CC BY
6
Горбунова Алина Эдуардовна, аспирант, gorbunova a_e@,mail. ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет,
Хубулов Георгий Годердзиевич, асприант, geo. khubulov@mail. ru, Россия, Москва, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
IMPROVING THE EFFICIENCY OF ENSURING COMPLIANCE OF THE FACILITY WITH GREEN STANDARDS THROUGH THE INTRODUCTION OF SCIENTIFIC AND TECHNICAL SUPPORT
FOR DESIGN
M.Kh. Kangezova, A.E. Gorbunova, G.G. Khubulov
In connection with the need to increase the environmental efficiency of construction facilities, the article considers a mechanism for taking into account many criteria and considering options for solving green construction standards. When ensuring compliance with each category, you can significantly improve the ecological condition and appearance of cities and towns, create more comfortable living conditions.
Key words: efficiency, "Green" standards, "Green" construction, regulatory support, technical specifications, organizational and technological aspects, systematization.
Maryanna Khadisovna Kangezova, Lecturer, [email protected], Russia, Moscow, National Research Moscow State University of Civil Engineering,
Gorbunova Alina Eduardovna, postgraduate, [email protected], Russia, Moscow, National Research Moscow State University of Civil Engineering,
Khubulov Georgy Goderdzievich, postgraduate, [email protected], Russia, Moscow, National Research Moscow State University of Civil Engineering
УДК 65.011.56:658.524
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-651-658
ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ
О.П. Чуб
Использование аналитических выражений функций распределения при моделировании гибких автоматизированных производственных систем позволяет строить математические модели как отдельных автоматизированных модулей, так и систем более высокой степени иерархии с учетом параметров подсистем. Это возможно благодаря представлению процесса работы автоматизированной системы как альтернирующего процесса восстановления. Для его описания определяются аналитические выражения сверток второго и третьего порядка функций распределения случайных величин. Данный подход может быть применен для математического моделирования широкого класса автоматизированных систем, как при их проектировании, так и в процессе эксплуатации для повышения эффективности работы.
Ключевые слова: бережливое производство, автоматизация, математическое моделирование, альтернирующий процесс восстановления, аппроксимация, функции распределения случайных величин
Условия, в которых работают автоматизированные производственных системы (АПС) характеризуются действием множества стохастических факторов. Использование данных систем требует значительных текущих затрат, связанных с обслуживанием, в том числе при отказах и переналадках системы. Поэтому цель математического моделирования (ММ) АПС, как правило, заключается в выборе наилучшей стратегии использования системы, а при
проектировании АПС - оценить основные технико-экономические характеристики в тех или иных условиях окружающей производственной среды или при конкурирующих вариантах структурной реализации. Решение задач оптимизации - дополнительная возможность использования математических моделей. Перечисленные направления использования ММ довольно актуальны при внедрении технологий бережливого производства [1, 2], когда во всех подсистемах производственного комплекса стараются найти резервы и узкие места, наладить и улучшить связи (взаимодействия) подсистем и подразделений, чтобы получить высокую эффективность работы предприятий в целом.
При математическом моделировании АПС [3, 4] в предположении о произвольном характере случайных процессов при использовании полумарковского аппарата определяют функции распределения и числовые характеристики [2] случайных величин (СВ), например, для времени обслуживания заявок, простоев по отказам, простоев из-за переналадок и др.
Использование аналитических выражений функций распределения при моделировании гибких АПС позволяет строить математические модели как отдельных автоматизированных модулей, так и систем более высокой степени иерархии, таких как АПС или автоматизированный комплекс, включающих подсистемы более низких уровней иерархии. Это возможно благодаря представлению процесса функционирования системы как альтернирующего процесса восстановления (АПВ): время работы (обслуживания заявок) FЕ(t) прерывается простоями Fo(t) по отказам или же время отказов учтено во времени обслуживания FЕ () и прерывается простоями по переналадкам GпЕ((), рисунок. При определении FЕ(t) и GпЕ(() используются
операции п-кратной свертки функций [3], получение готовых аналитических выражений для данных операций при аппроксимации рядом законов распределения, которые с достаточной точностью описывают широкий спектр реальных случайных процессов в АПС облегчает автоматизацию ММ и применение предлагаемого подхода на практике.
<*пе(0
Временная диаграмма альтернирующего процесса восстановления
Далее определяются аналитические выражения функций распределения СВ [3, 4] для сверток второго и третьего порядка при аппроксимации реальных законов распределения известными.
Для экспоненциального закона распределения функция, плотность распределения СВ &, функция восстановления имеют соответственно вид:
Б(Ч) = 1 - е -а\ ОД = а • е Л Н(0 = а • ^ где а - параметр экспоненциального закона распределения;
Для взаимно независимых СВ а1, а2, имеющих функции распределения соответственно F1(t) и F2(t) функция распределения суммы s=а1+а2 задается интегралом свертки исходных функций
t
S(t) = | F1(t - к^2(к).
