CC BY
18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАЗМЫ ПО ЭВОЛЮЦИИ
МЯГКОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦР НАГРЕВА НА Т-10
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
v
физика термоядерной плазмы
1.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАЗМЫ ПО ЭВОЛЮЦИИ МЯГКОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦР НАГРЕВА НА Т-10
Андреев Валерий Филиппович, старший научный сотрудник, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, vfandreev@gmail.com
Сушков Алексей Васильевич, старший научный сотрудник, отдел Т-10, ОТ БТИ КЯТК НИЦ «Курчатовский институт»
Аннотация. В работе предложен и реализован алгоритм восстановления электронной температуры плазмы из измерений мягкого рентгеновского излучения. Проведенное сравнение с экспериментальными измерениями электронной температуры по 2-й гармонике электронно-циклотронного излучения показало их хорошее соответствие. Данный метод можно использовать для анализа экспериментов, в которых необходимо иметь хорошее пространственное и временное разрешение эволюции электронной температуры плазмы.
Ключевые слова: плазма, электронная температура, мягкое рентгеновское излучение, абелизация, обратная задача.
1.8. DETERMINATION OF ELECTRONIC TEMPERATURE CHANGE OF PLASMA ON THE EVOLUTION OF SOFT X-RAY AFTER SWITCHING ON/OFF OF THE ECE HEATING IN T-10 TOKAMAK
Andreev Valery Filippovich, senior researcher, Institute for Problems of the Safe Development of the Atomic Energy of the Russian Academy of Sciences, vfandreev@gmail.com
Sushkov Alexey Vasilievich, senior sesearcher, Department T-10, National Research Centre «Kurchatov Institute»
Abstact. An algorithm for the reconstruction of the electron plasma temperature from measurements of soft X-ray is proposed and implemented. The comparison with the experimental measurements of the electron temperature by the 2nd harmonic of electron-cyclotron emission showed their good agreement. This method can be used to analyze experiments in which it is necessary to have a good spatial and temporal resolution of the evolution of the electron plasma temperature.
Key words: plasma, electron temperature, soft x-ray emission, abelization, inverse problem.
Введение
Восстановление профиля ЭЦР нагрева и коэффициентов переноса в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева требует знания эволюции электронной температуры с высокой степенью точности [1-4]. Поэтому необходима диагностика с хорошим пространственным и временным разрешением для измерения электронной температуры. Хорошее пространственное разрешение необходимо, т.к. полуширина профиля вложенной мощности составляет всего несколько сантиметров. Высокое временное разрешение необходимо, т.к. задача нахождения профиля вложенной мощности решается на достаточно малых временах, чтобы можно было пренебречь изменением интегральных параметров плазмы.
На установке Т-10 имеется диагностика мягкого рентгеновского излучения (SXR), которая обладает хорошим пространственным (~1 см) и временным (~19 мкс) разрешением.
Данная диагностика, в отличие от измерения электронной температуры по второй гармонике электронно-циклотронного излучения, оказывается нечувствительной к частоте, на которой работают гиротроны. Это позволяет получать экспериментальные сигналы по всему радиусу плазмы.
Диагностика SXR интересна еще тем, что позволяет определять профиль в плазме. Если известна электронная температура и плотность плазмы, то задача нахождения неизвестной функции может быть сформулирована, как задача абелизации. Аналогично, если известна электронная температура плазмы и зависимость ^(г), то можно поставить обратную задачу нахождения неизвестной плотности электронов пе = пе(г).
В работе формулируется обратная задача (задачи абелизации) для вычисления электронной температуры плазмы по эволюции мягкого рентгеновского излучения в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева.
Рассматривается несколько алгоритмов ее решения, проводится сравнение их эффективности и точности. Для конкретных импульсов на токамаке Т-10 приведены результаты вычисления электронной температуры плазмы после включения/отключения ЭЦР нагрева и дано сравнение с измерениями по 2-й гармонике электронно-циклотронного излучения.
1. Основные формулы связи SXR
и электронной температуры плазмы
В данном пункте приводятся формулы, связывающие электронную температуру плазмы и интенсивность мягкого рентгеновского излучения. Рентгеновское излучение высокотемпературной плазмы складывается из непрерывного тормозного и рекомбинационного излучений, а также линейчатого излучения «оптического» типа. Здесь будем рассматривать случай максвелловского распределения электронов по скоростям, а также будем считать, что все атомы в плазме являются полностью ионизованными. Это вполне оправданно, так как температура электронов плазмы в тока-маке заведомо превышает температуру ионизации основных примесей, дающих вклад в мягкое рентгеновское излучение (углерод и водород).
