Определение диапазона идентификационной шкалы форм распределений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 621.396:681.2 в. Ю. КОБЕНКО

Омский государственный технический университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАПАЗОНА ИДЕНТИФИКАЦИОННОЙ ШКАЛЫ ФОРМ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ______________________________

Определен диапазон идентификационной шкалы, измеряющей формы распределения вероятности. Проведено уточнение уже имеющихся и добавлены новые отметки идентификационной шкалы.

Ключевые слова: диапазон, идентификация, измерение формы, классификация, распределение, сигнал, тестер, шкала.

Введение. В задачах цифровой обработки сигналов при разработке интеллектуальных средств управления, контроля и диагностики возникают трудности, связанные с автоматическим распознаванием и классификацией объекта исследований, представленного некоторым набором выборочных значений, например, дискретным временным рядом наблюдений. В том случае, когда исходные данные носят случайный характер, процедура распознавания заключается в идентификации закона распределения вероятности появления этих данных, что позволяет в дальнейшем выбрать оптимальные алгоритмы их обработки [1]. В работе [2] представлен подробный обзор современных методов идентификации законов распределения вероятности по принципу «похож — не похож», использующих для формирования критериев распознавания методы теорий вероятности и информации. Упорядочить форму законов распре-

делений вероятности в виде регулярной шкалы впервые удалось в работе [3]. Дальнейшие исследования в этой области привели к формированию нового научного направления, основанного на теории измерений и разделов прикладной статистики, связанных с решением задач классификации и распознавания образов. Данное научное направление получило название «Технология идентификационных измерений» [4, 5], практическая значимость которого, в частности, была показана в работах [6 — 9] на примерах классификации и диагностики исследуемых объектов в области техники и медицины. Под идентификационными измерениями понимаются такие измерения, которые позволяют количественно оценивать форму той или иной характеристики сигналов, например, закона распределения. Основным инструментом идентификационных измерений являются идентификационные шкалы.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

Рис. 1. Реализация сигнала Х(Ь) объема N с размахом Я и средним значением Х0

Из теории измерений известно, что достоверные измерения той или иной величины можно проводить только в заданном ее диапазоне измерения, в противном случае показания измерительного прибора будут неверными. Поэтому знание диапазона измерительной шкалы является необходимым фактором при проведении измерений.

Постановка задачи и методика исследований. Пусть дана реализация сигнала Xв виде распределения мгновенных значений (рис. 1) объема N. Размах сигнала Я вычисляется как разность между наибольшим и наименьшим значениями сигнала. В работе [3] представлена идентификационная шкала, упорядочивающая эмпирические законы распределения случайных сигналов, представленных в цифровом виде. Положение закона распределения мгновенных значений сигнала X(t) на идентификационной шкале определяется путем вычисления идентификационного параметра NF:

постоянные во времени сигналы, частным случаем которых являются сигналы, состоящие из одного мгновенного значения х1 с объемом данных N=1 и средним значением Х0=хг Определим значение NF для такого сигнала:

МР = -

Я2

02

Л2 ( I—л

------(*. - *0 )2

1 -1

0

V 0

— получается неопределенность. Перейдя к пределам, вычислим предельное значение NF:

Ііт МР = Ііш-

Я2

1 — (X - *о )2 V1 -1

мр = іЯ

(1)

где Я — размах сигнала, 5 — оценка среднеквадратического отклонения, определяется по формуле:

■

(2)

= Ііт

2

0

V 0

- = Ііт—2 = Ііт— = 0 . 02 0

0

(3)

где Х0 — среднее арифметическое значение сигнала.

Задача состоит в том, чтобы определить, какие значения может принимать параметр NF, т.е. определить диапазон идентификационной шкалы форм распределений вероятности.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо:

1) смоделировать сигналы, задавая объем данных, их пространственно-временную форму, закон распределения;

2) определить параметр NF смоделированного сигнала;

3) выявить зависимость между измерением NF и задаваемыми параметрами сигнала;

4) экстраполировать динамику задаваемых параметров моделируемого сигнала и определить минимальное и максимальное значение NF.

Результаты исследований. Результаты исследований представлены в табл. 1 в виде упорядоченных по параметру NF сигналов и их законов распределений, характерных для каждой области идентификационной шкалы.

NF=0 Т.к. числитель и знаменатель дроби в выражении (1) не могут быть отрицательными, то наименьшее значение, которое может принимать параметр NF, нулевое. Чтобы NF=0, необходимо, чтобы размах сигнала Я=0. К таким сигналам относятся

Таким образом, минимальное теоретическое значение МР=0.

МР=1 Вычислим значение МР для постоянного сигнала, состоящего из двух и более мгновенных значений равных А с объемом данных М>2 и средним значением Х =А.

