Представление N-кратных сверток функций распределения в виде рядов и нахождение функции восстановления для некоторых моделей процессов восстановления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Представление N - кратных сверток функций распределения в виде рядов и нахождение функции восстановления для некторых

моделей процессов восстановления

В. И. Вайнштейн (weinshtein@fivt.krasn.ru)

(Красноярский государственный технический университет)

1. Модели процессов восстановления и интегральные уравнения для функции

восстановления

В теории надежности простым (обычным) процессом восстановления называется последовательность неотрицательных взаимно независимых случайных величин Хп, имеющих одну и ту же функцию распределения Если же функция распределения первой случайной величины X1 имеет распределение отличное от то имеем общий (запаздывающий) процесс восстановления. Случайные величины Хп - наработки элемента от п-1-го до п-го отказа [1]. Здесь предполагается, что восстановление элемента происходит мгновенно.

Важную роль в теории и приложениях теории надежности имеет функция восстановления Н- математическое ожидание числа отказов за время от 0 до I

H (t) = £ F(n)(t), (1)

n=1

где F п (t), - n-кратная свертка функций распределения F1, F2,..., Fn.

F(1) (t) = Fi (t), F(2) (t) = (Fi - F2 )(t) = J Fi(t - x)dF2 (x),

F(n) = (F(n-1) - Fn )(t). (2)

Функция восстановления H(t) удовлетворяет интегральному уравнению

t

H(t) = F1(t) + JH(t - x)dF1 (x) (3)

0

для простого процесса и

t

H (t) = F1 (t) + J H (t - x)dF2 (x) (4)

0

для общего процесса восстановления.

Явный вид функции восстановления имеется лишь для некоторых функций распределения [1]. Например, для экспоненциального, Эрланга, равномерного. Для нормального, Вейбулла -Гнеденко, Гамма-распределения имеются представления в виде рядов.

Предположение о равенстве функций распределений наработок элементов обедняет сферу приложений теории восстановления.

Рассмотрим две модели процесса восстановления [2].

Пусть Fn (x) - функции распределения случайной величины (наработок) Xn. Если

F, (t) = Fk (t), i > к,

то имеем общий процесс восстановления k-го порядка.

Если Ft (t) = Fj (t), i = j(mod к), к > 2,

то имеем периодический процесс восстановления k-го порядка.

Примером периодического процесса восстановления второго порядка может служить альтернирующий процесс восстановления, когда учитывается время восстановления элементов.

Если F(t) - функция распределения наработок элементов до отказа, G(t) - функция распределения времени восстановления элементов после отказа и

|G(t), n _ четное F (x) = \F (t)

[F (t), n _ нечетное,

то имеем периодический процесс 2-го порядка с последовательностью функций распределения:

F(t),G(t), F(t),G(t), ..., F(t),G(t), ...

У общего процесса восстановления к-го порядка последовательность функций распределения имеет вид

F,(t), F2(t),..., Fk _,(t), Fk (t), Fk (t),....

Можно рассматривать альтернирующий процесс восстановления к-го порядка, когда время наработок и время восстановления образуют процессы восстановления к-го порядка.

В этом случае среднее число отказов H0(t) является функцией восстановления общего процесса восстановления к+1 -го порядка, задаваемого функциями распределения

фх(0 = ^(t)^(t) = (G * F2)(t),..., Фк (t) = (Gk_ * Fk )(t),Фк+1(t) = (Gk * Fk )(t),... (5)

а среднее число восстановлений H1(t) является функцией восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, задаваемого функциями распределения

^n (t) = (Fn * Gn )(t). (6)

В случае общего процесса восстановления к-го порядка H(t) удовлетворяет интегральному уравнению

H (t) = G(t) + J H (t _ x)dFk (x) (7)

0

(t),

к_1 ((к_2 \ \ < n)(t) _ V F (n) |*f ^

в(0 = Х¥(п)(0- Xр(п)1*¥к

п=1 V V п=1 )

а для периодического процесса к-го порядка

к '

Н 0) = £ Р(п} (I) +1Н (I - х)с1¥(к}(х), (8)

п=1 0

Пусть Н¥(1) - функция восстановления простого процесса, задаваемого наработками Хп с функциями распределения ¥п(1) = ¥(1), НРЧ(1) - функция восстановления общего процесса 2-го порядка, задаваемого наработками Хп с функциями распределения ¥() = ¥(1), ¥п(0 = ^(1) при п > 2.