о
Интеграл свертки для случая, когда F1(t)= F2(t)=F(t), принимает вид
F*2(t) = { F(t - к^(к),
где (*2) - обозначение операции 2-х кратной свертки.
Интеграл свертки второго порядка функции восстановления
t 1 Н*2(0 = {аО - к) • а • dk =
ич _ • а2
о 2
Свертка второго порядка функции распределения СВ &, имеет вид
652
Б*2 0) _ { (1 - е-аа-к) )(а • е -ак )dk = -(1 + а^е-а +1 .
0
Аналогично свертка третьего порядка функции распределения СВ а: t 1 Б*3 (t) = | (-е-a(t-k) (1 + аа - к)) + 1)(а • е-ак )ак = —(е)(2 • а • t +12 • а2 + 2) +1. о 2
Свертка второго порядка плотности распределения СВ а
t
г2(0 _ { а • е-аа-к) • а • е-аМк = t • а2 • е-*.
о
Свертка третьего порядка плотности распределения СВ а t 1 f*3(t) _} (t - к) • а •2 е-к) • а • е-акак = V • а3 • е о2
Для экспоненциального со смещением закона распределения функция и плотность распределения СВ а :
ад = 1 - е-^-0 , ОД = а • е-аа-т)
где X - параметр смещения.
В преобразованиях Лапласа функция и плотность распределения СВ а имеют вид
ад =-а--е -8х, = — • е "sX
s • (s + а) s + а
где 8 - комплексная переменная.
Преобразование Лапласа функции восстановления СВ, при Н(0)=0 [5-7]
а _ • е
Н(8) = •
^8) _ 8 + а__ а •е-
8(1 - f(s)) 8 • (1__• е-8Х) 8 • (8 + а - а • е-8х)
8 + а
Преобразование Лапласа плотности функции восстановления СВ [5, 6]
а
• е -8Х
11(8) _ Д8) _ 8 + а _ а •е
1 - f(s) 1 а е-8Х 8 + а - а • е 8Х 1---е
8 + а
Свертка второго порядка функции восстановления Н(8) в преобразованиях Лапласа [6] определяется как квадрат преобразования Лапласа плотности функции восстановления Ь(8), деленный на переменную 8:
1 1с с>-8х
Н*2(8) _ 1 • 12(8) _ 1 • (-—-—)2 . (1)
8 8 8 + а - а • е
Оригинал Н 2 (8) получен после предварительного разложения (1) в ряд Тейлора до шестого члена
а3•х2 2а2 •х
Н*2(8) ■!_ + (' + а 'Х)3 2(1 -а 'Х)2 +
(1 + а•х)2 • 83 8
-1 3
(Т(1 + ах) •ах 3 + 4а2 х 4)а2 2а3 х3 2а 2 х 2
- + -
_(1 + ах)4_(1 + ах)3 (1 + ах)2
8
1 4 12 5 2^1 3 7 2 4ч ах , . ^2^1 3 5 2 4ч
— ах4 + -а2х5 ах2(-ах3 + — а2х4) +-(-4 + 5ах) 2а2х(— ах3 + — а2х4)
12 4___3 12 - 3 12
2 (1 + ах)2_(1 + ах)3_(1 + ах)2
а (1+ ах)2
+
+ -
2а3 т 4
4 а2 т3
(1 + ат)3 3 (1 + ат)2 Обратное преобразование Лапласа для (2) имеет вид
Н*2а)
а¥
2(1 + ат)2
- +
„32
а т
2а2т
(1 + ат)3 (1 + ат)2
4
г + (-—ат3 + —а2т4)
3
2а т
Т„2 2
2а т
1 4 1 + 3ат ат
ат
12 (1 + ат)2 (1 + ат)3
(1+ ат)3 (1+ ат)2
1 3 7 2 4
-ат3 + — а2 т 4 33
12 12 (1 + ат)4
а2 т 5(-1 + — ат) 3 12
(1+ ат)2
(1+ ат)3
Diгac(t) -
а3 т4 (-4 + 5ат) 6(1+ ат)4
Diгac(t) +
2а3 т4 (1+ ат)3
Diгac(t) -
4а2 т3 3(1+ ат)2
(2)
где Бкас(1;) - функция Дирака (Бкас(1;)=0, если 1 Ф 0 и |Diгac(t)dt = 1).
