CC BY
4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПЕРВОГО ТИПА ДЛЯ ДВУХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТРЕЩИН МЕТОДОМ
ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И.И. Ануфриев, аспирант
Оренбургский государственный университет
(Россия, г. Оренбург)
DOI:10.24412/2500-1000-2022-10-2-208-214
Аннотация. Статья посвящена разработке математической модели описания процесса совместного раскрытия двух линейных коллинеарных трещин. Предложен алгоритм расчета, позволяющий определить коэффициент интенсивности напряжений методом граничных элементов. Целью данной статьи является разработка алгоритма численного расчета коэффициента интенсивности напряжений (далее КИН) первого типа для двух коллинеарных трещин с помощью метода граничных элементов. Результаты, полученные в рамках данной статьи, могут быть применены при решении задач механики разрушения и сопряженных с ней научных областях.
Ключевые слова: метод граничных элементов, коэффициент интенсивности напряжений первого типа, разрыв смещения.
В статье рассматривается случай совместного раскрытии двух коллинеарных трещин равной длины L, расположенных на расстоянии Ь друг от друга (рис. 1). Под действием внутреннего давления pвн в трещинах, деформированное состояние среды, описываемое непрерывными ана-
литическими функциями, претерпевает разрывы в окрестностях рассматриваемых трещин. Смещение противолежащих берегов трещины относительно друг друга представляет собой разрыв смещений в данной точке при определении деформированного состояния среды.
Рис. 1. Расчетная схема
В рамках данной статьи рассматриваются два случая нагружения расчетной схемы (рис. 1), разделяющие исходную задачу на две подзадачи:
1) Обе трещины нагружены давлением
2) Давление p вн воздействует только на первую трещину (левую).
При проведении расчета приняты следующие значения исходных данных:
1) Длина трещин L=[2; 5; ШрШ"3 м;
2) Ширина промежутка между трещинами Ь=[0,5; 1; 2; 5]-10"3 м;
3) Число граничных элементов на одной трещине #=10;
4) Модуль Юнга £=30-109 Па;
5) Коэффициент Пуассона у=0,25;
6) Внутреннее давлениервн=100Л06 Па.
Методика расчета
Для применения численного метода решения (метод граничных элементов) необходимо получить поэлементное разбиение исходных трещин на N элементов равной ширины Ах для определения величин раскрытий трещины Бу (рис. 2).
Последующий численный расчет предполагает получение значений коэффициентов влияния, отражающих зависимость раскрытия определенного граничного элемента от раскрытия всех остальных. Данные коэффициенты являются аналогом модуля Юнга и отражают нормальное напряжение в /-ом элементе вызванное единичным перемещением в у'-ом элементе. Подробное описание методики численного расчета разрывов смещений приведено в (1).
Рис. 2. Конечно-элементное разбиение исходной трещины
Расчет разрывов смещений
Определение разрывов смещений по заданному разбиению исходных трещин сводится к решению системы линейных
уравнений описывающих напряженно-деформированное состояние граничных элементов (1)
N N
^^ ^ss^s + ^^ ^s'n^-n =
i=1 i=1
N N
^ ' Ans^s + ^ ' Ann^n = ^n
i=1 i=1
(1)
Результаты расчета для 1 -ой и 2-ой подзадач приведены в таблицах 1 и 2, соответственно. При записи значений разрывов смещений знак «минус», характеризующий растяжение среды, условно опущен.
Исходя из соображений симметрии расчетной схемы (рис. 1) значения разрывов смещений по 1 -ой подзадаче представлены для первых N граничных элементов (левая трещина).
