CC BY
32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Финаев В.К Модели систем принятия решений. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.
2. Руткоеская Д., Пилиньский М., Рутковскии Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. 2006.
Коберси Искандар Сулейман
Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371689.
Шадрина Валентина Вячеславовна
Тел.: 89518382131.
Kobersi Iskandar Souleiman
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 88634371689.
Shadrina Valentina Viachaslavovna
Phone: 89518382131.
УДК 65.012
A.P. Гайдук, Д.С. Дрокин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ
В условиях априорной неопределенности модели системы получены расчетные соотношения для определения марковских параметров динамических систем.
Марковские параметры; система; идентификация.
A.R. Gajduk, D.S. Drokin DEFINITION OF MARKOVSKY PARAMETERS OF POWER OBJECTS
In the conditions of aprioristic uncertainty of model of system settlement parities for definition markov parametres of dynamic systems are received.
Markov paramete; system; identification.
.
объектов по экспериментальным данным является актуальной для построения эффективных управлений в условиях априорной неопределенности их математической модели [1]. С усложнением энергетических объектов и увеличением требований к качеству систем управления ими, априорное определение адекватных математических моделей объектов становится все более проблематичным. Поэтому в настоящее время в системах управления стремятся использовать адаптивное .
является для тех случаев, когда неизвестен или может изменяться в процессе функционирования порядок системы.
Оценить порядок и параметры математической модели управляемой и наблюдаемой части энергетического объекта можно, в частности, на основе оценок его марковских параметров. С другой стороны, оценки марковских параметров объекта можно получить, если иметь оценки достаточного числа производных по времени его измеряемых переменных.
В данной работе рассматривается алгоритм получения оценок марковских параметров полного энергетического объекта на основе оценок производных по времени его наблюдаемой переменной.
. -
, -
ним выходом [2]. Пусть уравнения управляемого энергетического объекта с ку-
-
T
x = Ax + bu, y = c x + ßu + Ç, (1)
где x e Rn - вектор состояния, u e R1 - кусочно-постоянное управление,
y0 = cTx + ßu - наблюдаемая переменная; y0 e R1 - результат измерения послед, - -
ляции xk, которая описывает шум измерений; A, b, с - матрица и векторы соответствующих размерностей, ß - скаляр.
n (1) .
время функционирования системы они могут одновременно, скачком изменять , . этом порядок системы не превышает величины N, и она не теряет свойства полноты, при этом n < N .
(1), . .
ц0 = ß, ц, = cTAi-1b , i = 1, 2,3,... (2)
по результатам измерения переменной y = y(t), при кусочно-постоянном управлении uk = u(kT), k = 0,1, 2,..., где Т- период квантования по времени.
Решение. Введем об означения: y0(t) = y0[k | T], x(t) = x[k | T], x[k 10] = lim x(t) при t ^ kT сверху и x[k | T] = lim x(t) при t ^ (k + 1)T шизу. Подчеркнем, что вектор x(t) в (1) является непрерывным, т.е.
x[k | 0] = x[k -1| T]. (3)
Дифференцируя по т функцию y0[k | т] = cTx[k + ßuk с учетом уравнений
(1),
y,[k Т] = cTA'x[k | т] ^iuk , (4)
где y, = dyc/dx', ц0 = ß, щ = cTA'~1b, i > 0.
Выходная величина системы n-то порядка имеет лишь n -1 независимых про. (1) (4)
yt [k | т] = yi+1[k | т], ' = 0, n - 2,
n-1
Sn-1[k Н] = -Хa,y,[k ^] + ß0uk , y[k ^] = y0[k ^] + e[k |t], (5)
i=0
где а,- - коэффициенты полинома, а(р) = det(pE - А) = апрп + ап-1 рп 1 + а1 р + а0, а коэффициент р0 = а0ц0 + апцп , ап = 1.
Однако модель (5) нецелесообразно использовать для описания объекта (1), так как её переменные состояния могут испытывать скачки при г = кТ . Действительно, из (5) с учетом (4) имеем
АУ,[к] = У1[к I 0] - У1[к -11 Т] = ^ Аик, (6)
где Ау, [к] - скачок ,-й производной при г = кТ , если Ф 0 и Аик = ик - ик-1 Ф 0.
Этот факт, естественно, ограничивает возможность применения модели (5) для решения некоторых задач управления. С другой стороны, в условиях неопределенности связь переменных модели с производными по времени измеряемой величины объекта очень желательна, так как оценки производных по времени можно опреде-, .
Поэтому далее используются переменные = СТАг-1х, г = 1,2,..., число кото-
п. (4)
^[к 1 т] = Уг-1[к 1 т] - Ц,-1ик. (7)
При численном определении значений марковских параметров требуется проверять правильность полученных значений. Для этой цели целесообразно использовать инвариантные соотношения, которым удовлетворяют эти параметры в об.
системы (1), которая, как известно, определяется выражением [3]
Куи(р) = СТ(рЕ-А)-1 в^0 = е^:А* + И0, (8)
где
А(р) = det(рЕ - А) = апрп + ап-1 рп-1 +... + а1р1 + а0, (9)
adj(рЕ - А) = Ерп-1 + (А + ап-1Е)рп~2 +... + (Ап-1 + ап-1 Ап-2 +... + с^Е). (10) Согласно (8) передаточная функция Шуи (р) может быть записана в виде
ЖУ» (р) = ^ , (11)
А( р)
где В(р) = стаф(рЕ - А)Ь + Р0А(р) = грг .
і =0
Подставим соотношения (9), (10) в (8), и после приведения к общему знаменателю получим передаточную функцию Жуи (р) в виде (11), т.е.
