CC BY
20V УДК 621.396.96
А. Г. Огурцов
Нижегородский государственный технический университет
Определение координат целей в трехкоординатных просветных радиолокационных системах с подвижными позициями
Приведен итерационный алгоритм определения координат целей на основе метода максимального правдоподобия применительно к трехкоординатным двухпозиционным радиолокационным системам, работающим "на просвет ", с подвижными приемником и передатчиком. Представлены результаты вычислений потенциальной точности измерения координат и результаты математического моделирования работы системы.
Радиолокация "на просвет", метод максимального правдоподобия, итерационный алгоритм Гаусса-Ньютона, измерение координат, построение траектории
В многопозиционных РЛС режим обнаружения "на просвет" позволяет существенно улучшить характеристики обнаружения малоразмерных объектов. Это становится возможным благодаря резкому увеличению эффективной площади рассеивания (ЭПР) в области базовых линий, соединяющих приемные и передающие позиции. Основы теории просветных радиолокационных систем изложены в работах [1], [2]. Работы [3]-[6] посвящены в основном методам определения координат в просветных радиолокационных системах с непрерывным (гармоническим) зондирующим сигналом со стационарными позициями. В работе [7] рассмотрен алгоритм определения координат в двухкоординатной системе с подвижными позициями. Такие системы могут использоваться для обнаружения низколетящих объектов при размещении приемной (или передающей) позиции, например на борту вертолета. В настоящей статье рассмотрены трехкоординатные просветные радиолокационные системы с подвижными позициями. В качестве таких систем могут рассматриваться многопозиционные системы, включающие приемные и передающие позиции на самолетах или на искусственных спутниках Земли при любой высоте полета.
Теоретический анализ системы. В качестве моделей движения цели, приемника и передатчика принято прямолинейное движение с постоянной скоростью. Структура двух-позиционной трехкоординатной системы с подвижными позициями изображена на рис. 1, где обозначены: Пд - передающая позиция; Пр - приемная позиция; Ц - цель; точки А, В и С - проекции приемника, цели и передатчика, соответственно, на плоскость х0у, di - длина линии базы в момент времени ; а;- и Рг- - азимут и угол места, измеренные относительно приемной позиции в тот
же момент времени ti; vпр. © Огурцов А. Г., 2009
V
пд'
V - век-
А
Рис. 1
х
торы скорости приемника, передатчика и цели соответственно; 9 - угол дифракции. Траектории приемника, передатчика и цели заданы начальными точками £пр 0
{хпр 0, Упр 0, 2пр 0} , ^пд 0 {хпд 0, Упд 0, 2пд о} и ^0 {^ У0, 20} соответственно, а также
векторами скорости vпр {Упр х, Vпр у , Упр 2 } , {Упд х, Упд у , увд 2 } и v {Ух, Уу, У2 } .
В просветных трехкоординатных системах с непрерывным квазигармоническим зондирующим сигналом измеряемым параметром наряду с азимутом цели а и углом места цели р является частота Доплера / Нелинейная система уравнений, связывающая первичные измеряемые параметры с параметрами траекторий приемника, передатчика и цели в момент времени , имеет следующий вид:
Л (хп ) = -| (^пр IАупр х + АУпр IАупру + ^пр IАупр 2 )/I +Ду4 I I +
(1)
X
+ (^пд I Аупд х + АУпд I Аупд у + ^пд I Аупд 2 )/М I +ЛУвд I + А2вд I а (хп) = (АУпр II Ахпр I);
р (хп ) = агс^ (А2пр I / д/^р I +АУ^ I ),
где хп = | хп, уп, 2п, ух , Уу, у2 ]т - вектор траекторных параметров цели в момент времени 1п ( хп , уп, 2п, Ух, у у , у2 - декартовые координаты цели и проекции ее скорости на
координатные оси; т - символ транспонирования); А£пд I = £пд I -£ (£ : х, у, 2) - разность координат передатчика и цели в момент времени ^ ; А£пр I = £ - £пр I - разность координат цели и приемника в момент времени ^ ; АУпд £ = Упд £ - У£ - разность проекций скоростей передатчика и цели на ось £ ; Аупр £ = У£ - Упр £ - разность проекций скоростей цели и приемника на ось £ .
При линейных траекториях движения приемника, передатчика и цели с постоянной скоростью значение координаты £ : х, у, 2 в момент времени ^ = 1п -(п -1) Т (Т - интервал измерения первичных параметров), может быть найдено как £пр(пд= £пр(пд)п -
-Упр(пд)£ (п -1) Т для приемника (передатчика) или как £ = £п - У£ (п -1) Т - для цели.
Определим вектор, содержащий результаты п измерений параметров, в виде
zп = [/1, са1, р1, /п, аап, Рп, •••, !п, ап, рп] . Примем, что ошибки первичных измерений для каждого момента времени независимы и распределены по нормальному закону с
п п п
известными дисперсиями а/, аа, а р .
