CC BY
32
• 7universum.com
UNIVERSUM:
, ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМАХ
Меланич Владимир Михайлович
канд. техн. наук, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства Балаковского института техники, технологии и управления
(филиал) Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А., РФ, Саратовская область, г. Балаково E-mail: kafpgs@bittu. org. ru
RESPONSE TEST OF WAVE PROCESSES IN LINEAL REGULAR SYSTEMS
Vladimir Melanich
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of Industrial and Civil Construction Chair, Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management
(branch) of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,
Russia, the Saratov Region, Balakovo
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются вопросы акустических волн в регулярных системах. Основные параметры волнового процесса описываются с помощью собственных векторов переходной матрицы. Получены дисперсионные зависимости для различных динамических моделей балок.
ABSTRACT
Questions of acoustic waves in regular systems are considered. Main parameters of the wave process are described using proper vectors of the transition matrix. Dispersion characteristics for various dynamic models of beams are obtained.
Меланич В.М. Определение динамических характеристик волновых процессов в линейных регулярных системах // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 7 (19) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2402
Ключевые слова: волны, регулярная система, обобщенные перемещения, переменные состояния.
Keywords: waves, regular system, generalized displacement, variable
conditions.
Рассматриваются вопросы распространения акустических волн в регулярных системах, т. е. в системах с повторяющимися однотипными элементами. Такие системы формируются из подсистем, соединенных между собой дискретным образом.
Предполагается, что соединение осуществляется в конечном числе узлов. Движение каждого узла в подсистеме задается посредством набора степеней свободы, включающего, например, перемещения и углы поворота. Часть этих степеней свободы (обобщенных перемещений) может входить в соединение с системой.
Конечноэлементные уравнения волнового процесса для недемпфированной подсистемы:
[K — ю2 • M] • q = R (1)
где: M, K — матрицы жесткости и масс подсистемы,
q — вектор обобщенных перемещений подсистемы, который записывается в виде:
м = © , (2)
где qa, qb — обобщенные перемещения, соответствующие степеням свободы в узлах соединения с левой и правой сторон подсистемы (рис. 1).
Рисунок 1. Модель линейной регулярной системы
Векторы соответствующих обобщенных сил (реакций в связях внешних узлов подсистем) обозначим Ra и Rb.
Представим матрицы K и M подсистемы в блочном виде, в соответствии
с правым и левым узлами соединения:
K =
kaa
-kba
kab . kbb-T
M =
aa
ba
Mab Mbb .
Тогда уравнение волнового процесса в подсистеме приводится к виду:
Daa Dabl fqal |Ra j
_Dba DbbJ {qb} (Rbl’
(3)
где: Daa, Dab, Dba, Dbb — блоки матрицы динамической жесткости подсистемы.
Предлагается волновые процессы описывать с помощью вектора переменных
состояния для каждого текущего поперечного сечения системы.
В этот вектор У^ю), как правило, входят перемещения, деформации, реакции в связях внешних узлов подсистем, т. е. волновой процесс описывается
соотношением:
{Yb} = [H]{Ya}, (4)
где: Н(ю) — переходная матрица, которая преобразует параметры состояния в сечении «а» в параметры состояния сечения «в» подсистемы.
Преобразуя (3) в соотношение типа (4), получим:
Ш=
-D-b1 • D
aa
Обозначив:
(Daa - Dbb • Dab • Daa)
qb b
D-b1
Dbb • D-b
{Yb} = {qb};
{Ra}.
fYaH&
(5)
[H]=
—Dab • Daa -1
D-b1
(Daa - Dbb • Dab • Daa) Dbb • Dab.
приходим к уравнению (4).
Распространение акустических волн в регулярных системах представим аналогично (4) выражением вида:
{Yi+1} = [H]{Yi} (6)
где: {Yi} — вектор переменных состояния i-го сечения регулярной системы.
Существуют собственные векторы у^ю), каждый из которых
распространяется вдоль элемента с постоянной амплитудой; эти собственные векторы представляют собой линейные комбинации переменных состояния текущего поперечного сечения. Каждая волна, соответствующая определенному собственному вектору, распространяется по-своему; характеристики распространения этих волн удобно описывать комплексным коэффициентом распространения yj = aj(w) + ikj(w), где i = V—1, aj(w) — коэффициент затухания волны, kj (ю) — волновое число.
Введем в рассмотрение вектор переменных состояния в координатах волновых мод у(ю), обозначив:
Yi = Т(ш) • Л(ш) , (7)
где: Т(ш) — матрица собственных векторов переходной матрицы H, а каждый элемент вектора yi представляет комплексную амплитуду бегущей волны.
Линейное преобразование (7) приводит (6) к выражению:
yi+i(^) = Ty(w) •yi(w), (8)
где: Ту(ю) — квадратная диагональная матрица, элементами которой ^(ю) являются собственные значения переходной матрицы H.
Так как yi+1(®) = e±yl • yi(®), тогда ^ (ю) = е±уг и значение коэффициента распространения:
У)(ю) = ±1/п^)(ю). (9)
Эти собственные волны существуют парами: волны одной пары
распространяются во взаимно противоположных направлениях. Число типов волн в подсистеме соответствует количеству перемещений и деформаций, возникающих в рассматриваемом поперечном сечении. Волны
распространяются с дисперсией, т. е. по мере распространения сигнала по элементу происходит его искажение. Особый тип дисперсии наблюдается в балках ферменного типа: для них существуют диапазоны частот, в пределах которых эти конструкции практически непрозрачны, т. е. сигналы с такими частотами не распространяются вдоль элемента, а быстро затухают.
Эти «полосы непропускания» наблюдаются вблизи резонансных частот местных степеней свободы подсистемы.
Используя рассмотренный выше алгоритм определения коэффициентов распространения волн, получим дисперсионные зависимости и выполним сравнительный анализ с результатами, полученными другими методами для следующих моделей динамического поведения балок: Бернулли-Эйлера
и Рэлея.
В качестве примера рассмотрим волновые процессы, проходящие в балке, изготовленной из алюминия (принятые характеристики материала: у рА = 2100кг/м3, EJ = 7.1 • 1010 = Н/м2, pJ = 2100кг/м3).
На рис. 2 представлены результаты сравнения с данными, приведенными в [1].
Рисунок 2. Дисперсионные кривые различных моделей динамического
поведения балок
Из графика видно, что результаты, полученные по предлагаемому методу, совпадают с данными других методов по всем рассматриваемым моделям балок.
Список литературы:
1. Ерофеев В.И. и др. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. — М.: Наука, 2002. — 208 с.
2. Моделирование волновых процессов в балках / В.М. Меланич // Информационные технологии, системы автоматизированного проектирования и автоматизация: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2010. — С. 154—157.
