Аппроксимация закона Вейбулла Текст научной статьи по специальности «Физика»

Смирнов Андрей Александрович, канд. техн. наук, докторант, pashaseveramail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного,

Галов Сергей Юрьевич, преподаватель, katekob198 7amail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С. М. Буденного

INFORMATION RESOURCE ORGANIZATION IN RADIOMONITORING MANAGEMENT

CICLE

P. V. Zaika, A.A. Smirnov, S. U. Galov

Research objective is information resource organization and functionality determination for radiomonitoring equipment. As result, that structure functional information resource model can used to improve automated radiomonitoring equipment information support.

Key words: information resource, radiomonitoring, radiomonitoring data processing.

Zaika Pavel Valentinovich, postgraduate, pashaseveramail.ru, Russia, Sankt-Petersburg, Military academy of telecommunications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Bydyonny,

Smirnov Andrey Alexandrovich, candidate of technical sciences, doctoral student, pashasev-eramail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Communications Academy named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,

Galov Sergey Yuryevich, lecturer, katekob198 7amail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyon-ny

УДК 519.87; 004.94

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАКОНА ВЕЙБУЛЛА

Л.Е. Карташов, В.Я. Копп, М.В. Заморёнов

Рассмотрен ряд методов аппроксимации закона распределения Вейбулла. Предложен ряд законов распределения на основе распределений Эрланга для аппроксимации, определены параметры распределений с помощью метода моментов. Рассмотрены численные примеры, определена погрешность аппроксимации.

Ключевые слова: моделирование, распределение Вейбулла, распределение Эр-ланга, аппроксимация.

Введение. При моделировании функционирования различных технических систем [1 - 3] с учетом их надежности достаточно часто используется распределение Вейбулла. Данное распределение является двухпа-раметрическим распределением, включающим в себя в качестве частного

229

случая показательное распределение. Оно является наиболее распространенным для описания длительности безотказной работы в том случае, если используется для оценки надежности технических систем, при эксплуатации которых преобладают отказы в результате износа. Распределение Вей-булла хорошо описывает распределение наработки на отказ [4, 5] невос-станавливаемых изделий, наработок сложных систем, состоящих из последовательно соединенных дублированных элементов, характеристик прочности инструмента.

Однако при аналитико-вероятностном моделировании [6 - 8] сложных технических систем использование распределения Вейбулла достаточно проблематично. Для определения сверток вероятностных распределений [9, 10] удобно использовать преобразование Лапласа, а для распределения Вейбулла невозможно выполнить такое преобразование. Поэтому встаёт задача аппроксимации распределения Вейбулла какой-нибудь функцией распределения, для которой можно получить преобразование Лапласа.

Очевидно, что выбор аппроксимирующего распределения зависит от поставленной цели исследования. В простейшем случае является достаточным, чтобы совпадали первые моменты распределений, например, среднее время наработки на отказ или среднее время восстановления. В других случаях требуется установить вероятностно-временные характеристики распределения, когда необходимо найти вероятность безотказной работы системы в течение заданного периода времени. Для нахождения таких значений требуется знание закона распределения, поскольку он является наиболее полной характеристикой соответствующей случайной величины.

Таким образом, при аппроксимации распределения Вейбулла требуется подобрать такой закон распределения, который бы в статистическом смысле соответствовал исходному закону, и кроме этого, позволял осуществлять преобразование Лапласа. Наиболее естественным представляется рассмотреть типовые законы распределения. Преимущество применения типовых законов распределения - их изученность и возможности получения состоятельных, несмещенных и эффективных оценок параметров. Однако типовые законы распределения могут и не позволить выбрать наиболее подходящий закон распределения. Кроме того, необходимо получить оценку погрешности аппроксимации.

Постановка задачи. Пусть функция плотности распределения вероятности

fw (t) = k

If *

t k

exp

V /

f ^ ^ V k у

(1)

где k - параметр масштаба, или характерное время жизни; 1 - параметр формы (k > 0, 1 > 0), задан на промежутке [0, да].

