Определение коэффициента трансцилляторного переноса при барботаже в жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРАНСЦИЛЛЯТОРНОГО ПЕРЕНОСА ПРИ БАРБОТАЖЕ В ЖИДКОСТИ

А.И. Филиппов, М.Р. Минлибаев, А.С. Хисматуллин, Н.П. Серебренников

В статье предложен новый метод вычисления коэффициента трансциляторного переноса, в основу которого положена редукция уравнения конвективной теплопроводности с переменными коэффициентами к эквивалентному интегро-дифференциальному уравнению с последующим интегрированием потока по времени и пространству

Ключевые слова: трансцилляторный перенос тепла, барботаж, теплопроводность

Известно, что колебательные движения жидкости приводят к появлению трансцилля-торной составляющей переноса, возникающей из-за совместного влияния конвективного переноса и теплопроводности [1], [2]. Колебательные движения, в целом, не приводят к появлению упорядоченного переноса тепла, поскольку среднее значение конвективного потока за период равно нулю. Однако наличие теплопроводности даже при отсутствии конвективного потока в среднем обуславливает указанный дополнительный трансцилляторный перенос тепла. При определенных условиях величина трансцилляторного потока может на несколько порядков превышать молекулярный поток тепла, поэтому исследование механизма трансцилляторного переноса имеет принципиальное значение.

Движение жидкости при всплывании пузырьков и акустическом воздействии содержит преобладающие колебательные компоненты, которые через трансциляторный механизм приводят к резкому увеличению коэффициентов переноса, что широко используется на практике при барботаже жидкости. К сожалению, теория таких процессов до настоящего времени не разработана.

В работе осуществлено построение теоретической модели явления трансцилляторного переноса в пузырьковой жидкости как за счет всплывания, так и за счет воздействия акустического поля.

Филиппов Александр Иванович - СГПА им. З. Биишевой, д-р техн. наук, профессор, тел. (83473) 26-53-53, e-mail: [email protected]

Минлибаев Муслим Рафаэльевич - СГПА им. З. Биишевой, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (83473) 43-31-44, e-mail: [email protected]

Хисматуллин Азат Салаватович - СГПА им. З. Биишевой, соискатель, тел. 89659296085, e-mail: [email protected] Серебренников Николай Павлович - СГПА им. З. Биишевой, аспирант, тел. 89173511044, e-mail: [email protected]

Вычисление коэффициента трансцилля-торного переноса производится следующим образом. Сначала определяется величина конвективного потока тепла

./конв. = сw р wyT •

(1)

Для определения коэффициента трансцил-ляторного переноса осуществляется осреднение выражения (1) по периоду колебаний. Несмотря на то, что среднее значение скорости при колебательном движении равно нулю (у) = 0 ,

среднее значение конвективного потока, вообще говоря, не равно нулю (УТ) ф 0, поскольку

температурное поле Т зависит от скорости У . Величина ^/конв) в этом случае может быть

приведена к виду, аналогичному закону теплопроводности Фурье

(Уконв.) = -^тр.(^Т).

(2)

Выражение (2) и служит для определения величины трансцилляторного коэффициента переноса.

Из (2) следует, что для определения коэффициента трансцилляторного переноса следует найти температурное поле для периодических движений жидкости, возникающих при всплывании и акустических колебаниях пузырьков в жидкости. Заметим, что определение температуры затруднено, поскольку соответствующее уравнение конвективной теплопроводности содержит коэффициенты у = (у2, Ур), зависящие

от пространственных координат и времени. Ниже показано, что определение поля температуры не является необходимым. Для вычисления коэффициента трансцилляторного переноса достаточно редуцировать исходную задачу для уравнения конвективной теплопроводности в интегро-дифференциальную, связывающую величину температуры и её градиента.

Уравнение конвективной теплопроводности в цилиндрически симметричной системе

всплывающей цепочки равноудаленных пузырьков имеет вид

дТ

ді

ЗТ_

д2

■ + V

дТ 1 др

1 д Г дТ = ар—:—| р—— | + а

д 2Т

Р Р дР I дР J 2 дz2

(3)

компоненты тен-

где ар = Хр !ср , а2 = Х^ /Ср зора молекулярной температуропроводности; Хр, X2 - соответствующие компоненты тензора

теплопроводности.