МР =-

2

02

V м -1

— получается неопределенность. Перейдя к пределам, вычислим предельное значение NF:

Ііт МР = Ііт

Я2

г гг^

д— !(х - Х0 )2 V м -1 і=1

= Ііт

- = Ііш— = 1.

(4)

02

М -1

NF=2 Вычислим значение NF для сигнала, состоящего из двух мгновенных значений Х1=А и ^2 = В (А^В) с объемом данных N=2, размахом Я=А—В и средним значением Хо=(А+В)/2.

2

0

2

2

2

2

2

0

2

2

Я

0

2

0

2

2

2

0

2

0

Таблица 1

Идентификационная шкала NF-метода

Сигнал Х(і)

Закон распределения

од

Объем данных М

Одно значение в сигнале

М>2

Постоянный во времени сигнал

Два значения в сигнале, причем ЛфВ

Три значения в сигнале, причем два из них равны:

Х1 = Хз=А

N=4

Четыре значения в сигнале, попарно равные между собой: Х=Х2=А, Хз=Х4=В

М=3

Три значения в сигнале, все отличаются друг от друга Х1*Х2*Хз

М>5

Двумодальный закон распределения (симметричный и асимметричный), N соизмеримо с единицей

М=3

Три значения, причем одно есть полусумма двух других: Хз=(Х1 + Х2)/2

Четыре значения в сигнале,

три из которых равны между собой:

Х1 = Х2 = Хз = А и Х4=В±А

М>>1

Двумодальный закон (симметричный). Число значений А равно числу значений В

4...6

М>>1

Двумодальный закон (асимметричный). Число значений А не равно числу значений В

М®¥

Арксинусный закон распределения

Равномерный закон распределения

24

Треугольный закон распределения

МР

2

3

4

5

0

М=1

2

N = 2

М = 3

3

3.4

4

N = 4

8

12

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

238

40...100

Нормальный закон распределения

100.

N

N

4

Закон распределения Лапласа

N

— ...N

4

Закон распределения Коши (односторонний)

N

N>1

Все значения равны А,

кроме одного значения, равного B

N...2 N

N®¥

Закон распределения Коши (симметричный и асимметричный)

2(N-

1)

N>1

Все значения равны B, кроме двух, равных A и С. Причем |В—А| = |В—С|

2

З

4

5

4

NF =-

(A - B)2

J— ((A -X0)2 +(B -X0)2) VN-1

(A - B)2

1

2 -1

'' a - A±BY +|в - A+B'1'

2 0 V 2 (A - B)2 (A - B)2 =

(A - B)2 + (B - A)2 2(A -B)2

4 4 4

= 2 .

Рассмотрим сигнал, состоящий из трех мгновенных значений х1 = А, х2 = В и х3= С с объемом данных N=3 и средним значением Х0=(А+В+С)/3. Пусть Хтах и ХтП — максимальное и минимальное значения сигнала. Для общего случая, когда АфВфС параметр NF равен:

NF =-

(X - X )2

lXmax Xmin !

J— ((A - X0 )2 + (B - X0 )2 + (C - X0 )2) \N-1

___________________(Xmax - Xmin f

(

1

1І 3-1 [

A - A + B + C r+l b - A + B + C .+

+ \C -

2

A + B + C 3

После упрощения этого выражения получим:

NF =

(Xmax Xm

1 (a2 + B2 + C2 - AB - AC - BC) З

(5)

Определим, при каких условиях выражение (5) будет принимать наибольшее и наименьшее значения.

Т.к. величины А, В, С равноправны и выбраны

произвольно, то в общем случае одна из них будет

находиться между двумя другими. Пусть это будет

величина В, которая может принимать значения

в диапазоне от А до С, т.е. Be [A, С]. При выходе В из

этого диапазона ее место займет другая величина

(А или С), X и X сигнала изменятся. С учетом ска' '' max mm J

занного преобразуем уравнение (5) к виду NF=f(B):

NF (B) = т

(A - C )2

(в2 - B(A + C) + A2 + C2 - AC)

Вє [A, С].

(б)

NF(В) будет максимальным при минимальном значении знаменателя дроби в выражении (6) и наоборот. Определим, при каких значениях В знаменатель будет иметь максимальное и минимальное значения. Для этого возьмем производную относительно В и найдем экстремум знаменателя. Получим, что при условии

B

A + C 2

(7)

знаменатель будет иметь наименьшее значение, а на краях отрезка [А, С] — наибольшее. Подставив выражение (7) в (6) найдем максимальное значение NF(В)=4. Подставив краевые условия для В=А и В=С в выражение (6) найдем минимальное значение NF(В)=3. Для любых других значений В параметр NF(В) будет принимать значения от 3 до 4.