Требуется построить ее аппроксимацию, причем аппроксимирующая функция должна иметь преобразование Лапласа. Для распределения Вейбулла математическое ожидание Ы№, дисперсия и коэффициент вариации определяются по формулам:

'1 л

Ы^ = кГ|—+1

Dw = к2

Г

V V

1

-Г2

\\

- +1 1

(2) (3)

п w =

-1.

(4)

Как видно из формулы (4), коэффициент вариации зависит только от параметра 1 формы распределения Вейбулла. Построим зависимость коэффициента вариации от параметра 1.

Как видно из рис. 1, можно выделить три характерные участка, которые определяют подходы к аппроксимации распределения Вейбулла. Это участок, когда 1 > 1, и, соответственно, 0 < < 1, точка, когда 1=1, и распределение Вейбулла вырождается в экспоненциальное распределение, и участок, когда 1< 1, и коэффициент вариации 1 <У№< Наибольший интерес представляет первый участок, и поэтому следует рассмотреть возможные методы аппроксимации в первую очередь для него.

Рис. 1. Зависимость коэффициента вариации от параметра формы

для распределения Вейбулла

Если функция плотности распределения вероятностей задается в численной форме, или для неё можно вычислить дискретную последовательность значений аргументов, называемых узлами и соответствующие значения функции в узловых точках, можно воспользоваться аппроксимацией по узлам. Следует отметить, что плотность распределения вероятно-

231

стей (и функция распределения вероятностей) относятся к классу функций, имеющие определенную асимптотику при неограниченном возрастании их аргументов. Одним из хорошо известных методов аппроксимации функций данного класса является метод Прони, осуществляющий по выборке получить функцию аппроксимации в виде линейной комбинации экспоненциальных функций. Использование данного метода для аппроксимации функций распределения рассмотрено в [11], а подробный алгоритм описан в [12], поэтому приводить его здесь представляется излишним. Очевидно, что аппроксимация будет удовлетворительной, если значения показателей экспонент будут вещественными и отрицательными.

Однако ряд моментов не позволяют в полной мере использовать данный метод для аппроксимации плотностей распределений. Рассмотрим простейший пример: найдем аппроксимацию распределения Вейбулла с параметрами к =1,5 и 1 =1,2. Поскольку коэффициент вариации при данных параметрах меньше 0,707, для аппроксимации данного распределения достаточно использовать линейную комбинацию двух экспонент. Находим значения распределения Вейбулла в четырех узлах аппроксимации с равномерным шагом, и определяем коэффициенты. Функция аппроксимации имеет вид

/(1) = 1Д37е~0'834 - 1Д37е~2'486 . (5)

Плотность распределения Вейбулла и плотность полученного аппроксимирующего распределения приведены на рис. 2.

0

/ №

Рис. 2. Плотность распределения Вейбулла и её аппроксимация

методом Прони

Здесь и далее, распределения Вейбулла будем обозначать /^(Х), а полученную аппроксимацию как /ф. По формулам (2), (3) определим математическое ожидание и дисперсию распределения Вейбулла, а из (5) определим указанные моменты для полученной функции:

Mw = 1,410983787; М = 1,449038995; Dw = 1,3944196; В = 1,467502262.

Расхождение между моментами достаточно небольшое, но если проинтегрировать (5) и получить функцию распределения вероятности, равную

¥(г) = 0,9052+0,457е"2,4Ш - 1,3627е~0,834, можно увидеть, что она стремиться к величине 0,9052, а не 1, что нарушает требование к функциям распределения. Помимо этого, изменение узлов аппроксимации ведет к существенному изменению параметров искомой функции, а при увеличении количества узлов достаточно часто параметры аппроксимирующей функции оказываются комплексными числами.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что метод Прони не является приемлемым для аппроксимации плотности распределений, и для получения требуемых результатов можно рассмотреть метод моментов [13]. Предлагается использовать для аппроксимации распределения Вейбулла специальное распределение Эрланга, нормированное распределение Эр-ланга, обобщенное распределение Эрланга п-го порядка и свертку п-го порядка от обобщенного распределения Эрланга второго порядка.

