Описание индуцированных температурой и сдвигом переходов «Твердое тело-жидкость» методом мезочастиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

Описание индуцированных температурой и сдвигом переходов “твердое тело - жидкость” методом мезочастиц

Г.П. Остермайер, В.Л. Попов1

Институт механики, Берлинский технический университет, Берлин, D-10623, Германия 1Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Предлагается модель кристаллических твердых тел, описывающая как механические, так и термодинамические свойства твердых тел на единой основе. Предлагаемая модель основана на теории фазовых переходов Ландау. Рассматривается эффект потери сдвиговой устойчивости кристаллических тел в поле сдвиговых напряжений. Развитая теория обобщается затем на системы мезочастиц, взаимодействия между которыми определяются многочастичными неравновесными потенциалами взаимодействия, содержащими информацию об основных термодинамических и кинетических свойствах среды на микромасштабном уровне.

1. Введение

Исследование физических процессов на временных и пространственных масштабах между микро- и макромасштабами до сих пор остается актуальной и нерешенной проблемой физического моделирования. В то время как для моделирования на микромасштабном уровне (с характерными временами порядка пикосекунд) с успехом могут быть использованы методы молекулярной динамики, а на макромасштабном уровне — методы макроскопической континуальной механики, моделирование на промежуточном, мезоскопическом, уровне не имеет хорошо развитого и физически обоснованного инструментария. В предшествующих работах одного из авторов [1-3] было показано, что для описания термомеханических свойств материалов на мезоуровне успешно могут быть использованы методы частиц, если ввести в рассмотрение межчастичные потенциалы взаимодействия, зависящие от макроскопических термодинамических параметров системы. Предложенный метод, получивший название метода мезочастиц, объединяет преимущества методов молекулярной динамики и макроскопической термодинамики непрерывных сред. В [4] метод мезочастиц был обобщен путем введения “сглаженных” многочастичных потенциалов взаимодействия. Без рассмотрения остался однако тот факт, что термо-

динамические и упругие свойства сред зависят, вообще говоря, не только от температуры и всестороннего давления [3, 4], но и от упругого сдвигового напряжения в среде. В настоящей работе производится дальнейшее обобщение метода, позволяющее рассматривать зависимость упругих свойств среды от сдвиговой упругой деформации (вплоть до полной потери устойчивости — “плавления сдвигом”, возможность которого была предсказана теоретически [5, 6] и обнаружена экспериментально на модельных системах [7]).

Работа построена следующим образом. Во втором разделе сформулирована термомеханическая модель непрерывной среды на основе формализма, аналогичного теории фазовых переходов Ландау. Параметр порядка в этой теории определяет поперечную жесткость системы, а его квадрат дает неравновесный модуль сдвига. В третьем разделе представлена кинетика параметра порядка в рамках названной континуальной модели. В четвертом разделе показано, что роль неравновесного параметра порядка теории Ландау в методе мезочастиц играет амплитуда двухчастичной части потенциала взаимодействия. Это позволяет осуществить непосредственное обобщение идей термомеханической теории непрерывных сред на метод мезочастиц (раздел 5). Раздел 6 заключает работу.

© Остермайер Г.П., Попов В.Л., 2000

2. Фазовые переходы, индуцированные температурой и сдвигом

Существенный недостаток классической теории дислокаций состоит в том, что она исходит из рассмотрения идеального кристалла, который считается абсолютно устойчивым. В классической теории дислокаций тело может “выдержать” любую плотность дефектов и любые напряжения, не превышающие предела текучести. Даже достижение предела текучести не рассматривается в механике сплошных сред как потеря термодинамической устойчивости тела и переход в другую фазу. Между тем хорошо известно, что механические воздействия могут приводить к потере термодинамической устойчивости, что в рамках термодинамики твердого тела находит свое выражение в диаграммах состояния в пространстве “температура (термодинамическая переменная) - давление (механическая переменная)”.

При повышении температуры потеря устойчивости тела по отношению к сдвиговым напряжениям может происходить не только в результате преодоления предела текучести, но и путем плавления. Оба эти типа воздействия — механическое и тепловое — традиционно рассматриваются независимо друг от друга соответственно в рамках термодинамики и механики твердого тела. Тот факт, что такое рассмотрение может при определенных условиях оказаться неадекватным, становится особенно очевидным при достижении температуры плавления: бесконечно малое изменение температуры приводит при этом к потере механической устойчивости тела (модуль сдвига обращается в нуль), а бесконечно малое изменение давления или сдвигового напряжения приводит к потере термодинамической устойчивости (плавлению). Механические свойства кристаллических твердых тел не могут поэтому, вообще говоря, рассматриваться независимо от их термодинамической устойчивости. В данном разделе мы предлагаем модель кристаллического твердого тела, которая описывает на единой основе как механические, так и термодинамические свойства твердых тел. По своей математической форме предлагаемая модель аналогична теории фазовых переходов Ландау.