Имеет место представление функций восстановления для общего процесса восстановления к-го порядка

Н (1) =Х ¥(п)(1) + } Н¥к (1 - х)ё¥(к-1)( х), (9)

п=1 0 для периодического процесса к-го порядка

Н (1) = Х Н¥(п) ¥(к )(1). (10)

п=1

Таким образом, функцию восстановления рассматриваемых моделей можно находить либо по определению через сумму ряда (1), либо решая соответствующие им интегральные уравнения (7), (8), либо использовать представления (9), (10).

Но во всех случаях требуется вычислять свертки функций распределений.

Заметим, что если N(1) - количество отказов за время 1, то

Р(N(I) = к) = ¥(к) (I) - ¥(к+1) (I).

2. Представление сверток функций распределения в виде кратных рядов

Рассмотрим представление сверток любого порядка в виде кратных рядов, используя разложения в ряды функций распределения, входящих в свертки.

да

Пусть р(0 = ЁС,уЛу(0, ■ > 1 (11)

}=0

да

т=Ёс/ (о, ■ > 1. (12)

]=0

Будем предполагать что ряды (11) сходятся равномерно на любом промежутке [0,7], а ряды (12) равномерно на [а, 7] для любого а>0, а в нуле могут иметь интегрируемую особенность.

Заменяя в свертках функции распределения соответствующими рядами (11) и (12) и почленно интегрируя, приходим к выражению к-кратной свертки через к-кратный ряд:

л

йК,( х)

р(2)(0 = (р * Р2)(г) = |^ -х^2(х) = Ц ^Яу С -х)

0 0 V у=0

да г да г да

= Ё С1, у I Л у (1 - Х^2 (х) = Ё С1 у IЛ у - х)2 С2,т (х)Л2,т (х)

У=0 0 у=0 0 т=0

да да г да да

= ЁЁ С1 у С2,т | Лу - х)Л2,т (х) = ЁЁ С1,у С2,т (Лу * Л2,т )(')

'2,т I J 1,у V1" ^2,т / ^ / ^ С1, уС2,т (Л1, / J 2,т '

у=0 т=0 0 у=0 т=0

да да да

= Ё ЁС1,П1 С2,П2 Л2 () = Ё СП2 Л2 (), П1 =0 П2 =0 П2 =0

Щ = (п15 П2}, сП2) = С1;щ С^, Д^) = (Лщ * /2,„)('). По индукции получаем

да

р(к)(^)=ё 4к) /пк чо- (13)

Пк=0

Здесь

Пк=п п2,..., пк), спк) =П с*, 4к)с)=Л;4 * /к ,пк)('), Л" =

г=1

да да да да

Ё спк) = ЁЁ " • Ё С1,щ С2,„2 " • Ск,„к, (14)

пк = 0 «1 =0 «2 = 0 пк = 0

где (14) - к-кратный ряд.

Рассмотрим случай, когда

/у (0 = гв]+а, в > 0, а > 0. (15)

Для экспоненциального распределения

/ч [1 - е , г > 0

р(г) = 10, г < 0,

да 2у

р (г) = Ё (-1)у+1 V, в= 1, а= 0.

у=1 у

Для распределения Вейбулла - Гнеденко

¥ (0 = Л - е ^7 , 1 > 0, в > 0, в> 0,

г < 0,

со 1

¥(о = Х(-1)7+1 2в, а = 0.

2=1

Для Гамма-распределения

/ '(1) = р () = \

1

¥, (1) = -

1

у?+\а, +1) 0, 1 < 0 (-1)2

гaiе п , 1 > 0, аг >-1, у. > 0,

+а+1, в= 1, а = а +1.

у*+1(аг +1) т=0 г1Т(а, + 2 +1)

+ 00

Г(х) = | ех-1е-хЛх - Гамма-функция, Г(х + 1) = хГ(х) .

Для распределения Рэлея

1

/ (1) = ¥'(1) = \ (-1)2

—т е 2ет'\ 1 > 0, <У~

¥ ) а2 Х(2а2 У у!(2у + 2)

0, 1 < 0,

{2 т+2, р= 2, а= 2.