Специальное и нормированное распределение Эрланга. В [14] отмечается, что весьма полезно иметь набор специальных функций, которые могут быть использованы для представления распределений наработки на отказ. Такие распределения важны, прежде всего, тем, что для них формулы, используемые при аналитическом моделировании стохастических систем, сильно упрощаются. В указанной выше работе рекомендуется использовать специальное распределение Эрланга. Плотность распределения вероятности для него определяется выражением

Я0 = , (6)

(п - Г)!

где п - положительное целое число.

Соответствующее данному распределению преобразование Лапласа имеет вид

( 1 Г

/ (*) = 1+- . (7)

V1 + я )

Важность данного класса распределений заключается в том, что, во-первых, преобразования Лапласа для него имеет простой вид, а во-вторых, оно тесно связано с показательным распределением, которое является частным случаем распределения при п =1. Пусть отказ наступает в результате прохождения п стадий, причем длительности У1, ..., Yn этих стадий являются независимыми показательно распределенными случайными величинами с плотностями распределения / (£) = Хв-^.

Будем считать, что в конце первой стадии по истечении времени Y1 начинается вторая стадия и т. д. Отказ наступает в конце п-й стадии. Таким образом, время безотказной работы Травно Y1+...+Yn. Тогда распределение случайной величины Т является специальным распределением Эрланга

Стадиям необязательно приписывать какой-либо физический смысл; всякий раз, когда плотность распределения времени безотказной работы имеет вид (6), можно выполнять математические вычисления так, как если бы отказы наступали по описанному процессу из п стадий. Такой

233

подход описан в [15], и распределение (6) называется специальным распределением Эрланга порядка п. Также отмечается, что при аппроксимации эмпирического распределения распределением Эрланга, прежде всего, целесообразно попробовать подобрать распределение вида (6). Желательно, чтобы п имело возможно меньшее значение. Если потребовать, чтобы первый и второй моменты аппроксимирующего распределения были близки к соответствующим моментам эмпирического распределения, то п не может быть намного меньше квадрата величины, обратной коэффициенту вариации.

Найдем математическое ожидание и дисперсию специального распределения Эрланга:

п

Ме =-, (8)

Ве = 4. (9)

12

Если математическое ожидание и дисперсия распределения Вей-булла равны Мм! и Вм,, то приравняв выражение (8) и (9) этим значениям, получим систему уравнений:

' п 1=^

1 В' (10) 12" ^

из которой получаем параметры специального распределения Эрланга:

п =М^, (11)

Dw

1 = М. (12) В

Поскольку п должно быть целым, то значение выражения (11) необходимо округлить до ближайшего целого и уточнить значение 1.

Тогда алгоритм аппроксимации распределения Вейбулла специальным распределением Эрланга будет выглядеть следующим образом:

1) определяются математическое ожидание и дисперсия распределения Вейбулла;

2) из выражений (11) или (12) рассчитываются значения параметров 1 и п специального распределения Эрланга;

3) полученное значение п округляется до ближайшего целого и находится уточненное значение 1.

В качестве примера рассмотрим плотность распределения Вейбулла, у которого параметр формы п = 2,1, а параметр масштаба 1=1,5. Для данного распределения математическое ожидание и дисперсия соответственно равны Mw = 1,328540421, Вм; = 0,4417642946.

Решение системы (10) дает следующие значения параметров распределения Эрланга: п =3,995387748, 1= 3,007351289. Округляем п до 4 и после пересчета получаем 1=3,010822958. Записываем уравнение специального распределения Эрланга

/(1) = 3,010822958 • (3,01082295;)3 ^,01082295

Построим график плотности распределения Вейбулла и плотности полученного аппроксимирующего распределения (рис. 3).

