CC BY
16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА СЕТИ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА
РАССТАНОВКИ ПОМЕТОК
Ю.Е. Гагарин, канд. техн. наук
У.В. Никитенко, старший преподаватель
Е.Д. Мосин, бакалавр
Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана (Россия, г. Калуга)
Б01:10.24412/2500-1000-2022-4-2-56-58
Аннотация. В статье рассмотрен один из методов решения задачи о максимальном потоке. Этот метод основан на расстановке пометок и для его реализации используется нескольких эффективных алгоритмов, одним из которых является алгоритм Форда-Фалкерсона. За счет экономии времени и ресурсов, практическое применение алгоритма обеспечивает эффективную работу программ, связанных с сетевыми структурами.
Ключевые слова: оптимизация, максимальный поток, сетевые структуры, расстановка пометок.
Задачу о максимальном потоке в сети можно сформулировать следующим образом: имеется некоторый произвольный неориентированный граф, например, городская дорожно-уличная сеть, по которой происходит движение транспорта от истока (начало движение транспорта) к стоку (конечная точка движения) [1]. Каждое ребро сети имеет свой вес. В случае с городской дорожно-уличной сетью это может быть ширина дороги или её пропускная способность, т.е. количество транспорта в единицу времени. Задача о максимальном потоке для данной сети состоит в нахождении максимального количества транспорта, перемещающегося от начальной вершины - источника, к конечной вершине графа - стоку. При этом, в подобных задачах необходимо определять интервальные величины потоков рассматриваемой сети [2]. Это дает возможность учесть неопределенность исходных данных, что повышает достоверность принимаемого решения [3, 4].
Эта задача может быть решена общим методом линейного программирования. Существует другой метод, который предложили Лестер Рэндольф Форд и Делберт Рей Фалкерсон и этот метод основан на расстановке пометок. Использование этого методы привело к появлению нескольких эффективных алгоритмов.
Рассмотрим реализацию алгоритма Форда-Фалкерсона для нахождения максимального потока. Работа алгоритма начинается с нулевого потока и затем, на каждой итерации, происходит увеличение потока в сети. На каждом шаге ищется цепь, которая увеличивает величину потока. При этом, поток увеличивается вдоль дуг этой цепи, пока она не станет насыщенной.
Такой увеличивающей цепью является цепь из источника в сток, все дуги которой допустимы. Для того, чтобы увеличить величину потока сети на некоторую величину 0 , необходимо увеличить на такую же
величину 0 поток на каждой согласованной дуге цепи и уменьшить на каждой несогласованной. Фордом и Фалкерсоном было доказано, что поток в сети, для которой нельзя построить увеличивающую цепь, является максимальным.
Для нахождения такой увеличивающей цепи используется метод расстановки пометок. Процесс расстановки меток начинается в источнике сети и заканчивается в ее стоке. Увеличивающаяся цепь из источника в сток существует, если сток будет являться помеченным. На вершины сети наносятся метки, содержащие необходимую информацию для восстановления цепи и определения величины, на которую можно изменить поток в сети. При этом
вершина может находиться в одном из следующих состояний: непомеченная, помеченная и просмотренная.
Метод расстановки пометок начинается с произвольного потока. Затем предпринимается попытка получить поток с большей величиной. Вычисления заканчиваются, когда получен максимальный поток. Алгоритм заключается в последовательном поиске всех возможных путей из узла N^ в узел N, увеличивающих поток.
Узлы получают специальные «пометки», указывающие направление, в котором может быть увеличен некоторый дуговой поток. После того как найден некоторый путь, увеличивающий поток, определяют величину максимальной пропускной способности этого пути; далее поток увеличивают на эту величину, а все пометки на узлах стирают. Затем начинается расстановка новых пометок узлов исходя из только что полученного потока.
Алгоритм состоит из двух этапов. Этап 1 - узлы получают пометки, причем каждый узел находится в одном из трех состояний: помечен и просмотрен, помечен и не просмотрен или не помечен. Вначале все узлы не помечены. Пометка произвольного узла Nj всегда состоит из двух частей.
Первая часть - индекс j узла N, который указывает, что можно «послать» поток из N в N . Вторая часть пометки -
I s в Nj , не нарушая ограни-
чину потока, который можно «послать» из источника N^
чений на пропускные способности дуг.
Узлам задаются пометки, которые являются соседними для помеченных и не просмотренных узлов, до тех пор, пока либо узел N окажется помеченным, либо нельзя будет больше пометить ни один узел и сток N окажется непомеченным.
Если N не может быть помечен, то не существует пути из Ns в N, увеличивающего поток, и, следовательно, построенный поток максимален. Если же N помечен, то на этапе 2 можно найти путь, увеличивающий поток.
По окончании этого этапа образуется множество помеченных узлов и множество дуг.
Этап 2 - изменении потока. Этапы 1 и 2 повторяются до тех пор, пока увеличение потока становится невозможным.
Рассмотренный алгоритм применяется для моделирования потоков в различных сферах, например, дорожные сети, компьютерные сети, коммунальные сети и т.п. Практическое применение алгоритма для моделирования транспортных сетей [5], в отличие от методов линейного программирования, обеспечивает эффективную работу программ, связанных с сетевыми структурами, за счет экономии времени и ресурсов.
число, указывающее максимальную вели-
Библиографический список
1. Гагарин Ю.Е. Интервальное оценивание условных вероятностей в байесовских сетях доверия / Ю.Е. Гагарин, У.В. Никитенко, М.А. Степович // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции. - Воронеж: Научно-исследовательские публикации, 2021. - С. 802-804.
2. Гагарин Ю.Е. Прогнозирование показателей деятельности предприятий с учетом неопределенности исходных данных / Ю.Е. Гагарин, С.Н. Гагарина // Вестник университета. - 2019. - №1. - С. 94-99. - DOI 10.26425/1816-4277-2019-1-94-99.
3. Гагарин Ю.Е. Интервальное оценивание объемов потребления ресурсов при стохастических исходных данных / Ю.Е. Гагарин, С.Н. Гагарина // Вестник университета. -2018. - №12. - С. 64-70. - DOI 10.26425/1816-4277-2018-12-64-70.
4. Гагарина С.Н. Интервальное прогнозирование объемов спроса на услуги субъектов естественных монополий с учетом неопределенности информации / С.Н. Гагарина, Ю.Е. Гагарин // Вестник университета. - 2013. - №22. - С. 101-110.
5. Гагарина С.Н. Повышение эффективности городской транспортной инфраструктуры на основе цифровых технологий / С.Н. Гагарина, Н.Н. Чаусов, В.Н. Левкина // Вестник университета. - 2020. - №7. - С. 68-75. - DOI 10.26425/1816-4277-2020-7-68-75.
DETERMINATION OF THE MAXIMUM NETWORK FLOW USING THE TAGGING
METHOD
Yu.E. Gagarin, Candidate of Engineering Sciences U.V. Nikitenko, Senior Lecturer E.D. Mosin, Bachelor
Bauman Moscow State Technical University (Kaluga Branch) (Russia, Kaluga)
Abstract. The article considers one of the methods for solving the maximum flow problem. This method is based on the placement of marks and several effective algorithms are used for its implementation, one of which is the Ford-Fulkerson algorithm. By saving time and resources, the practical application of the algorithm ensures the efficient operation of programs associated with network structures.
Keywords: optimization, maximum flow, network structures, tagging.
