Инварианты многомерных управляемых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тебуева Фариза Биляловна - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Кавказский федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 355004, г. Ставрополь, ул. Мира, 145, кв. 40; тел.: 89283080307; кафедра организации и технологии защиты информации; к.ф.-м.н.; доцент.

Перепелица Виталий Афанасьевич - e-mail: [email protected]; 369000, г. Черкесск, ул. Октябрьская, д. 309, кв. 18; кафедра компьютерной безопасности; д.ф.-м.н.; профессор-консультант.

Кабиняков Михаил Юрьевич - e-mail: [email protected]; 352909, г. Армавир, ул. Розы Люксембург, 183, кв. 8; тел.: 89282482374; кафедра организации и технологии защиты информации; соискатель.

Tebueva Fariza Bilyalovna - Federal public independent educational institution of higher education «North-Caucasian Federal University»; e-mail: [email protected]; 145, Mira street., q. 40, Stavropol, 355004, Russia; phone: 89283080307; the department of the organization and technology of protection of information; cand. of phis.-math. sc.; associate professor.

Perepelitsa Vitaly Afanasievich - e-mail: [email protected]; Russia; the department of the of computer safety; dr. of phis.-math. sc.; professor.

Kabinyakov Mihail Yurievich - e-mail: [email protected]; 183, Rosa Luxemburg street, q. 8, Armavir, 352909, Russia; phone: 89282482374; the department of the organization and technology of protection of information; graduate student.

УДК 681.51

А.Р. Гайдук, Е.А. Плаксиенко ИНВАРИАНТЫ МНОГОМЕРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ*

Получены уравнения виртуальных моделей полных многомерных управляемых систем, содержащие их марковские параметры. В эти уравнения марковские параметры могут входить как в скалярной, так и в матричной форме. Эти уравнения и при скалярной, и при матричной форме марковских параметров аналогичны обычным уравнениям многомерных систем в переменных состояния. Показано, что марковские параметры являются структурными инвариантами многомерных управляемых систем, определяют их структуру, порядок и степень влияния кусочно-постоянных управлений на выходные переменные управляемой системы и их производные по времени.

Многомерная система; виртуальная модель; управление; марковский параметр; инвариант; структура.

A.R. Gaiduk, E.A. Plaksienko

INVARIANTS OF MULTIVARIABLE CONTROLLED SYSTEMS

The virtual models equations of the full multivariable controlled systems, including them markov parameters are received. The markov parameters can enter into these equations both in scalar, and in the matrix form. These equations both at scalar and at the matrix form of markov parameters are similar to the usual equations of multivariable systems in the state variables. It is shown, that markov parameters are structural invariants of an multivariable controlled systems, determine their structure, the order and a degree of influence controls as a series of steps on output variables of controlled system and their derivatives on time.

Multivariable system; virtual model; control; markov parameter; invariant; structure.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 11-08-01196-а; 12-08-90050-Бел_а). 120

Введение. В настоящее время преобладает тенденция разработки адаптивных систем управления, при которых требуется минимальная априорная информация об управляемой системе [1]. Наиболее эффективными при управлении сложными, многомерными объектами, как, например, коллективами роботов, представляются системы, управляющая часть которых построена на основе принципов самоорганизации [2, 3, 4]. Одной из основных особенностей систем с самоорганизацией является наличие мощного вычислительного комплекса [5]. Этот факт обусловлен тем, что в процессе функционирования в такой системе обрабатывается очень большой объем информации, по идентификации управляемой системы и формированию собственно управляющих воздействий.

Большинство известных алгоритмов адаптивного управления строятся исходя из предположения, что порядок управляемой системы известен и не меняется [1]. На практике часто меняются не только параметры, но и порядок, что должно учитываться в алгоритмах управления [2, 3]. В этом случае важную роль играют различные инварианты динамических систем, которые позволяют оценивать адекватность моделей управляемых систем, получаемых в процессе оперативной идентификации.

В данной работе рассматриваются марковские параметры многомерных управляемых систем и показано, что они непосредственно связаны с порядком и параметрами системы. Марковские параметры, как инварианты некоторых полиномов, использовались известными русскими учеными П.Л. Чебышевым и А. А. Марковым в связи с исследованием разложений рациональных дробей в ряды по отрицательным степеням аргумента [6]. Марковские параметры одномерных управляемых систем рассматривались в работах [7, 8].