Погрешность аппроксимации представлена на рис. 4.

Ш/

Рис. 3. Плотности распределения Вейбулла и аппроксимация специальным распределением Эрланга

0.08 0.060.040.02-О--0.02-0.04-0.06-0.08

Рис. 4. Погрешности аппроксимации распределения Вейбулла

В [16] рассматривается нормированное распределение Эрланга, плотность распределения вероятности для которого определяется выражением

П (п-1)

' (13)

/^) = (1пП '

(п -1)!

235

Данное распределение связано со специальным распределением Эрланга, поскольку если случайная величина Т имеет нормированное распределение Эрланга порядка п, то она связана со случайной величиной X, распределенной по специальному закону Эрланга п-го порядка, соотношением Т = Х/п, и может использоваться для аппроксимации распределения Вейбулла. Математическое ожидание и дисперсия нормированного распределения Эрланга равны:

1

М = Х ■

А

1

пХ2

(14)

(15)

Можно составить систему уравнений, аналогичную (10), из которой можно получить параметры распределения:

- = М. X

1 А

(16)

пХ

2

Алгоритм определения параметров полностью подобен предыдущему, за исключением того, что после определения п нет необходимости пересчитывать параметр X.

В качестве примера рассмотрим плотность распределения Вейбулла с предыдущими параметрами. Решение системы (11) дает следующие значения параметров распределения Эрланга: п = 3,995387748, X = 0,7527057395. Округляем п до 4. Записываем уравнение нормированного распределения Эрланга

= 13,695870013 -3,010822958^ 1(1) =-3-е '

и построим график плотности распределения Вейбулла и плотности полученного аппроксимирующего распределения (рис. 5).

Погрешность аппроксимации представлена на рис. 6.

\

и

0

Рис. 5. Плотности распределения Вейбулла и её аппроксимация нормированным распределением Эрланга

236

Рис. 6. Погрешности аппроксимации распределения Вейбулла

Аппроксимация обобщенным законом Эрланга. Для аппроксимации распределения Вейбулла можно использовать обобщенный закон Эрланга порядка п. В [14] утверждается, «что всякое распределение длительности безотказной работы можно аппроксимировать с любой степенью точности общим распределением Эрланга». В [17] также говорится, что с помощью обобщенного закона Эрланга п-го порядка можно с достаточной степенью точности аппроксимировать произвольную плотность распределения неотрицательной случайной величины.

Преобразование Лапласа функции плотности такого распределения является рациональной функцией и имеет вид

1 ' ^2 ' к • 1»

f (s)

"n

(17)

(1 + s)(l2 + s)-(1n + s)

Для получения самой функции плотности распределения ft) необходимо разложить (17) на простые дроби и найти оригинал по его изображению. Если все параметры 1 различны, функция плотности, согласно [17], имеет вид:

-lit

n

n

fn(t) = (-1)nП1 • I

i=1 i=1

n

(18)

П (* j

j=1 i * j

)

n

Если обозначить a = П

i * j

ления примет более простой вид

fn (t)

1 j

1)

то функция плотности распреде-

n

-V

(19)

I Щ^е

г=1

Математическое ожидание для обобщенного закона Эрланга п-го порядка может быть получено с помощью выражения

237

п 1

М (X) = I - . (20)

I=14

Рассуждая аналогично, получим значение дисперсии для обобщенного закона Эрланга

п 1

м (X) = I— . (21)

i=1Я?

В [14] сказано, что любое значение среднего и любое дробное значение коэффициента вариации, заключенное между 1 и 1/л/п , можно получить путем соответствующего выбора параметров Х1.

Тогда, если нам известен коэффициент вариации распределения Вейбулла, мы можем найти порядок обобщенного распределения Эрланга

~ = . (22) п *

Округляя полученное из (22) значение до ближайшего большего целого, получим порядок п распределения Эрланга.