Для распределения Максвелла

/ (1) = ¥/(/) =

4к.3

4к[

0,

к2 2

2 -к,2 х2

л/п 2=0 т!(22 + 3)

х~е, 1 > 0.

1 < 0:

2 2+3

, в= 2, а= з.

(17)

(18)

Можно выписать аналогичные ряды и для других функций распределения. Получим выражение сверток для случая (15):

42) (1) = (Лщ * Лп2 )(') = 1 Лп1 (1 - х)^/2,п2 (х) =} (/ - х)в1П1+а1 (в2 П2 + «2)х в2П2+"2

0 0

г

= |х = (х = = (в2 п2 + а2)1Рл+Рл+а+а 1 (1 - \)вл\2п2+а-1(\ =

Г(в1п1 +а +1)Г(в2п2 +а2 +1)

= (в2п2 +а2)1 ^^+а+аВвп +а +1,в2п2 +а2) ' "ч^^2"2 ' -2 ■ Vгвin1+в2n2+«1+a2. (19)

Г(в1п1 +в2п2 +а +а2 +1)

Здесь В(а,в) - Бета-функция [3]:

В(а, в) = 1 (1 -\Г\в-1(\ В(а, в) = ГОв 0 Г(а + в)

По индукции получаем

0

Пг(вп +а, +1) _

л(к) (г) = '=1—_г (~ьк ,пк)+|а (20)

'~пкК) Г((Ьк, пк)+ | ак | +1) ' ' }

к к

г=1 ,=1

Так как мы имеем выражения сверток через ряды, то будем находить функции восстановления также в виде рядов.

Ьк = (в, в2,-,вк), (Ьк, Щ) = Ёв,п,, I а к |= Ё а, .

3. Функция восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Пусть наработки Хп распределены по закону Вейбулла - Гнеденко (15). В соответствии с (13), (17), (20)

да _ В (к) - _

Р(к)(г) = Ё (—1)|пк|-к—^-г(Ькп), (21)

пк=1,п >0 Г((Ьк, пк) +1)

П Г(вп +1)

в(к) =■

¡=1

пк к Ч

п-к

¡=1

Рассмотрим общий процесс восстановления к-го порядка. Для нахождения функции восстановления Н(г) воспользуемся представлением (9), с учетом того, что для НРк(г) имеется представление [4]

да А(к)

НРк (г) = Ё (-1)г-1—г-гв, (22)

^ ^Т ' дк в Г(вкГ +1) ' ;

А(к) = К, =72-ГА, - ,=7г-Ёг,4,-1), .

В результате интегрирования, аналогично (19), получаем

г да Д. к) В (к-1)

IНРк(г-х)йР(к-1)(х) = (-1)1

И окончательно

0 пк =1,

п, >0

"к1-к_пк _пк-1_г(Ьк,пк)

в** Г((Ьк, пк) +1) •

к-1 да ) _ да

Н(г) = ЁЁ(-1)|п^-*——3-г() +Ё (—1)|пк|-к——-г)

£ Й г((Ь, п)+1) ' ек впк Г((Ьк, пк)+1)

п, >0 п >0

4. Функция восстановления периодического процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Для нахождения функции восстановления будем пользоваться представлением (10). Для этого требуется знать функции восстановления НР(пР(с^(г). Их будем вычислять, используя представление (9):

г

НР М р(к) (г) = р (п) (г)+1НР(к) (г - х)^Р(п) (х). (23)

0

Значит, задача сводится к нахождению функции восстановления простого процесса восстановления, задаваемого функцией распределения Рк(г).