Марковские параметры. Пусть неопределенная, линейная, непрерывная управляемая многомерная система описывается уравнениями:

х = Ах + Бы , у = Сх + Бы , (1)

где х6 Яп - вектор состояния размерности п ; ы е Я - вектор управлений;

у е Я - вектор выходных переменных системы; А, Б, С, Б - числовые матрицы

соответствующих размерностей.

В соответствии с определением [6, 7] марковские параметры системы (1) определяются выражениями:

ц0 = а,, ц” = СА~1Б}, и = 1,2,3,.... (2)

Здесь а, - элементы матрицы Б; С{ и Б1 - строки и столбцы матриц С и Б

соответственно. Их этих выражений следует, что число марковских параметров не ограничено при любом порядке системы. Имея в виду многомерные системы (1), введем матрицы марковских параметров Ми = [Ц ] 6 Я1х‘1 по формулам, аналогичным (2), т.е.

М0 = Б, М* = СА1Б , и = 1,2,3,.... (3)

Поставим задачу определения связи марковских параметров многомерной системы (1) с ее параметрами, порядком и структурой.

Решение задачи. С этой целью рассмотрим реакцию системы (1) на векторные кусочно-постоянные управляющие воздействия ык = ы(кТ), где Т - период квантования по времени вектора управлений ы (}), а к = 0,1, 2,_____При этом по-

ложим, что непрерывная система (1) является полной [9] и введем обозначения:

векторы y(t) = y(k |т), x(t)= x(k | т) при t = kT + х, те(0, T), x(k |0) = limx(t)

при t ^ kT справа и x(k | T) = limx(t) при t ^ (к + 1)T слева.

Переменные состояния динамических систем всегда являются непрерывными величинами [1, 9], поэтому справедливо равенство:

x(k |0) = x(k -1| T ), к = 0,1,2,.... (4)

Выходные переменные yi (t) системы (1) и их производные по времени

dрyi (t)/dtp, р = 1, 2,..., iе [1, l] при кусочно-постоянном управлении могут иметь разрывы, если, например, uJk Ф uJk-1.

Действительно, дифференцируя вектор-функцию y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) по t при t Ф kT , получим: y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) = CAx(t) + CBu(t ), так как u(t ) = 0, при t Ф kT . Вводя обозначения: y (t ) = y(0) (k | т) ; y (t ) = y(1) (k | т), а также y(р-1)(t) = y(р)(k | т), где те (0, T), р = 1, 2,..., найдем, что l-вектор производных р -го порядка от управляемых переменных определяется выражением

y(р) (k | т) = CAPx(k | т) + CAр-1Bu(k | т) или с учетом обозначения (2)

y(р) (k | т) = CAрx(k | т) + M'U, р = 0,1, 2,..., k = 0,1,2,.... (5)

Примем в качестве переменных состояния моделей неопределенных систем типа (1) непрерывные переменные zp = Ci Ар 1 x, i = 1, l, р = 1, 2,..., число которых также не ограничено при любом n [7]. Составленные из них векторы будем обозначать zр = CA13-1 x . Тогда, согласно (5) l-векторы z13 можно также определить следующим равенством:

z13 (k | т) = y (f,-1)(k | т) - M р-1uk. (6)

Дифференцируя обе части равенства (6) по времени при 0 <т < T и учитывая, что при этом Uh = 0, получим

zf [k | т] = y(f,-1)[k | т] = y(f0[k | т], те (0,T).

Отсюда снова с учетом (4) и определения l-векторов z13 выводим:

z"(k | т) = CAPx(k | т) + Mрuk = z^(k | т) + MX р = 1, 2,.... (7)

Если zр (k | т) - это векторные переменные состояния системы V -го порядка, то в соответствии с теоремой Кели-Гамильтона [6, 10], лишь V векторных пе-

ременных zр (k | т) являются независимыми. Поэтому уравнения (7) можно представить следующим образом:

y = z\k | т) + M °uk, (8)

^р(k | т) = z^k | т) + Mрuk, р = 1,V — 1,

zv (k | т) = -|] avz+1(k | т) + M Vuk, (9)

i=0

где av i - коэффициенты характеристического полинома этой системы. Важным моментом в этой системе является то, что при всех порядках v= 1,2,3,... уравнение выхода (8) является единственным, поэтому оно записано первым.