Таблица 1. Разрывы смещений для случая нагружения обеих трещин
№ эл. Разрыв смещений Dn, мкм
L=2 мм
¿=0,5 мм b=1 мм b=2 мм b=5 мм
1 7,59 7,33 7,14 6,99
2 10,85 10,46 10,16 9,94
3 12,85 12,35 11,97 11,69
4 14,11 13,50 13,05 12,74
5 14,80 14,09 13,58 13,23
6 14,97 14,16 13,61 13,24
7 14,61 13,73 13,13 12,75
8 13,66 12,70 12,09 11,71
9 11,87 10,89 10,31 9,96
10 8,61 7,75 7,28 7,01
№ эл. L=5 мм
b=0,5 мм b=1 мм b=2 мм b=5 мм
1 19,97 19,20 18,53 17,85
2 28,69 27,48 26,43 25,40
3 34,18 32,60 31,24 29,92
4 37,77 35,84 34,20 32,64
5 39,93 37,65 35,73 33,95
6 40,83 38,17 35,99 34,02
7 40,44 37,39 34,95 32,83
8 38,56 35,09 32,42 30,23
9 34,56 30,69 27,91 25,77
10 26,45 22,49 19,95 18,19
№ эл. L=10 мм
b=0,5 мм b=1 мм b=2 мм b=5 мм
1 41,67 39,95 38,40 36,67
2 60,08 57,38 54,96 52,28
3 71,89 68,36 65,20 61,73
4 79,90 75,54 71,69 67,50
5 85,07 79,87 75,30 70,43
6 87,77 81,66 76,35 70,82
7 88,03 80,88 74,78 68,63
8 85,47 77,11 70,18 63,50
9 78,92 69,12 61,39 54,47
10 64,18 52,90 44,98 38,76
Таблица 2. Разрывы смещений для случая нагружения одной трещины
№ эл. Разрыв смещений Dn, мкм № эл. Разрыв смещений Dn, мкм
L=2 мм L=2 мм
¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=2 мм ¿=5 мм ¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=2 мм ¿=5 мм
1 7,00 6,95 6,93 6,92 11 1,47 0,77 0,34 0,09
2 9,96 9,88 9,85 9,83 12 1,78 0,98 0,46 0,13
3 11,73 11,63 11,58 11,57 13 1,82 1,05 0,50 0,14
4 12,79 12,66 12,61 12,60 14 1,76 1,04 0,52 0,15
5 13,30 13,16 13,10 13,08 15 1,65 1,00 0,51 0,15
6 13,32 13,16 13,10 13,08 16 1,50 0,93 0,48 0,15
7 12,85 12,68 12,62 12,60 17 1,33 0,84 0,44 0,14
8 11,84 11,65 11,59 11,57 18 1,13 0,72 0,39 0,12
9 10,10 9,91 9,85 9,83 19 0,89 0,58 0,31 0,10
10 7,14 6,98 6,93 6,92 20 0,59 0,38 0,21 0,07
№ эл. L=5 мм № эл. L=5 мм
¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=0,5 мм ¿=0,5 мм ¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=2 мм ¿=5 мм
1 17,82 17,57 17,41 17,32 11 7,20 4,41 2,41 0,86
2 25,39 24,99 24,75 24,61 12 7,90 5,21 3,02 1,14
3 29,95 29,44 29,13 28,96 13 7,67 5,27 3,18 1,26
4 32,73 32,11 31,74 31,53 14 7,14 5,04 3,14 1,29
5 34,14 33,41 32,98 32,75 15 6,50 4,68 2,99 1,27
6 34,33 ,33,49 33,00 32,75 16 5,80 4,24 2,76 1,20
7 33,30 32,35 31,81 31,54 17 5,04 3,73 2,46 1,10
8 30,89 29,82 29,24 28,97 18 4,22 3,16 2,11 0,97
9 26,66 25,49 24,89 24,63 19 3,30 2,49 1,68 0,78
10 19,25 18,08 17,55 17,33 20 2,15 1,63 1,12 0,53
№ эл. L=10 мм № эл. L=10 мм
¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=2 мм ¿=5 мм ¿=0,5 мм ¿=1 мм ¿=2 мм ¿=5 мм
1 36,33 35,64 35,13 34,75 11 21,49 14,39 8,82 3,84
2 51,85 50,77 49,99 49,40 12 21,90 15,80 10,41 4,90
3 61,31 59,91 58,89 58,13 13 20,48 15,33 10,53 5,23
4 67,18 65,46 64,22 63,32 14 18,66 14,29 10,09 5,22
5 70,32 68,28 66,82 65,78 15 16,72 13,00 9,36 5,00
6 71,05 68,66 66,98 65,82 16 14,75 11,59 8,48 4,64
7 69,37 66,60 64,69 63,41 17 12,71 10,08 7,46 4,18
8 64,99 61,78 59,65 58,27 18 10,58 8,45 6,31 3,60
9 57,03 53,31 50,97 49,57 19 8,23 6,61 4,98 2,88
10 42,69 38,50 36,16 34,92 20 5,34 4,31 3,27 1,92
Анализируя значения, полученные для условий 1 -ой подзадачи можно прийти к выводу о том, что по мере уменьшения величины промежутка Ь раскрытие трещины приобретает более ассиметричный характер (относительно центра трещины) с увеличением значений у зоны сближения трещин.