Для её нахождения имеем интегральное уравнение (3)

г

НР(к) (г) = Р(к) (г)+1 НР(к) (г - х)^Р(к) (х). (24)

Пусть наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко (16). Будем искать

в виде

ад _ Л~к) - _ Н¥(к )(г) = X (-1)''к1-к--—к-г(Ьк Г). (25)

1]= Г((Ьк, Гк) + 1)П в, в'г'

,=1

В результате интегрирования, аналогично (19), получаем

г ад ад _ _ Л-к) В -к) - _ _ 1 Н¥(к)(1 - х)(¥(п)(х) = ХХ(-1)'Гк'+'пк1-1—"л-_-1 (Ьк,(Г+пк)) -

Гк=1 пк =1 Г((Ьк ,(Гк + пк )) + 1)Пв вГ

ад ЛЬ Л) Л(к)В(-к)

= Г((Ь- л )+1) X л^. (26)

Лк=2, Г ((Ьк, Лк ) + 1) Гк+": =Лк, ТГ в в Л >2 Гк >1, П"

пк >1 ,=1

Подставляем (25) в обе части интегрального уравнения (24) и, учитывая (21) и (26), получаем соотношения для определения коэффициентов Л]):

ад _ Л-к) - _ ад _ В(к) - _ Х(—1)|Лк|-к _-_1 ('Ьк 'Ч ) =Х(—1)'Лк|-к _-_I ('Ьк 'Ч ) +

П вв Г((Ьк л)+1) у Г((ЬкЛ)+1)

,=1

ад Ж л) Л(к)В(к)

+ Х(-1)&1-(-=1-- X -Г-^ •

Л:=2, Г((Ьк, Лк ) +1) Г+щ ,

Л >2 Г >1, 1

пк > ,=1

_ лк-1

Отсюда Л]) = ВВк) при л] =1, ЛЛк) =ВЛк) + (-1)кXВ? = 1 Л >2

ПП Г((в^-, Л,)+1)

В(к) = _£=1_

Лк Л! •

Таким образом, коэффициенты представления Н^^) в виде ряда (23) определены.

5. Функция восстановления общего процесса 2-го порядка, если наработки Хх, Х2

распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

Пусть

¥г (1) = 1 - е 7 . (27)

Для нахождения функции восстановления воспользуемся представлением (3):

Н (1) = р (1) +1 Н¥2 (1 - х)(р (х).

0

Используя представление функций восстановления Н¥2(1) (22), проведем вычисление

Л(г2) „ „в вхв1-1

1 Н¥2(1 -х)Л¥1 (х) = [XНГ1-*—^-(1 -х)в2Г^^е в7 (х =

0 ^ } л } 0 ^ > в2в2ГГ(в2 г +1) в

ад А(Т) П ад (—Л\п *

-X (-1)Г-1 в Лг в1-в XГ1" 1 (х - ^х^х^Лх = {х = \} =

Г=1 в2в2ГГ(в2 Г + 1)в1в1 п=0в1в1пп!ь ' 1 '

ад ад Л(2) о '

/ IV + п+1 _ДГ Р\_ Г (Л р\в2Г Р А( п+1)-1Ир,в2Г + А( п+1) _

"¿Г ^ в^+в г„!Г (в, Г + 1)1(1 "" \ ^ =

, =1

х

г+п+1 4(2)АВ(в2 Г + 1, Рх(п + 1))г Ргг+в( п+1) =

г=1 п=0 во n+\)в2в2Гn!Г(0 г +1)

= V"! V"! (-1)г+п+1 -V H\^\H2 ^А-ЧУ //г

_ 2-1 ¿-¡У

= Ё Ё(-1)г+п+1 А(2) в -Г(вгГ + 1)Г(в1(п +1)) гв2Г+в1(п+1) = ¿1 п^0 в101(п+1)в202Гп! Г(02 г + 1)Г(02г +1 + 0(п +1))

X 1X 1 / 1\г+п-2

0 Аг(2)Г(0п)

_I (Рп+Ргг)

¿1 ' в101пвв2Гп!Г(в2г +1 + 0п)(п-1)! ■ Окончательно получаем

Н(г) = 1 - + ЁЁ ЁЁ (-1)г+п-2 0 Аг(2)Г(01п + 1) г(0п+02Г) (28)

£ £ вв-в/п -Г(02 г +1 + вп)п! ■

6. Функция восстановления простого процесса восстановления, если наработки

распределены по закону Максвелла

Функция восстановления для простого процесса удовлетворяет интегральному уравнению (3):

Н (г) = Р (г) + | Н (г - х)ёР (х). (29)

Для распределения Максвелла

4И3 ^ г2пИ2(п-1)

/(г) = ^Ё(_1)п-1 '

лП (п -1)!