Система (8), (9) в векторно-матричной форме и векторных переменных состояния гр = САР 1 х имеет следующий вид:

у = [ Е 0 0 ... О ]г,(к | т) + М\, (10)

где (у XI)-вектор г,(к|т) = [г1Т(к|т) г2Т(к|т) ... гУГ(к|т)]г является реше-

нием системы уравнений

(11)

Здесь О - нулевая (IXI )-матрица, к = 0,1, 2,..., у = 1, 2,3,____

По форме система (10), (11) совпадает с обычными уравнениями динамических систем в переменных состояния типа (1), однако эти уравнения одновременно описывают I систем с д управлениями и одной выходной переменной у1 = уг (г), которая определяется следующим выражением:

Уг = Уг (к|т) = [1 0 ... 0]г{(к|т) + М^ , г = 1,1, (12)

" О Е О О " " М1 "

О О Е О М2

N /Р > ¿V(к|т)+

О О О .. Е М4,-1

1 й V о Е -^1Е -« 2 Е ■■ ■ -«V,V-1E_ М v

где М0

-я строка матрицы

М0

марковских параметров ц,

гу(к|т) = [г1(к|т) г2(к|т)... ггу(к|т)]Г - обычный вектор состояния, который является решением следующей системы уравнений в форме Коши:

і = 1,1. (13)

0 1 1 0 .. 1 0 " М] "

0 0 1 .. 0 м2

¿V/(к т) = 0 0 0 . 1 ¿V/ (к Т) + м;-1

1 1 р V о -^1 -«V 2 •• • _ му

Здесь Міи - і-я строка матрицы М марковских параметров ці, и = 1, V.

Иногда многомерная система, например при идентификации, подвергается воздействию одного скалярного управления. В этом случае только одна ,-я компонента вектора ык не равна нулю, т.е. ык = [0 ... ы,к ... 0]г , а компоненты выходного вектора у (к| т) представляют собой реакции всех I каналов системы на управляющее воздействие ы,к. При этих условиях система уравнений (10), (11) принимает вид

О ] ¿V (к | т) + М>,к, , є[1, д ], (14)

V (к\ Т) =

Е О О

О Е О

О О Е

О О О

'^0 Е -«-1Е -« 2

О

О

-^-1Е

Дк| т)-

, , є[1, д], (15)

а

Здесь M jj - j-й столбец матрицы Mj марковских параметров цj, j = 1, v .

Полученные уравнения (8)-(14) описывают некоторые как многомерные, так и одномерные системы различных порядков. Отличительной особенностью этих систем является то, что все они находятся под влиянием одних и тех же кусочнопостоянных управлений uk = u(k | т) = Const, ТЕ (0, T) и в них содержатся одни и те же марковские параметры. Например, при l = q = 1, т.е. при одной переменной y(t) и одном управлении u (t) и при v = 3, 4 они имеют вид: v = 3 y = z1 + ц0 uk, z1 = z2 +^uk,

где z = z +ц uk , (16)

z3 = -a30z1 - a31 z2 - a32z3 + |i3uk,

v= 4 y = z1 +\i°uk, z1 = z2 + M-‘uk, z2 = z3 + M*2uk,

где k (17)

*34,3

z = z + ц uk ,

z4 = -a40zl - a41 z2 - a42z3 - a43 z4 + Ц4uk Как видно, в обеих системах уравнений (16) и (17) фигурируют одни и те же марковские параметры.

Нетрудно видеть, что если v = n, то каждая из систем уравнений (8), (9); (10), (11); (12), (13); (14), (15) может быть эквивалентной системе (1). Из определения переменных zj = C;AV-x, i = 1, v следует, что векторы x и z связаны некоторым преобразованием подобия zv = zn = Nnx, где матрица Nn составляется из строк матрицы наблюдаемости системы (1) [9]. Если преобразование zn = Nnx является невырожденным, то модели в переменных состояния (8)-(16), v = n эквивалентны системе (1) [6].

Как видно из уравнений (8), (9) и (10), (11), марковские параметры цjj однозначно определяют внутреннюю структуру системы. Например, если известно, что некоторая система (1) с одним входом и одним выходом (l = q = 1) имеет порядок

n = 4 и значения марковских параметров: ц0 = ц1 = 0, а ц2 Ф 0, ц3 Ф 0, ц4 Ф 0,

то согласно (17) можно утверждать, что структурная схема этой системы имеет вид, приведенный на рис. 2.

