Определение частот собственных колебаний многоэтажных зданий Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

среда: Сб.науч.тр. / Респ. науч.-практ. центр гигиены: Гл. ред. Л.В.Половинкин. - Минск: ГУ РНМБ, 2011. - Вып. 18. - с. 63-68.

5. Чеботарев, П.А. Факторы производственной среды и трудовой деятельности работников производства

топлив и растворителей на нефтеперерабатывающем предприятии / П.А.Чеботарев, Н.В.Харлашова // Гигиена и санитария Науч.-практ. журнал. / Изд-во «Медицина», Москва. - Выпуск № 5, 2012г. -с.79-82.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИИ

Хазов Павел Алексеевич

Ст. преп. кафедры теории сооружений и технической механики, ННГАСУ, Нижний Новгород

Кофорова Оксана Михайловна

студент, ННГАСУ, Нижний Новгород

Согласно СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия» (актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85*), для определения ветровой нагрузки на здания или сооружения необходимо использовать формулу (11.1) [2, с. 17]:

щ = Щ + Щ

т р

(1)

где

т - средняя составляющая ветровой нагрузки, р

пульсационная составляющая ветровой нагрузки.

Значение средней составляющей ветровой нагрузки не зависит от каких-либо упругих или динамических свойств изучаемого сооружения. Для ее определения в какой-либо точке достаточно знать форму сооружения, тип местности, в которой оно расположено, а также высоту точки над уровнем поверхности земли.

Значение пульсационной составляющей ветровой нагрузки определяется согласно п. 11.1.8 [2, с.20]. При этом для выбора метода расчета необходимо знать значения частот собственных колебаний.

Чаще всего достаточно определить значение первой и второй собственных частот.

В общем случае любое здание представляет собой систему с бесконечным числом динамических степеней свободы, поскольку все элементы здания имеют массу и являются упругими.

Для каркасных многоэтажных зданий с большой степенью точности можно предположить, что все входящие в систему массы сосредоточены в уровнях перекрытий. Это означает, что здание можно рассмотреть, как консольный стержень с количеством сосредоточенных на нем масс, равным количеству этажей здания и жесткостью, эквивалентной жесткости всего здания (рис 1а) [3, с. 147].

В общем случае такая система имеет п собственных частот. Примеры возможных форм колебаний показаны на рис. 1 (б, в, г). При этом наиболее вероятная форма колебания, соответствующая первой (наименьшей) собственной частоте, показана на рис. 1а.

Рис.1. Динамическая расчетная схема многоэтажного здания (а) и некоторые формы колебаний (б-г)

Для определения собственных частот такой си- 8

стемы необходимо раскрыть определитель матрицы пере- где ^ - удельное перемещение точки сосредоточения ь

мещений-частот W [3, с. 151]: 1

ш =

8цМ 1 - 2

ю

822М 21

8„М „ -

той массы от единичной силы, приложенной в точке со-

ю

средоточения _]-той массы. лебаний системы.

Тогда уравнение частот примет вид:

- частота собственных ко-

(2)

АегШ =

8иМ,--г

ю

82М 2

8„М,--2

8

8

12

13

1

8

8

8

21

23

8

8

8

8

п2

8

8

8

21

23

0

8

8

8

п2

п3

Решениями уравнения (3) являются корни многочлена п-ной степени:

апЛ" + а. Л"1 + а, Л"2 +

п -2

где

*0

Л = — а>

2

. + а"-1Л + а" = 0, (4)

Для зданий с большим количеством этажей вычисления становятся очень громоздкими, поскольку возникает необходимость раскрытия определителя матрицы п-ного порядка, после чего необходимо определить корни многочлена п-ной степени. При этом, зачастую, практический смысл имеет только первая частота собственных колебаний, поскольку именно форма, соответствующая первой частоте, является наиболее вероятной формой колебания здания.

Для определения первой собственной частоты предлагается использовать простой перебор случайных

значений ^ . Тогда выражение (3) будет представлять собой определитель числовой матрицы, который удобно вычислять с помощью встроенного математического оператора программного комплекса МЕ БХБЬ, позволяющего восстановить определитель числовой матрицы любого порядка.

Важной задачей также является определение эквивалентной жесткости стержня. Для этого предлагается использовать условие равенства горизонтальных перемещений точек А1 и А2 (рис.2,а,б) при действии эквивалентных нагрузок.

