CC BY
48
УДК 539.3
В.В. Петров, О.В. Пенина
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ И РЕЗЕРВА
НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ПЛАСТИНОК ПРИ ИЗГИБЕ В АГРЕССИВНЫХ СРЕДАХ
Приведены результаты исследования изгиба нелинейно деформируемых пластинок в агрессивных рабочих средах, вызывающих появление наведенной и развивающейся во времени неоднородности. Разработан алгоритм определения долговечности конструкций, не требующий описания кривой деформирования материала аналитическими выражениями.
Нелинейно-упругие пластинки, изгиб, долговечность, агрессивная среда.
V.V. Petrov, O.V. Penina
DURABILITY AND RESERVE DETERMINATION OF THE LOAD-CARRYING ABILITY OF BENT NONLINEAR ELASTIC PLATES WITHIN AGGRESSIVE ENVIRONMENT
This is a research of the bent places of nonlinear deformed plates in aggressive working environments which generate the forthcoming of developing heterogeneity. An algorithm of determination of durability of constructions is developed and given here, which doesn’t need the description of curve of the deformation of the material by analytical expressions.
Nonlinear elastic plates, bend, durability, aggressive environment.
В процессе эксплуатации строительные конструкции подвергаются действию агрессивных эксплуатационных (рабочих) сред, со временем ухудшающих свойства материала, что подтверждается экспериментальными исследованиями [1]. Время от начала эксплуатации до наступления опасного состояния называем долговечностью конструкции. За опасное состояние принимаем достижение в любой точке пластинки интенсивности напряжения, большего или равного временному пределу прочности oe(t). Ввиду недостатка экспериментальной информации учет агрессивных воздействий сводим к расчету конструкций с особым видом наведенной и изменяющейся во времени неоднородности [2].
Рассмотрим квадратную пластинку размерами axа и толщиной h, находящуюся под действием распределенного давления q. Пластинка подвергается действию рабочей среды по верхней и нижней граням. На рис. 1 введены следующие обозначения: B0 = const -концен- трация агрессивной среды на поверхности образца, B(z') - то же в произвольной ординате, z' - расстояние от срединной плоскости до текущей ординаты, 5(t) - глубина
пораженного слоя, А5(^) - шаг движения фронта агрессивной среды. Полагаем справедливыми обычные допущения теории малых упругопластических деформаций.
Кривая деформирования о-е является интегральной характеристикой свойств материала, отражающей процессы деградации в
агрессивной среде.
Изменения этой кривой дают полную
информацию о
деградационных процессах в материале.
Используя
феноменологический подход и идею метода последовательного возмущения параметров [3],
нагрузку прикладываем
последовательными малыми приращениями Ад, а проникновение агрессивной среды оцениваем последовательным движением фронта среды в материал шагами, равными А5(^). Ввиду малости толщины поврежденного слоя полагаем, что концентрация агрессивной среды изменяется по линейному закону (рис. 1). При этом решение получается с запасом долговечности.
Для решения задач необходимы экспериментальные данные.
На рис. 2 приведены кривые деформирования эпоксидного бетона, выдержанного в 20%-ном водном растворе едкого натра: 1 - 0 суток, 2 - 30 суток, 3 - 150 суток, 4 - 360 суток [1]. Приращение концентрации агрессивной среды подсчитываем по формуле:
ш*». (1)
Рис. 1
АВ =
В соответствии с теорией малых упруго-пластических деформаций имеем: Ба = 2/3£;Д, (2)
где DG - девиатор напряжений; Ds - девиатор
деформаций; E* - переменный секущий Рис' 2
модуль, учитывающий уровень концентрации агрессивной среды, который представляем в виде
E* = E0F(B), (3)
где E0 - начальный секущий модуль без влияния агрессивной среды, E0 = а, / s,; а, -
интенсивность напряжений; s, - интенсивность деформаций; F(B) - функция деградации секущего модуля. Математическая обработка экспериментальных кривых
деформирования (рис. 2) позволяет записать эту функцию в виде [1]:
F (B) = exp (- X B( z')), (4)
где X - относительная скорость деградации секущего модуля; z' - текущая ордината в пораженном слое пластинки.
Инкрементальные физические соотношения имеют вид [4]:
Да = 4 E* Г As +1 As V-is + -U 1 dEc A5(t);
x,y з «^ x,y 2 y,x J з ^ x,y 2 y,x Jd[5(t)] W (5)
1 1 aE* ( )
Дт ^ = зEsAj36 + зУж dI5(j]A5(t),
где Agx, Aay, Aixy - приращения нормальных и касательных напряжений; Asx, Asy, Ayxy -приращения линейных и угловых деформаций; E* = (da, /ds, )F(B) - переменный касательный модуль.