В соответствии с условиями движения пузырьков можно считать, что конвективный перенос в радиальном направлении значительно меньше, нежели в направлении оси 02. Кроме того, рассматриваемый ниже трансциллятор-ный коэффициент переноса является аддитивным к теплопроводности по оси 2 . Это позволяет упростить рассматриваемую задачу, опустив последние слагаемые в левой и правой частях уравнений без потери общности

дТ 1 д Г дТ

ар---------------------------1 р —

ді Р р др ( др

= —V,

дТ

д2

(4)

с дополнительными условиями

т \і=0 = Т0 — г2 (5)

дТ , др \р^ю^ 0-

(6)

После замены 9 = Т — Т \і=о уравнение (4) принимает вид

р д Г д9 | =

_д9 _______________=

ді р др ^р др __

=—V 21 І"_г ^=9(р’і)'

(7)

Конвективное слагаемое в правой части (5) представлено как эквивалентный источник q(р, і). Такая формальная замена позволяет редуцировать рассматриваемую задачу к соответствующему эквивалентному интегральному уравнению. Редукцию к интегральному уравнению осуществим методом «деления на оператор» [3]. Для этого выразим искомое решение через функцию Грина О

9=|| д(р', г' )о(р, р', г - г')ф'й?г',

00

уравнение для которой имеет вид

ЬО = 5(р - р ' )5(г -г'),

(9)

? д ар д ( д . где введен оператор Ь =-----------------1 р— I.

дг р др^ др

(8)

Используя представление через интегралы Фурье, выразим через 5 - функции соответствующие им фундаментальные решения

5( р ' ) = р ’ Ы 0 ( рР 0 ( р '

0

(10)

л X

5(г -г') = — | ег'Р(г-г' )^р,

— X

(10')

где Jo(х) - функция Бесселя.

Искомая функция Грина, согласно идее «деления на оператор» [3], имеет вид О(р, р ', г - г') = Ь_15(р, р ' - г') =

р ”х J0(хрУ0(хр')ехР[г' +р(г-г,)]^в

= р .1 ] -----------2—:----------а

0—х арХ + гР

(11)

Вычисление соответствующих интегралов с помощью теории функций комплексного переменного

| ехр[(г - г')] —— =

-X арХ + ;р

= |2лехр[-арх2 (г - г')], г > г [0, г < г' ,

(12)

X

|J 0 (хр)г 0 (хр ' )ехР[-арХ2 (г - г' )]х^х =

2ар (і — і')

дехр

2 /2

р +р Хар(і — і ')

I о

( , \ рр 2ар(і — і')

(13)

приводит к следующему выражению для функции Грина

О ■■

Пр

лр

(і—і о

т-ехр

„2 <2 р —р

4ар (і — і')

( , ^ рр

2ар (і — і' )

і > і

(14)

0, і < і' .

Выражение для 9 согласно (11) представится как

П х і 9 = — І р ' dр' І q(р ', і' )х ар 0 0

х ехр

2 ,2

р +р' 4ар(і — і')

(

10

рр

2ар(і — і')

йі’

і—і

(15)

Последнее выражение и представляет иск о мое интегродифференциальное уравнение, если в него подставить выражение для источников через 9

1

XX

е = - т"/р' dp /Vz \~z _г

х exp

“Р 0 0

2 >2 Р +Р'

4ap(t -1')

де

(16)

10

РР

2ap(t -1')

dt ’

t -1'

Если рассматривать установившиеся процессы, то в качестве нижнего предела интегрирования интеграла по времени следует заменить нуль на минус бесконечность.

Заметим, что подстановка выражения (16) в (1) приводит к соотношению, связывающему тепловой поток с градиентом температуры, но более сложному, нежели закон теплопроводности Фурье. Последующее усреднение потока позволяет представить полученное соотношение в виде (2) и тем самым определить коэффициент трансцилляторного переноса.

Литература

1. Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Хисматуллин А.С. Явление теплопереноса в жидкости с всплывающими газовыми пузырьками // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Вестник Херсонского государственного технического университета. - Херсон: ХНТУ, 2008. С.137 - 142.

2. Филиппов А.И., Котельников В.А., Минлибаев М.Р. Некоторые особенности явления вибропереноса тепла в пористых средах// ТВТ, 1996, т. 34, №5, с. 719 - 723.

3. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. Изд-во: М.: издание 2-е, 1951 г., 480 с.

t

ж

х

Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой (Институт математики и естественных наук)

DEFINITION OF FACTOR TRANSCILATORY TRANSFER IN LIQUID WITH BUBBLES

A.I. Filippov, M.R. Minlibaev, A.S. Khismatullin, N.P. Serebrennikov

In this article is the new method of calculation the factor transmissions carry, which basis on the reduction of the equation of convections heat conduction with variable factors to the equivalent Integra-differential equation with the next integration of a stream on time and space

Key words: transcilator heat transfer, heat conductivity