Операторы преобразования спектров в базисах Фурье и Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 621.391; 519.216.1/2

Операторы преобразования Фурье и Уолша

Сюзев В.В.1, Гуренко В.В.1*, Кучеров К.В.1, Парфенюк Е.В.1

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 02. С. 138-156.

Б01: 10.7463/0217.0000939

Представлена в редакцию: 15.01.2017 Исправлена: 29.01.2017

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

спектров в базисах

Ужиепко@ЬтБШЛ1 :МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

С целью повышения качества процессов разработки и исследования информационно -управляющих систем реального времени спектральными методами поставлена и решена теоретическая и прикладная задача преобразования тригонометрического спектра Фурье, отражающего широко используемое гармоническое представление дискретных сигналов, в их спектры Уолша, приводящие к экономным алгоритмам обработки. Для ее решения в различных базисных системах Уолша предложены новые операторы преобразования спектров, математическую основу которых составляют ядра Фурье специфической структуры. Использование данных ядер позволило сформулировать оригинальные правила образования независимых групп спектров Фурье и Уолша. Получение групп, в свою очередь, привело к разработке эффективных алгоритмов реализации таких операторов. Проведена оценка вычислительной сложности предложенных алгоритмов.

Ключевые слова: дискретные сигналы; спектр Фурье; спектры Уолша; преобразование спектров; ядро Фурье; вычислительная сложность

Введение

При разработке методов и алгоритмов обработки дискретных сигналов в спектральной области встречаются задачи, связанные с взаимопреобразованием спектров одного и того же сигнала в различных базисных системах [1 - 6]. Классическое решение таких задач включает этапы восстановления сигнала по его спектру, заданному в одной системе базисных функций, и последующего вычисления спектра сигнала в другой базисной системе. Так, например, если известен спектр Х^(т), т = 0,1, — 1 ограниченного во времени дискретного сигнала х(/), / = 0,1,..., N — 1 в базисе {ф(т, /)}, а требуется найти его спектр Х^(к), к = 0,1, ...^ — 1 в базисе {ф(к, /)}, то решение задачи преобразования спектра Х^(т) в спектр Х^(к) сводится к выполнению следующих дискретных преобразования Фурье (ДПФ):

N-1

х(0 = ^

т=О

(2)

где

¿=о

N-1

(3)

¿ = 0

есть мощность базисной функции <р(к, ¿) [7, 8].

Прямая реализация уравнений (1) и (2) требует выполнения в общем случае по 2Ы2 операций умножения и сложения, вид которых (действительные или комплексные) зависит от типа базисных функций х[)(т,1) и (р(к,1). Вычислительную эффективность алгоритма преобразования спектра можно повысить, если объединить уравнения (1) и (2), приведя их к следующему виду:

N-1

(4)

т=0

где

^ N-1

к ¿=о

(5)

В этом алгоритме спектр Х у(к) получается с помощью линейного оператора (4), содержащего в своей структуре ядро Ф(к,т), описываемое функцией (5). В литературе оно получило название ядра Фурье [7, 8] и физически представляет собой спектр одних базисных функций по системе других базисных функций.

Алгоритм преобразования спектров (4) удобно записывать в матричном виде:

Ху = ФХ^, (6)

где Х у и Х^ - матрицы-столбцы спектральных коэффициентов в базисах {(р(к,1)} и {ф(т, ¿)} соответственно, а Ф - матрица ядра Фурье, имеющая в общем случае вид:

Ф( 0,0) Ф( ОД) ... Ф(0,М-1) ф= Ф( 1,0) Ф( 1,1) ... Ф( 1,Ы-1)

_Ф(М-1,0) Ф(М- 1,1) ... Ф(Ы - 1,Ы-1)\ Обратное преобразование спектра Х у(к) в спектр Х^(т) можно осуществить по уравнению

Х^ = Ф~1Ху=^ФТХу, (8)

т

где матрица является обратной матрице и в ортогональных базисах и

совпадает с транспонированной матрицей с точностью до коэффициентов

(7)

Р^/- мощность базисной функции р(т,Ь)). В этом случае уравнение преобразования спектров принимает следующий скалярный вид:

N-1

Хгр(т) =Р?Хф(к) Ф(т, к). (9)