Параметры 4 обобщенного распределения Эрланга можно определить, если приравнять моменты распределения Вейбулла математическому ожиданию (20), дисперсии (21) и более высоким моментам распределения Эрланга. Когда коэффициент вариации распределения Вейбулла не меньше 0,707, можно использовать для аппроксимации распределение Эрланга второго порядка, для определения коэффициентов которого требуется только два первых момента. Учет более высоких моментов при аппроксимации реальных распределений требует значительно более сложных выкладок, и система уравнений, которую необходимо составить для определения параметров 4 распределения, часто не дает действительных корней. При этом, во многих случаях, влияние этих моментов на конечные результаты оказывается незначительным.

Для того, чтобы при вычислении коэффициентов использовать только первые два момента, можно задать соотношение между коэффициентами. Пусть, например,

42 =41'х, 43 = 42 ' х,к, Xп = Xп — • х. (23)

В этом случае необходимо определить два неизвестных параметра: 41 и х. Составим систему уравнений из (20) и (21), и приравняем их значениям математического ожидания и дисперсии распределения Вейбулла:

п1

IV=м*

^ (24)

п1

;=142

С учетом допущения (23) получим:

4-,

+

1

1

4 • х 1

+

1

1

41

+

41 • х 1

2

42 х 2

+

41 х 4

+

+

41 • х 1

п-1 = ^

(25)

42 х 2п - 2

П

w

Систему уравнений (25) можно упростить, вынеся за скобки 41 и найдя значение суммы:

х

42

2

х

/

х -1

=М

w

(26)

х

1-

Г 1 Лп

V х2 )

или

4?

41

41 •

х2-1

• х(1 - х- п)

х -1 х 21 - х - 2п) .

П

w

--М

w

(27)

П

х

1

w

Если порядок п обобщенного распределения Эрланга меньше пяти, то решение системы не представляет особой сложности. При больших значениях п в общем виде решение найти невозможно, но можно получить численное приближенное решение системы численными методами.

В качестве примера рассмотрим плотность распределения Вейбул-ла, у которого параметр формы равен 2,1 и параметр масштаба равен 1,5. Для данного распределения математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации соответственно равны:

Мм> = 1,328540421, Dw = 0,4417642946, Vw = 0,5002885153.

Из выражения (6) определяем порядок обобщенного распределения Эрланга

п =-1-- = 3,99539748.

0,50028851532

Принимаем п=4. Решая систему (27), находим значение коэффициента 41 и х: 41= 3,153088902, х = 0,9700627295. Тогда коэффициенты распределения Эрланга будут равны: 41 = 3,153088902, 42 = 3,058694027, 43 = 2,967125076, 44 = 2,87829745.

Находим выражение для обобщенного распределения Эрланга:

/пЦ) =-17075,11628е-ЗЛ53°889021 + 52822,48522*^В6940^ -- 54452,64879 е - 2,967125°7^ +18705,27987 е - 2,87829745"1.

1

1

Плотность распределения Вейбулла и плотность полученного аппроксимирующего распределения приведены на рис. 7.

№ /

Рис. 7. Плотности распределения Вейбулла и его аппроксимация обобщенным распределением Эрланга

Погрешности аппроксимации представлены на рис. 8.

Рис. 8. Погрешности аппроксимации распределения Вейбулла

Соотношение между коэффициентами обобщенного распределения Эрланга можно задать в виде

12 = 1 + х, 1з = 12 + х, • • •, 1 п = 1 п + X. (28)

Подставив (28) в (24), получим:

1

+

1

+

1

1 1 + х 1 + 2 х

1 1 1

— +-- +--

12 (11 + х)2 (11 + 2 х)2

+ к +

1

+ к +

11 + (п _ 1) X 1

= М

м>

(11 + (п _ 1) х) Систему уравнений (29) можно упростить:

240

2 = А,-

У

У

пх + 11 ^ X J -У ' к ^ V х J

11 ^ х J х -у пх + 1 V х

х 2

у _

= М

w

(30)

у _

= а

w

где у(х) - дигамма-функция; у(п, х) - полигамма-функция.