Оценка хп вектора траекторных параметров хп методом максимального правдоподобия формируется из условия максимума условной плотности вероятности вектора первичных измерений р (zп |хп ) . При нормальном законе распределения ошибок первичных измерений оптимальная оценка вектора траекторных параметров определится как 50
хп = а^тт [фп (хп )] ,
где Фп (хп) = [гп -Ь(хп)]т ^ [гп -Ь(хп)] ; Ь(хп ) = [/1 (хп), а1 (хп), р(хп ), /2 (хп ), а2 (хп), Р2 (хп), •••,/п (хп), ап (хп), Рп (хп)]т - нелинейная векторная функция, определяемая выражениями (1); Gn = М {Дг пДг п}] - матрица, обратная корреляционной матрице ошибок первичных измерений (М {•} - символ статистического усреднения;
Дгп =[Д/1, Да1, ДР1, Д/2, Да2, ДР2, •••, Д/п, Дап, ДРп]т - вектор ошибок измерений).
При использовании метода максимального правдоподобия потенциальная точность измерения координат определяется информационной матрицей Фишера [4]. Элементы матрицы Фишера в рассматриваемой системе определяются следующим образом [4], [5]:
а2Ьр(гп \хп)! = — / (хп) / (хп) +
а/ -=1
^ (хп ) = -М
ах ах,
1иЧ
+ — аа/ ( хп ) аа/ ( хп ) + —
аа ,-=1 ах1 ^ -2
ах1 aXk ар,- (хп) ар,- (хп)
ар ,=1 аХ axk
где XI, Xk, I, k = 1, 2, ..., 6 - элементы вектора координат цели (х1 = хп, Х2 = уп, Х3 = zn, Х4 = Ух, Х5 = Уу, хб = ). Дисперсии а^, а^, а2, а2х, а^у, а^ ошибок определения координат могут быть вычислены как диагональные элементы матрицы, обратной матрице Фишера. Результаты расчета потенциальной точности для различных траекторий движения цели, приемника и передатчика представлены на рис. 2 сплошными линиями. При расчете среднеквад-ратические отклонения (СКО) измерения первичных параметров принимались а/ = 0.5 Гц, аа = 0.6° и ар = 0.6° , длина волны X = 1 м, интервал первичных измерений
Т = 1 с . Длины траекторий приемника, передатчика и цели определялись зоной действия просветного эффекта, ограниченной значениями угла дифракции |0| < 30° .
Кривая 1 отвечает значениям параметров ^^ 0 {0, 0, 0}, ^дд 0 {40 000, 0, 0},
{15 000, - 6000, 1000} , упр {-20, 30, 0}, vпд {20, 20, 0} , V{60, 100, 0}7. Эти параметры соответствуют движению приемника и передатчика в плоскости х0у при пролете цели над этой плоскостью на высоте 1000 м. Кривая аналогична построенной для систем с неподвижными позициями, рассматриваемым в [6]. В окрестности точки Дупр = 0
наблюдается подъем кривой потенциальной точности, что обусловлено ослаблением в окрестности этой точки зависимости координаты х от частоты Доплера.
Кривая 2 соответствует траектории це-
ахъ
а , % 8 6 4
2 Ь
0
- 4.5 - 3 - 1.5 0 Рис. 2
1.5
3 Ду
Пр:
км
7 Величины координат указаны в метрах, величины проекций скоростей - в метрах в секунду.
ли, проходящей под углом около 1п° к плоскости, в которой движутся приемник и передатчик. В данном случае параметры имеют значения ^пр 0 {0, 0, 0}, £пд 0 {40 000, 0, 0},
{п0 000, - 6000, 5000}, vпр {-п0, 30, 0}, vпд {п0, п0, 0}, V {п0, 100, - п0} . Снижение точности по сравнению с первым случаем возникло из-за того, что время нахождения цели в зоне действия просветного эффекта в данном случае меньше, чем в первом.
Особенностью кривой 3 является то, что траектория цели не пересекает линию базы в плоскости х0у. Параметры данной кривой составляют ^пр 0 {0, 0, 0}, £вд 0 {40 000, 0, 0},
{10 000, - 4000, - п000}, vпр {-п0, 30, 0}, vпд {п0, п0, 0}, V {п00, 50, 50} .
Во всех рассмотренных случаях при принятых значениях СКО первичных измерений ошибка определения координат цели к концу траектории не превосходит 1 % от длины линии базы. Следует отметить, что в трехкоординатной просветной системе с подвижными позициями в отличие от системы со стационарными приемником и передатчиком существует возможность определения координат целей, неподвижных относительно поверхности Земли, но движущихся относительно приемника и (или) передатчика просветной системы.