На рис. 2 штриховыми линиями показаны связи, которые имела бы данная система, если бы ц0 Ф 0 и ц1 Ф 0. По рис. 2 легко заключить, что при кусочнопостоянном управлении u = uk переменная y(t) и ее производная по времени y ^(t) = y (t) являются непрерывными функциями, а производные y (2)(t) = y (t),

y 3 (t) = y (t) и yC4)(t) = y (t) имеют разрывы при t = kT, если uk Ф uk-x. Другими словами, марковские параметры вполне определяют влияние кусочнопостоянного управления uk на производные выходной переменной системы.

Рис. 2. Структура системы при Ц° = Ц1 = 0, а Ц2 Ф 0, Ц3 Ф О, Ц4 Ф О

Марковские параметры - инварианты управляемых систем. Поскольку марковские параметры однозначно связаны с внутренней структурой систем, то они являются структурными инвариантами относительно невырожденных преобразований переменных. Покажем, что это так. С этой целью подвергнем вектор состояния системы (1) невырожденному преобразованию, т.е. положим х = Рх, причем ёе!Р Ф 0 [6, 9]. В этом случае новые уравнения системы (1) имеют вид

х = Ах + В и, у = Сх + Ь и , (18)

где

А = Р~1АР, В = Р~1В, С = СР, Ь = Ь . (19)

Обозначим матрицы марковских параметров системы (18) как М р. Тогда из последнего равенства (18) и определения (2) следует, что М0 = М0, а Ми = САи_1В. Подставляя в это выражение равенства (19), будем иметь

М1 = СВ = СРР~1В = М \ М 2 = САВ = СР( Р_1 АР) Р~1В = САВ = М 2.

Аналогично

М и = САи_1 В = СР(Р_1 АР)... (Р_1 АР)Р~1В = САи_1В = М и . и = 3, 4,...

Отсюда и следует утверждение, что марковские параметры являются инвариантами динамических систем.

Отметим, что все системы (8)-(15), формально, описывают систему (1), и следовательно, являются её моделями. Так как система (1) имеет порядок п, а системы (8)-(15) имеют различные порядки, то они называются виртуальными моделями неопределенной системы (1) [7].

Заключение. В соответствии с приведенными выше соотношениями для каждой динамической системы можно найти не ограниченное число марковских параметров по каждому её каналу «вход-выход». Эти параметры являются структурными инвариантами системы, они определяют её структуру и степень влияния каждого входного кусочно-постоянного управления на каждую выходную переменную и её производные по времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М.: Высшая школа, 1976.

2. Красовский А.А. Развитие концепции, аналитическая теория, алгоритмическое обеспечение двухконтурного самоорганизующегося регулятора // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1999. - № 4. - С. 52-64.

3. 3. Гайдук А.Р., Капустян С.Г. Самоорганизующийся алгоритм действий интеллектуальных автономных роботов. Наука и образование на рубеже тысячелетий: Сборник НИР. Вып. 1. - М.: Учлитвуз, 2011. - C. 5-15.

4. Гайдук А.Р., Плаксиенко Е.А. Синтез автономных и связных многомерных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2012. - № 1. - С. 13-20.

5. Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления: Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. - М.: Наука, 1980.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.

7. Гайдук А.Р. Алгоритмическое обеспечение самоорганизующихся регуляторов с экстраполяцией // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2002. - № 3. - С. 56-63.

8. Гайдук А.Р., Медведев М.В. Построение самоорганизующихся систем управления в условиях неопределенности // Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов. - 2000. - С. 30-43.

9. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. - М.: Высшая школа, 2010.

10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1970.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Р.А. Нейдорф.

Гайдук Анатолий Романович - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634361789; кафедра систем автоматического управления; д.т.н.; профессор.

Плаксиенко Елена Анатольевна - Таганрогский институт управления и экономики; email: [email protected]; 347900, г. Таганрог, ул. Петровская, 45; тел: 88634362583; кафедра математики и информатики; к.т.н.; доцент.

Gaiduk Anatoly Romanovich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44; Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634361789; the department of automatic control systems; dr. of eng. sc.; professor.

Plaksienko Elena Anatolievna - Educational Establishment of Higher Vocational Education «Taganrog Management and Economy Institute»; e-mail: [email protected]; 45, Petrovskaya street, Taganrog, 347900, Russia; phone: +78634362583; the department of mathematic and informatics; cand. of eng. sc.; assistant professor.