CC BY
9
Melnik Yaroslav Eduardovich, student, iamelnikasfedu. ru, Russia, Taganrog, Academy for Engineering and Technologies, Institute of Computer Technology and Information Security
УДК 621.83 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-2-27-32
МОДЕЛЬ МОБИЛЬНОГО РОБОТА КАК ОРДИНАРНЫЙ ПОЛУМАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Е.В. Ларкин, Т.А. Акименко, И.Н. Лариошкин
Определено понятие полумарковского процесса, который используется в качестве инструментария для моделирования состояний мобильного робота, показано, что полумарковские процессы являются математическим подобием циклограмм управления отдельными узлами и блоками роботов, а состояния полумарковских процессов связаны с выполнением бортовым оборудованием действий.
Ключевые слова: полумарковский процесс, система управления, мобильный робот, случайные временные интервалы.
Мобильный робот (МР) представляет собой сложный комплекс, в который входят технические средства, обеспечивающие управление бортовым оборудованием (бортовая ЭВМ или сеть контроллеров). В силу особенностей функционирования бортового оборудования для его моделирования использовать теорию полумарковских процессов
Определим вероятностное пространство борелевской тройкой
B = (W, 0, P), (1)
где W = {w1,..., Wn,..., Wn } - множество элементарных событий; 0 носитель алгебры с сигнатурой {и, п, }, включающей операции объединения и, пересечения и и дополнения ; P - вероятностная мера [1, 2, 3, 8, 9].
Множество элементарных событий может быть представлено в виде объединения непересекающихся подмножеств
W = аа и Wt; аа п Wt = 0, (2)
где Wa =Ц a),..., Wa (a),.", Wj (a)} - счетное дискретное подмножество эле-
ментарных событий, формирующих состояния МР; Wt =
г4 г4 w1(t Г- w j (t ),...J
- беско-
нечное упорядоченное подмножество элементарных событий, формирующих временные интервалы, составляющее континуум; 0 - пустое множество. Под состоянием
аЛа )=аЦ (а}) (3)
понимается выполнение бортовым оборудованием МР некоторого действия. В этом состоянии МР пребывает от начала выполнения действия до его окончания. Функция
а(юа (а)) от элементарного события является дискретной одноместной и взаимно однозначной, такой, что одному элементарному событию подмножества юа (а) соответствует одно состояние aj (а), и наоборот, одному состоянию aj (а) соответствует одно эле-
a
ментарное событие W
j(a)'
Применение функции (3) к множеству Wa дает множество состояний МР;
)= zk(ay ja)- < (a) 1= W aj (a),aJ (a) 1= A • (4) где aj(a) - j^)^ физическое состояние МР; J(a).- мощность множества WQ.
Подмножеству Wa ставится в соответствие вероятностная мера
Pj(a) = P[a : aj(a) G Al (5)
которая характеризует вероятность пребывания робота в одном из состояний множества А для внешнего по отношению к мобильному роботу наблюдателю. Тот факт, что система может находиться в одном и только в одном из состояний, накладывает следующее ограничение на вероятности (5):
J (a)
X P j(a) = 1. (6)
j (a)=1(a)
Определим событие как смену состояния, или переключение из a j (a) в an(a).
Множество возможных переключений может быть получено путем возведения A во вторую декартову степень:
(A)2 = {al(a),..., aj(a),..., aJ(a=
= {{(al(a),al(a)),..., (al(a),an(a)X (al(a),aj(a))}, •••,{(aJ(a ), al(a ) ),...,(aj( a ), an(a ) ),..., a (a ), aj (a ) )}, (7)
...,{(aJ (a ), al(a ) ),...,(aJ ( a ), an(a ) ),...,(aJ (a ), aJ (a ))}} = S Назовем кортеж
sj(a),n(a) = [aj(a),an(a)JG S (8)
переключением МР из состояния aj(a) в состояние Qn(a). Каждой паре [aj(a),an(a)],
l(a )< j (a ), n(a )< J (a ) из (7) может быть поставлена в соответствие вероятностная мера
Pk (a), j (a) = P[s(a , a+): sj(a),n(a) = [aj(a), an(a )]e S J (9)
где a - состояние МР до переключения; a + - состояние МР после переключения.
Разделим множество состояния МР на два непересекающихся подмножества
A = E и E, _ (10)
где Е - подмножество поглощающих состояний; E - подмножество непоглощающих состояний.
Для вероятностной меры (9) справедливо следующее выражение:
Jv) = Jl when aj(a) e E;
n(aha)P'(a)'n(a) = I0, when a j(a)e E- ( )
Выражение (11) означает, что переключение из непоглощающих состояний образует полную группу несовместных событий, а переключение из поглощающих состояний невозможно.
Рассмотрим континуум W . свяжем это бесконечное упорядоченное множество
■Т
,4
W (t )J
(12)
с физическим временем. Введем функцию
Ь)
и свяжем эту функцию с реальным физическим временем. В частности ^- это момент времени, соответствующий элементарному событию юj■^у Функция (12)
28
является континуальном, одноместной и взаимно однозначной, такой, что одному элементарному событию ) соответствует один момент времени г ), и наоборот, одному моменту времени г.(^) соответствует одно элементарное событие ) • Применение зависимости (12) к континууму О дает
г = т(о!), (13)
где г - физическое время.
