Математическая модель классического линейного трансциллятора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 51.73

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОГО ЛИНЕЙНОГО ТРАНСЦИЛЛЯТОРА

© А. И. Филиппов, Э. В. Мухаметзянов, А. Ф. Садриев*,

А. И. Леонтьев, Л. Ф. Садыкова

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 47а.

Тел./факс: + (3473) 43 22 50.

E-mail: sadriev_ainur@ mail. ru

Создана математическая модель, позволяющая объяснить процессы переноса при колебательных смещениях участков сплошной среды. Установлена зависимость коэффициента трансцилляторного переноса от частоты колебаний. Доказано, что величина коэффициента трансцилляторного переноса пропорциональна квадрату амплитуды колебаний и этот факт является прямым указанием на необратимость процесса, что соответствует природе теплопроводности.

Ключевые слова: трансцилляторный перенос теплоты, коэффициент трансциллятор-ного переноса, акустическое поле

Введение

К настоящему времени накоплено много экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что при колебательных смещениях участков сплошной среды возникает дополнительный перенос тепла или массы. Однако теоретически это явление недостаточно изучено. Нами создана математическая модель, позволяющая объяснить процессы переноса в таких системах. Уравнения, описывающие процессы, в общем случае представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, при получении аналитических решений этих уравнений возникают большие трудности.

Одним из важных достижений в этой области является создание теоретической модели элементарного переносчика - трансциллятора - и исследование переносных свойств. В простейшем случае трансциллятор (йашсШаЮг = 1гашГег+о$сШа1ог) -пространственно протяженная физическая система, состоящая не менее чем из двух тонких пластин, хотя бы одна из пластин колеблется относительно других. Пластины взаимодействуют друг с другом, обмениваясь скалярным интегральным параметром Q (теплом, массой, зарядом и т.п.). Трансциллятор, пластины которого обмениваются между собой скалярным интегральным параметром по линейному закону Ньютона, назовем линейным.

Трансцилляторный перенос, как отмечалось выше, возникает только при колебаниях компонент относительно друг друга. Если компоненты транс-циллятора совершают гармонические колебания, то такой трансциллятор назовем гармоническим. Если скорость колебаний компонент представляет собой сумму гармонических колебаний, то такой транс-циллятор назовем полигармоническим [1-4].

Описание трансцилляторного переноса

Поясним существо трансциллятора на примере теплового поля в системе двух соприкасающихся и обменивающихся теплом пластин, одну из которых считаем для простоты неподвижной, а вторая -

нижняя - может перемещаться вдоль оси х , расположенной на границе раздела, по колебательной зависимости (рис. 1). Между пластинами происходит теплообмен по закону Ньютона. Существо идеи трансцилляторного переноса заключается в том, что при наличии градиента температуры в системе колебания пластин вдоль оси приводят к дополнительной обычному молекулярному процессу теплопроводности. Для простоты ниже обычной теплопроводностью пренебрегается. Толщина пластин считается намного меньшей, чем амплитуда колебаний. Время релаксации температурного поля между пластинами сопоставимо с периодом колебаний.

Рис. 1. Простейшая модель трансциллятора.

Нетрудно видеть, что смещение нижней пластины соответствует просто колебательным смещениям участков среды. Поскольку такие смещения широко распространены в природе, то эта модель, называемая трансциллятором, описывает широкий класс явлений переноса тепла, массы, заряда, импульса и т.д. в реальных условиях. Она применима для объяснения влияния акустического поля на явления переноса [5], имеет важное значение для развития фундаментальных идей физики, например, теории турбулентности [6], теории хаоса [7] и т.д. Одним из практических достижений изложенной ниже теории явилось развитие расчетных методов для физических констант явлений переноса, инициированных всплыванием пузырьков в жидко-

* автор, ответственный за переписку

сти, особенно при наложении внешнего акустического поля. Всем известно, насколько важно использование технических устройств в технике и химической технологии.