ж ( р) = РпрП + Рп-1рП 1 + ••• + Р 1р1 + Р0 = В(р) уи(р) рп + ап-1РП-1 + ••• + 0ЦР1 + <*о А(р)
где
г
Рп = апР ; Рп-, = Рап-1 + Хап-,+/Л-1 -1* , , = 1,2... (12)
1 =1
Принимая во внимание тождество ап = 1, а также об означения ц,- = еТА,'1Ь, соотношения (12) можно записать следующим образом:
п-1
Рг = ^а 1 ^ 1 -г , г = п, п -1, ..., 2, 1, 0. (13)
1=г
, (13)
п-1
- ап+/ = ^ а # 1+/ , / = 1,2... (14)
1=0
Соотношения (13), (14) приводят к выводу, что цг, как и а,, р,, являются структурными системными инвариантами. В частности, марковские параметры ц,
- ик -
мени наблюдаемой переменной системы.
Например, если для некоторой системы (1) известно, что п = 3, ц0 = ц 1 = ц2 = 0, а ц3 Ф 0, то можно утверждать, что данная система эквивалентна трем последовательно включенным интеграторам. При кусочно-постоянном управлении и = ик переменная у0 (г) и ее производные у1 (г) = у(г) и у2 (г) = у(г), согласно (4), будут непрерывными функциями, а производная у3(г) = у (г) будет иметь скачки при г = кТ , если и Ф ик-1.
,
большого числа ее производных по времени на начало и конец периода Т, то можно найти марковские параметры соответствующей системы.
Пусть в интервале времени [0, ЬТ], где Ь>>Ы, свойства системы не меняются, и существуют такие к е [0, Ь], что ик Ф ик-1. Тогда из (4) следуют соотношения
д = уг [к |0] - уг [к - 11
1 ик - ик-1
где уг [к 10], уг [к | Т] - оценки значений переменных, г = 0, N , ик - ик-1 Ф 0 .
Число марковских параметров ц, , оценки которых могут быть найдены по (15), совершенно не зависит от порядка системы, и при всех значениях п может быть сколько угодно большим.
Покажем справедливость соотношений (4) и (15) на примере. Пусть задана система х = 0,2х2 + 0,1x3 + и, х2 = 0,1х2 + х3 + 2и , х3 = -х3 + и , у = 2х1 - х2 + х3 при
х0 = [1 -2 1]. По формуле (2) имеем: ц1 = етЬ = 1, ц2 = сТАЬ = -1,2,
ц3 = сТ А2Ь = 2,16.
, у
ее производных по времени, формируемые некоторым наблюдателем. Графики
. 1, Т = 0,5;
наблюдаемых тактов ^ = 6, значения управления и1 = 3 , и2 = 4, и3 = 3 , и4 = 2, и5 = 0 , и6 = 12 .
Т ]
г = 0, N,
(15)
Рис. 1. Графики оценок измеряемой переменной и ее производных
Подставляя численные значения у, [к 10] и у, [к | Т], полученные из графиков на рис. 1, в соотношение (15), получим:
, = у1[к |0] - у1[к -1|0,5] = у2[к |0] - у2[к -11 0,5]
"1 , Р2 = ,
Ш - Ш- Иг. -
*к ик-1
у3[к | 0] - Уз [к -11 0,5] ик - ик-1
1к ик-1
Аз =
По этим формулам при различных значениях к получаются разные значения оценок параметров ц,, приведенные в таблице. Однако средние значения оценок, приведенные в 8-м столбце, достаточно хорошо соответствуют действительным
, 9- .
А і к Средние значения Действи- тельные значения
1 2 3 4 5 6
А1 0,998 0,997 0,998 0,998 0,997 0,995 0,9971 1
А2 -1,198 -1,192 -1,195 -1,193 -1,191 -1,189 -1,193 -1,2
Аз 2,159 2,157 2,158 2,156 2,159 2,155 2,1573 2,16
. ,
для определения марковских параметров в условиях априорной неопределенности . , -точно хорошо совпадают с действительными значениями марковских параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ШильякД. Неопределенные системы. - М.: Мир, 1995.
2. Гайдук А.Р. Алгоритмическое обеспечение самоорганизующихся регуляторов с экстраполяцией // Изв. АН. Т и СУ. - 2002. - № 3. - С. 56-63.
3. Гайдук А.Р. Алгебраические методы анализа и синтеза систем автоматического управления. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1988. - 208 с.
Гайдук Анатолий Романович
Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634371689.
Дрокии Денис Сергеевич
E-mail: [email protected].
Gaiduk Anatoliy Romanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 88634371689.
Drokin Denis Sergeevich
E-mail: [email protected].
УДК 681.5.
T.A. Пьявченко О ВЛИЯНИИ ТРАНСФОРМИРОВАННОЙ ПОГРЕШНОСТИ НА ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Дается оценка трансформированной погрешности с анализом её влияния на точность вычисления кода управления.
Трансформированная погрешность; параметры закона управления; точность вычислений; допустимая погрешность.
T.A. Pyavchenko
ABOUT INFLUENCE OF THE TRANSFORMED ERROR ON ACCURACY
OF CALCULATIONS
The estimation of the transformed error with the analysis of its influence on accuracy of calculation of a code of control is given.
Transformed error; Parameters of the law of control; Accuracy of calculations; Allowable
error.
Известно [1], что вычисления в микроконтроллере сопровождаются тремя видами погрешностей: трансформированной, метода и округления, или инструментальной. Погрешности метода и округления благодаря применению современных способов вычислений и прогрессивных средств вычислительной техники могут быть сведены к пренебрежимо малым величинам. Этого нельзя сказать о
, , ,
