CC BY
41
Библиографический список
1. Валов В.М. Энергосберегающие животноводческие (физико-технические основы проектирования): Монография - М., АСВ, 1997,-310с
2. Валов В.М. Кривошеин А.Д. Теплофизические основы проектирования тонкостенных оболочек с воздухопроницаемым слоем утеплителя. //Известия ВУЗов. Строительство - 1994, - N12 -с.107,-113,
3. Кривошеин А. Д. К вопросу о теплофизическом расчете воздухопроницаемых ограждающих конструкций зданий // Известия ВУЗов. Строительство и архитектура -Н.-С.-1991,^2.-с.65-69.
4. Патент на полезную модель Ш1255,Кл. 7ЕО4Н 5,08, ЕВ//62 от 27.07.2003. Ограждающая конструкция с регулируемой
воздухопроницаемостью // Валов В.М. Цвяк А.Ц. (РФ),2003.
Air-penetrating walling in the building Infrastructure
V.M. Valov
The author considers the possible иsage of buildings and structures with thin shells and suspension roofs heated with an air-penetrating layer interiorly. This layer works due to controlled longitudinal and cross air filtration.
Валов Василий Михайлович - доктор технических наук, профессор по кафедре «Архитектура промышленных и гражданских зданий», профессор кафедры «Архитектура и градостроительство» СибАДИ. Основные направления научных исследований - физико-технические основы проектирования зданий и сооружений. Количество основных публикаций - 90.
УДК 624.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ ВЫРЕЗАМИ
В.Н. Завьялов, В.М. Романовский
Аннотация. Рассмотрен расчёт прямоугольных пластин, имеющих вырезы и подвер-женные действию собственных колебаний. С использованием балочных функций колебаний определены собственные частоты при произвольном характере закрепления кромок пластины.
Ключевые слова: пластина, частота, функции.
Прямоугольные пластины с вырезами (квадрат или прямоугольник) достаточно широко используются в конструкциях строительных сооружений и машин. Представляет несомненный интерес работа таких пластин при действии на них различного типа динамических нагрузок. Однако количество работ, посвящённых вопросам восприятия такими пластинами динамических нагрузок невелико. В них рассматриваются только частные случаи закрепления кромок пластины - либо шарнирное, либо жёсткое защемление всех кромок пластины.
В данной работе собственные частоты колебаний прямоугольных пластин с вырезами определены при произвольных условиях закрепления кромок пластины.
В качестве примера рассмотрим тонкую прямоугольную пластину со сторонами а*Ь,
имеющую прямоугольный вырез размером кахкф и испытывающую собственные колебания с амплитудой колебаний w(x,y,t) и частотой О.
Потенциальная и и кинетическая Т энергии такой пластины могут быть описаны известными выражениями [1]:
ТЛ аЪ
и - D я
оо
д2w д^ W
~дХ2 + ~д/
- 2(1 - v)
д2 w д2 w д2 '~ду2
а b 2 2
pt : г! д w
Ґ д2 w W 2I
удхду j
оо
ді2
dxdy.
dxdy. (1)
(2)
2
В приведённых формулах (1) и (2):
D = -
Eh3
- цилиндрическая жесткость
12(1 - V)
пластины;
Е - модуль упругости материала пластины;
h - толщина пластины;
V - коэффициент Пуассона; t - время;
р - плотность материала.
Потенциальная энергия пластины с вырезом (рис. 1) определяется разностью
U = Ui - U2.
(3)
Рис. 1. Схема пластины с вырезом
В разности (3) величина и1 представляет собой потенциальную энергию пластины без выреза и определяется по выражению (1). А величина и2 представляет собой потенциальную энергию части пластины, соответствующей вырезу и определяется она согласно выражению [1].
a+ka b+kib
D 2 i
U2 = ^ I I
2 a-ka b-kib
8 w
8x2 dy2
dxdy. (4)
J
2 2
Кинетическая энергия пластины с вырезом так же, как и потенциальная, определяется разностью
Т = Т1 - Т2. (5)
Очевидно, что значение кинетической энергии Т1 определяется по выражению (2), а значение кинетической энергии Т2 по выражению
a+ka b+kib
Т2
р I I
2 a-ka b-kib
dxdy
(6)
В качестве аппроксимирующей функции, описывающей колебания пластины с вырезом, в настоящем исследовании принято выражение
w(x, y, t) = w(x, y) sin at. (7)
Функцию перемещений w(x,y) была принята в виде двойного ряда с разделяющимися функциями
W(x y) = I I Cmnfm (x)Vn (y) (8)
m=l n=1
Параметр Cmn, превращающий выражение (7) в экстремаль, подлежит определению. Функции f (x) и cp(y) назначались из условия, чтобы они удовлетворяли условиям опи-рания кромок пластины. Такому требованию удовлетворяют функции, описывающие колебания простых однопролётных балок [2].