Механизм переноса при колебательном движении жидкости в пористой среде проще представить, если предположить, что изменение их взаимного расположения происходит скачкообразно. На рис. 1 изображены четыре состояния колеблющейся среды (нижняя пластина). До начала процесса нагревается часть неподвижной среды (на рис. 1 заштриховано). Из-за разности температур в состоянии 1 происходит переток тепла из неподвижной среды в подвижную в направлении, показанном стрелочкой, соответствующая зона подвижной среды нагревается. В положении 2 после смещения колеблющейся среды наблюдается переток тепла из нагретой части подвижной пластины в более холодную часть неподвижной пластины. Фронт температурного возмущения (пунктирная линия) при этом сдвигается вправо. В положениях 3 и 4 происходит дальнейший сдвиг возмущения. На рис. 1 изображена начальная стадия процесса. В дальнейшем теплообмен, обусловленный колебанием одной из пластин, стабилизируется. В приведенных рассуждениях пренебрегается молекулярной теплопроводностью вдоль пластин.

Конвективный перенос тепла существенен только на расстояниях, сравнимых с амплитудой колебаний. Тем не менее, тепловые возмущения распространяются со временем на неограниченное расстояние. Интересно теоретически рассмотреть особенности этого процесса, носящего коллективный характер.

При определенных условиях величина транс-цилляторного потока может на несколько порядков превышать молекулярный.

Вычисление коэффициента трансцилляторно-го переноса производится следующим образом. Сначала определяется величина конвективного потока тепла

Л;0ПУ. = сруТ . (1)

Для определения коэффициента трансцилля-торного переноса осуществляется осреднение выражения (1) по периоду колебаний и по пространственной ячейке. Несмотря на то, что среднее значение скорости при колебательном движении равно нулю (у} = 0, среднее значение конвективного потока,

вообще говоря, не равно нулю <^у^ ^ о, поскольку температурное поле Т зависит от скорости у, т.е. они коррелированны. Для определения коэффициента трансцилляторного переноса Xт, необходимо

величину усредненного конвективного потока тепла привести к виду, аналогичному закону теп-

( І с

лопроводности Фурье

Ос

> = -ь Л УТ)

(2)

Для неограниченной в направлении оси х системы уравнения, описывающие перенос локального параметра - температуры, преобразуются к виду

ЭТ2 . . ЭТ2 . . ,

тс2—— + шс2и{г)— + к1 Т - Т ) = 0 ЭТ Эх

(1 - т )с! —-1 - к! (Т2 - Т! ) = 0 '

ЭТ

(3)

(4)

(5)

Для простоты сначала будем считать, что в начальный момент температуры пластин одинаковы, а антиградиент температуры в обеих средах совпадает и не зависит от времени и пространственной координаты

т| = т| , ЭТ- ЭТ2 ,

Т1| т=0 Т2| т=0 -1 =-2 = -Г

Эх Эх

индексы 1 и 2 относятся к верхней и нижней пластинам соответственно'

Система уравнений (3) - (4) в этом случае допускает аналитическое решение. Поделив (3) и (4) на тСж и (1 - т)с соответственно и вычитая второе

из первого, получим следующее уравнение для разности температур

1(Т; Т) + а(Т2 - Т) = и(т)Г, 1Т

(6)

где а = к1 {[(1 - т)с1 ]-1 + (тс 2 )-1}' Решение этого урав-

нения с учетом условий (5) имеет следующий вид:

" к1

Т2 -Т1 =Г|и(т)ехр

-(т-т )

1т

(7)

Такое представление температуры в виде свертки свидетельствует о том, что описываемая система обладает свойствами памяти, следствием которой и является рассматриваемый процесс трансцилляторого переноса. Сложив (3) и (4), получим уравнение

д[тс 2Т 2 + (1 - т)с1Т 1 ]

Эт

- + тс 2 и(т )Г = 0,

(8)

которое имеет точное решение

тс2Т2 +(1 - т)с1Т1 =-тс2 Г | и(т)1т-cf Гг' (9)

0

Из (7), (9) определяются решения в следующей форме:

Т =-_тс^ гГ и(т)ехр[а(т- т )]1т+

cf 0 г

+ _тс^г Ги(т)1т -Гх,

Т2 = ——гГи(т)ехр[а(т-г )]1т +

Сf 0 .