Тормозное излучение с учетом всех сортов примесей полностью ионизованных атомов выражается следующей формулой [5-9]:
| dW |
i "df
3 101
"е Е "J
ff
-1/2 E
exp --
keV 'ej
ЯтРе, E). (1)
dW dE
3 -1011 nen,Zf
fb -1/2
xJ-^^- exp N Te
Е
keV
Г2Х,
exp(-E/Te)gfbi(Te, E)x (2)
(N + Jj
exp
Xh
(N + Jj
Для нахождения плотности протонов пр и плотности примесей ионов углерода пс воспользуемся формулой для эффективного заряда плазмы:
Zeff = Zp +Е Z ( - ZP
(3)
В формуле (3) сумма берется по всем имеющимся примесям, Zeff - эффективный средний заряд плазмы, Zр = 1 - заряд протона. В нашем случае основной примесью является углерод Zс = 6, поэтому для плотности протонов пр и плотности примесей ионов углерода пС получаем следующие соотношения:
Zc (ZC - Zp,
' np = П- - ZC nc
(4)
:Zc(ZC
zcz - Zp)
ZC - ZP
Окончательно, для суммарного тормозного излучения полностью ионизованных атомов водорода и углерода имеем формулу:
(5)
Для суммарного рекомбинационного излучения полностью ионизованных атомов водорода и углерода имеем формулу:
Рекомбинационное излучение с учетом всех сортов примесей полностью ионизованных атомов выражается следующей формулой [5-9]:
3 101
-1/2
exp(-E / Te
Zc - Zp
+
keV
Zp2gfbp (Te, E(Zp, Te) ■Z2cgfbc (Te, E(Zc, Te;
(6)
где
/fb (Zi, Te,
где gffi(Te, E), gfti(Te, E) - free-free и free-bound гаунт факторы для /-го сорта ионов; E - энергия фотона в кэВ; Te - электронная температура в кэВ; xH - потенциал ионизации водорода в кэВ; х/ = Z2-xH - потенциал ионизации атома с зарядом Z в кэВ; ^ (<2N2) - число вакансий в атоме на N-уровне. В нашем случае ^ = 2, xH = 0,0136, N = 1, ne - плотность электронов, n/ - плотность ионов сорта /, Z - заряд полностью ионизированного атома сорта /. Сумма в (1), (2) берется по всем сортам ионов.
Будем рассматривать диапазон температур в плазме Te < 10 кэВ, в котором практически отсутствует линейчатое излучение. Это означает, что при интегрировании по энергиям вклад в интеграл дают только непрерывные излучения. Таким образом, полное рентгеновское излучение будет состоять только из тормозного и рекомбинационного излучения.
В дальнейшем, будем рассматривать водородную плазму, в которой основной примесью является углерод из-за наличия углеродной диафрагмы в токамаке. Поэтому в формулах (1)-(2) остаются только члены, связанные с атомами водорода и углерода, т.е. учитывается только тормозное и рекомбинационное излучения протонов и ионов углерода.
Ах
N3 Te
exp
-Е
2Хн
J = 1 Te (N + Jj
exp
(N + Jj
(7)
Обозначим через ф(Е) функцию детектора, тогда измеряемое детектором рентгеновское излучение запишется в следующем виде:
w = ап2е /Л Те, Е)ехр(—Е/Те)рр(Е)-=, (8)
0 \Те
а = 48,6.
Здесь величины приведены в следующих единицах: плотность электронов пе - [1019 м-3]; электронная температура Те - [КэВ]; мощность рентгеновского излучения М- [Вт • м-3]; а - размерный множитель.
Функция/Е(Zeff, Те, Е) - определяется соотношением:
кТе, Е) = [gffp (Те , Е) + дЛр (Те , Е(Zp , Те )]+ (9)
+ ^-Ь- Zc2 \gffc (Те , Е) + дЛс (Те , Е(ZC , Те )].
ZC - Zeff
Zc - -ZP
Zeff - ZP
-
X
1026 cm-3
fb
X
sec 10 cm-3
Z
2
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
В дальнейших численных расчетах, гаунт факторы дт(Те, Е), д^(Ге, Е) заменяются усредненными значениями, независящими от электронной температуры и энергии фотона [5-7]. При таких предположениях формула (8) примет вид:
где
(10)
(11)
+
Формулы (10)-(11) определяют локальную мощность рентгеновского излучения исходящей из некоторой точки плазмы. Данные формулы будут использоваться в дальнейшем для определения электронной температуры плазмы.
2. Постановка задачи абелизации
Пусть К - число каналов измерения хордовых сигналов рентгеновского излучения, Iк(^ - соответствующие экспериментальные величины. Для того чтобы связать локальную интенсивность рентгеновского излучения } с реально измеряемыми интегральными значениями 1к необходимо проинтегрировать функцию } по лучу, соответствующему конкретному каналу измерения, т.е.