Величину перемещения 1 следует определять из статического расчета конечно-элементной модели зда-

А А Р

ния. Перемещение 2 определяется по формуле Мора-Максвелла (рис. 2,в) [1, с. 168]:

Рис.2. К определению эквивалентной жесткости стержня

А

р ■ н

А =р зд

АР 3Е/

(8)

откуда:

Р ■ н ы = р н

А А 2Р =

' МрИл1 ЕТ„„

3 А,

0 "экв . (5)

Раскроем интеграл (5) с помощью правила Вере-

щагина [1, с. 173]: 1

А АР =

А 2Р ЕI

1 зд

1 2 Р ■ Н3

■ 2 ■ Р ■ Нзд ' Нзд ' 3 ■ Нзд = "

экв 2 3 3Е1 экв (6)

вид:

Условие эквивалентности жесткостей примет

А АР = А АР А 2Р А1Р (7)

или, с учетом (6):

(9)

При этом можно задаваться любой величиной силы

А АР

P, учитывая, что величина перемещения 1 всегда пропорциональна ей. Для повышения точности расчета рекомендуется выбирать силу P таким образом, чтобы переме-

ААР _

щение 1 не было исчезающее мало.

Рассмотрим решение задачи по определению первой собственной частоты на примере шестнадцатиэтажного каркасного здания, изображенного на рис.3. Элементы матрицы перемещений-частот W определяется с помощью ПВК «Полюс» с учетом правила взаимности

- = 8Ц ( ,ч

удельных перемещений: 7 7 (рис.3).

1 N-

.0х=49066 9 DX=44472 ,DX=39914 ,DX=35427.9 ,DX=31049.6 ,DX=26815 ,DX=22760.1 #DX=18920.8 ,DX=15333.1 ^DX=12128.3 #DX=9056.12 (DX=6438.71 ,DX=4216.61 DX=2425.75 ¡DX=1102.07 i DX=281.506

m DX=44472 .DX=40429.1 ,DX=36392.2 #DX=32391.2 ,DX=28462.1 >DX=24640.8 ,DX=20963.2 #DX=17465.4 #DX=14183.1 #DX=11240.2 .DX=8409.26 (DX=5989.5 .

^х^зэгз.п DX=2264.03 DX=1030.19 DX=263.538

ф DX=3S914 >DX=36392.2 #DX=32870.4 #DX=29354.5 #DX=25874.6 #DX=22466.6 #DX=19166.4 ,DX=16009 9 ,DX=13033.2 ,DX=10352.1 eDX=7762.39 >DX=5540.29 (DX=3641.62 DX=2102.31 _DX=958.32 i DX=245.569

ф0х=281.506

#DX=263.538

.DX=245.569

,DX=227.601

,DX=209.632

>DX=191.GG4

.DX-173.895

#DX=155.727

#DX=137.758

,DX=120.334

#DX=101.321

#DX=83.853

#DX=65.8845

,DX=47.916

(DX=29.9475

DX=11.979

Рис.3. К определению элементов матрицы перемещений-частот

Для определения эквивалентной жесткости стер- SCAD. Результаты статического расчета от воздействия жня была построена конечно-элементная модель в ПВК единичной горизонтальной силы приведены на рис.4.

t&mjL:

К

i

sft ■ |

Щ

£ Hi'

.SSL

■ 14

■ 13

■ 12

□ 11

□ 10

□ 9

□ 8

□ 7

□ 6

□ 5

□ 4

□ 3

□ 2

ШЩ о

Рис.4. Горизонтальные перемещения точек здания

С учетом полученного перемещения верхней точки здания, используя формулу (9), получаем:

=

P ■ H

3Г

= 3,50 ■ 108 кНм2

Значения сосредоточенных в перекрытии масс представляет собой сумму расчетных значений всех постоянных нагрузок на перекрытие: собственного веса перекрытия, вышележащих ограждающих конструкций, перегородок, конструкций полов, колонн, определяемых согласно [1].

Транспонированная матрица масс в запишется в следующем виде (размерность - тонны):

Мт=(М1, М2.....М16)=

=(96; 252; 254; 253; 253; 252; 249; 252; 253; 253; 25

2; 254; 255; 251; 254; 254) Элементы главной диагонали матрицы W вычисляются в зависимости от текущего значения частоты ю.

Определитель матрицы W восстанавливается автоматически.