4^3 да г 2п+17 2(п-1)

Р (г) = ^ Ё (-\)n-^ _L_h-.

лП ¿Т (2п + 1)(п -1)!

(30)

(31)

Будем искать Н(г) в виде

Н (г) = Ё Скг2к +Ё Вкг2к-1. (32)

Подставим (32) в интеграл из уравнения (29):

г да да /?2(п-1) г

| Н (г - х)йР (х) = ^ Ё с- Ё (-1)п-1 И-^тТ (г - ^)2к ^2п^+

0 V к=1 п=1 Ч'" / • 0

+ ^Ё Вк Ё I (г - х)2к-1 х= = ^ЁЁ С- ЁЁ (-1)п-1 1)Г(2к + 1)Г(2п + 1)г2к+2п+1 +

лП -=1 п=1 (п -1)!0 лП -=1 п=1 Г(2к + 2п + 2)(п -1)!

= Ё В Ё (-1) — к2(п-1)Г(2к)Г(2п + 1)г2-+2п = 4^1 Ё г2-+1 ЁЁ (-1) — И2(п-1)Г(2к + 1)Г(2п + 1)С +

лПЁ кЁ Г(2к + 2п + 1)(п -1)! -^П//2 Г(2* + 2) Ё ) (п -1)! к

к >1, п>1

= 4И3ЁЁ г2- ЁЁ (-1)n-\ И2(п-1)Г(2к)Г(2п +1)В

уП ¿2 Г(2* +1) к£ (п -1)! к'

к >1, п>1

Здесь поменяли порядок интегрирования и суммирования и провели интегрирование. Подставляя (31), (32), (33) в интегральное уравнение (29) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, определяем неизвестные коэффициенты Ск и Вк:

да да ли3 ( да ^2(к-1)

1 _НП ^ ( 1Лк-1 " г2к+1 +

Ё Скг2к +Ё Вкг2к-1 =^= Ё (-1)--1

к £ к >П1 ; (2к + 1)(к-1)!

ЁЁ г+1 ЁЁ (-1)у-1 И2у-1)Г(2, + 1)Г(2 у + 1)С + ё г2к ЁЁ (-1)у-1 И2(у-1)Г(2,)Г(2 у +1) или

¿2Г(2к + 2) гук,( С/-1)! ! ¿2Г(2к +1) ¿С ' (у -1)! ' или

¿>1, ¿>1,

у>1 у>1

^ 2к 2к-1 4к3 (^ л.к к2(:-2) 2к-1 ^ 12:-1 £2, к2(г-1)Г(2к-21 -1)Г(2/ + 1)>

УСЛа +УВЛ2: 1 =-У(-1):-1 1+ +У-X(-1)1 1---—-Ск , 1 +

к=1 : к=1 : (2к-1)(к - 2)! ¿=3 Г(2к) ¿Т' (1-1)! :-1-1

+ X 12к ^(-1)г-1 к2(Ы) Г(2к - 21 )Г(21 +1) в- 1 ^

:=2 Г(2к +1) (1 -1)!

При к = 1 С1 = 0, Бх = 0.

При к = 2 С2 = 0, В2 =

4к3

При к = 3 С = 4к3 X,' м к2(1 -1)Г(6-21)Г(21 +1) в в = 4к5 + 4к3Г(3)Г(3) С При : = 3 С3 = X(-1) -тт-^-В31, в3 /=+ /- С1.

Г(7)л/ п 1=1 (1 -1)! "Ч п Г(6)л/ п

1 :-1

По индукции С: = ^Г^к -21 , к > 2,

Г(2к +1) 1=1

4к2к+1 1 ¿-2

В =(-1) :ТЛ(2к - 1)(к - 2)! "Г^Тк) X Г(2: - 21 - ШТ)С"-1 • : > 2

в(,)=(-1)1 - 14к 21+:г(21+1). л/Л(/ -1)!

Неизвестные коэффициенты функции Н(1) из формулы (32) определены.