Решение данной системы позволяет получить значение коэффициентов обобщенного распределения Эрланга.

В качестве примера рассмотрим плотность распределения Вейбулла с параметрами из предыдущего примера. Решая систему (30), находим значение коэффициента 1 и х: 6,013260772, х= - 0,8633662293. Тогда коэффициенты распределения Эрланга будут равны:

11 = 6.013260772,12 = 5.149894543,13 = 4.286528313,14 = 3.423162084. Находим выражение для обобщенного распределения Эрланга: /п(0 =-117,6806645в-б,013260772' + 353,0419932в-5,149894543' -

- 353,0419932 в -4,286528313' +117,6806645 в-3,423162084'. Плотность распределения Вейбулла и плотность полученного аппроксимирующего распределения приведены на рис. 9.

т/

-1-

Рис. 9. Плотности распределения Вейбулла и его аппроксимация обобщенным распределением Эрланга

Погрешности аппроксимации представлены на рис. 10.

Аппроксимация свертками обобщенного распределения Эрланга второго порядка. Несмотря на удобство использования обобщенного распределения Эрланга второго порядка, оно позволяет аппроксимировать только распределение Вейбулла, коэффициенты вариации которого принимают значения от V = 0,707 до V =1, поскольку коэффициенты вариации распределения Эрланга лежат в этом же диапазоне.

241

1

Для аппроксимации распределения Вейбулла с любым значением коэффициента вариации, находящимся в интервале [0;1], можно воспользоваться распределением, которое представляет собой свертку п-го порядка от распределения Эрланга второго порядка

/п С) = С/ С )*)п,

где /(,) = 11-^ (е-12" - е

М -12

Рис. 10. Погрешности аппроксимации распределения Вейбулла

Поскольку преобразование Лапласа суммы независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа слагаемых величин, то преобразование Лапласа п-кратного обобщенного распределения Эрлан-га второго порядка будет равно произведению п преобразований Лапласа распределения Эрланга:

/(*) _

1

1

1

2

/п(*) _

1

1

\п

11 + £ ) \ 12 + £

1

2

\п

11 + £ 12 + £

Дифференцируя преобразование Лапласа по £ в точке £=0, получим математическое ожидание и второй начальный момент для рассматриваемого распределения:

М

п(1 +12)1^ п((п +1) -11 + 2п -11 -12 + (п +1) -12)

- М - -

11 - 12

2

112 -122

Поскольку второй начальный и центральный моменты связаны со-

2

отношением М2 = В+М , то дисперсия и коэффициент вариации рас_ л/112 +122

пределения будут равны:

В

п(1]2 +122) 112 -122 Ып(11 +12)

242

Легко убедиться, что коэффициент вариации п-ой свертки обобщенного распределения Эрланга второго порядка лежит в интервале (1/

42п ; 1), причем с увеличением п левая граница этого интервала приближается к нулю. Действительно, если положить 11 = 12, то V = 1—.

л/2п

Из данного выражения можно определить порядок свертки. Находим значение

~ = (31)

где - коэффициенты вариации распределения Вейбулла, и округляя его до ближайшего большего, получим порядок свертки п.

Будем считать, что для распределения Вейбулла определены математическое ожидание М„ и дисперсия В^.