Исходным пунктом термодинамической теории фазовых переходов Ландау является выбор параметра порядка ф — величины, которая характеризует качественное изменение состояния тела в точке фазового перехода. В случае плавления естественным кандидатом на роль параметра порядка является предельное значение парной корреляционной функции на бесконечности или, эквивалентно, амплитуда периодической части микроскопической функции плотности среды: в жидком состоянии микроскопическая функция плотности однородна и параметр порядка равен нулю, а в кристаллическом состоянии функция плотности имеет отличную

от нуля периодическую компоненту, отражающую наличие кристаллической решетки. Сдвиговая устойчивость среды непосредственно связана с определенным таким образом параметром порядка. Утверждение, что среда находится в кристаллическом состоянии, означает ни что иное как то, что любые два соседних молекулярных слоя в нем создают по отношению друг к другу периодический потенциал. “Плавление” же означает исчезновение периодической компоненты потенциала взаимодействия. В случае чисто гармонической модуляции функции плотности можно показать, что модуль сдвига М пропорционален квадрату параметра порядка1:

М = ф2. (1)

Для того чтобы проиллюстрировать основные идеи термомеханической модели, будем считать для простоты, что фазовый переход плавления протекает как фазовый переход второго рода2. Соответственно мы будем использовать стандартную теорию Ландау фазовых переходов второго рода. Обобщение на случай фазовых переходов первого рода не представляет труда.

При температурах, близких к температуре фазового перехода, разложение плотности свободной энергии по степеням параметра порядка имеет вид [8]:

/therm = а(Т)ф2 + -2 ф4. (2)

Здесь а и b — функции термодинамических параметров состояния: температуры и давления. Вблизи критической температуры Tc

a(T) = a(T - Tc), (3)

где a — не зависящий от температуры параметр.

Функция (2) описывает систему в состоянии с минимальной энергией, то есть в упруго недеформированном состоянии. В кристаллической фазе, вследствие неисчезающей поперечной жесткости системы, среда может быть переведена в деформированное метастабильное состояние. Для описания этого состояния необходимо к свободной энергии (2) добавить свободную энергию упругой деформации це2]/2. Таким образом, полная свободная энергия, с учетом (1), может быть записана в виде:

1 Рассмотрим два соседних “атомных слоя” среды. Как вариации зарядовой плотности слоя 1, так и вариации потенциала, создаваемого слоем 2, пропорциональны амплитуде периодической части микроскопической функции плотности среды. Амплитуда потенциала взаимодействия (а тем самым и модуль сдвига среды) будет пропорциональна их произведению, т.е. квадрату параметра порядка.

2 Возможность фазового перехода “плавления сдвигом”, обсуждаемая

ниже, не противоречит выводу Ландау о том, что плавление всегда протекает как переход первого рода [8], поскольку названный вывод предполагает переход от состояния с дискретной симметрией в изо-

тропное состояние, инвариантное по отношению к группе вращений. В упруго деформированном состоянии инвариантность по отношению к группе вращений нарушена и аргумент Ландау неприменим.

Рис. 1. Зависимость сдвигового напряжения от упругой деформации в материале, претерпевающем фазовый переход плавления сдвигом

/ = а(Т - Т^ф2 + b ф4 +1 ф^,

(4)

где ее1 есть упругая деформация3.

Упругое напряжение в твердом теле определяется как

Г

CTel =■

дє„

• = ф Eel = M^el-

(5)

По мере роста упругих искажений модуль коэффициента в члене второго порядка становится меньше. Соответственно убывают параметр порядка и модуль сдвига:

ф2 = «( - Т)-£2/2

м = ф =■

При определенном значении деформации

~e1,c

= 42a(Tc - T)

(6)

(7)

поперечная жесткость среды становится равной нулю — происходит “плавление сдвигом”.

Упругое напряжение как функция упругой деформации имеет вид

ae1 = MEe1 =Х (E e1) = a(Tc -T)-вУ2

(8)

при Eel = ^ где

еЄі2 = 3a(Tc -T) = 3e^ c,

оно достигает максимального значения

(9)

3 Мы считаем для простоты, что тензор деформации имеет единствен-

ную отличную от нуля компоненту. Обобщение на случай произвольного напряженного состояния очевидно.

ao =

1 f 2

bI З

a(Tc - T)

3/2

(10)

Функция (8) изображена на рис. 1. Справедливость соотношения (8) вплоть до максимального напряжения была подтверждена экспериментально в [7] на примере тонких слоев затвердевших смазочных веществ, заключенных между твердыми поверхностями.