На практике для получения приближенной оценки используется итерационный алгоритм. Используя алгоритм Гаусса-Ньютона [п], имеем
+1 =
= хп + к (Н^Нп )-1 н£ G Гzп - h (Ц )
(п)
где хп - оценка вектора траекторных параметров на ]-й итерации; Нп = ^ (хп )/йхпк ] - матрица производных; к - параметр, определяющий скорость
х=х п
сходимости алгоритма.
При использовании итерационного алгоритма (п) ключевой проблемой является выбор начального приближения хРп. Поскольку минимизируемая функция фп (хп) существенно нелинейна, применение алгоритма Гаусса-Ньютона позволяет определить локальный минимум, который не всегда совпадает с абсолютным минимумом. Правильный выбор начального приближения хРп может существенно уменьшить ошибки при вычислении
вектора траекторных параметров цели.
Найдем начальное приближение, используя следующий алгоритм. Примем, что базовая линия системы (см. рис. 1) направлена вдоль оси 0х. В таком случае, учитывая узость зоны действия просветного эффекта, будут верны соотношения |х - хпр| » |у - упр|
и |х - хпр | » |2 - 2пр |. С учетом этих условий выражения (1) могут быть переписаны в следующем виде:
( ) = -1 ( ДУпр г Дупр у + Дzпр г Дупр г ДУпд г Дупд у +Дzпд г Дупд г - Л
/ (хп)= X Дхпр, + Дхпд, + Упд х Упр х ,
V пр г пд г
а, (хп 4
Ч (хп ) = ДУпр ¡1 Дхпр г; (3)
рг (хп) = Дгпр г/Дхпр г.
Имея три набора измерений (/1, а1, Р1), (/2, а2, Р2 ) , (/п, ап, Рп ), взятых в моменты времени t2, и соответственно, на основе (3) можно записать систему семи уравнений, связывающих первичные параметры /1, а^, Р1, /2, а2, Р2, /п, ап, Рп и тра-екторные параметры хп, уп, гп, Ух, Уу, Уг :
/п ( хп ) -
X
Дупр п Дупр у +Дгпр п Дупр г Дупд п Дупд у + Дгпд п Дуп хпр п
Дх^
+
Дх
" + Упд х Упр X
пд п
ап \хп
( хп ) Дупр п / Дхпр п ; Рп (хп ) = Дгпр п / Дхпр п ; а1 ( хп ) = Дупр \/Дхпр 1; р1 ( хп ) = Дгпр 1/Дхпр 1; а2 ( хп ) = Дупр 21 Дхпр 2; р2 (хп ) = Дгпр 2!Дхпр 2. Система уравнений (4) имеет единственное решение:
хп хпр п
+А в;
уп = упр
+ а п (хп хл
п 1 лп
пр п
);
п п пр п
);
Гп гпр п +рп (хп хп Ух = Упр х + Кух (хп - хпр п ) ;
У,, = У
у упр у 1 Куу (хп хпр п ) ; К = У™. + КЛ„ (х„ - х^
+ Куу ( хп - хп
пр ^ (лп лпр п ) ,
где
А =
(Х/п + Дупд-пр х ) Дхпд-пр п +Ду
пд-пр п Дупд-пр у + Дгпд-пр пДупд-пр г ;
В Х/п + Дупд-пр х + а п Дупд-пр у + РпДупд-пр г + Дупд-пр пКуу + Дгпд-пр пКУ2
пд-пр п^уу
"пд-пр п^ух
-Дх
пд-пр п (апКуу РпКуг );
Д^
= ^пд-^пр; Дупд-пр^ = упд упр^ , \ : x, ^ г ;
пд-пр Ьпд Ьпр
ап (t2 - Ь ) + а1ДТ2 -а2ДТ1 ^ ап (а2ДТ2 -а1ДТ1 ) + а1а2 (t2 -11)
Кух =-;-;-; =■ •
КУ2 =
ДТ1ДТ2 (а1 -а2 ) _Рп (Р2ДТ2-Р1ДТ1) + Р1Р2 (t2 - tl).
ДТ1ДТ2 (Р2-Р1)
ДТ1ДТ2 (а2 -а1)
ДТ1 = ^ -11; ДТ2 = ^ -12.
2~ 12-
(4)
(5)
Подстановка результатов первичных измерений _/[, а,}, (3 1, ап, (3 п, ^, ап, (3п в
Лучшие результаты можно получить, если использовать аппроксимацию зависимости доплеровской частоты, азимута и угла места от времени полиномом заданной степени, полученную, например методом наименьших квадратов. Подробное описание указанного алгоритма с линейной аппроксимацией приведено в [7]. Этот метод можно использовать в системах с подвижными позициями точно так же, как и в случае стационарных позиций.