2

З

З

З

2

Рассмотрим сигнал, состоящий из четырех мгновенных значений Х1, Х2, Х3 и Х4 с объемом данных N=4. Проведенные исследования показали, что наиболее интересными являются два частных случая: 1) мгновенные значения сигнала попарно равны, например, х1=х2=А и х3 =х4=В; 2) три мгновенных значения сигнала равны, например, х1=х2=х3=А и х4= =ВфА. Найдем параметр NF для каждого случая.

1. Среднее значение сигнала Х0=(А+А+В+В)/4 = = (А+В)/2.

МР =-

(А - В)2

1

1 4-1

А -

А + В

+ 1 А -

А + В

модальный закон распределения с N>>1. Последний вид сигналов имеет МР=4■ исходя из следующих соображений. Пусть задан сигнал в виде дискретного ряда мгновенных значений х1, х2, х3 ... хМ объема М>> 1, имеющий симметричный двумодальный закон распределения. Пусть А и В — величины, которые могут принимать мгновенные значения сигнала. Т.к. закон распределения вероятности появления мгновенных значений симметричный двумодальный, то число появлений величины А в сигнале равно числу появлений величины В. Тогда среднее значение сигнала равно:

1

1

Мі=1

Х0 =—2хі =—І 2 А + 2В 1 = —I А— + В— 1 =

М V і=1

1

М

М V 2

2

2

(А - В )2

2

2

(А - В)2 2 • 2(А - В)2

3 • 4

МР

(А - В)2

1

її 4-1

А - 3А+В I2 +ҐА -3А+ВI2 +

А - 3^В I2 +ГВ -3А+В'2

(А - В)2

(А-В)2

3 і А-В )2 +Ґ3В - 3 ^2

4

4

3(А - В)2 + 9(В - А)2 3 «16

- = 4

Во всех остальных случаях при N=4 параметр NF> 4.

N^=3 Сигналы, состоящие: 1) из трех мгновенных значений Х1, Х2 и Х3, два из которых равны (например, х1 =х3=А); 2) из четырех мгновенных значений х1 , х2, х3 и х4 попарно равных между собой (например, х1=х2=А и х3 =х4=В), имеют NF=3.

3<ЛТР<4 1) сигнал, состоящий из трех мгновен-

ных значений х1, х2 и х3, причем х^х2/х3, имеет 3<NF<4; 2) проведенные экспериментальные исследования показали, что для сигналов с объемом данных N>5 и минимальным значением NF характерен двумодальный закон распределения. Если объем данных N соизмерим с единицей (нельзя пренебречь единицей в выражении (2) при усреднении), то 3<^<4.

N^=4 Сигналы с NF=4: 1) состоят из трех мгновенных значений х1, х2 и х3, причем одно из них есть полусумма двух других (например, х3=(х1+х2)/2); 2) состоят из четырех мгновенных значений Х1, Х2, х3и х4, три из которых равны между собой (например, х1=х2=х3=А и х4=ВфА); 3) имеют симметричный дву-

Параметр МР определяется следующим образом: (А - В)2 (А - В)2 =

МР =

1 М

^-2(А - Х0 )2 М -1 і=1

(А - В)2 = 4(М -1)

2. Среднее значение сигнала Х0=(А+А+А+В)/ 4=(3А+В)/4.

М(А - В )2 4(М -1)

(8)

М

Т.к. по условию М>>1, то единицей в выражении (8) можно пренебречь, следовательно, МР=4.

4<^^<6 Сигналы с объемом данных М>>1, имеющие асимметричный двумодальный закон распределения, попадают в область 4 <МР£6.

N¥=8 Сигналы с арксинусным законом распределения и объемом данных М®¥ имеют МР=8.

N¥=12 Сигналы с равномерным законом распределения и объемом данных М®¥ имеют МР=12.

N¥=24 Сигналы с треугольным (Симпсона) законом распределения и объемом данных М®¥ имеют МР=24.

40<NF<100 Сигналы с нормальным законом распределения и объемом данных М®¥ имеют 40< <МР< 100.

100<NF<N/4 Сигналы с законом распределения Лапласа и объемом данных М®¥ имеют 100< <МР<М/4.

N/4 <NF <N Сигналы с законом распределения односторонний Коши и объемом данных М®¥ имеют М/4<МР<М.

NF=N Рассмотрим сигнал в виде одиночного выброса, у которого все значения равны между собой кроме одного (эмпирический аналог дельта-функции). Пусть задан сигнал в виде дискретного ряда мгновенных значений х1, х2, х3 ... хМ объема М>1, причем все значения ряда равны А, кроме одного, равного В. Для простоты пояснения зададим А=0. Тогда, среднее значение сигнала равно:

В

Х0=—2хі =—I 20+В !=—.