-к
Ik (t) = J J(l, t)dl, k = 1.....K,
Задача абелизации формулируется следующим образом: для каждого момента времени t необходимо найти такую функцию }(I, которая минимизировала бы следующий функционал невязки:
т2
(* )=1 ifJ (', t)d' - k (t)
(13)
Переменная l вдоль луча интегрирования определяется соотношением
-я
(14)
где (r, z) - прямоугольная сетка; (r,k, z,k) - координата начала
пересечения k-го луча с областью плазмы; (r2,
z*)
коор-
дината конца пересечения к-го луча с областью плазмы; 1к -длина пути по плазме для к-го канала измерения
-(М - z
(15)
разложение по моментам, таким как: смещение плазмы по горизонтали и вертикали, эллиптичность, треугольность плазмы по горизонтали и вертикали [15] или рассчитано по двумерным кодам. Более удобно, когда равновесие плазмы задано в виде распределения функции полоидального магнитного потока Ф(г, z) = const на прямоугольной сетке (r, z). В этом случае, зная геометрическое расположение детектора и функцию Ф(г, z), можно для каждого канала измерения определить по какой именно плазменной области проходит луч наблюдения.
Введем полоидальный потоковый радиус ppol в следующем виде:
РрсГ
Y (г, z)- Ym
Y
Y
(16)
где Фтах - величина полоидального потока на магнитной оси; Ф - величина полоидального потока на границе плазмы (или на сепаратрисе). Переменная рро| определяется таким образом, чтобы рро| = 0 на магнитной оси и рро| = 1 на границе плазмы (или на сепаратрисе).
Опишем алгоритм решения задачи абелизации (13)-(15). Первым шагом алгоритма является привязка канала измерения к конкретному радиусу р. Для этого, на каждом луче наблюдения находится зависимость Фк(!), к = 1, ... , N. Далее по формулам (14), (16) определяется функция р(1) на данном луче. По найденной зависимости р(1) находится максимальное значение р . Полученное р, = р и соответствует принтах ' г к гтах ' г
вязке к-го канала измерения к некоторому полоидальному радиусу.
Заметим, что если равновесие плазмы меняется со временем, то описанную процедуру привязки канала наблюде-(12) ния к конкретному радиусу р | необходимо осуществлять для каждого момента времени. В этом случае должно быть рк(^ = ртахМ. Здесь будем предполагать, что равновесие плазмы за рассматриваемые времена изменяется слабо, и этим будем пренебрегать.
Таким образом, для к-го канала измерения можно записать:
(17)
Ik (t) = I(Pk, t).
Выберем некоторый базис /(р), / = 1, ... , N, а искомую функцию распределения интенсивности рентгеновского излучение по радиусу J(р, ^ представим в виде:
7(р, t) = £с,.(t)f (р),
(18)
где с (^ - неизвестные коэффициенты, зависящие только от времени.
Перепишем интеграл по лучу (12) следующим образом. Разделим длину луча на N - 1 отрезков, т.е.
:Е((+1-i=i
Основным предположением, на котором основан алгоритм решения данной обратной задачи, является следующее: предположим, что интенсивность рентгеновского сигнала является одномерной функцией, т.е. J = J (р, где р -метка магнитной поверхности. Поэтому, в дальнейшем, решение задачи абелизации ищется в виде разложения по некоторому базису функций, которые зависят только от одной переменной р [10-14].
Следующим предположением при разработке алгоритма решения задачи абелизации (13)-(15) является то, что предполагается известным равновесие плазмы. Равновесие плазмы может быть задано параметрическим образом через
Каждому А можно сопоставить (г, z) и, соответственно, Ф(г, z.|), а значит и р/, т.е. А ^ (г/, z) ^ ф(г, z/) ^ р/. Интеграл по лучу для к-го канала запишем, используя формулу трапеций, следующим образом:
I(Pk, i) = J7(/)d/ = £
N-1J (/;J
(A)
(
-/,)
(19)
о ' =1
В дальнейшем, для удобства записи, в формулах будем использовать обозначения
f ((
f (+
f (i,)
aa = a
-A.
(20)
J
и
2
Используя соответствие длины А и полоидального радиуса pf, а также формулу (18) интеграл (19) примет вид:
ЧС N — 1
I (р, t )=J J (i, t)di = E J (/;, t )д/,=
:E J /яг, t )д/, = E
1 E(t) fj (P, + ! ) + E(t) fj (Pi )
j=i
j=i
2
-AI:
:E
cy (t )E fj (рг) AI, =E ^ (t )(El fj (рг ) AI, J[. j=1 j=1 l'=1
Таким образом, решение задачи абелизации (13)-(15) сведено к определению констант c.(t) для каждого момента времени t из минимума следующего функционала:
1 K i M N-1
^(i) = 1 Е|Е(i)E// (р/ )А//-1(Pk, t)[ ^min. (22)
2 k = l[ / = 1 i = 1
Пусть решение задачи (18), (22) дает распределение интенсивности рентгеновского излучения по радиусу J(p, t). Если при этом известно распределение плотности электронов по радиусу ne(p, t) и Zeff(p) то, используя формулы (10)-(11), получаем:
Te (P. t)
J (P, t)
n (p, t;
(23)
Решение трансцендентного уравнения (24) и дает искомое распределение электронной температуры по радиусу Ге(р, t) для каждого момента времени t.