Свертка второго порядка функции распределения СВ & в преобразованиях Лапласа имеет вид
Р*2(Б) =1
а • е
s + а
(3)
Оригинал (3)
Р*2^) = а2Ф^ - 2т)
- е-a(t-2т) е-a(t-2т) ,
-Ц--^ - 2т) •е-+ -2
а2 а а2
где Ф(1) - импульсная функция Хевисайда (Ф(1;)=0 при КО, иначе Ф(1;)=1).
Свертка третьего порядка функции распределения СВ & в преобразованиях Лапласа
имеет вид
Р*3(в) =1
Б
а • е
б + а
(4)
Оригинал (4):
Б*3 (t) = a3Ф(t - 3т)
- е
-а(Ч-3т) е-а(Ч-3т) , е-a(t-3т) ,
3 - (! -3т) • ^^--3т)2 • ^^ + -1
а
а
а
а~
Свертка второго порядка плотности функции распределения в преобразованиях Лапласа имеет вид
П 2
=
а • е
б + а
Свертка второго порядка плотности распределения СВ &
(!) = а2Ф0 - 2т) • 0 - 2т) • е
-а^-2т)
Аналогично - свертка третьего порядка
=
а • е
б + а
Обратное преобразование (5):
1
f *3ф = ±а3Фа-3т)(1 -3т)2 • е-а(1 -3т)
2
а
+
+
2
а
+
+
2
Б
3
3
Для обобщенного закона Эрланга второго порядка распределения функция, плотность распределения СВ а имеют соответственно вид :
-2 [1 - е-1-4 - е-- 2 -1, f(t) _ -2 •-1И2 < - е--1-1 . (6)
-2 - —2 -где - -2 - параметры обобщенного закона Эрланга второго порядка распределения;
В преобразованиях Лапласа (6) имеют вид [5, 6]
р(8) _ —1 ^ — 2 f (Л _ —1 • — 2
^ 8 •(( + 8)(Х2 + 8^ и (( + 8)(2 + 8)' где 8 - комплексная переменная;
Преобразование Лапласа функции восстановления СВ, распределенной согласно обобщенному закону Эрланга второго порядка при Н(0)=0 [6]
Н(8) _ ^ __V-2__
8(1 - ( — —
(( + 8)( 2 + 8)8| 1 —р--г
Д2 ^ (1 + вХ(2 + 8)
—2 _ А1 + А2 + А3 _ А^ + -1 +—2)+ А2(8 + -1 +—2)+ А382 (7)
(( +—2 + 8 )2 8 82 8 + -1 +—2 (8 + -1 +— 2 )82 Далее применен прием разложения на элементарные дроби, посредством решения системы уравнений:
'А1 + А3 _ 0
А1 •-1 + А1 • — 2 + А2 _ 0 •
-1-2 _ А2 1 + А2 2
Тогда (7) принимает вид
Н(8)_- ( —2 )2 +( —2 )2 +--—^-) . (8)
8(1 +— 2 )2 (( +—2 )2 (( +— 2 + 8 )(( +— 2 )2
Обратное преобразование (8)
Н(() = -_—1—+ + —1—(9)
(-1 +-2 )2 -1 +-2 (-1 +-2 )2 ' Справедливость (9) проверялась с использованием асимптотического свойства (при ( 4 да) процесса восстановления [5]:
Нш^ _ М (10)
Л! ( м
где м _ -1 + -2 - математическое СВ, распределенной по обобщенному закону Эрланга второго
-1 -- 2
порядка.
Проведем проверку на сходимость (9):
-1-2 + -1-2( + -1-2е-(-12)(
Н(() (-1 +-2 )2 -1 +-2 (-1 +- 2 )2 -1 •-2 пш—— _ 11Ш---_ . .
( ( -1 + -2
Условие (10) выполнено.