Для аппроксимации распределения Вейбулла по двум моментам необходимо, чтобы выполнялись два следующих условий:

п(1 + 12) ъ,

——=мМ! 1 -12

п(112 +122) = В '

\ 2 л 2 1 12

Решая данную систему из двух алгебраических уравнений, можно найти коэффициенты 11 и 12. Выразим 11 через 12 из первого уравнения и подставив это выражение во второе уравнение, после некоторых алгебраических преобразований получим квадратное уравнение. Корни данного уравнения определяются по формулам:

2п

11 =-, 2 , (32)

М„ - М^

2п

12 =-, 2 . (33)

М„ -у!-м^

Таким образом, алгоритм аппроксимации распределения Вейбулла, коэффициент вариации которого удовлетворяет неравенству 0<^<1 п-ой сверткой обобщенного распределения Эрланга второго порядка будут выглядеть следующим образом:

1) на основании выражения (31) по заданному значению коэффициента вариации распределения Вейбулла определяется порядок свертки обобщенного распределения Эрланга второго порядка;

2) определяются математическое ожидание и дисперсия распределения Вейбулла;

3) из выражений (32) и (33) рассчитываются значения коэффициентов 1 и обобщенного распределения Эрланга.

В качестве примера рассмотрим плотность распределения Вейбул-ла, у которого параметр формы равен 2,1 и параметр масштаба равен 1,5. Для данного распределения математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации соответственно равны:

М„ _ 1,328540421,

п _ 0,4417642946, V^ _ 0,5002885153.

Из выражения (31) определяем порядок свертки обобщенного распределения Эрланга второго порядка

~ _-1-- _ 1,997693 874.

2 - 0,50028851532

Принимаем п=2. Из формул (32, 33) находим значение коэффициентов 11 и 12: 11 _ 3,116717733, 12 _ 2,911887569.

Находим свертку для обобщенного распределения Эрланга: /п (*) _ 3926,336е "3014 * еИ( 0\02г)г - 38337,378е "3014 * 0,102?).

Плотность распределения Вейбулла и плотность полученного аппроксимирующего распределения приведены на рис. 11.

№

г ----- -— — - -

Рис. 11. Плотности распределения Вейбулла и аппроксимация сверкой

распределения Эрланга 2-го порядка

Погрешности аппроксимации представлены на рис. 12.

Аппроксимация смесью экспоненциальных распределений. Когда для распределения Вейбулла 1<1, и соответственно, коэффициент вариации 1<Пу<ю, можно воспользоваться для аппроксимации, как предлагается в [14], смесью экспоненциальных распределений. Допустим, что с вероятностью п отказ произойдет на первой стадии с плотностью распределения наработки /1(?) е-11*, а с вероятностью (1—п) - на второй стадии с плотностью распределения /2(*) _ 12 е_12* • Пусть отказ происходит только в одну любую стадию.

Тогда плотностью распределения равна

/ (!) = Р1 е-1' + (1 -Р)1 е-11'. (34)

Рис. 12. Погрешности аппроксимации распределения Вейбулла

Преобразование Лапласа плотности распределения имеет вид

Д5) = р11 + (1 -р)12 = ^ 2 + 12 5 + р(11 -12)5 (35)

1 + 5 12 + 5 (11 + я)(12 + 5)

Можно показать, что при соответствующем выборе параметров п, 11 и 12 можно получить распределение, имеющее любое среднее и любой дробный коэффициент вариации, заключенный между 1 и да.

Заключение. Полученные аппроксимации распределения Вейбулла, полученные на основе типовых распределений, для которых существует преобразование Лапласа, позволят исследовать характеристики сложных технических систем при аналитико-вероятностном моделировании. Следует отметить, что математическое ожидание распределения Вейбулла и аппроксимации полностью совпадает для всех рассмотренных случаев. Для наглядности, представим полученные результаты примеров вычислений в таблице.

Результаты аппроксимации

Распределение Погрешность дисперсии, % Максимальная погрешность Коэффициент детерминации

Специальное Эрланга 0,1158 0,097 0,9608364552

Нормированное Эрланга 0,1158 0,097 0,9608364552

Обобщенное Эрланга I 0,0016 0,098 0,9608295990

Обобщенное Эрланга II 0,0003 0,098 0,9608270244

Свертка Эрланга 0,0009 0,098 0,9608290451

Коэффициент детерминации определяется по известной формуле

п 2

X (Л, ('г) -Л ('г ))2

К2 = 1 - М-.