Величина ! имеет следующие особенности; в контексте задачи моделирования состояний МР началом отсчета времени каждый является момент смены состояний МР; время отсчитывается от одного события переключения состояний МР до другого события переключения состояний МР (рисунок).
Як(а) ^ 0 а/(а)_^ 0 ап(а) ^ 0 ат(а)
sk(а),.(а) (а),п(а) 3п(а),т(а)
Формирование фактора времени, 1с - глобальное время
С учетом условия о начале отсчета времени и правила его отсчета, на время накладывается ограничение ! > 0.
В соответствии с особенностями формирования временных интервалов можно утверждать, что последовательность событий переключения состояний МР формируется поток временных интервалов, каждый из которых является случайной непрерывной величиной. В этом случае для .(г)-го момента времени .(а)-го интервала потока, если известно, что следующим переключением будет з. (а)п(а), может быть определена вероятностная мера
(а),п(а)(г.(!)№ = р[г: г(а),.(а))= 0 гI3](а),п(а))= (!)I (14)
где г(sk(а) .(а)) - момент переключения в состояние а.(а); г(3.(а}п(а)) - момент переключение из состояния а.(а), если принято решение, что следующим состоянием будет
ап(а).
Вследствие того, что момент г.^) был выбран произвольно, (14) может быть преобразовано следующим образом:
I](а),п(а)(г№ = Р[г: г(Ч(а),](а))= 0 гI3.(а),п(а))= гJ, (15)
где /.(а*)п(а)(г) - плотность распределения времени пребывания в состоянии а.(а) с
последующим переключением в состояние ап(а).
Вследствие того, что всегда, при всех переключениях, г(sk(а) .(а))= 0, плотность распределения не зависит от предыстории переключений. Вследствие того, что г(?1{а) п(а0, плотность распределения, в общем случае, зависит от того, в какое состояние МР переключится следующий раз.
Обычно рассматриваться поток случайных временных интервалов х(ю!), который обладает особенно простыми свойствами:
стационарностью, если вероятность попадания того или иного числа интервалов на участок времени длиной #зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси г расположен этот участок;
29
отсутствием последействия, которое трактуется как независимость временного интервала, оставшегося до очередного переключения состояния от начала наблюдения процесса в глобальном времени tß .
ординарностью, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более временных интервалов t(wt) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного из них.
Если поток переключений обладает всеми тремя свойствами, то он называется стационарным пуассоновским потоком [2, 4, 7, 8, 11 - 14]. Для такого потока число временных интервалов, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона:
im
pm = mrexp(_i ), j(n)), (16)
где 1j(a)n(a) - параметр закона Пуассона; m - целочисленный параметр, m е {1, 2, 3, ...).
Плотность распределения значений временных интервалов t(wt) для подобного потока определяется в виде:
ja),n(a)(t) = 1(t)i j(a),n(a) exPi" 1 j(a),n(a)tI (17)
где 1 j (a) n(a) - плотность потока переключений; 1(t) - единичная функция Хевисайда.
Очевидно, что если на временные интервалы t(wt) не накладываются ограничения по отсутствию последействия, то они могут быть распределены по произвольному закону, отличному от (17). При этом единственным ограничением, накладываемым на плотность распределения произвольного закона, является то, что его область определения лежит в положительной полуплоскости, а сама функция - в первом квадранте, т. е.
f(t) fAtr; < 'г£ t £ w; t Tfrn=1. 08)
t min
На верхний предел области ненулевых значений плотности распределения tmax никаких дополнительных ограничений, кроме (18), не накладывается. Для некоторых физических объектов возможна ситуация, когда tmax ®¥.
Такой процесс, в котором отсутствуют требования к пуассоновскому характеру потока переключений, называется полумарковским процессом [5, 6, 9, 12, 13, 14]. Ввиду отсутствия ограничений (17), класс систем, для моделирования которых может быть применен полумарковский процесс существенно расширяется. В частности, в этот класс попадают и системы цифрового управления мобильным роботом.
Список литературы
1. Акименко Т. А., Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Управление информационными процессами в робототехнических комплексах специального назначения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 150 с.
2. Бояринов Ю.Г. Анализ систем и процессов на основе нечетких полумарковских моделей // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2011. Вып. 4, Т. 4. С. 207 - 212.
3. Броди С.М. Исследование систем массового обслуживания с помощью полумарковских процессов // Кибернетика. 1965. № 6. С. 55-58.
4. Каляев И. А., Гайдук А.Р., Капустян С.Г. Модели и алгоритмы коллективного управления в группах роботов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 280 с.
5. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их применения. Киев: Наукова думка, 1976. 184 с.
6. Краснов М.П., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 304 с.
7. Лариошкин И.Н., Акименко Т.А. Система управления робототехническим комплексом на базе мобильного робота с локальными контурами управления. Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. № 9. С. 260-265.
