ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО М-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОЛУМАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

7. Akimenko T.A., Larkin E.V. The Method of Successive Simplifications of the Semi-Markov Process // 8-th Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO 2019. DOI: 10.1109/MECO.2019.8760165.

8. Akimenko T.A., Larkin E.V., The temporal characteristics of a wandering along parallel semi-Markov chains. Communications in Computer and Information Science Volume 1071, 2019, Pages 80-89. 4-th International Conference on Data Mining and Big Data, DMBD 2019. DOI: 10.1007/978-981-32-9563-6_9.

9. Larkin E.V., Akimenko T.A., Kuznetsova T.R., Ostashev S.V. Embedded System Programs Optimization. 2020 9-th Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO 2020, 2020, 9134238. (WOS). DOI:10.1109/METO49872.2020.9134238.

Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доцент, tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Лариошкин Иван Николаевич, аспирант, Ivan. dragon4 7@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

TASKS SOLVED BY ON-BOARD EQUIPMENT MOBILE ROBOT T.A. Akimenko, I.N. Larioshkin

It is shown that the use of a computer vision system in a mobile robot allows solving problems such as building a general visual picture of the surrounding environment, highlighting individual objects in this picture and recognizing them, determining the characteristics of those identified objects that are needed for the robot to perform specific tasks.

Key words: onboard equipment, vision system, control system, mobile robot.

Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical science, docent, tantan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Larioshkin Ivan Nikolaevich, postgraduate, Ivan. dragon4 7@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 519.217.8 Б01: 10.24412/2071-6168-2021-2-109-114

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО М-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОЛУМАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА

К. А. Гришин

Рассматриваются структура и модель М-параллельного полумарковского процесса. Рассчитываются временные интервалы М-параллельного полумарковского процесса. Предлагается описание интервалов с помощью дельта-функции Дирака. Показана реализация M-параллельного полумарковского процесса.

Ключевые слова: полумарковский процесс, M-параллельный полумарковский процесс, множество, дельта-функции Дирака.

M-параллельный полумарковский процесс представляется в пространстве элементарных событий О, в виде объединения непересекающихся пространств

109

M

W= и Wm, (1)

m=1

где Wm - m-е пространство элементарных событий;

f0, when m Ф n; Wm nWn = \ (2)

[Wm, otherwise.

Каждое пространство Wm разделяется на два непересекающихся подпространства элементарных событий

Wm =wm uwm; (3)

wm nwm =0, (4)

где Wm = W\(a 1)'...' Wj(a m),..., Wj(a m)} - дискретное подпространство событий, соответствующих состояниям технологического процесса;

0!т = {с^ 1), •••, т), •••, [({ т)} " дискретное подпространство событий, соответствующих временным интервалам пребывания в состояниях.

Введение функции а от элементарного дискретного события т) позволяет получить состояние aj(а т), т.е.

а](а,т) = а\.с]'(а,т)! 1 £ т £ М • (5)

Применение функции а к подмножеству От дает множество состояний т-го субъекта:

а(о ат )= 4с(а,т),-, [ (а,ту- С (а,т) 1= (6)

1(a,m)'...' aj(a,m)''"' aJ(a,m)\ = Am'1 £ m £M'

где Am - множество состояний.

Состояние а^а т) определяет исполнение т-м субъектом j-го действия циклограммы, и длится от начала выполнения указанным субъектом до окончания выполнения этого действия. Функция a\сj(а т)] является дискретной и взаимно однозначной,

такой, что одному элементарному событию са(а) соответствует одно состояние aj(а т), и наоборот, одному состоянию aj(а т) соответствует одно элементарное событие соа.(

Да)

Введение функции а от элементарного дискретного события [^ т) позволяет получить интервал времени tj(( т), т.е.

*Ж,т) = а[сЖ,т)\. 1 £ т £ М (7)

Интервал tj(t т) определяет время между двумя сменами состояний. Функция a[сj(t т)] также является дискретной и взаимно однозначной,

Применение (7) ко всему пространству От дает множества 0т интервалов времени переключения состояний т-го субъекта:

110

а{р!ш )=

аш

'1(1 ,т)

, ..., ш

] ((,т)

, ..., ш

3(I ,т).