3. Кинетика параметра порядка

Если температура или деформация тела изменяются скачком, то требуется определенное время для того, чтобы параметр порядка принял новое равновесное значение. Кинетика параметра порядка может быть определена из следующих соображений. Производная -ЭГ/Эф определяет обобщенную термодинамическую силу, стремящуюся приблизить параметр порядка к его равновесному значению. Вблизи точки фазового перехода эта производная мала и мы можем записать линейное по термодинамической силе кинетическое уравнение

• д/

ф = -Yt- , дф

(11)

где Y — кинетический коэффициент, имеющий размерность частоты. В явном виде кинетическое уравнение имеет вид

ф = -y((T - Тс)ф+ 2Ьф3 + фе 2i(o). (12)

Оно может быть переписано в терминах модуля сдвига:

1ц = -y(2a(T - 7С )М + 2Ьм2 + це^ (t)). (13)

Часто в эксперименте остается неизменным не смещение, а внешнее приложенное напряжение. Выразив из условия постоянства напряжения

a = ф2ее1 = const (14)

упругую деформацию как функцию параметра порядка и подставив ее в (12), придем к кинетическому уравнению

2

ф = -Y

a

2a(T - 2Ьф3 + —

ф

(15)

определяющему динамику параметра порядка при заданном напряжении.

Введя безразмерные переменные

~ = ф/фо, 5 = ст/сто, ~ = ^о, (16)

где фо = (а(Тс - Т))1/2 — равновесное значение параметра порядка в отсутствие деформации; 5о = = 1/Ь ((2/3)а(Тс - Т))е — максимально достижимое в теле упругое напряжение, определяемое уравнением (10), а ^ = (2«(Тс - Т)У)"1 — характерное время релаксации параметра порядка к равновесному значению, можно переписать (15) в виде:

eel > Ee1,c

Рис. 2. Кинетика модуля сдвига (квадрата параметра порядка) при напряжениях, меньшем, равном и большем критического

Эф ~ ~3 4 5

— = ф - ф - ——• 27 ф

Э~

(17)

Численные решения уравнения (17) при критическом напряжении (5 = 1), а также напряжениях, несколько меньших и несколько больших критического, изображены на рис. 2. Представленная кинетика имеет поразительное сходство с наблюдавшейся экспериментально [7].

4. Многочастичный потенциал взаимодействия и параметр порядка

В предшествующей работе [4] мы показали, что непрерывные среды могут быть описаны в рамках метода частиц потенциалом взаимодействия вида

Г** =^0 + (1 Ч)Кт

(18)

где Г1жо и Гтпу — соответственно двух- и многочастичные потенциалы. Двухчастичный потенциал получается суммированием потенциала взаимодействия Л еннарда-Джонс а

V (г) = Го

12 / \6

I - 2| Г0.

г I 1 г

(19)

час-

как

по всем парам частиц. В (19) Го и го есть глубина потенциальной ямы и равновесное расстояние между частицами. Многочастичный потенциал определяется

Г = Ег V)), где Г*(п(г)) дается по определению уравнением

Г (п) = 3Шй

- 2

В = 2,

(20)

(21)

Г (п) = 6^о

Г \4

п

- 2

2

п

В = 3.

(1)

Здесь N — полное число атомов в системе, а п1’ — соответствующим образом определенная “плотность” частиц в точке г(г) — координате г-ой частицы.

Определим локальную плотность среды в точке г с помощью весовой функции К, существенно убывающей на расстоянии R0 > го (применение метода показывает, что уже выбор Ло ~ 2го достаточен для практических целей):

(1)

= п(г(1)) = Е К (г О - г

.и)

(22)

Весовая функция К должна быть нормирована таким образом, чтобы в равновесной конфигурации системы с потенциалом (19) выражение (22) давало бы равновесную плотность по.