Сделаем следующие комментарии к постановке и алгоритму решения задачи абелизации.
1. Исходная задача (13) является некорректной. Это означает, что линии уровня функционала (22) имеют овраги, что значительно ухудшает сходимость численного алгоритма.
2. Уравнение (13) имеет вид уравнения Вольтерра. Поэтому значение J(p, t) на периферии будут определяться устойчиво, а значения J(p, t) при р ~ 0 будут определяться со значительной ошибкой.
3. Существует трудность выбора базисных функций f.(p), которые позволяли бы максимально точно описать поведение интенсивности рентгена J(p, t) по всему радиусу.
4. Функция J(p,t) экспоненциально мала на границе плазмы при р ~ 1, а обратная функция F _1 является плохо обусловленной при малых температурах Te. Это означает, что имеется большая погрешность в вычислении температуры плазмы по формуле (23) вблизи границы р ~ 1.
Существует несколько возможных способов решения указанных проблем.
1. Введение дополнительных условий, которые улучшали бы корректность задачи.
2. Выбор базисных функций с заданным поведением в центре, т.е. дополнительная регуляризация в центре плазменного шнура.
3. Формулировка задачи абелизации (22) с учетом особенностей конкретной физической задачи.
В последующих пунктах будут рассмотрены алгоритмы решения задачи абелизации (22), в которых для улучшения корректности обратной задачи учитывается дополнительная информация о решении.
3. Задача абелизации для приращений мягкого рентгеновского излучения
Как уже отмечалось во введении, мягкий рентген используется для вычисления температуры электронов, которая необходима в задаче определения профиля ЭЦР нагрева и коэффициентов переноса в переходном процессе после включения/отключения гиротронов [2, 4]. Данная задача формулируется в отклонениях от стационарных параметров плазмы и рассматривается на достаточно малых временах, чтобы можно было бы ограничиться только линейным приближением. Оказывается, если учесть данную информацию, то задачу абелизации (18), (22) можно переформулировать, чем значительно упростить алгоритм ее решения.
Основная идея предлагаемого подхода заключается в том, чтобы при решении задачи абелизации выделить основную часть и меняющуюся малую добавку в мягком рентгеновском излучении. Соответственно, решение обратной задачи разбивается на два этапа: решение задачи абелиза-ции на стационаре и решение задачи абелизации для переходного процесса. Такой подход позволяет естественным образом учесть граничные условия, поведение интенсивности рентгена для каждой из обратных задач и с хорошей точностью описать структуру малого приращения. Соответственно, для решения каждой из задач абелизации используются разные базисные функции.
Рассмотрим постановку задачи абелизации в терминах приращений от стационарного состояния плазмы. Пусть на стационаре плазма имеет температуру Tes(p), плотность электронов neS(p), интенсивность рентгеновского излучения JS (р) и, соответственно, экспериментальные значения рентгена Is (рк ). Представим искомые и известные функции в виде стационарных величин и отклонений от них:
I (â, t )=Is (ä )+' (Pk, t ); Te (p, t ) = TeS (p) + T (p, t); ne (p, t) = n$s (p) + n(p, t);
J (p, t)=JS (p)+J (p, t).
(24)
Таким образом, последовательность шагов при решении задачи абелизации следующая. Во-первых, разлагаем стационарное радиальное распределение интенсивности рентгеновского излучения по некоторому базису:
(p)=e с;/! (p). i=i
(25)
и решаем задачу абелизации для стационарных значений параметров плазмы
л к i M
= 2 E E
2 k = 1 I j = 1
E f (рг M
—k (Pk)
►min. (26)
В результате, находим стационарное распределение интенсивности рентгеновского излучения по радиусу Js(р).
Во-вторых, разлагаем радиальное распределение приращения интенсивности рентгеновского излучения в каждый момент времени t по другому базису:
J(p, t) = E(t) fj (P).
j = i
0
1
2
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
и решаем задачу абелизации для приращения интенсивности рентгеновского излучения в каждый момент времени t:
л к I M
э k )=1 £ te «
- k = 1|/ = 1
£ fj (р;)м,- -h (Pk, t)[ ^ min. (28)
В результате, находим распределение приращения интенсивности рентгеновского излучения по радиусу в каждый момент времени J (р, t).