(10)

(11)

+ тс2 г[ и{т)йт — Гх

cf о

Здесь Cf = (1 — т)с1 + тс2 - полная объемная теплоемкость трансциллятора.

При гармонических колебаниях и = АЮС08Ю? выражения для температуры имеют вид

Одномерный гармонический трансциллятор

Т1 =--

Г1 +-

-ГАзіпюТ -Гх,

cf

cf

(12)

0

f 0

2

2

T2 =

где

t

I = \ м(т)exp[a(т -1 )]dT =

cos—t +—sin—t - exp(- а) I а j

0

A—а

2 2 а 2 + — 2

(13)

Вдоль оси X, несмотря на отсутствие теплопроводности, происходит перенос тепла. Он осуществляется за счет конвективного процесса. Величина конвективного потока

j = с 2 muT2 (14)

в общем случае содержит колебательные компоненты. Несмотря на то, что при колебательном движении среднее значение скорости равно нулю, среднее значение конвективного потока за период колебаний отлично от нуля, поэтому в этом случае возникает дополнительный перенос тепла, называемый трансцилляторным переносом. Вычислим эффективный коэффициент трансцилляторного переноса. Для этого усредним конвективный поток по периоду колебаний в предположении больших времен j = С2m(uT2). В результате с учетом (11)

имеем

j = С1—m)cmc2 / | u(x)exp[a(x -1)]dxV. (15)

Cf \ о /

Сопоставив полученное уравнение с законом Фурье, получим выражение для коэффициента трансцилляторного переноса

A,(j = ——m)cmc2 (u(t)J u(x)exp[a(x -1)]dx\' (16)

c

\ 0

Для гармонических колебаний

X(г) = -Лсо8ЮТ + х0, и(г)= Аюзіп ЮТ подстановка

в (16) приводит к следующему результату:

,, (1 - т)стс2 Л2ю2а _

А =------------- ----— X

cos—t^cos—t +—sin—t - exp(-at) |) = (1 - m)cmc2 а—2A2

(17)

2cf

22 а2 + —2

Выразим трансцилляторный коэффициент переноса, являющийся аналогом коэффициента теплопроводности, через Ф=а/ю = к1/(ую)

(18 )

Л tr =

k1 A2 .

2(l + Ф 2)

Из выражения (18) следует, что при Ю>>а коэффициент трансцилляторного переноса достигает наибольшего значения а* = ^Л2 / 2' Существует

характерная частота колебаний ю0 = а, при которой коэффициент переноса составляет половину максимального. При малых частотах Ю<<а величина трансцилляторного коэффициента А^ стремится к нулю.

Значение граничной частоты увеличивается с ростом коэффициента а = к1 {[(1 — т)с1 ]—1 + (тс2)—1}, т.е. коэффициента теплообмена между пластинами к1 и уменьшением эффективной трансцилляторной теплоемкости, определяемой согласно зависимости

У = { [(1 — т)с1]—1 + (тс2 )—1} .

Трансцилляторный перенос тепла играет определяющую роль в турбулентных потоках жидкости или газа, в пузырьковых жидкостях или в пористых средах, где колебания участков жидкости естественно обусловлены извилистостью пор или могут искусственно вызваны наложением акустического поля. Если для пористой среды - песчаника, насыщенного водой, положить к = 1010 Вт/(м3 ■ К^ у—1 = 2 • 10—6 м3 • К/Дж, то зна-

чения

граничной

частоты

составят

fo = ©„/(2п) = кху х/(2л) = 3 кГц.

Причину установленной зависимости трансцилляторного коэффициента от частоты легко понять, представив разность температур (7) для гармонического колебания с частотой ю и амплитудой А в виде

T — T =

T Tl л/Г

ЛГ

+ф2

sin(—t + ф)-—, Ф exp(-a)

. Vl+Ф2 .