5. Неравновесный потенциал взаимодействия системы частиц

Многочастичная часть потенциала (18) построена таким образом, чтобы обеспечить нулевую поперечную жесткость системы. Ненулевая жесткость возникает исключительно благодаря двухчастичной части потенциала ^Г(дао. Коэффициент 4, таким образом, пропорционален модулю сдвига Ц среды, а двухчастичная часть потенциальной энергии играет роль упругой энергии сдвиговой деформации в случае непрерывной среды. Эти аналогии позволяют произвести непосредственный перенос термодинамических и кинетических закономерностей, сформулированных в разделах 2 и 3, на систему частиц: необходимо просто заменить модуль сдвига в кинетическом уравнении (13) на параметр 4, определяющий величину двухчастичной части потенциала взаимодействия.

Если параметр порядка зависит от координаты, то потенциальная энергия системы может быть записана как

гш =Е

Ь Ег (-1 )+[1 Ч* ]• Г * (г(1))

-*1

(23)

По аналогии с (4), термодинамический потенциал системы частиц имеет вид:

Ф = е{«(т - Тс& + -2 42+2 ь Ег (г- ) (24)

1 [ I*1

Аналог кинетического уравнения (13) в случае системы частиц приобретает вид:

141 = -У^2а(Т - Тс)Ь- + 2ЬЬ2 + Ь ^Г (г-1 )|. (25)

Это уравнение, совместно с (18), определяет кинетику изменения неравновесного потенциала взаимодействия системы частиц.

Отметим, что в зависимости от “энергии связи”

Е Г (—) частицы в среде возможны два типа мезочас-

-*1

тичных систем при заданной температуре:

1 . Если

2а(Т; - Т) <<ЕГ(г--), (26)

-*1

то равновесное значение параметра 4 при достаточно больших деформациях обращается в нуль — тело “плавится” при достаточно интенсивном нагружении.

2. В противоположном случае

2а(Тс - Т) >Е Г(-), (27)

-*1

параметр 4 остается отличным от нуля и тело сохраняет свойства кристаллической фазы при сколь угодно интенсивном нагружении.

6. Заключение

В настоящей работе мы рассматриваем модуль сдвига материала не как материальную константу, а как динамическую переменную системы. Интенсивная деформация или, тем более, пластическое скольжение в материале представляют собой столь сильное возмущение атомных корреляций, что упругие свойства материала локально изменяются, вплоть до полного разрушения дальнего упорядочения (плавление сдвигом). Это изменение упругих свойств (уменьшение модуля сдвига) является одной из причин развития неустойчивостей пластической деформации.

Модуль сдвига является продуктом дальнодейст-вующих корреляций в системе. Отсюда следует, что время релаксации модуля сдвига к термодинамически равновесному значению относится к большим временам релаксации системы. Именно это обстоятельство, с одной стороны, делает возможным рассмотрение термодинамического потенциала как функции неравновесного параметра порядка, а с другой стороны, делает не-

обходимым рассмотрение кинетики упругих модулей как неотъемлемой части динамической теории упругопластических сред.

В случае дискретной динамики частиц роль модуля сдвига играет параметр, определяющий вклад двухчастичных взаимодействий в полную потенциальную энергию системы. Эта аналогия позволяет ввести в рассмотрение неравновесную потенциальную энергию взаимодействия частиц, которая, в свою очередь, зависит от конфигурации системы частиц (с запаздыванием, определяемым кинетическим уравнением). Неравновесная потенциальная энергия взаимодействия системы частиц позволяет использовать для моделирования макроскопических систем преимущества метода молекулярной динамики и одновременно содержит в концентрированном виде важнейшую информацию о термодинамических и кинетических свойствах материала на микромасшабном уровне.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Deutsche Forschungsgemeinschaft (Sonderforschungs-bereich 605 „Элементарные процессы трения“).

Литература

1. Ostermeyer G.P. Many particle systems // German-Polish Workshop, 1995, Polska Akad. Nauk, Inst. Podst. Prob. Techniki, Warszawa, 1996.

2. Ostermeyer G.P. Friction models with discrete layers // ZAMM, 2000 (в печати).

3. Oстермайер Г.П. Метод мезоскопических частиц для описания термомеханических и фрикционных процессов // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 6. - С. 25-32.

4. Oстермайер Г.П., Попов В.Л. Многочисленные неравновесные потенциалы взаимодействия в методе мезочастиц // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 33-39.

5. Попов В.Л. Термомеханическая модель кристаллических упругопластических сред // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - № 20. -С. 31-38.

6. Popov V.L. A theory of the transition from static to kinetic friction in boundary lubrication layers // Sol. State Commun., 2000 (в печати).

7. Reiter G., Demirel A.L., Peanasky J. et al. // Physics of sliding friction /

Ed. by B.N.J. Persson and E. Tosatti. - Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. - 1996. - P. 119-138.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. - М.: Наука,

1978. - Ч. 1. - 424 с.