Описание ситуаций равновесия в играх с упорядоченными исходами Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. Розен

УДК 519.83

ОПИСАНИЕ СИТУАЦИЙ РАВНОВЕСИЯ В ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

I. При построении смешанного расширения игры с упорядоченными исходами порядки, выражающие предпочтения игроков, продолжаются на множество вероятностных мер. В работе [1] в качестве такого продолжения использовалось так называемое каноническое продолжение, которое строится с помощью класса всех изотонных отображений упорядоченного множества в R . Оказывается, что кроме канонического, существуют другие продолжения, которые осуществляются с помощью конусов изотонных отображений. При выполнении некоторых условий, накладываемых на конусы изотонных отображений, основной результат о существовании ситуаций равновесия в смешанном расширении игры с упорядоченными исходами, а также структура множества ситуаций равновесия сохраняются. Настоящая заметка посвящена изложению данного круга вопросов.

II. Рассмотрим конечное множество А = {at, а2, ... , ат) , на котором задано отношение (частичного) порядка со . Пусть R"4 - множество всех отображений из А в R; оно рассматривается как евклидово линейное пространство, в котором линейные операции осуществляются покомпонентно, а скалярное произведение задается стандартным способом. Всякое отображение <р : А R может быть записано в виде г -компонентного вектора : ср =(<p(ai), ф(а2),—,ф(яг)). В частности, вероятностная мера ц на А задается в виде ц = ( ц(аО,. .., ц(<зЛ)) , где

Пусть С(ш) - множество всех изотонных отображений упорядоченного множества в И, К с; С ( ш ) - некоторый конус. Будем говорить,

что конус К аппроксимирует отношение порядка ю , если из условия

О^среК) ф( а\ ) < ф (а2) следует а{ <а2 ■

Через 5 обозначим каноническое вложение А —» К'*, при котором образом элемента а1 еА является г- компонентный вектор

г

О)

Определим на отношение квазипорядка (лк условием: ц < v <=> (Уф е /С)(ф,ц)< (ф,у).

ЛЕММА. Для того, чтобы со было отношением порядка на R и каноническое вложение 5 осуществляло изоморфное вложение упорядоченного множества < А , со > в упорядоченное множество < RÄ , ю >, необходимо и достаточно, чтобы конус К был телесным (то есть dimÄ"=r) и аппроксимировал отношение порядка ю.

III. Игра п лиц с упорядоченными исходами может быть задана в виде набора объектов

G=<I,(Xi)ieI,A,(<oi)ie/,F>, (2)

где / = {1 ,.. . ,' п) - множество игроков, X - множество стратегий игрока /', А - множество исходов, со, - отношение порядка на А, выражающее предпочтения игрока /, F — функция реализации

F-WX^A.

ial

Ситуация е называется ситуацией равновесия, если для любых

ie /

¡' е I, Xj е Xj выполняется

(3)

Смешанным расширением игры й называется игра с упорядоченными исходами

компоненты которой строятся следующим образом:

a) Х1 есть множество вероятностных мер на множестве Х,\

b) А есть множество вероятностных мер на множестве А\

c) ^ есть продолжение функции реализации на множество вероятностных мер.

Если игра б является конечной, то Р представляет собой отображение множества

П^/ в А, /е/

которое каждому набору

/е/

ставит в соответствие вероятностную меру на А, определенную

равенством

^(ц„....ц„)(а)= !>,(;,)■...-Д,, (О; (4)

Н1......'„)=о

с1) для построения продолжения порядка со, на множество вероятностных мер А зафиксируем некоторый конус /С, изотонных отображений из <А\ со, > в И 0 = 1, ... , п). Отношение

а>*< на А

определим равносильностью

К: Ш, '

ц < Уо(Уф6/:,.)(ф,ц)<(ф,у). (5)

Положим К=(К,)1^1. Смешанное расширение игры <7, в котором

продолжения порядков со, (г = 1,..., п ) на множество вероятностных мер

_ _£

А определены формулой (5), обозначается через б .

Основной результат работы представляет следующая ТЕОРЕМА. Предположим, что для каждого /е/для конуса Ki выполнены следующие условия:

1) конус К, аппроксимирует отношение со, ;

2) конус К, является телесным;

3) конус К, является конечнопорожденным.

Тогда множество ^ ситуаций равновесия в игре б* может быть

представлено в следующем виде:

иФ<р). (6)

где К,0 = {а^1 + ... + аг\|/* : аь ... , а, > 0} , причем { ф,1,. .., ф*} есть множество образующих конуса К,; £(СФ) - множество ситуаций равновесия в смешанных стратегиях игры Сф = </, ф, ° ^ > с функциями выигры-

шей игроков.

—к

Замечание 1. Ввиду леммы, <7 является игрой с упорядоченными исходами и каноническое вложение 5 осуществляет изоморфное вложение

игры й в игру СК.

Замечание 2. В предположениях теоремы множество ситуаций

равновесия Е^Сг* ^ будет непустым, так как Е(СЧ) Ф 0 по теореме Нэша.

Замечание 3. В случае, когда К, есть конус всех изотонных отображений упорядоченного множества < А, со, > в Я, равенство (6) дает основной результат работы [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Розен ВВ. Смешанное расширение игр с упорядоченными исходами // ЖВМ и МФ. 1976. № 6. С. 1436 - 1450.

УДК 512.532

В. Н. Салий

КВАЗИБУЛЕВЫ СТЕПЕНИ АЛГЕБР И ПОЛУРЕШЁТКИ

Понятие булевой степени алгебры играет важную роль в общей теории алгебраических систем [1]. Близким ее обобщением является следующая конструкция квазибулевой степени алгебры.

Пусть (¿,+,-,0,1) - полная решетка. Ортогональной системой в Ь называется подмножество {/, | ¡' е /} такое, что /;•/, = 0 при г ф у и /е/} = 1. Ортогональная система /е/}, по определению, независима, если £{/у| у б У} -£{/¿1 кеК} = 0 для любого разбиения / = J и К^ ел К = 0. Квазибулева решетка - это полная решетка с дополнениями, в которой каждая ортогональная система независима. Все полные булевы решетки являются квазибулевыми. Примером недистрибутивной (и даже не модулярной ) квазибулевой решетки служит пятиугольник /У5. Известно [2, с. 271], что полная решетка с дополнениями тогда и только тогда будет квазибулевой, когда она допускает -гомоморфизм на полную булеву алгебру, который сохраняет точные верхние грани ортогональных систем и, кроме того, взаимно однозначен в 0 и 1. Такой -гомоморфизм называется каноническим.

Пусть I - квазибулева решетка и (А,Р) - алгебра с носителем А и множеством конечноместных операций Р. Под Ь -степенью алгебры А понимается алгебра где А[Ь] - множество всех отображений V : Л —> £ таких, что рг2\ = {у(а)| а е А} является ортогональной системой в Ь, а операции в А[Ц определяются формулой

/(У1,-^„)(а) = Х{у1(а1)-...-уя(ап)| Даи...,ап) = а} (*)

для любых / е ,...,ап е Л;у,,...,ул е А[Ц (объединение берется по всем таким наборам {ах,...,ап), для которых /(а,,...,ап) = а).

Когда пробегает класс всех квазибулевых решеток, получаются квазибулевы степени алгебры А. Среди них находятся и все булевы степени этой алгебры, они соответствуют полным булевым решеткам Ь.