8. Ларкин Е.В., Привалов А.Н., Акименко Т.А., Лариошкин И.Н. Математическая модели цифровой системы управления с контроллерами Фон-Неймановского типа сложными многоконтурными объектами // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. № 3 (75). С. 129-141.
9. Акименко Т.А., Ларкин Е.В., Лариошкин И.Н. Общий принцип реализации команд цифровой системой управления // В сборнике: Актуальные проблемы современной науки и производства. материалы V Всероссийской научно-технической конференции. Рязанский государственный радиотехнический университет имени В.Ф. Уткина. Рязань, 2020. С. 189-194.
10. Ларкин Е.В., Акименко Т.А., Лариошкин И.Н. Особенности работы программного обеспечения управляемого роботизированного оборудования// В сборнике: Актуальные проблемы современной науки и производства. материалы V Всероссийской научно-технической конференции. Рязанский государственный радиотехнический университет имени В.Ф. Уткина. Рязань, 2020. С. 195-201.
11. Boos D.D. Stefanski L.A. Essentioal Statistical Inference. Theory and methods. -N.Y., Springer Verlag. 2013. 568 (XVII) P.
12. Akimenko T.A., Larkin E.V. The Method of Successive Simplifications of the Semi-Markov Process. // 8-th Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO 2019, DOI: 10.1109/MEC0.2019.8760165.
13. Akimenko T.A., Larkin E.V. The temporal characteristics of a wandering along parallel semi-Markov chains. Communications in Computer and Information Science Volume 1071, 2019. 4-th International Conference on Data Mining and Big Data, DMBD 2019. P. 8089. DOI: 10.1007/978-981-32-9563-6_9.
14. Larkin E.V., Akimenko T.A., Kuznetsova T.R., Ostashev S.V. Embedded System Programs Optimization. 2020 9-th Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO 2020, 2020, 9134238. (WOS) DOI:10.1109/MECO49872.2020.9134238.
Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, elarkin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доцент, tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Лариошкин Иван Николаевич, аспирант, Ivan. dragon4 7@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MODEL OF A MOBILE ROBOT AS AN ORDINARY SEMI-MARKOV PROCESS
E. V. Larkin, T.A. Akimenko, I.N. Larioshkin
The concept of a semi-Markov process is defined, which is used as a toolkit for modeling the states of a mobile robot, it is shown that semi-Markov processes are a mathematical similarity to cyclograms of control of individual nodes and blocks of robots, and the states of semi-Markov processes are associated with the execution of actions by on-board equipment.
Key words: semi-Markov process, control system, mobile robot, random time intervals.
Larkin Eugene Vasilievich, doctor of technical science, professor, elarkin@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical science, docent, tantan72@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Larioshkin Ivan Nikolaevich, postgraduate, Ivan.dragon47@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.396.67
МОДЕЛЬ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ ПЛАНАРНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ РЭС СВЧ-ДИАПАЗОНА
Н.Л. Алымов
Представлено обоснование необходимости и разработка модели объекта диагностирования, в качестве которого рассматривается 16-элементная антенная решетка, представленная в виде четырех подрешеток. Модель разработана с использованием САПР СВЧ-устройств и антенн Genesys.
Ключевые слова: классификация моделей, антенная решетка, САПР, численное моделирование, имитационные (функционально-логические) модели диагностирования.
В настоящее время при освоении СВЧ-диапазона все более широкое применение находят антенные решетки (АР). АР используются в составе РЭС как гражданского назначения при реализации концепций совершенствования ИТ-инфраструктуры ЖКХ и управления транспортом, развития и внедрения технологий "умный дом" и "умный город", так и военного назначения: систем беспроводной связи, навигационных устройств, комплексов обеспечения безопасности на различных видах техники специального назначения: средств радиомониторинга и радиоконтроля, системы радиопеленгации.
В ходе эксплуатации радиотехнических средств с АР в результате воздействия ударов и вибраций, неблагоприятных факторов внешней среды могут сказаться дефекты материалов, используемых при изготовлении элементов СВЧ-тракта РЭС [1]. В результате чего возникают неисправности трактов распределительной системы антенного устройства. Для поддержания заданного уровня надежности РЭС системе технической эксплуатации необходима своевременная и достоверная информация о техническом состоянии ее элементов в настоящее и будущее время, местах возникновения и причинах неисправностей. Оперативное получение информации данного вида вызывает существенные проблемы, так как требуется измерение, обработка и оценка большого количества параметров, характеристик телекоммуникационных комплексов и средств. Решение этих проблем возможно на основе применения научных подходов и рациональных методов для определения технического состояния. Вопросами создания и изучения таких методов, разработки специальных средств занимается - техническая диагностика.
Под технической диагностикой понимают область знаний, охватывающая теорию, методы и средства определения технического состояния объектов [2].
С целью использования математических методов анализа и оптимизации процесса получения информации о состоянии объекта и сокращения затрат на получение этой информации на этапе проектирования разрабатывается диагностическая модель объекта.