7. Функции восстановления Н0(1) и альтернирующего процесса восстановления

при экспоненциальном распределении

Рассмотрим общий альтернирующий процесс 2-го порядка, когда времена наработок и восстановления распределены по экспоненциальному закону

¥ (1) = 1 - е а, Ог (1) = 1 - е^. В соответствии с (5), (6), (9) запишем представление функции Н0(1) и Н](1):

Н0(1) = ¥1(1) + (¥1 * (О * ¥2))(0 + 1Н(в2 * ¥2)(1 - х)((¥ * (О * ¥2))(х), (34)

0

1

) = (¥ * О1)(1) +1Н(О2 * ¥2X1 - х)((¥ * Ох)(х). (35)

0

В обоих случаях требуется найти функцию Н(О2*¥2)(1), которая удовлетворяет интегральному уравнению

Н(О2 * ¥2)(1) = (О2 * ¥2)(0 +1Н(О2 *¥2)(1 -х)((О2 * ¥2)(х). (36)

0

Применим к обеим частям интегрального уравнения (36) преобразование Лапласа -Стилтьеса:

ад

¥ >) = 1 е-*хй¥ (х). 0

Учитывая, что

(¥ * О)» = ¥ »О » (37)

(1 - еа )» = -?- (38)

а + 5

получаем Н» = О*(л)¥2>)+Н»О*^», Н» = Н*(О2 *¥2)(л).

т-т-^^ О2(Л)¥?*( Л) а в?

Н (л) =-2У 2 У =--. (39)

^ 1 - О2(Л)¥2(Л) 5(5 + («2 +в2)) ( )

Для нахождения И0(г) применим к обеим частям (34) преобразование Лапласа - Стилтьеса с учетом (37), (38), (39):

и»=++и »=

= а1 + аха2Рх а2,Р2Р1а1

s + а1 (5 + а1)(5 + а2)(? + Д) 5(5 + (а2 + Д2))(? + а1)(5 + а2)(? + Д) Пусть И (5) преобразование Лапласа:

да

И (5) = | е(г —

0

Из формулы преобразования Лапласа производной, с учетом И(0) = 0, получаем связь между преобразованиями Лапласа - Стилтьеса и Лапласа:

И (5) = (40)

Пусть а1 ^а2 ^ Д ^а2 + Д, тогда точки 5 = -ах, 5 = -а2, 5 = -Д 5 = -(а2 + ¡32) являются полюсами первого порядка для функции И0 (5) , а точка 5 = 0 - полюс второго порядка.

Для нахождения И0(г) воспользуемся формулой для обратного преобразования Лапласа дробно рациональной функции И0( 5) [5]:

Г 1 йк-1 _

И 0 (г) = I -¡—¡г 11т ((5 - ^ )1к И 0 (ф5г). (41)

(¡к -1)! ^

Здесь - корни знаменателя с кратностями ¡к. В результате получаем

И0 (г) = а'2в'2 г + к1(1 - еа) + к2(1 - е-К) + к3(1 - еАа2), (42)

а2 + А

к = 1 + ^АСА к = а1а2(^1 -^2)

1 ^(Д -а!)(а! -а2 -Р2У 2 А(а1 -А)(а2 + А -@1)

а1а22^1

к3 ='

(а2 + Р2) (а2 + в2 - а1)(а2 + А - Рх)

И}(г) находим аналогично И0(г). Применяем к обеим частям (34) преобразование Лапласа -Стилтьеса.

а1Р1 а1а2Р1Р2

и* (5) = (5)+И »^ де; (^=—^-+

(5 + а^ + Д) ф + а2 + Д)(5 + а^ + А)

Переходя здесь в соответствии с (40) к преобразованию Лапласа и находя обратное по (41), получаем

И1 (г) = ав г + С1(1 - е^а1г) + С2(1 - ) + С3(1 - е"(а2+в)г), (43)

а2 + А

А(а1 -^2)(а1 -а2) ^ = а1(А -^1)(а2

с = / / V 1 ""2/ с =

1 _ / ^ \/ л> \ ' 2 _

2

^(А - а1)(а2 - а1 - А) А(а1 - А)(а2 + А - А)

С =■

ахагР\Рг

(а2 + А) (а2 + А -а1)(А -а2 -в2)

Рассмотрим случай а1 = а2, Д = А> что соответствует обычному альтернирующему процессу восстановления с экспоненциальными распределениями. Полагая в (42),(43) а1 = а2, Д = Д, получаем

И0(г) = авг + —+-т(1 - е-(а1+в)г), И1 (г) = авг + ( - е-(а1+в)г).

