik 2018. Filial VA RVSN im. Petra Velikogo v g. Serpuhove [Scientific and technical collection 2018. Branch of the SRTMA in Serpukhov]. 2019. Pp. 109 -17. (In Rus)
16. Smirnov D.A., Molchanov A.S., Bondarev V.G., Maygurova N.I. Method for increasing the range of obtaining a sustainable image of laser territorial beacons on the photomatry of the on-board camera of the unmanned aircraft. I-methods. 2020. Vol. 12. No. 2. Pp.1-13.
17. Yu X., Liao X., Li W., Liu X., Tao Z. Logistics automation control based on machine learning algorithm. Cluster Computing. 2019. Vol. 22. Pp. 14003-14011. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/ s10586-018-2169-0 (date of access 30.06.2020).
18. Franke J. Rational functions and modular forms. Proceedings of the American Mathematical Society. June 30, 2020. Vol. 148. DOI:
https://doi.org/10.1090/proc/15034. URL: https://www.ams.org/ journals/proc/2020-148-10/S0002-9939-2020-15034-4/home.html. (date of access 21.08.2020).
19. Trojovsky P. Algebraic numbers as product of powers of transcendental numbers. Symmetry. 2019. Vol. 11. No. 7. https://doi. org/10.3390/sym11070887 URL: https://www.mdpi.com/2073-8994/11/7/887 (date of access 23.08.2020).
20. Cimatti A., Griggio A., Irfan A., Roveri M., Sebastiani R. Incremental Linearization for Satisfiability and Verification Modulo Nonlinear Arithmetic and Transcendental Functions. ACM Transactions on Computational Logic. 2018. No. 19. DOI: https://doi.org/10.1145/3230639
21. Cimatti A., Griggio A., Irfan A., Roveri M., Sebastiani R. Satisfiability Modulo Transcendental Functions via Incremental Linearization. International Conference on Automated Deduction. 2017. Pp. 95-113. URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-63046-5_7 (date of access 30.06.2020).
22. Wali S.L., Shah W.M. Some applications of Dubinin's lemma to rational functions with prescribed poles. Journal of Mathematical Analysis and Applications. June 2017. Vol. 450. Issue 1. Pp. 769-779. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.01.069
23. Volkov D.A. Multicriteria model for optimizing the vertical flight profile of a medium-range airliner. 27th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems (ICINS). St. Petersburg 25-27 May 2020. Pp. 84-87. DOI: 10.23919/ICINS43215. 2020.9133803 (In Rus)
24. Khan G. R., Novara C., Haseeb K., Ishtiaq A. A novel algorithm for integrated control model using swarm robots for intruder detection and rescue schedules. Telecommunication Systems. 2019. Vol. 72. Pp. 273-284. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11235-019-00569-5 (date of access 30.06.2020).
25. Nguyen T., Bui T., Vo B. Multi-Swarm Single-Objective Particle Swarm Optimization to Extract Multiple-Choice Tests. Vietnam Journal of Computer Science. 2019. Vol. 06. No. 02. Pp. 147-161. DOI: https:// doi.org/10.1142/S219688881950009X
26. Kasimov A.M., Mamedli, Chernjavskij L.T., Korotkoe A.V., Pustov-alov E.V., Haritonov P.A. Schematic and technical solutions for building the equipment of the reserve channel of the command devices complex of the aircraft control system. Datchiki i sistemy [Sensor and systems]. 2005. No.12. Pp. 2-7. (In Rus)
INFORMATION ABOUT AUTHORS:
Rudenko E. M., PhD., associate professor at the Department of Mathematics of Peter the Great Strategic Missile Academy (Serpukhov Branch).
Semikina E.V., lecturer at the Department of Mathematics of Peter the Great Strategic Missile Academy (Serpukhov Branch).
For citation: Rudenko E. M., Semikina E.V. Unmanned aircraft routing, graph transcendent target functions and genetic algorithm. H&ES Research. 2021. Vol. 13. No. 1. Pp. 6-17. doi: 10.36724/2409-5419-2021-13-1-6-17 (In Rus)