Приращения деформаций выражаются через приращения прогиба Aw так:
As x = - z (5 2Aw / dx2); As y = - z(d2 Aw / dy2); Ay ж = -2 z(d 2Aw / cxdy). (6)
Инкрементальное уравнение равновесия срединной плоскости пластинки имеет
вид:
+ 2 dAdf + = -Aq(x, У) (7)
ox axqy dx
где AMx, AMy, AMxy - приращения изгибающих и крутящего моментов
h/2 ^ h/2 ^ h/2
A^ x = IAg,zdz; A^ y = jAayzdz; A y = jATxyzdz. (8)
Введем обозначения жесткостных параметров:
4 h/2 4 h/2 dF*
I* = 3 | E*z2dz; I* = 4 | dEh A5(t)z2dz. (9)
3 -h /2 3 -h /2 d5(t)
Численные значения переменных модулей E* и E* в дальнейших расчетах зависят
от способа аппроксимации экспериментальной кривой деформирования.
Авторами в [5] предложена замена аналитического описания кривой G^s,) на численный массив информации. Пошаговый способ организации этого массива приведен в табл. 1. Он предполагает аппроксимацию кривой «а-s» произвольного вида и обеспечивает высокую точность на всем интервале деформирования материала.
Для оптимизации времени поиска табличных значений отказываемся от полного перебора массива и запишем формулу определения порядкового номера столбца N:
N = ГОиМ [(s„ / smax )Nidf№ai + 1] (1 0)
С учетом (5), (6), (7), (8), (9) после соответствующих преобразований получим основное инкрементальное уравнение изгиба пластинки в агрессивной среде:
дх2
+ -
дхду
+ -
д2
ду2
д 2Aw + 1 д2 Aw ; і *
ду2
2 дх 2
= Ад -Ад6, (11)
где Адф - «фиктивная» нагрузка, отражающая влияние агрессивной среды:
Ад6 =-
дх2
дхду
д 2Ж _дхду
/Г
до2
д 2Ж 1 д2Ж V. до2 2 дх2 ; с
(12)
Для решения уравнения (11) необходимо задать четыре граничных условия.
Полное решение задачи для заданного уровня нагрузки/концентрации среды получается как сумма решений на отдельных этапах. Во всех точках сетки на каждом шаге вычисляется напряжение, и производится проверка условия наступления опасного состояния. Алгебраизация дифференциальных уравнений и граничных условий осуществляется методом конечных разностей.
Таблица 1
2
2
д
д
2
2
2
д
д
д
Шаг Пара- метры Расчетная формула Краткое описание действия на каждом шаге
1 Стэ, 8э - Фиксируем экспериментальные данные напряжений и деформаций
2 СТ/, 8/ - Сглаживаем данные при помощи метода наименьших квадратов и получаем экспериментальную кривую деформирования произвольного вида
3 стn, 8п - Формируем таблицу из численных пар значений еп-стп с шагом D — 6тах/N массива! где Nмассива к°личеств° СТолбцов, и записываем в соответствующую ячейку таблицы
4 7—г* Ес ЕГ =СТп / 8 п Вычисляем секущий модуль для каждого столбца
5 Астп АСТп = СТп+1 -СТп Производим расчет приращения напряжений
6 А8п А8п =8 п+1 -8п Вычисляем приращения деформаций
7 7—г* Её ЕГ = АСТп / А8п Производим расчет касательного модуля для каждого столбца
Задача 1. Рассмотрим квадратную шарнирно опертую по контуру пластинку габаритами а = 2 м, И = 0,15а = 0,3 м. Материал - эпоксидный бетон, с семейством кривых деформирования (рис. 1). Агрессивная среда - жидкий раствор 20%-ного едкого натра. Необходимо определить долговечность пластинки в заданных условиях эксплуатации. Начало координат располагается в центре пластинки. Для решения уравнения (11) применяем двухшаговый метод последовательного возмущения параметров с шагами по параметрам Ад = д/10 и 5(і) = И/256. По экспериментальным данным (рис.2) принимаем а = 13,05 мм/год0,5, коэффициент деградации X = 0,4069 см3/г.
На рис. 3 в аналитическом виде показано изменение максимальных напряжений в пластинках, нагруженных давлением различной величины и действием агрессивной среды различной длительности. Нисходящая кривая описывает уменьшение временного сопротивления. Точки пересечения восходящих и нисходящей кривых соответствуют наступлению опасного состояния. На рис. 4 в аналитическом виде показана зависимость долговечности конструкции от величины предварительного нагружения.
Задача 2. Шарнирно опертая по контуру пластинка нагружена некоторой долей д/дтах- За дтах принята максимально возможная нагрузка пластинки при отсутствии среды. Возникает техногенная авария, и на пластинку в течение времени і действует агрессивная среда. Затем источник агрессивной среды ликвидируется. Необходимо догрузить поврежденную пластинку нагрузкой до максимально возможной величины и определить резерв ее несущей способности. Алгоритм решения этой задачи представлен на рис. 5.