(8)

1«,т),..., *] Ит)'...' «,т)\ = 0 т ,1 £ т £ М ■ Подмножеству От ставится в соответствие вероятностная мера

Р] (а,т)

Р

та ■а е А

ит • и](а,т)^ лт

(9)

которая характеризует вероятность пребывания да-го субъекта в состоянии а](а т) для

внешнего по отношению к технологическому процессу наблюдателю на вероятности накладываются следующие ограничения:

3 (а,т)

I Р] (а,т) = 1. (10)

](а,т)=1(а,т)

Переключением состояний субъектов может быть названа пара

5](а,т),п(а,т) = \.а](а,т), ап(а,т)]е , (11)

Декартово произведение множеств (6) дает [3(а, т)]2 пар состояний, которые ниже названы переключениями

а

\(а,т)

,..., а

](а,т),..., а3(а,т)

а1(а,т), а1(а,т).

а](а,т), ап(а,т).

. 3(а,ту 3(а,т)

(12)

1(а,т),1(а,т) ](а,т),п(а,т)

^ 3

3](а,т),3 (а,т)\ ^т

В переключении

а ] (а,ту ап(а,т)

у](а,т),п(а,т) первое состояние - это со-

стояние, из которого происходит переключение, а второе - состояние в которое производится переключение. Каждой паре 5](а т) п(а т) ставится в соответствие вероятностная мера

р ] (а,т),п(а,т)

= Р

^ ,а ): (а,т),п(а,т) = \.а]

(а,т),п(а,т) [а] (а,т), ап(а,т).

е £

т

(13)

где а - состояние субъекта до переключения; а ключения.

На вероятности р](а т) п(а т) накладываются ограничения:

О(а,т) г

состояние субъекта после пере-

п(а,т)=1(а,т) О(а,т)

0< I Р

п(а,т)=1(а,т)

щающим;

О(а,т)

Р ](а,т),п(а,т)

=1, если состояние является непоглощающим;

{] (а,т),п(а,т)

<1, если состояние является частично погло-

I

Р ](а,т),п(а,т)

=0, если состояние является поглощающим.

п(а,т)=1(а,т)

Переключения состояний развиваются во временных интервалах, представленных в дискретной форме (8). Для да-го субъекта отсчет времени пребывания в состоя-

нии а

] (а,т)

начинается с шага 5

...,п(а,т)

и заканчивается шагом 5

](а,т),...

. Таким об-

разом, последовательность событий переключения состояний т-го субъекта формирует поток временных интервалов, каждый из которых является случайной непрерывной

величиной, поэтому подмножеству ставится в соответствие вероятностная мера

В этом случае для у(*)-го момента времени 7(а)-го интервала потока, если известно, что следующим переключением будет я у(а )п(а), может быть определена вероятностная мера

Pj(а,т),п(а,т)(Т) = р[* : *(?...,;(а,т))= 0, *(5у(а,т),п(а,т))=Т,Т^ \ (14) где *(5 j(a т)) - момент переключения в состояние aj(т а); *(я у(а т) п(а т)) - момент

переключение из состояния ау(а т), если принято решение, что следующим состоянием будет ап(а,т).

Выражение (14) показывает, что временной интервал не зависит от предыстории переключений и косвенно зависит от того, какое решение по переключению было принято за время пребывания т-го субъекта в состоянии а у (а т). Поскольку в (14)

определены вероятности переключения в моменты т, и интервалы задаются множеством (8), распределения интервалов времени пребывания в состояниях а у (а т),

1(а, т) < у (а, т) < 3 (а, т) являются дискретными. Для их описания может быть применен любой способ, например через смещенные 8-функции Дирака

^т ) = у (а,т),п(а,т )(*)\, (15)

где 1(а, т) < у (а, т), п(а, т) < 3(а, т);

// (а,т), п(а,т )(* )=

¥ ) (16)

= Х рк[ у (а, т),п(а,т)\' -Тк [у (а,т),п(а,т)\/;

1к [ у(а,т),п(а,т)\=1[ у (а,т),п(а,т)\ Рк[у(а,т),п(а,т)\ - веPояTносTи, появления временных интервалов тк[у(а,т\п{а,т)\ в распределении; Тк[у(а т) п(а т)\ - отсчеты временных интервалов. Очевидно, что

¥

X Рк [](а,т),п(а,т)\ = 1. (17)

1к [ у (а,т),п(а,т)\=1[ у (а,т ),п(а,т)\ На отсчеты временных интервалов не накладывается никаких ограничений, кроме Тк [у (а,т ),п(а,т )\^0, однако удобно считать, что