Приведем пример матрицы перемещений-частот при значении частоты ю = 7.24 рад -1:

3

-198 4.45 3.99 3.54 3.11 2.68 2.28 1.89 1.53 1.20 0.91 0.64 0.42 0.24 0.11 0.03

4.45 358 3.64 3.24 2.85 2.46 2.10 1.75 1.42 1.12 0.84 0.59 0.39 0.23 0.10 0.02

3.99 3.64 166 2.94 2.59 2.25 1.92 1.60 1.30 1.03 0.78 0.55 0.36 0.21 0.10 0.02

3.54 3.24 2.94 -0.06 2.33 2.03 1.74 1.46 1.19 0.94 0.71 0.51 0.34 0.19 0.09 0.02

3.11 2.85 2.59 2.33 -143 1.81 1.56 1.31 1.07 0.85 0.65 0.46 0.31 0.18 0.08 0.02

2.68 2.46 2.25 2.03 1.81 -264 1.38 1.16 0.96 0.76 0.58 0.42 0.28 0.16 0.07 0.02

2.28 2.10 1.92 1.74 1.56 1.38 -364 1.02 0.84 0.68 0.52 0.37 0.25 0.15 0.07 0.02

W II 0 1.89 1.75 1.60 1.46 1.31 1.16 1.02 -447 0.73 0.51 0.45 0.33 0.22 0.13 0.06 0.02

1.53 1.42 1.30 1.19 1.07 0.96 0.84 0.73 -513 0.50 0.39 0.29 0.19 0.11 0.05 0.01

1.20 1.12 1.03 0.94 0.85 0.76 0.68 0.51 0.50 -563 0.33 0.24 0.16 0.10 0.04 0.01

0.91 0.84 0.78 0.71 0.65 0.58 0.52 0.45 0.39 0.33 -603 0.20 0.13 0.08 0.04 0.01

0.64 0.60 0.55 0.51 0.46 0.42 0.37 0.33 0.29 0.24 0.20 -631 0.11 0.06 0.03 0.01

0.42 0.39 0.36 0.34 0.31 0.28 0.25 0.22 0.19 0.16 0.13 0.11 -649 0.05 0.02 0.01

0.24 0.23 0.21 0.19 0.18 0.16 0.15 0. 13 0.11 0.10 0.08 0.06 0.05 -660 0.02 0.005

0.11 0.10 0.10 0.09 0.08 0.07 0.07 0.06 0.05 0.04 0.04 0.03 0.02 0.02 -666 0.003

0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.005 0.003 -668

Получить точное решение уравнения (3) простым рицы. Тем не менее, удалось получить значения ю, при пе-подбором не удалось. При очень малом изменении ча- реходе между которыми меняется знак определителя. Гра-стоты сильно изменяется значение определителя мат- фик зависимости с1с1|\У| = Г(т) представлен на рис.5.

Графически определяем значение первой собственной частоты: ю=7,24046 рад -1.

Обычно при решении подобных задач ограничиваются точностью определения изучаемых величин до тре-тьего-четвертого значимого знака. Таким образом, в расчетах можно принимать ю=7,24 рад -1.

В случае необходимости, последующие частоты определяются подобным образом.

Для определения собственных частот механических систем так же можно использовать модальный анализ конечно-элементной схемы, смоделированной в каком-либо программно-вычислительном комплексе. При этом необходимо учесть все динамические особенности модели. Этот метод дает наиболее точные результаты.

Представленный в настоящем сообщении метод отличается, в первую очередь, своей простотой, и может быть рекомендован при выполнении инженерных расчетов зданий и сооружений.

Список литературы

1. А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика. - М.: Высшая школа, 1986. - 608 с.

2. Н.А. Попов, И.В. Лебедева, И.И. Ведяков. СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия». Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85*: свод правил. М.: Минрегион России, 2010. - 81 с.

3. Р. Клаф, Дж. Пензиен. Динамика сооружений. -New York, 1975. - перевод: М.: Стройиздат. - 1979. - 320 с.

ПОДХОД К РАЗРАБОТКЕ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ

КОМПЬЮТЕРНЫМ АТАКАМ

Варлатая Светлана Климентьевна

кандидат технических наук, профессор кафедры информационной безопасности ДВФУ, г. Владивосток

Кирьяненко Александр Васильевич Курашинов Тимур Мугамедович

аспирант кафедры информационной безопасности ДВФУ, г. Владивосток

АННОТАЦИЯ

Целью данной статьи является рассмотрение вопросов обеспечение устойчивости функционирования критически важной информационной системы (КВИС) в динамике ее применения и в условиях массированного воздействия