Кривые 1, 2 показывают развитие во времени максимальных напряжений при различных величинах предварительного нагружения пластинки; 3 - кривая длительной прочности материала aB(t) в агрессивной среде. В период времени U влияние агрессивной среды заканчивается. Параметры напряженно-деформированного состояния конструкции фиксируются на отметках о1, а2 в зависимости от сценария 1 или 2. Резерв несущей способности пластинки составляет величины Р1 и Р2. Аналогичным образом может быть определен потенциал несущей способности конструкции при произвольных воздействиях нагрузки и среды.
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
OB(t)
■Ж- - -0,059
--*■-■0,119 —-О--0,238
- ♦ - 0,356 — -X — 0,475
---------0,594 —е--------0,713
--------0,831 -----------0,95
- ж - *
- -ж - -*
. -Ж -
3
t, годы
t, годы
Рис. 3
Рис. 4
2
Рис. 5
В табл. 1, 2 приведены значения максимальных напряжений по двум сценариям развития деформирования пластинок до момента наступления опасного состояния при разном предварительном нагружении в долях от ^тах. В скобках - координаты точки в аналитической системе координат.
Таблица 2
Глубина поражен ия 8(/), мм Время воздейс твия среды /, сутки Временный предел сопротив- ления ав(/), кН/м2 Напряжения а,(0,0), кН/м2 при предварительном нагружении д=3000 кН/м2, времени воздействия среды / и донагружении д, равной
3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 8 410
или в долях д / дтах
0,357 0,476 0,595 0,713 0,832 0,951 1,000
0 0 102 700 43 093 56 340 68 793 80 551 91 530 100 180 102 700
3,741 30 99 322 45 359 58 439 70 768 82 417 93 169 - -
8,366 150 86 886 49 945 62 744 74 832 86 257 - - -
13,050 360 68 368 53 190 65 796 - - - - -
Таблица 3
Глубина поражен ия 8(/), мм Время воздейст вия среды t, сутки Временный предел сопротив- ления овУ), кН/м2 Напряжения а,(0,0), кН/м2 при предварительном нагружении д=6000 кН/м2, времени воздействия среды / и донагружении д, равной
3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 8 410
или в долях д / дтах
0,357 0,476 0,595 0,713 0,832 0,951 1,000
0 0 102 700 - - - 80 551 91 530 100 180 102 700
3,741 30 99 322 - - - 83 619 94 171 - -
Например, пластинка, нагруженная 0,36^шах (о = 43-093 кН/м2) и выдержанная 150 суток в рабочей среде (а = 49-945 кН/м2) после устранения источника агрессивной среды может быть нагружена только до 0,71^шах (а = 86-257 кН/м2). Если же предварительное нагружение было на уровне 0,71дшах (а = 80-551 кН/м2) при прочих равных условиях, то действие агрессивной среды приводит к наступлению опасного состояния по истечении 76 суток.
Таким образом, на основе двухшагового метода последовательного возмущения параметров и метода конечных разностей разработан эффективный алгоритм расчета нелинейно-упругих пластин, эксплуатирующихся в агрессивных средах. Предложенная математическая модель позволяет анализировать напряженно-деформированное
состояние изгибаемых плит с учетом повреждений, вызванных агрессивной средой. Прикладное значение метода состоит в возможности оценки прочности пластинок, эксплуатируемых в агрессивных средах, определении их эксплуатационного ресурса, сроков проведения капитального ремонта или демонтажа конструкции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Селяев П. В. Диаграммы деформирования композитных материалов при воздействиях жидких агрессивных сред / П.В. Селяев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2006.
С. 46-52.
2. Петров В. В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 1996. 311 с.
3. Петров В.В. Метод последовательного нагружения в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 119 с.
4. Петров В. В. Уравнения изгиба пластинки, учитывающие влияние концентрации агрессивной среды в ее материале / В.В. Петров // Вестник РААСН. Вып. 9. Белгород, 2005. С. 315-320.
5. Петров В.В. Расчет плит из нелинейно деформируемого материала с произвольной диаграммой деформирования с учетом воздействия агрессивной эксплуатационной среды / В.В. Петров, О.В. Пенина, П.В. Селяев // ACADEMIA. Архитектура и строительство. 2008. № 3. С. 25-32.
Петров Владилен Васильевич -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета
Petrov Vladilen Vasilyevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of «Hard deformed body mechanics» of Saratov State Technical University
Пенина Ольга Владимировна -
аспирант кафедры
«Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета
Penina Olga Vladimirovna -
Graduate Student of the Department
of «Hard deformed body mechanics» of Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 08.07.08, принята к опубликованию 05.09.08