Согласно метода Релея-Ритца для определения параметра Cmn аппроксимирующую функцию (7) подставляют в выражение
Э = Т - U. (9)
Из условия минимума энергии Э (9), которое достигается в случае равенства нулю (10)) первых вариаций от энергии Э по параметрам Cmn ,
получают систему линейных однородных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются параметры Cmn .
8Э п
^~ =0 (10)
8Cmn
Порядок этой системы определяется числом удерживаемых членов ряда (8), описываемых индексами m и n .
Полученная таким образом система уравнений имеет нетривиальное решение лишь
только в том случае, если её определитель
будет равен нулю. После раскрытия определителя получается уравнение, из которого возможно определение частот собственных колебанийа .
mn
Согласно методу Ритца-Релея аппроксимирующие функции fm (x), fn (y) должны
удовлетворять только геометрическим условиям закрепления кромок пластины.
Рассмотрим пластину, у которой три грани с координатами у = 0, y = b и x = a имеют шарнирное опирание, а кромка с координатой х = 0 - свободна от закрепления.
В качестве аппроксимирующих функций
fm (x), fn (y) , соответствующих первой форме колебаний, были приняты:
2
2
2
2
3.9266 3.9266
fm (x) — ch-------x - cos-x -
аа
, , 3.9266 . 3.9266^
- 1.0007І sh-x - sin---I;
Таблица 2 -Частотные параметры для квадратных пластин с прямоугольными вырезами
а
а
(Р„ (y) — sin
nhy ~b~'
(11)
Подставляя функции (11) последовательно в выражения (7), (6), (2), (4), (1), (3), (5), (9) и (10) были получены значения частот первой формы собственных колебаний пластины с прямоугольными отверстиями при указанных условиях опирания кромок этой пластины.
Значения собственных частот ттп в зависимости от размеров отверстий приведены в таблицах 1 и 2. В этих же таблицах приведены значения ттп для пластин без вырезов при идентичных условиях.
Исследовались пластины с различными размерами квадратных и прямоугольных вырезов Размеры пластины были приняты следующими - 10x10x0,2 см
Таблица 1 - Частотные параметры для квадратных пластин с квадратными вырезами
Pазмеры выреза Частотный параметр 2 Р та J— V D
Шарнирно опёртая пластина Pассматривае-мая пластина
без выреза 19,739 18,324
0,^x0,^ 19,882 18,424
0^x0,2a 20,340 19,956
0^x0,3a 21,234 20,324
0^x0,4a 22,809 21,428
0^x0,5a 25,545 24,328
0^x0,6a 30,417 28,417
0^x0^ 39,417 37,917
0^x0,8a 59,897 53,811
0^x0,9a 123,136 110,234
Pазмеры выреза Частотный параметр 2 Р та J— V D
Шарнирно опёртая пластина Pассматривае-мая пластина
без выреза 19,739 18,324
0,^x0,^ 19,882 18,424
0^x0,2a 20,340 19,956
0^x0,3a 21,234 20,324
0^x0,4a 22,809 21,428
0^x0,5a 25,545 24,328
0^x0,6a 30,417 28,417
0^x0^ 39,417 37,917
0^x0,8a 59,897 53,811
0^x0,9a 123,136 110,234
Заключение
Результаты расчётов, приведённые в таблицах, показывают, что у пластин с вырезами наблюдается увеличение частот собственных колебаний по мере увеличения размеров выреза. Сравнение частот собственных колебаний пластин свидетельствует, что частоты пластин с прямоугольными вырезами меньше чем у плит с вырезами в виде квадрата.
Предложенная методика позволяет определять собственные частоты колебаний плит, имеющих любые условия закрепления их кромок.
Полученные результаты могут быть использованы не только для научных исследований, но и в инженерной практике.
Библиографический список
1. Александров А.В. и др. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. Спец. Вузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.
2. Прочность, устойчивость, колебания Справочник. Т. 1, Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко, - М.: Машиностроение, 1968. - 450 с.
THE DEFINITION OF OWN FREQUENCY OSCILLATIONS THE RECTANGULAR PLATES WITH HOLES
V.N.Zavyalov, V.M.Romanovskiy
The calculation of rectangular plates with rectangular holes attached to effect own oscillations is considered in the article. The beam's oscillation functions are used for determining the own frequency of plates with different boundary conditions.
Завьялов Виктор Николаевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - расчет пластинчато-стержневых систем в упруго-пластической стадии. Имеет 82 опубликованные работы.
Романовский Владимир Меерович - канд техн. наук, доцент кафедры "Строительная механи-ка"Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - расчет пластин с учетом упрочнения материала. Имеет 64 опубликованные работы.