(19)

где ф = k1 /(уш), сдвиг фаз ф находится из равенств

cos ф = l/Vl + Ф 2 , sin ф = ф/л/1 + Ф 2 .

Последнее слагаемое в (19) уменьшается со временем, что дает возможность при выполнении неравенств t >> (шф)-1, t >> y&f1 перейти к выражению

АГ л/Т+Ф

T2 - Tl =-

rsin(—t + ф).

(20)

Эта разность температур определяет тепловой поток между жидкостью и скелетом в установившемся тепловом режиме, когда процесс поглощения тепла средой завершен. Из полученного выражения следует, что между скоростью жидкости и тепловым потоком возникает разность фаз ф. Теп-лоперенос в пористой среде зависит от сдвига фаз между колебаниями жидкости и теплового потока между насыщающим флюидом и скелетом. Из (20) следует, что на низких частотах 0 (ф ^ %/2)

указанный сдвиг фаз равен 0, теплоперенос отсутствует. С увеличением частоты (ф ^ 0)

тепловой поток вдоль оси х возрастает.

Из (18) следует, что величина коэффициента трансцилляторного переноса пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Это означает, что величина X^ инвариантна по отношению к знаку

пространственного параметра - амплитуды колебаний А. Этот факт является прямым указанием на необратимость процесса, что, согласно существующим представлениям, соответствует природе теплопроводности.

c

c

f

f

c

Это обстоятельство оттеняет преимущества развитого нами подхода, поскольку все известные методы в физике приводят к неинвариантным соотношениям по отношению к знаку пространственного параметра. Например, коэффициент теплопроводности газа, согласно молекулярно-кинетической теории, пропорционален первой степени средней длины свободного пробега, т.е. не инвариантен по отношению к ее знаку. Это находится в серьезном противоречии с необратимостью процессов теплопроводности, согласно которой, в каком бы направлении молекула не двигалась, процесс переноса тепла все равно будет происходить от более нагретых частей к менее нагретым.

Видимо, указанное обстоятельство делает необходимым уточнение классической теории переноса. Это легко осуществимо с помощью развитых в данной статье представлений. Действительно, движение молекул всегда можно представить в виде двух взаимопроникающих сред, движущихся навстречу, т. к. центр масс системы не подвижен. Поскольку при этом молекулы разных сред взаимодействуют, то такая система, конечно, может быть описана в рамках трансцилляторной модели. Проблема при этом сводится только к уточнению содержания констант. Это означает, что мы можем

стать свидетелями еще одной увлекательной ревизии фундаментальных разделов физической кинетики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Филиппов А. И., Минлибаев М. Р., Котельников В. А. Некоторые особенности явления вибропереноса тепла в пористых средах // Теплофизика высоких температур. 1996. Т. 34. № 5. С. 719-723.

2. Филиппов А. И., Котельников В. А., Минлибаев М. Р. Явление вибропереноса в двухкомпонентных осциллирующих взаимодействующих системах. // ИФЖ, 1997. Т.70. №3. С. 487-492.

3. Филиппов А. И. Особенности теплопереноса в пористой среде при возвратно-поступательном движении жидкости / Башк. гос. ун-т. Уфа, 1982. С. 10.

4. Буевич А. С., Филиппов А. И. К явлениям переноса при колебаниях в двухкомпонентной среде // Инженернофизический журнал. 1985. Т. ХЬУШ, № 2. С. 224-230.

5. Филиппов А. И., Филиппов К. А. О диффузии под воздействием звука // Акустический журнал. 1999. Т. 45. №3. С. 414-417.

6. Зельдович Я. Б. Точное решение задачи диффузии в периодическом поле скорости и турбулентная диффузия // ДАН СССР. 1982. Т. 266. № 4. С. 821-826.

7. Нигматулин Р. И., Филиппов А. И., Ахатов И. Ш., Ниязгу-лов С. А. Уравнения с периодическими коэффициентами и теория хаоса // Статика и динамика упорядоченных сред: Межвузовск. научн. сб. Башк. ун-т. Уфа, 1994. С. 81-93.

Поступила в редакцию 31.10.2012 г.