Для вычисления электроннойтемпературы изинтенсивно-стирентгеновскогоизлучения преобразуемформулы(10)-(11) с учетом формулы (24):
W (р, t) = nl (p, t)F [Zeff, Te (p, t)] =
= [nS (p)+ П (p, t)] 2 F [ Zeff, TeS (p) + T (p, t)] «
~[nf (P) + [nS (P)]
FlZef
Te (P) Te (P)
2П (p, t)
Te (p)
s (p) t (p,
(29)
Te (p)
n (p' ^ f (p' (
W (p, t)« Ws (p
ws (p)=[nes (p"1 W (p, t ) = [nes (p"
-W (p,
Fl Z„,
F's l Ze
Ts (p)] ; ~T~e (p)] T (p, t)
(30)
t (p,
£ гi (t) f (p;
i=i
nS (p)] F's [Zeff, TS (p)
(31)
температуры. Алгоритм решения задачи абелизации в этом случае остается без изменений, так как формула (30) линейна относительно приращения температуры. В этом случае изменится только второй шаг алгоритма, который будет выглядеть следующим образом.
Разложим радиальное приращение электронной температуры по некоторому базису:
f (p, t) = £ Cj (t) f (p).
(32)
Задача абелизации (28), с учетом формулы (30), сводится к минимизации функционала:
Kt)=1
£Cj(t) £ Ff (р;Ц -h (р,, t) ^ min. (33)
где
F (p) = [«eS (p)] F's [Zef
Ff (p;,
F (p,+1) (p,
ts (p)] ;
-f (p, )i (p,;
(34)
2
В формуле (29) мы пренебрегаем членами второго порядка малости и изменением Zeff на рассматриваемых временах. В дальнейшем, также будем предполагать, что изменение плотности по сравнению с изменением температуры на этих временах мало, т.е.
Решение (33), (34) позволяется сразу найти приращение температуры по радиусу. Используя формулу (31), легко вычислить приращение интенсивности рентгеновского излучения:
W (p, t ) = F (p)T (p, t)
(35)
П (р) г/ (р)
Поэтому будем пренебрегать членом, связанным с изменением плотности плазмы. Однако, если изменение плотности п (р, t) измеряется, то оно может быть учтено в (29). Окончательно, имеем:
Третьим, заключительным шагом нашего алгоритма, является вычисление радиального приращения температуры в каждый момент времени ^ исходя из формул (27), (30):
Формула (31), в отличие от (23), позволяет найти температуру с меньшей погрешностью при стремлении к границе плазмы. Так как стационарная температура Тег(р) и плотность электронов пег(р) являются заданными, а это значит, что определен и знаменатель в формуле (31). Поэтому, для вычисления температуры, с минимальной погрешностью, достаточно в формуле (27) выбрать базисные функции с заданным стремлением к нулю на границе плазмы (например, быстрее, чем стремится к нулю знаменатель формулы (31)). Отметим, что приращение М не имеет экспоненциального стремления к нулю при р ^ 0.
Сделаем следующее важное замечание. В действительности, вышеизложенный алгоритм позволяет сразу сформулировать задачу для нахождения радиального приращения
Сделаем следующее замечание. В отличие от формулы (23) нахождение температуры по формуле (35) не дает дополнительной вычисленной погрешности, из-за экспоненциального убывания функции Р (р) (34) при р ~ 1. В этом случае поведение температуры на границе плазмы определяется только выбором базисных функций в формуле (32).
Основным преимуществом вышеизложенного подхода решения задачи абелизации является использование разных базисных функций для стационарной стадии и для динамического переходного процесса. Переход к постановке задачи для нахождения приращения температуры позволяет естественным образом учесть граничные условия и поведение искомой функции вблизи границы плазмы и избавиться от вычислительной погрешности, возникающей при обращении функции в формуле (23).
4. Задача абелизации
для относительных приращений мягкого рентгеновского излучения
Алгоритм решения задачи абелизации, изложенный в пунктах 2, 3 работает в тех предположениях, что экспериментальные сигналы мягкого рентгеновского излучения от разных каналов хорошо калиброваны относительно друг друга. Если калибровка каналов может быть осуществлена независимо на основе других методов, то вопрос взаимной калибровки измерений для разных каналов отпадает. В действительности, из-за неточностей в измерительной аппаратуре или из-за других неучтенных факторов, экспериментальные сигналы для разных каналов измерения могут оказаться рассогласованными. Поэтому возникает задача калибровки сигналов рентгеновского излучения для разных каналов друг относительно друга. В данном параграфе рассматриваются два способа калибровки каналов измерения. Предлагаемые способы калибровки, в свою очередь, порождают соответствующие изменения в алгоритме абелизации.
2
1
1
2
1
1
В этом параграфе рассмотрим алгоритм нахождения электронной температуры, когда при решении задачи абелизации используется относительное изменение сигналов мягкого рентгеновского излучения в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева. Такой подход позволяет более точно вычислять эволюцию электронной температуры. Отметим, что, как правило, относительное изменение сигналов вычисляется с очень высокой точностью.
Для каждого канала измерения, соответствующего конкретному радиусу pk, введем относительное изменение хордовых сигналов рентгена во времени
осуществить калибровку каналов измерения на стационарную температуру следующим образом.