Результаты математического моделирования. Зависимости СКО определения координаты х цели, нормированной к длине базы, от величины Аупр , рассчитанные с помощью
итерационного алгоритма Ньютона-Гаусса показаны штриховыми линиями на рис. п. Моделирование проводилось для тех же трех траекторий цели, для которых проводился теоретический расчет потенциальной точности.
Анализ результатов, приведенных на рис. п, а также результатов, полученных для других траекторий, показывает следующее. Если траектории приемника и передатчика точно известны, потенциальная точность измерения координат в трехкоординатной двух-позиционной просветной РЛС с подвижными позициями близка к точности, достигаемой в системах с неподвижными позициями. Точность измерения координат, полученная в результате моделирования итерационного алгоритма, близка к потенциальной точности, а на конечном участке траектории эти значения практически совпадают. Основным фактором, влияющим на точность измерения координат (кроме СКО первичных измерений), является время нахождения цели в зоне действия просветного эффекта.
На рис. 3 представлен пример построения измеренной траектории цели в трехмерном пространстве. Кривая 1 - траектория приемника; кривая 2 - траектория передатчика; кривая 3 - истинная траектория цели; кривая 4 - измеренная траектория цели; 5 - проекция траектории цели на плоскость, в которой движутся приемник и передатчик.
Результаты теоретического анализа показывают, что в трехкоординатных просвет-ных двухпозиционных системах с подвижными позициями может быть использован тот же алгоритм определения координат, что и в системах с неподвижными позициями, а именно, итерационный алгоритм Гаусса-Ньютона, реализующий метод максимального правдоподобия. Начальное приближение для работы итерационного алгоритма (5) может
(5) позволяет получить начальное приближение для вектора траекторных параметров х;
п
быть получено как приближенное решение системы уравнений (4), связывающих измеряемые параметры с параметрами траектории цели.
Если траектории приемника и передатчика точно известны, точность опреде-
пд ления координат цели в трехкоординатной системе с подвижными позициями близка к точности определения координат в сис-
У, км
Рис. 3
теме с неподвижными приемником и передатчиком.
Использование подвижных позиций позволяет использовать просветные РЛС для определения траекторий целей, движущихся на очень низких скоростях (например, вертолетов) или даже неподвижных относительно поверхности Земли, но движущихся относительно просветной системы в целом за счет ненулевых скоростей приемника и передатчика.
Использование трехкоординатной модели системы позволяет уменьшить ошибку определения координат цели, вызванную в просветных двухпозиционных системах ненулевой высотой цели над плоскостью, в которой движутся приемник и передатчик.
Применение рассмотренного в настоящей статье алгоритма определения координат целей для трехкоординатных систем позволяет значительно расширить область применения РЛС, работающих на основе просветного эффекта, и использовать такие системы не только вблизи земной поверхности, но и на больших высотах, а также в космосе.
Список литературы
1. Willis N. J. Bistatic radar. Technology Service Corporation: Silver Spring, MD, 1995. 336 p.
2. Bistatic radar: emerging technology / ed. by M. Cherniakov. John Wiley & Sons, Ltd.: Hoboken, NJ, 2008. 406 p.
3. Blyakhman A. B. Forward scattering bistatic radar // PIERS Workshop on advances in radar methods, 2022 July 1998. Baveno, Italy. P. 107-113.
4. Howland P. E. A Passive metric radar using a transmitter of opportunity // Proc. IEEE int. radar conf., Paris, France; 3-6 May 1994. P. 370-375.
5. Blyakhman A. B., Myakinkov A. V., Ryndyk A. G. Algorithm of target tracking for three-dimensional bistatic forward scattering radar // Proc. IV int. radar symp. "IRS 2004", 19-21 May 2004. Warsaw, Poland. P. 309324.
6. Точность определения координат методом максимального правдоподобия при локации на просвет / А. Г. Рындык, С. Б. Сидоров, А. Б. Бляхман, Ф. Н. Ковалев // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 12. С. 1436-1440.
7. Определение координат целей в просветных радиолокационных системах с подвижными позициями / А. Б. Бляхман, А. В. Мякиньков, А. Г. Огурцов, А. Г. Рындык // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53, № 3. С. 327-332.
A. G. Ogurtsov
Nizhny Novgorod state technical university
Target tracking in a three-dimensional bistatic forward scattering radar with mobile positions
The iterative Gauss - Newton tracking algorithm based on the maximum-likelihood method in the three-dimensional two-position forward scattering radar with mobile positions is described. Estimates of the target coordinates measurements potential accuracy are obtained. Results of Gauss - Newton algorithm mathematical modeling are presented.
Forward-scattering radar, maximum-likelihood method, Gauss-Newton iterative algorithm, coordinates measurements, tracking
Статья поступила в редакцию 22 апреля 2009 г.
