ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПЕРВОГО ТИПА ДЛЯ ДВУХ КОЛЛИНЕАРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТРЕЩИН МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ ПЕРВОГО ТИПА ДЛЯ ДВУХ КОЛЛИНЕАРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТРЕЩИН МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

И.И. Ануфриев, аспирант

Оренбургский государственный университет

(Россия, г. Оренбург)

DOI:10.24412/2500-1000-2023-1-1-44-48

Аннотация. В статье рассматривается напряженно-деформированное состояние двух линейных коллинеарных неоднородных трещин. В рамках данной работы производится разработка математической модели описания процесса совместного раскрытия рассматриваемых трещин. Предложен алгоритм расчета, позволяющий определить численную характеристику напряженно-деформированного состояния методом граничных элементов - коэффициент интенсивности напряжений. Приведены результаты, отражающие работоспособность полученной математической модели и позволяющие проводить дальнейшие исследования в области механики разрушения.

Ключевые слова: метод граничных элементов, коэффициент интенсивности напряжений первого типа, разрыв смещения.

Отсутствие математических моделей, описывающих рассматриваемый процесс численными методами, а также предоставление возможности для использования полученных результатов в области механики разрушения, обуславливают актуальность данной статьи.

Цель исследования

Целью данной статьи является разработка алгоритма численного расчета коэффициента интенсивности напряжений (далее КИН) первого типа для двух колли-неарных трещин, обладающих отличиями в механических свойствах, с помощью метода граничных элементов.

Постановка задачи

В статье рассматривается случай совместного раскрытия двух коллинеарных

трещин равной длины Ь, расположенных на расстоянии Ь друг от друга (рис. 1). Особенностью рассматриваемого случая является наличие материала-заполнителя в полости второй трещины, характеризуемого некоторым значением модуля Юнга Е*, отличного по значению от модуля окружающей сплошной среды Е. Под действием внутреннего давления рвн в левой трещине, деформированное состояние среды, описываемое непрерывными аналитическими функциями, претерпевает разрывы в окрестностях рассматриваемых трещин. Смещение противолежащих берегов трещины относительно друг друга представляет собой разрыв смещений в данной точке при определении деформированного состояния среды.

Рис. 1. Расчетная схема

В рамках данной статьи рассматриваются серия численных экспериментов, направленных на анализ напряженно-деформированного состояния трещин, которая производится исходя из следующих принятых исходных данных:

1) Длина трещины £=5-10-3 м;

2) Число граничных элементов на одной трещине #=100 шт.;

3) Коэффициент Пуассона у=0,25;

4) Внутреннее давление рвн=100Л06 Па.

5) Ширина промежутка между трещинами ¿=Ы0-3 м;

6) Модуль Юнга основного материала £=3-1010 Па;

7) Модуль Юнга материала-заполнителя второй трещины

Е* =

( 0 \ 0,25

0,50

0,75

\1,00/

Е =

8) Толщина слоя материала заполнителя И3ап= 10-3

м

Методика расчета

В рамках данной статьи рассматривается численный метод расчета - метод граничных элементов. Подробное описание методики численного расчета разрывов смещений приведено в [1].

0

0,75 1,50 2,25 \3,00/

1010Па

Расчет разрывов смещений

Определение разрывов смещений в трещинах по принятой расчетной схеме (см. рис. 1) производится аналогично методике рассмотренной в [2].

Результаты расчета приведены на графике 1. Из соображений симметрии расчетной схемы на графике приведены половины величин раскрытия трещин.

Рис. 2. Раскрытие трещин

Анализируя полученные значения можно прийти к выводу о том, что по мере уменьшения величины модуля Юнга материала-заполнителя (Е*) величина раскрытия второй трещины возрастает.

Определение коэффициента интенсивности напряжений

В рамках данной статьи КИН первого типа для системы из двух равнонагружен-ных трещин определялся на основе полученных значений разрывов смещений

К, =

п

Е

lim-

32(1-u2)x^VJ

(2)

х

где I - половина длины трещины, м;

х - продольная координата с началом отсчета в центре трещины, м.

Для получения сравнительных характеристик с известными аналитическими моделями необходимо представить полученные значения разрывов смещений в аналитическом виде

fl»(x,fH(x)K§),

(3)

где V(x) - вспомогательная функция, определяемая как

7(х) = -

4(1 - и2)

F

■Ре

х2

(4)

/ - регрессионное уравнение, определяемое как

/£*\ £* /Я*\2 /£*\3 /£*\4

/"Ы^о + ^ + Ц^ + + ,

(5)

где ао, а.1, а2, аз, а.4 - неизвестные коэф- вов смещений были получены значения

фициенты регрессии. коэффициентов регрессии, соответствую-

Используя метод наименьших квадра- щие выражению (5). Результаты приведе-

тов (МНК) и полученные значения разры- ны в таблице 3.

Таблица 3. Коэффициенты регрессии

Коэффициент регрессии Значение, 10-5

ao 1,21

a1 -0,55

a2 1,34

a3 -1,44

a4 0,56

Т.о., преобразовывая (2) подстановкой (3-5) можно получить выражение для коэффициента интенсивности напряжений в

зависимости от степени неоднородности

I Е\

трещин (отношение —) расчетной схемы

InL ( Я* /£*\2 /£*\3 /£*\4

^ = Рен |у ( ao + a^ + «2 (у) + аз (у) + «4 (у)

Анализ полученных результатов

Результаты, полученные с использова- приведены на графике 2. нием определенной регрессионной кривой

Е*/Е

Рис. 3. Зависимость КИН от степени неоднородности трещин

Исходя из полученных результатов модно сделать вывод о том, что по мере упрочнения материала-заполнителя по сравнению с окружающей средой значение КИН уменьшается, что свидетельствует о меньшей величине раскрытия трещин.

Выводы

1. В настоящей статье разработана численная математическая модель (6) описывающая раскрытие двух коллинеарных не-

однородных трещин, одна из которых нагружена внутренним давлением.

2. Для конкретных исходных данных представлены значения разрывов смещений (см. график 1).

3. В результате расчета, основанного на методике, представленной в работе [2] получены результаты, обладающие научной новизной ввиду отсутствия сравнительных аналогов аналитического и численного характера.

Библиографический список

1. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: пер. с англ. б.м. - М.: Мир, 1987. - 328 с.

2. Ануфриев И.И. Определение коэффициента интенсивности напряжений первого типа для двух коллинеарных трещин методом граничных элементов // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2022. - №10-2.

DETERMINATION OF THE STRESS-INTENSITY FACTOR OF THE FIRST TYPE FOR TWO COLLINEAR INHOMOGENEOUS CRACKS BY THE BOUNDARY

ELEMENT METHOD

I.I. Anufriev, Postgraduate Student Orenburg State University (Russia, Orenburg)

Abstract. The article considers the stress-strain state of two linear collinear inhomogeneous cracks. Within the framework of this work, a mathematical model is being developed to describe the process of joint opening of the considered cracks. A calculation algorithm is proposed that makes it possible to determine the numerical characteristic of the stress-strain state by the method of boundary elements - the stress intensity factor. Results are presented that reflect the performance of the obtained mathematical model and allow further research in the field of fracture mechanics.

Keywords: boundary element method, stress intensity factor of the first type, displacement discontinuity.