Вводим новую функцию ф(р, ^ - относительное изменение температуры
Te (p, t ) = Tes (р) ф(р, t ), T (p, t) = Tes (p) p (p, t);
p(p, t) = TesH-. P (p, t ) = p(p, t)-i.
Te ^ t )
(41)
ф(Рк '
I (Pk ,
Для интенсивности рентгеновского излучения имеем следующие формулы:
IS (Pk )
Ф(Pk' t) = 9(Pk' t)-l.
(36)
W (p, Ws (p) + W (p, t); Ws (p) = [nes (p)]2 F [Zeff, Tes (p)] ;
(42)
W (p, t ) = [neS (p)] F's [ Zeff, TS (p)] TeS (p) ф (p, t).
Соответственно, хордовые сигналы рентгена на стационаре и на динамической переходной стадии представляются в следующем виде:
I(рк, *) = I5 (рк )ф(рк, Г), 1(рк, Г) = I5 (рк )Ф(рк, Г). (37)
Таким образом, задача калибровки каналов измерения
сводится к нахождению только функции I3 (р.), так как функ- ные значения 13 (рк). Формулы (36), (37) дают эксперимен-
Проинтегрировав интенсивность Мг(р) по лучу, соответствующую каждому каналу измерения, находим стационар-
ции ф(рк, t) и ф(рк, t) известны из эксперимента.
Первый возможный способ калибровки каналов, состоит в следующем. Предположим, что на стационарной стадии имеется хорошо калиброванный профиль рентгена, тогда по вышеописанному алгоритму (25), (26) решается задача абелизации для стационарных значений и находится профиль интенсивности рентгеновского сигнала JS(p). Интегрирование найденного стационарного распределения JS (р) и дает требуемое значение интеграла на стационаре Is (pk ).
Следует отметить, что при такой калибровке измерений изменяется постановка задачи абелизации для определения приращения интенсивности рентгеновского сигнала. Аналогично (36), (37) представим его в следующем виде:
J (p, t ) = JS (р)ф(р, t ), J(p, t) = JS (р)ф (p, t );
/ \ J (P. t) ч , ч (38)
, ф (p, t)=t)- 1.
J (p, t)
Тогда задача нахождения приращения рентгеновского излучения J (p, t) (28)-(29) может быть сформулирована, как задача нахождения функции ф(р, t). Разлагаем радиальное распределение ф(р, t) в каждый момент времени t по некоторому базису:
тальные значения сигналов. При таком способе калибровки каналов задача для нахождения температуры (32), (33) может быть сформулирована, как задача определения функции ф(р, t). Разлагаем распределение данной функции по радиусу в каждый момент времени t по некоторому базису:
ф (p, t)=E f (t) i (р).
,=1
и решаем следующую задачу абелизации:
§ (i) =
-, K I M [n-1
= 1 Et f (t) E f (рГ - 'S (p* )ф (p*, t ) - min,
(43)
(44)
- * = 11 y = 1
где
F (P) = ["f (P)] F' [Zeff, 7? (p)] 7? (p)
Ff (Pi,
_F(Pw )fj ) + F (P,- )f (P,- ) 2
(45)
ф (p, f )=Ef(i) f (p).
i=i
и решаем следующую задачу абелизации:
(39)
л K i M
§ (t)=1E te (t)
■ k=il;=i
E JS (рГ W-
-|S (Pk )Ф(Pk -1) — min;
JS
Pi,
js (pi+i ) (p,+i )+js (p, )f; (p,-; 2
В результате, по формуле (38) находим радиальное распределение приращения интенсивности рентгеновского излучения в каждый момент времени Л (р,
Второй, возможный способ калибровки каналов, состоит в следующем. Предположим, что на стационарной стадии известны стационарные значения температуры электронов Т3(р), плотности пег(р) и значение Zeff(р), тогда можно
В результате, по формуле (41) находим радиальное распределение приращения электронной температуры в каждый момент времени.
Таким образом, выбранный способ калибровки каналов измерения порождает соответствующие изменения в алгоритме решения задачи абелизации. Достоинство такого подхода состоит в том, что в явном виде выделяется стационарная, не изменяющаяся часть решения, и изменяющаяся его часть. Решение ищется в безразмерном виде, что также повышает точность решения задачи абелизации. Фактически, в явном виде выделяются весовые множители для каждой точки по пространству - стационарное распределение электронной температуры.
5. Результаты численных расчетов
Приведем результаты численных расчетов на основе изложенных выше алгоритмов абелизации.
На рис. 1 приведены радиальные профили стационарной электронной температуры Ге(р) и электронной плотности пе(р) для разряда #23281 перед отключением дополнительного ЭЦР нагрева.
2
i
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПЛАЗМЫ ПО ЭВОЛЮЦИИ
МЯГКОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦР НАГРЕВА НА Т-10
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
соответствует Zeff = 2,0, кривая 2 соответствует Zeff = 2,5, кривая 3 соответствует 7еЯ = 3,0.