Свертка второго порядка функции восстановления Н(8) в преобразованиях Лапласа определяется как квадрат преобразования Лапласа плотности функции восстановления Ь(8), деленный на переменную 8:
г*2,„ч 1 f(s)2
Н 2(8) _-• И2(8) _-
( -12 ^ _ (-1 + 8 )(- 2 + 8),
8(1 - f(s))2 ( -1 •-2 ^2 8 1 12
1 -
у (-1 + 8)(- 2 + 8) Обратное преобразование Лапласа для (11) имеет вид
тт'2~ч 1,2,2 (2(-2 +-1)2 -2(е-(-12)((-2 +-1) -2-2(-6е-(-12)( -4-1( + 6
Н (() _ — -2-1-2-2--
2 2-1-2 + -2
8
Формула свертки второго порядка функции распределения СВ & в преобразованиях Лапласа имеет вид
Р*2(Б) =1
( Я1 2 ^ ( + б)(Я 2 + Б)
(12)
Оригинал (12)
3 • еЯ 2 • е-Я1 t • е-м Я 2 • е
Р*2(;) = Я2 Я^- ^ 1'с ■ Л2
(Я2 - Я1)3 Я1 (Я2 - Я1)3 Я2 (Я2 - Я1)2 Я1 (Я2 - Я1)3 Я22 3 • е-м t • е-Я 2t 1
(Я2-Я1)3Я2 (Я2-Я1)2Я2 Я22 •Я^
Аналогично - свертка третьего порядка
Б*3(1) = Я32 Я3(-
5•Я2е-Я11 10• е-Я1 Я22 • е-Я1
___ш-с -___Л_
5 1 2 /л л \5 л /л л \ 5 л 3
(Я 2 -Я1) Я1 (Я 2 -Я1) Я1 (Я 2 -Я1) Я1
. о-Я1; Л . <
2
г •Я2 • е-Я1 4• г• ег2 • е-Я'; 10• е5 •Я1 • е
(Я2 - Я1)4 Я12 (Я2 - Я1)4 Я1 2(Я2 - Я1)3 Я1 (Я2 -Я1)5 Я2 (Я2 -Я1)5 Я2,
Я2е-Я2; 4• г• е-Я2; г•Я1 • ег2 • е
2 _-Я2;
)
(Я 2 -Я1)5 Я 23 (Я 2 -Я1)4 Я 2 (Я 2 -Я1)4 Я2) 2(Я 2 -Я1)3 Я 2 Я 23 ^Я^ Свертка второго порядка плотности функции распределения СВ & в преобразованиях Лапласа имеет вид
Я12 ^ ДЯ1 + Б)(Я 2 +
Свертка второго порядка плотности распределения СВ &
1*2(Б) =
(14)
„*2 -2•Я22 •Я2; • е г•Я22 •Я2; • е Я1<;
1 2(;) = 2 1 2 1
3Я12 Я 2 - 3Я 2 2 Я1 -Я13 +Я32 - 2Я 2 Я1 +Я12 + Я22 2 •Я22 •Я? • е-Я 21 + г -Я2 ^Я2 • е
3Я1 Я 2 - 3Я 2 Я1 - Я1 +Я32 - 2Я 2 Я1 +Я1 + Я2;
Аналогично - свертка третьего порядка СВ &
^3(+) Я3 Я3( 6 • е-Я>; 3 •;• е-Я>; ;2 • е-Я'; 6• е-Я 3• X • е-Яя X2 • е-Яя .
1 (г) = Я2Я1(-5--4 +--3 -----1--)•
(Я2 -Я1) (Я2 -Я1) 2(Я2 -Я1) (Я2 -Я1)5 (Я2-Я1)4 2(Я2-Я1)3
Таким образом, получены аналитические выражения для функций распределения случайных величин при аппроксимации реальных законов экспоненциальным, экспоненциальным со смещением и Эрланга второго порядка, которые позволяют аппроксимировать широкий класс реальных процессов в АПС. Аналогично могут быть получены соответствующие выражения и для других законов распределения СВ. Полученные результаты позволяют упростить дальнейшее использование на практике ряда полумарковских математических моделей АПС сучетом технико-экономических показателей подсистем и их влияния на работу целой системы.
Список литературы
1. Чуб О.П. Концепция бережливого производства для гибких производственных систем, понятие гибкости // Евразийское Научное Объединение. 2019. № 3-2(49). С. 135-141.
2. Чуб О.П. Бережливое производство: математическое моделирование как инструмент для повышения эффективности работы гибких производственных систем // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. Вып. 2. С. 440-445.
3. Копп В.Я., Чуб О.П., Обжерин Ю.Е. Математическая модель оценки влияния переналадок и отказов на производительность ГПС мелкосерийного производства// Оптимизация производственных процессов: Сб. науч. тр./ Севастоп. гос. техн. ун-т, 1999. Вып.1. С. 3945.
4. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
Б
+
+
+
Чуб Оксана Петровна, канд. техн. наук, доцент, oksanachub @yyandex. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет
DESCRIPTION OF RANDOM PROCESSES IN THE AUTOMATED PRODUCTION SYSTEM
MATHEMATICAL MODELS
O.P. Chub
Description of random processes by the diverse random variables distribution laws increases the accuracy of mathematical modeling results. The article presents analytical expressions of integrals of convolutions of the second and third order of random variable function distribution. Obtained results make it possible to simplify the typical stages of mathematical modeling, including software development. The use of analytical expressions of distribution functions allows to build models of subsystems of various levels of hierarchy, and of a whole production system. This is possible due to the representation of the system functioning process as an alternating recovery process. This approach can be applied to a wide class of automated systems, both during their design and during operation to improve operational efficiency.
Key words: lean production, automation, mathematical modeling alternating recovery process, approximation, distribution functions of random variables.
Chub Oksana Petrovna, candidat of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Sevastopol, Sevastopol State University
