CC BY
0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПЕРВОГО ТИПА МАССИВА ТРЕЩИН
И.И. Ануфриев, аспирант
Оренбургский государственный университет
(Россия, г. Оренбург)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-5-5-112-116
Аннотация. В статье рассматривается напряженно-деформированное состояние массива плоских трещины. В рамках данной работы производится разработка математической модели, описывающей процесс раскрытия трещин для различной геометрической конфигурации. Предложен алгоритм расчета, позволяющий определить численную характеристику напряженно-деформированного состояния методом граничных элементов - коэффициент интенсивности напряжений. Приведены результаты, отражающие работоспособность полученной математической модели и позволяющие проводить дальнейшие исследования в области механики разрушения.
Ключевые слова: метод граничных элементов, коэффициент интенсивности напряжений первого типа, разрыв смещения, относительная погрешность.
Отсутствие аналогов численных и аналитических решений описывающих рассматриваемую систему трещин обуславливают актуальность данной статьи.
Цель выполненного исследования является разработка алгоритма численного расчета коэффициента интенсивности напряжений (далее КИН) первого типа для системы плоских трещин. Постановка задачи В статье рассматривается случай раскрытия массива плоских трещин равной длины L (см. рис. 1), образованного совокупностью из восемнадцати правильных
шестигранников, диаметр описанной окружности которых равен 2L. Под действием внутреннего давления p, воздействующего на центральную трещину, деформированное состояние среды, описываемое непрерывными аналитическими функциями, претерпевает разрыв в окрестности рассматриваемой трещины. Смещение противолежащих берегов трещины относительно друг друга представляет собой разрыв смещений в данной точке при определении деформированного состояния среды.
Рис. 1. Расчетная схема
В рамках данной статьи рассматривается серия численных экспериментов, направленных на анализ напряженно-деформированного состояния центральной трещины. Расчеты производятся исходя из следующих принятых исходных данных:
1) коэффициент Пуассона у=0,25;
2) модуль Юнга материала £=3-1010 Па.
Методика расчета
В данной статье применяется численный метод расчета - метод граничных элементов. Подробное описание методики численного расчета разрывов смещений приведено в [1].
Расчет разрывов смещений
Определение разрывов смещений в трещинах по принятой расчетной схеме (см. рис. 1) производится аналогично методике рассмотренной в [2].
Применяя данную методику к текущей расчетной схеме (см. рис. 1) возможно получить значения разрывов смещений для всех граничных элементов трещин. На рисунке 2 приведено изображение данных разрывов в центральной трещине, находящейся под нагрузкой.
Разр ний.
7.5x10
5 10
-4
L=1 мм; р=500 МПа; Е=3-Ю10 Па; v=0,25; N=60
2.5 Л 0
-4
25 in
5x10
-7.5: 10"
-7.5x10 4-5x10 4-2.5x10 4 0 2.5x10 4 5x10 4 7.5x10 4
Координата x, м Рис. 2. Разрывы смещения центральной трещины
Определение коэффициента интенсивности напряжений
В рамках данной статьи КИН первого типа для рассматриваемого массива трещин определялся исходя из наибольшего
значения среди всех трещин массива. Данной трещиной является центральная трещина (см. рис. 1). На основе полученных значений разрывов смещений КИН определяется согласно выражению
\I2 Xn
где L - длина трещины, м;
DN - разрыв смещения в #-ом граничном элементе трещины;
XN - координат центра #-го граничного элемента, м;
N - число граничных элементов одной трещины, принятое равным 40.
В ходе расчетов были следующие расчетные интервалы длин трещин и давлений нагружающих центральную трещину:
I = [0,5; 1,0;... 5,0] мм (2)
р = [100;200;...500]МПа (з)
Результаты расчета приведены в таблице 1.
Таблица 1. Значения КИН_
Длина трещины L, мм КИН первого типа при давлении p, 107-Па-/м
p=100 МПа p=200 МПа p=300 МПа p=400 МПа p=500 МПа
0,5 2,04 4,07 6,11 8,14 10,18
1,0 2,88 5,76 8,64 11,51 14,39
1,5 3,53 7,05 10,58 14,10 17,63
2,0 4,07 8,14 12,12 16,28 20,35
2,5 4,55 9,10 13,65 18,21 22,76
3,0 4,99 9,97 14,96 19,94 24,93
3,5 5,39 10,77 16,16 21,54 26,93
4,0 5,76 11,51 17,27 23,03 28,79
4,5 6,11 12,21 18,32 24,43 30,53
5,0 6,44 12,87 19,31 25,75 32,18
Для описания полученных значений КИН в аналитической форме было выбрано выражение, соответствующее виду
К(и, v) = p^L5 + С ,
(4)
где A, B, C - постоянные коэффициен-
ты;
С помощью функции Minerr в среде Mathcad 15, позволяющей определить численное решение системы уравнений методом секущих были определены неизвест-
ные коэффициенты уравнения (4). Результаты приведены в таблице 2. Семейство кривых, построенное совместно, со значениями, полученными в ходе численного расчета (см. табл. 1) приведено на рисунке 3.
Таблица 2. Значения коэффициентов
Коэффициент A B C
Значение 9,1 0,5 i,27 rnVM
Длина трешнны I
Рис. 3. Значения КИН
Анализ полученных результатов
Для сравнения полученного численного решения и подобранного аналитического
8 =
выражения в каждой расчетной точке была определена относительная погрешность расчета
1 ^чм ^ан1
(5)
где Кчм - значение КИН полученное численным методом (см. рис. 1);
Кан — значение КИН согласно выражению (4).
Результаты определения максимальных значений относительных погрешностей приведены в таблица 3.
Таблица 3. Значения максимальных относительных погрешностей
Давление p, МПа 100 200 300 400 500
Максимальная погрешность 5max, % 0,03 0,05 0,04 0,05 0,09
2. Получено аналитическое выражение (4) соответствующее численному решению, которое основывается на известной аналитической модели [2-4].
Выводы
1. В настоящей статье представлен способ определения КИН первого типа для массива трещин, с центральной трещиной нагруженной внутренним давлением (см. рис. 1).
Библиографический список
1. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: пер. с англ. б.м. - М.: Мир, 1987. - 328 с.
2. Ануфриев И.И. Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа для двух коллинеарных трещин методом граничных элементов // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2022. - №10-2.
3. Нотт Дж., Ф. Пер. Основы механики разрушения: пер. с англ. б.м. - М.: Металлургия, 1978. - 256 с.
4. Ануфриев И.И. Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа системы трещин // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2023. -№3-2.
DETERMINATION OF THE STRESS INTENSITY COEFFICIENT OF THE FIRST
TYPE OF CRACK ARRAY
I.I. Anufriev, Postgraduate Student Orenburg State University (Russia, Orenburg)
Abstract. The article considers the stress-strain state of an array of flat cracks. Within the framework of this work, a mathematical model is being developed that describes the process of crack opening for various geometric configurations. A calculation algorithm is proposed that makes it possible to determine the numerical characteristic of the stress-strain state by the boundary element method - the stress intensity coefficient. The results reflecting the operability of the obtained mathematical model and allowing for further research in the field offracture mechanics are presented.
Keywords: boundary element method, stress intensity coefficient of the first type, displacement gap, relative error.