На рис. 3, в дана зависимость функции F'(Zeff, Те)*Те (11) от температуры при различном среднем Zeff. Кривая 1 соответствует Zeff = 2,0, кривая 2 соответствует Zeff = 2,5, кривая 3 соответствует Zeff = 3,0.
На рис. 3, г показана зависимость функций у1 = Я(Г,),
у2 = F'(Г,), у3 = F'(Te)*Te (11) от температуры при среднем ^ = 2,5.e
140
Рис. 1. Радиальные профили стационарной электронной температуры Т (р) и плотности п (р) для разряда #23281 перед отключением ЭЦР нагрева
На рис. 2 дана зависимость функции детектора ф от энергии Е для детектора, который используется при измерении мягкого рентгеновского излучения на токамаке Т-10.
Рис. 2. Зависимость функции детектора ф от энергии Е для детектора, который используется при измерении рентгеновского излучения на токамаке Т-10
На рис. 3, а показана зависимость функции Яг,) (11) от температуры при различном среднем Zeff. Кривая 1 соответствует Zeff = 2,0, кривая 2 соответствует Zeff = 2,5, кривая 3 соответствует Zeff = 3,0.
На рис. 3, б приведена зависимость функции F'г,) (11) от температуры при различном среднем Zeff. Кривая 1
Рис. 3, а. Зависимость функции Я(1ф, Г.) (11) от температуры при различном среднем Кривая 1 соответствует = 2,0, кривая 2 соответствует = 2,5, кривая 3 соответствует = 3,0
Рис. 3, б. Зависимость функции F'^^ Г.) (29) от температуры при
различном среднем Zeff. Кривая 1 соответствует Zeff = 2,0, кривая 2 соответствует Zeff = 2,5, кривая 3 соответствует Zeff = 3,0
Рис. 3, в. Зависимость функции F'^^ Г^Г, (29) от температуры
при различном среднем Zeff. Кривая 1 соответствует Zeff = 2,0, кривая 2 соответствует Zeff = 2,5, кривая 3 соответствует Zeff = 3,0
#23281
J 15 -
800 802 804 806 808 810 t, мс
Рис. 4. Временная эволюция сигналов рентгеновского излучения
для нескольких каналов измерения. Каналы привязаны к соответствующему нормированному полоидального радиусу р
110 100 90 80 70
d
га 60
а? 50 40 30 20 10
: У1 = ЯГ8)
:---уг = Рт.Ю
: .......... y3 = W.
/ / ........ Уз
/ /
/'-Av
: !
: Ч
u " '¡Уi........................... — — -» ..................
4 5 6 Ге, кеВ г
10
Рис. 3, г. Зависимость функций y1 = F(Te), y2 = F'(Te), y3 = F' (Te)Te (11) от температуры при среднем = 2,5
На рис. 4 приведены временные сигналы рентгеновского излучения для нескольких каналов измерения. Каналы уже привязаны к соответствующему нормированному полои-дального радиусу р.
На рис. 5 показаны радиальные приращения интегрального рентгеновского излучения для разных моментов времени после отключения гиротронов: t1 = 801,5 мс, t2 = 802,5 мс, t3 = 803,0 мс, t4 = 804,5 мс, t5 = 806,0 мс, t6 = 807,5 мс, t7 = 809,0 мс, t8 = 810,0 мс. Символы - экспериментальные значения, сплошные кривые - решение задачи абелизации (12), (13).
f = 801,5 t = 802,5 t = 803,0 t = 804,5 t = 806,0 t = 807,5 t = 809,0 t= 810,0
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 P
Рис. 5. Радиальные приращения интегрального рентгеновского излучения для нескольких моментов времени после отключения гиротронов: t1 = 801,5 мс, t2 = 802,5 мс, t3 = 803,0 мс, t4 = 804,5 мс, t5 = 806,0 мс, t6 = 807,5 мс, t7 = 809,0 мс, t8 = 810,0 мс. Символы - экспериментальные значения, сплошные кривые - решение задачи абелизации (8)-(13)
На рис. 6 приведены радиальные приращения температуры электронов Г,(р, t) полученные из решения задачи абелизации (8)-(13) на основе решения трансцендентного уравнения (23). Результаты даны для восьми различных моментов времени, соответствующие интенсивности рентгеновского излучения, приведенные на рис. 5.
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
500
450
400
350
300
m 250
к" <
200
150
100
Рис. 6. Радиальные профили приращения температуры электронов Т (р, t) полученные из решения задачи абелизации (8)-(13) на основе решения трансцендентного уравнения (23). Результаты приведены для моментов времени, соответствующих интегральному рентгеновскому излучению, приведенному на рис. 5
100
At = 1,9 мс
Рис. 7а. Радиальные профили приращения температуры электронов T (р, t) полученные из решения задачи абелизации (8)-(13). Звездочки - экспериментальная электронная температура, измеренная по 2-й гармоники ЭЦИ для двух моментов времени после включения нецентрального гиротрона
На рис. 7 и 8 показано сравнение электронной температуры, найденной по рентгеновскому излучению с помощью решения задачи абелизации, и электронной температуры, измеренной по 2-й гармонике ЭЦИ излучения.