т1[ у(а,т),п(а,т)\ <--<Тк [ у (а,т ),п(а,т )\<.< ТК [ у(а,т),п(а,т )\ <-- (18)

Если К < ¥, то

*тт = Т1[у(а,т),п(а,т)\ < агё1/у(а,т),п(а,т)()\< ТК[у(а,т),п(а,т)\ = *тах. (19) Вследствие того, что плотность (16) не является экспоненциальной, но все-таки не зависит от предыстории процесса, поток переключений из состояния а у(а,т) в

состояние ап(а т) т-го субъекта является полумарковским. Поскольку события, соответствующие состояниям ау(а т) и ап(а т), временным интервалам (14) а также субъект т были выбраны из пространства элементарных событий (6) произвольно, можно утверждать, что весь процесс переключений в пространстве элементарных событий О является полумарковским.

Выражение, определяющее М-параллельный полумарковский процесс, может быть получено путем объединения (1), (5), (13) и (16). Оно имеет следующий вид:

m={Ml,..., /т /м}, (20)

где /т - процесс, соответствующий переключениям т-го субъекта. Полумарковский процесс /т определяется тройкой:

тт = {Ат, От (Ат ), ^т ()}, (21

где Ат - множество состояний, получаемое из множества элементарных событий От

путем применения функции а к подмножеству О^п в соответствии с (5); От (Ат ) - выходная функция от множества состояний Ат полумарковского процесса /т '; От (а](а т)) - выходная функция от состояния а](а т) множества Ат полумарковского процесса /ит Ьт (1) - полумарковская матрица, имеющая размеры 3 (а, т )х 3 (а, т);

От(а](а,т))=\а ■ 8^а](а,т),ап(а,т)\ ап(а,т)е Ат} (22)

(1)= [к](а,т),п(а,т)(1)]= Рт ®()(23)

Р т = \Р] (а,т),п(а,т)( )]; (24)

*т (1 )=\/] (а,т),п(а,т)( )]; (25)

рт - стохастическая матрица; (1) - матрица плотностей распределения времени пребывания в состояниях множества Ат . с последующим переключением в состояния

От (Ат ).

множества

Полумарковский процесс / реализуется как множество последовательностей переключений на множествах Ат, в каждом из состояний а](а т) которых принимается с вероятностью, определенной матрицей рт, решение о выборе следующего состояния ап(а т), и в состоянии а](а т) процесс пребывает в течение времени, определенного распределением /](ат)п(ат)(1), после чего переключается. Вид одной из возможных реализаций м-параллельного полумарковского процесса приведен на рис.1, где показаны: - глобальное время; а](а т) - состояния т-го полумарковского процесса; 1 ](( т) - интервал времени между переключениями т-го полумарковского процесса.

а3(а.1)

а](а. 1)

а1(а 1)

а](а.М)

а1(а.М)

Реализация М-параллельного полумарковского процесса

113

Отсчет времени начинается для каждого из M параллельных процессов в момент переключения этого процесса из состояния aj(a m) в состояние a(a m). Последовательность переключений состояний каждого субъекта создает поток временных интервалов, каждый из которых является случайной дискретной величиной. В более ранней версии модели M-параллельного полумарковского процесса исследовался случай, когда распределение fj(a m) /(a m)(t) было континуальным и имело вид закона

распределения.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-38-90066.

Список литературы

1. Ларкин Е.В. Моделирование параллельных полумарковских процессов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки, 2018. Вып. 2. С. 3-11.

2. Larkin E.V., Privalov A.N. Alternative Routs of Games with rigid schedules // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematics. Mechanics. Physics. 2018. Vol. 10. No. 3. P. 30 - 40.

3. Jiang Q., Xi H.-S., Yin B.-Q. Event-driven semi-Markov switching state-space control processes // IET Control Theory & Applications, Vol. 6, Iss. 12, 2012. P. 1861 - 1869.

Гришин Константин Анатольевич, младший научный сотрудник, GrishKons92@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DEFINITION OF A DISCRETE M-PARALLEL SEMI-MARKOV PROCESS

K.A. Grishin

The structure and model of an M-parallel semi-Markov process are considered. The time intervals of the M-parallel semi-Markov process are calculated. A description of the intervals using the Dirac delta function is proposed. The implementation of an M-parallel semi-Markov process is shown.

Key words: semi-Markov process, M-parallel semi-Markov process, set, Dirac delta functions.

Grishin Konstantin Anatolyevich, junior research officer, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University