п - 2 X (Л, ('г) - ^ (' ))2

г=1

В данном случае коэффициент детерминации определялся по 20 точкам на участке [0, 5], где погрешность аппроксимации значительна. Считается, что модели с коэффициентом детерминации выше 80 % можно признать достаточно хорошими. Из таблицы видно, что в данном случае для любой из предложенных для аппроксимации функций коэффициент детерминации составляет не менее 96 %.

Можно утверждать, что все предложенные для аппроксимации распределения позволяют заменить закон Вейбулла при аналитическом моделировании, и определяющим фактором выбора того или иного распределения становится минимальное отклонение дисперсии и простота преобразования Лапласа, что позволит значительно упростить вычисления при моделировании процессов функционирования технических систем с учетом их надежности.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации (№ 1.10513.2018/11.12) при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№19-01-00704а).

Список литературы

1. Копп В.Я. Моделирование автоматизированных производственных систем: монография. Севастополь: СевНТУ. 2012. 700 с.

2. Peschansky A.I. Semi-Markov Models of One-Server Loss Queues with Recurrent Input. Germany: LAP LAMPERT Academic Publishing. 2013. 138 p.

3. Obzherin Yu.E., Boyko E.G. Semi-Markov Models. Control of Re-storable Systems with Latent Failures. USA, Elsevier, Academic Press. 2015. 214 p.

4. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Пер. с нем. М.: Радио и связь. 1988. 392 с.

5. Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надежности систем с использованием графов. М.: Радио и связь. 1988. 208 с.

6. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук. думка. 1982. 236 с.

7. Королюк В.С. Стохастические модели систем / Отв. ред. А.Ф. Турбин. Киев: Наук. думка, 1989. 208 с.

8. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наук. думка, 1976. 181 с.

9. Использование метода траекторий для построения полумарковской модели структуры «технологическая ячейка - накопитель» / В.Я. Копп, М.В. Заморёнов, Ю.Е. Обжерин, М.Ю. Ларин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб: Изд-во Политех. ун-та. 2016. №3(247). С. 2334.

10. Апробация метода траекторий на примере моделирования процесса функционирования производственного элемента с обесценивающими отказами / Заморёнов М.В., Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Заморёнова Д.В. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 8. Ч. 1. С. 57-71.

11. Therrien C.W. Discrete Random Signals and Statistical Signal Processing. Englewood Cliffs. NJ: Prentice Hall, 1992. 727 p.

12. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 c.

13. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966.

588 с.

14. Кокс Д.Р., Смит У.Л. Теория восстановления. М.: Сов. Радио. 1967. 298 с.

15. Кокс Д.Р., Смит У.Л. Теория очередей. М.: Мир, 1966. 218 с.

16. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб: Наука. 2001. 295 с.

17. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк. 2000. 383 с.

Карташов Леонид Евгеньевич, канд. техн. наук, доцент, ninakararambler.ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Копп Вадим Яковлевич, д-р техн. наук, профессор, v_kopp@,mail. ru, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет,

Заморёнов Михаил Вадимович, канд. техн. наук, доцент, Zamoryon-off@,gmail. com, Россия, Севастополь, Севастопольский государственный университет

APPROXIMATION OF THE WEIBULL LA W

L.E. Kartashov, V.Y. Kopp, M.V. Zamoryonov

A number of methods for approximating the Weibull distribution law are considered. A number of distribution laws are proposed based on Erlang distributions for approximation, the parameters of distributions are determined using the method of moments. Numerical examples are considered, the approximation error is determined.

Key words: modeling, Weibull distribution, Erlang distribution, approximation.

Kartashov Leonid Evgen'evich, candidate of technical science, docent, ninakararambler. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol state University,

Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical science, professor, v_kopp@,mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol state University,

Zamoryonov Mikhail Vadimovich, candidate of technical science, docent, Za-moryonoff@,gmail. com, Russia, Sevastopol, Sevastopol state University