а! + Д а +Д)2 а! + Д а + Р\)2

8. Функции восстановления Н0({) и НО альтернатирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановлений распределены по законам Вейбулла -

Гнеденко

Рассмотрим функции распределения времени наработок и времени восстановления в виде (17)

Р (г) = Р^г), О (г) = Р2(г). Функции Н0(г) и Н1(г) удовлетворяют интегральным уравнениям

г

Н1(г) = (Р * О)(г) +1 Н1(г )(г - х)ё (Р * О)(х), (44)

0

г

Н 0(г) = Р (г) +1Н 0 (г )(г - х)й (Р * О)( х). (45)

0

Будем искать Н1(г) в виде

да да А г 01Г1 +вгГг

Н,{г) = ЁЁ (-1) Г1+Г2 -2---ял^т-- (46)

^ £ Й г(Дг1 + 02г2 +1)0 ^ ©22Г2 1 ;

Аналогично (19) вычисляем свертку

г

(Р * О)(г) = |Р1(г - х)ёР2(х) =

0

— ( 1У+у

Г0 + 1)Г(0г] +1) , 01г1 + 02г2 (ЛП\

£ уТ ' Г(М + 02Г2 +1)0 0Г10 2^ '

Подставляем свертку (47) и функцию (46) в интеграл в уравнении (44), аналогично (19) получаем

г

да да .. 02&

I Н1(г - х^ (Р * О)( х) = ЁЁ (-1) ^--я я

1 ' Г( 0* + 02 ^ + 1)0^02А

V V Апгг Г ( 01, + 1) Г ( 0 2 у + 1)

х Ё Ё -м-■ (48)

г1 +, = ^ г2 + у = J•

Г1,1 >1 г2, у >1

Подставляем функцию (46), свертку (47) и интеграл (48) в уравнение (44)

ЁЁ ЁЁ (-1)^1+^2 _А1" 2 г_ =VV (_1)^1 +*2 Г( 01Л' 1 + 1)Г(0252 + 1) г 011 + 02*2 +

¿¿Т Г(01*1 + 02*2 + 1)0^ 02* "1!"2!Г(01*1 + 02*2 + 1)0^ 022"2

^^ гм+02*2 » » АГГГ(011 + 1)Г(02у +1)

хЁ Ё 12 Г1+,="1 г2+у="2 Г1 ,,>1 г2' у'й1

+ ЁЁ (-1)"1+"2-'-х Ё Ё ^^-У ™ \ (49)

Г(0"1 + 02*2 + 1)00* 02А ^ г.+^2 Ну!

Пусть

В.. =

Г (01п1 + 1)Г( 02 п2 + 1)

п1! п2!

Приравнивая в (49) коэффициенты при одинаковых степенях г, определяем неизвестные коэффициенты А :

= В"*2 пРи = 1, *2 = 1,2,-, = 2, *2 = 1, -1 *2-1

А"1"2 = В"1"2 +ЁЁ А -1*2-1 Ву, при " 1 > 2, "2 > 2.

,=1 у=1

Учитывая, что Н0(г) является функцией восстановления общего процесса восстановления второго порядка, для ее вычисления воспользуемся представлением (9):

г

Н0(г) = Р(г) +1Н,(Р * О)(г - х)с1Р(х). (50)

X

1"2

Подставив найденную функцию N¡(1) в (50) и проведя интегрирование, получим представление искомой функции И0(.

1. Байхельт, Ф. Надёжность и техническое обслуживание. Математический подход./Ф. Байхельт, П. Франкен. М.: Радио и связь, 1988. 392c.

2. Вайнштейн, И. И. Прикладная математика: учебное пособие /И. И. Вайнштейн. Красноярск, 1993. 114 с.

3. Смирнов, В. И. Курс высшей математики: Т.3. Ч.2 /В. И. Смирнов. М.: Наука, 1974. 672 с.

4. W. L. Smith, M. R. Leadbetter On the Renewal Function for the Weibull Distribution. Technometrics. V. 5, 1963. P. 393-396.

5. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного /М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М., 1971. 736 с.

©f1 © f2 h 1 ©1д"п!Г(Дг1 + Д Г + вп +1)

Литература