Определение коэффициента интенсивности напряжений
В рамках данной статьи КИН первого типа для системы из двух равнонагружен-ных трещин определялся на основе полученных значений разрывов смещений
1 п
Е
lim-
32 (1 - v2) x^iJT-
х
(2)
где I - половина длины трещины, м;
х - продольная координата с началом отсчета в центре трещины, м.
Для получения сравнительных характеристик с известными аналитическими моделями необходимо представить полученные значения разрывов смещений в аналитическом виде
(4)="«/(£).
(з)
где V(x) - вспомогательная функция, определяемая как
4(1 - v2) /— V(x) = - V - РвнЛ2
Е
x2
f (j) - регрессионное уравнение третьего порядка, определяемое как
(4)
fQ = *o + ai L + a2 Q + а3 (L) ,
(5)
где ао, а1, а2, аз - неизвестные коэффи- вов смещений (табл. 1, 2) были получены
циенты регрессии. значения коэффициентов регрессии для
Используя метод наименьших квадра- обеих подзадач. Результаты приведены в
тов (МНК) и полученные значения разры- таблице 3.
Таблица 3. Коэффициенты регрессии
Коэффициент регрессии Подзадача №1 Подзадача №2
ao 1,2408 1,26688
ai 0,0982 0,0034
a2 -0,0036 0,0023
a3 0,0001 -0,0001
Т.о., преобразовывая (2) подстановкой (3-5) можно получить выражение для коэффициента интенсивности напряжений в зависимости от конфигурации
\п1( L
= Рвя \—[a0 + + а2
L 2 L
— + аз —
b. b
(6)
Анализ полученных результатов
Сравнение полученной численной модели для подзадачи №1 (6) с известными аналитическими моделями (см. (2), (3)) для длины трещины Ь=5 мм приведено на рисунке 3.
3
Рис. 3. Сравнение значений КИН Значения КИН определенные из условий подзадачи №2 приведены на рисунке 4.
Рис. 4. Значения КИН
Для проведения количественного анализа расхождения полученного численного решения и аналитических решений по полученным расчетным значениям вычисляется относительная погрешность расчета
0 \Кая Кчм\
О = -—-100% ,
К™
(6)
где Кан - значение КИН полученное по моделям [2] и [3];
Кчм - значение КИН полученное численным методом по выражению (6).
Результаты расчета относительной погрешности приведены в таблице 4.
Таблица 4. Относительная погрешность расчета (%)
Аналитическое решение Величина промежутка b, мм
0,5 1 2 5
[21 19,6 27,7 34,3 40,3
[3] 8,6 9,7 10,4 11,0
Выводы
1. В настоящей статье разработана численная математическая модель (6) описывающая раскрытие двух коллинеарных трещин, нагруженных внутренним давлением.
2. Для конкретных исходных данных представлены значения разрывов смещений и КИН (табл. 1).
3. В результате расчета получено решение подзадачи №1, согласовывающееся с
решениями аналитических моделей (рисунок 3 и таблицу 2).
4. Принимая во внимание отсутствие сравнительных аналитических моделей для подзадачи №2 и основываясь на количественной оценке погрешности расчета подзадачи №1 в сравнении с известными решениями (таблицу 2) можно утверждать, что результаты, полученные при условии нагружения одной из двух трещин, обладают адекватностью и могут быть приме-
нены при описании процессов разрушения. Библиографический список
1. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: пер. с англ. б.м. - М.: Мир, 1987. - 328 с.
2. Ф., Нотт Дж. Основы механики разрушения: пер. с англ. б.м. - М.: "Металлургия", 1978. - 256 с.
3. Ито Ю., Мураками Ю., Хасебэ Н. и др. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2-х томах. Т. 1: пер. с англ. / под ред. Ю. Мураками. б.м. -М.: Мир, 1990. - 448 с.
DETERMINATION OF THE FIRST TYPE STRESS-INTENSITY FACTOR FOR TWO COLLINEAR CRACKS BY THE BOUNDARY ELEMENT METHOD
I.I. Anufriev, Postgraduate Student Orenburg State University (Russia, Orenburg)
Abstract. The article is devoted to the development of a mathematical model for describing the process of joint opening of two linear collinear cracks. A calculation algorithm is proposed that makes it possible to determine the stress intensity factor by the boundary element method. The purpose of this article is to develop an algorithm for numerical calculation of the stress intensity factor (hereinafter SIF) of the first type for two collinear cracks using the boundary element method. The results obtained in the framework of this article can be applied in solving problems of fracture mechanics and related scientific fields.
Keywords: boundary element method, stress intensity factor of the first type, displacement discontinuity.