Мі=1 М V і=1 0 М

Найдем параметр МР для такого сигнала: МР В2

] — ( 2(0 - Х0 )2 + (в - Х0 )2

V М -1V і=1

2

2

2

+

2

2

і=1

2

2

2

2

2

3

4

4

2

4

4

М-1

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

B2

(

N -1

n-y в

і 0 -в j _1 Г N

+ 1 в

в

N

2

3. Представлена модифицированная идентификационная шкала NF-метода, проиллюстрированная характерными для каждой ее отметки формами сигналов и законами распределения.

B2

(N - 1)ГB1 + (N -1)2 ГB \N J Г N

1

N -1

B2

1

22

+ (N -1)^

N2 N2

-(1 + N -1)

N.

N2

N<NF<2N Сигналы с законом распределения Коши (симметричный и асимметричный) и объемом данных М®¥ имеют М<МР<2М.

NF =2(N—1) Рассмотрим сигнал в виде двух одиночных выбросов противоположных друг другу относительно среднего. Все значения сигнала равны между собой, кроме двух (эмпирический аналог двух дельта-функций, противоположно направленных). Пусть задан сигнал в виде дискретного ряда мгновенных значений х1, х2, х3 ... хМ объема М>1, причем все значения ряда равны А, кроме двух, равных В и —В. Для простоты пояснения зададим А=0. Тогда среднее значение сигнала равно:

X0 —іXj _-l і0 + B-B l_0.

N і_і N Г і_і J

Найдем параметр NF для такого сигнала:

NF

(в+в )2

і(0 -X0)2 +(B -X0)2 +(-в -X0)2

N -1Г і_і

4B2

4B2

(в2 + (-в)2) 2в 2

N -1 N -1

= 2(N -1) .

Библиографический список

1. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. — Л. : Энергоатом-издат, 1991. — 304 с.

2. Губарев, В. В. Вероятностные модели: справочник. В 2 ч. /

B. В. Губарев ; Новосиб. электротехн. ин-т. — Новосибирск, 1992. Ч. 1. - 198 с. Ч. 2. - 188 с.

3. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения формы распределений вероятности [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин // Журнал радиоэлектроники. / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2000. — № 3. — Режим доступа : http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.06.2013).

4. Кликушин, Ю. Н. Основы идентификационных измерений [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобен-ко // Журнал радиоэлектроники / М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2006. — № 5. — Режим доступа : http://jre.cplire.ru (дата обращения: 01.06.2013).

5. Кликушин, Ю.Н. Основы идентификационных измерений / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Деп. в ВИНИТИ, № 1540-В2006, Омский гос. техн. ун-т. — Омск, 2006. — 18 с.

6. Кликушин, Ю. Н. Способ компьютерной диагностики болезни Паркинсона [Электронный ресурс] / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко // Журнал радиоэлектроники. — М. : Изд-во ИРЭ РАН. — 2012. — № 10. — Режим доступа: http:// jre.cplire.ru (дата обращения: 01.06.2013).

7. Кобенко, В. Ю. Определение качества поверхности бумаги методом фрактального анализа / В. Ю. Кобенко, С. З. Их-лазов, А. В. Голунов // Омский научный вестник. — 2011. — № 3 (103). — С. 330 — 334.

8. Технология классификации объектов диагностики с помощью МТШ-90 / В. А. Захаренко [и др.] // Контроль. Диагностика. — 2012. — № 7 — С. 43 — 49.

9. Кобенко, В. Ю. Влияние масштабного параметра множества на фрактальную клеточную размерность / В. Ю. Кобенко,

C. З. Ихлазов // Деп. в ВИНИТИ, № 132-В2011, Омский гос. техн. ун-т. — Омск, 2011. — 8 с.

Выводы.

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы.

1. Установлен диапазон измерения идентификационной шкалы от 0 до 2^— 1), где N — объем данных.

2. Проведено уточнение имеющихся отметок идентификационной шкалы и добавлены новые (сравнительно с данными из [3]).

КОБЕНКО Вадим Юрьевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Технология электронной аппаратуры».

Адрес для переписки: kobra_vad@rambler.ru

Статья поступила в редакцию © В. Ю. Кобенко

2

1

1

N-2

2

1

Книжная полка

Иванов, А. А. Основы робототехники : учеб. пособие для вузов по направлениям подгот. дипломир. специалистов «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Автоматизированные технологии и производства» / А. А. Иванов. - М. : Форум, 2012. - 222 с.

В пособии изложен материал по курсу «Основы робототехники». Даны основные понятия и определения роботов и робототехнических устройств (РТУ), их классификация, области применения. Рассмотрены структура, кинематика, точность позиционирования и производительность промышленных роботов (ПР). Представлены механизмы захвата объектов с расчетом необходимого усилия захвата. Приведены обоснование и выбор приводов, информационно-сенсорных систем, а также систем управления ПР. Приведены примеры использования промышленных роботов на основных технологических операциях и в качестве сервисного оборудования: загрузка-разгрузка технологических машин и линий, транспортирование, накопление и пространственная ориентация объектов.