На рис. 7, а и б приведены радиальные профили приращения температуры электронов Те(р, t) полученные из решения задачи абелизации (8)-(13). Звездочки - экспериментальная электронная температура, измеренная по 2-й гармонике ЭЦИ для четырех моментов времени после включения нецентрального гиротрона.
Сравнение электронной температуры, восстановленной из мягкого рентгеновского излучения, и экспериментально измеренной температуры с помощью ЭЦИ излучения показывает их хорошее согласие, что подтверждает эффективность предложенного метода.
200
At = 5,9 мс
Рис. 7б. Радиальные профили приращения температуры электронов Т (р, t) полученные из решения задачи абелизации (8)-(13). Звездочки - экспериментальная электронная температура, измеренная по 2-й гармоники ЭЦИ для двух моментов времени после включения нецентрального гиротрона
6. Выводы
Предложены несколько алгоритмов вычисления электронной температуры плазмы по эволюции мягкого рентгеновского излучения в переходном процессе после включения или отключения ЭЦР нагрева на установке Т-10.
Задача абелизации сведена к двум последовательным задачам:
1) задача абелизации для стационарных значений;
2) задача абелизации для приращений.
Такой подход позволил естественным образом выбрать базисные функции для каждой из задач абелизации и с высокой точностью учесть поведение функций на границе.
Рис. 8. Временные зависимости электронной температуры для разных радиусов, найденные из решения задачи абелизации; экспериментальная температуры, измеренная 2-й гармоникой ЭЦИ в режиме после включения центрального гиротрона
Предложенный алгоритм калибровки каналов измерения позволяет согласовать их и учесть возможные ошибки аппаратуры и другие неучтенные факторы.
Приведены результаты обработки экспериментов для установки Т-10. Проведено сравнение электронной температуры, найденной из решения задачи абелизации и измеренной по 2-й гармонике ЭЦИ.
Приведенные результаты показывают высокую эффективность предложенных численных алгоритмов для вычисления электронной температуры в переходном процессе после включения/отключения ЭЦР нагрева.
Литература
1. Cohen R.H. Effect of trapped electrons on current drive // Phys. Fluids. 30 (8), 1987. Р. 2442.
2. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Razumova K.A., Sushkov A.V. 24-th EPS Conf. Control // Fusion and Plasma Phys. Part II, 1997. Р. 937.
3. Leuterer F. et al. 24-th EPS Conf. Control // Fusion. and Plasma Phys. Part IV, 1197. Р. 1553.
4. Andreev V.F., Dnestrovskij Yu.N., Lysenko S.E., Razumova K.A., Sushkov A.V 26-th EPS Conf. Control // Fusion and Plasma Phys. Abstract of Invited and Contributed Papers. Maastricht, 14-18 June 1999. Р. 245.
5. Von Goeler S., Stodiek W., et al. X-Ray Spectra in Tokamak // Nucl. Fus. 15, 301, 1975.
Андреев В.Ф., Сушков А.В.
6. Weller A., Pasini D., Edwards A.W., Gill R.D., Granets R. Modelling of soft X-ray emission from JET plasmas // JET-IR. (S7) 10.
7. Bessenrodt-Weberpals M., Fuchs J.C., Sokoll M. and the ASDEX Upgrade Team. Soft X-Ray Diagnostics for ASDEX Upgrade // Technical Report. 1/290, 1995. IPP, Garching.
S. Weller A. Simulation of X-ray signals // Technical Report. 2/251, 19S0. IPP, Garching.
9. Стрэттон Т. Рентгеновская спектроскопия: В кн. «Диагностика плазмы» / под ред. Р. Хаддлстоуна и С. Леонарда. М.: Мир, 1967. С. 297-32S.
10. Днестровский Ю.Н., Лядина Е.С. Восстановление локальной интенсивности рентгеновского излучения и электронной температуры плазмы по данным хордовых измерений. Препринт ИAЭ-4040.7. М., 19S4. 13 с.
11. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математические задачи диагностики плазмы: В сб. «Некорректные задачи естествознания» / под ред. A.K Тихонова и A^. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 19S7.
12. Пергамент A.X. Математические задачи диагностики плазмы: В сб.: Диагностика плазмы. Вып. 5. М.: Энергоатомиздат, 19S6.
13. Кузнецов Э.И., Щеглов ДА Методы диагностики высокотемпературной плазмы. М.: Aтомиздат, 19S0.
14. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 19S2.
15. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах: В кн. «Вопросы теории плазмы». Вып. 11 / под ред. МЛ. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоиздат, 19S2. С. 11S-233.