р

т к=о

Матричное представление ядра Фурье позволяет наглядно отразить его структуру, а также сами операторы преобразования спектра. Для этого необходимо в дополнительной строке сверху над матрицей указать все спектральные коэффициенты , а в до-

полнительном столбце слева от нее - коэффициенты :

^(0) ^(1) ... ■ф( 0,0) Ф( ОД) ... Ф(0,М-1)

Ф(1,О) Ф(1Д) ... Ф(1,Л^-1)

- 1)

Ф =

(10)

|_Ф(М-1,0) Ф(М- 1,1) ... Ф(М-1)]

Тогда вычисление спектра Х^ (к) по уравнению преобразования спектров (4) сведется к суммированию произведений каждого коэффициента на расположенный в его столбце элемент -й строки матрицы Ф (при т = 0, N — 1 ). И наоборот, спектральные коэффициенты нормированного базиса будут равны сумме произведений каждого коэффициента на находящийся в его строке элемент -го столбца матрицы ядра (при

к = —,— — 1 ). Для ненормированного базиса необходимо еще учесть коэффициенты

р<Р /рФ г к ' гт'

Если элементы ядра (5) вычислить заранее, то для расчета спектра Х ^ (к) или Х^ (т) при конкретном значении или потребуется операций умножения и операций сложения, а для всего спектра при или - по операций умно-

жения и сложения. Очевидно, это дает двукратный выигрыш по вычислительной сложности. Дальнейшее дополнительное повышение вычислительной эффективности преобразования спектров во многом зависит от свойств ядра Фурье, которые в свою очередь связаны со свойствами используемых базисных систем.

Для ряда систем базисных функций свойства ядер Фурье хорошо изучены и описаны в литературе. Так, в работе [9] рассмотрены ядра взаимопреобразования спектров в теоретико-числовых базисах, а в работах [8, 10, 11] приведены основные свойства ядер Фурье в базисах комплексных экспоненциальных функций Фурье и параметрических функций В и-ленкина-Крестенсона. Однако взаимосвязь спектров в таких важных для практики цифровой обработки сигналов базисах, как базисы тригонометрических функций Фурье и функций Уолша, не нашла своего полного отражения в существующих научных источниках.

Актуальность изучения свойств операторов преобразования спектров в этих базисах объясняется еще и тем, что спектры в базисе Фурье несут сведения о гармонической структуре обрабатываемых сигналов, являющиеся исходной информацией при решении задач обработки в частотной области [2, 3, 4, 6, 12], а функции Уолша принимают значе-

ния только + 1 и — 1 , и их использование приводит к экономичным алгоритмам обработки, не содержащим операций умножения [5, 8, 12, 13, 14]. Кроме того, в тригонометрическом базисе, в отличие от комплексного экспоненциального базиса, не существует быстрого преобразования Фурье, что дополнительно придает актуальность исследованию свойств указанного преобразования. В соответствии с этим задачей настоящей статьи поставлено исследование операторов преобразования спектров в базисах Фурье и Уолша, причем из возможных модификаций систем Уолша, отличающихся порядком следования базисных функций, рассматриваются все наиболее распространенные упорядочения: Пэли, Адамара и Хармута [8, 11, 12, 13, 14].

1. Базисная система тригонометрических функций Фурье

Тригонометрическая система Фурье является составной базисной системой [7, 8] и образуется из тригонометрических четных с оs (~v i) и нечетных s i n(^vi^ функций,

расположенных в порядке возрастания их номера v. | с оs (~vi),sin(^vi^j , где v = = 0,1,. . ., ^/2, и определенных на дискретном интервале [0, N) из N точек. На этом интервале система ортогональна, полна и содержит нечетных и четных функций, причем первая функция системы с номером и ее последняя функция с о s ( лi) с номером v = j имеют единичную мощность, а мощность всех остальных базисных функций системы равна .

По этой причине обратное и прямое ДПФ в данном базисе имеет следующий вид:

2 1

<2л \ . . /2л

(0 = Хч(0) + ^ [x4(v)cos (jj-vi) + X^sin {т™) + Хч (l) C0S(7ri)'

v=l

1W_1 N 1W_1 ^

ад) = jj^ x(Q> X4 ) = — ^ x(i) cos{ni),

i=0 i=0

W-l W-l

2 /27Г \ 2 V"1 /2л \

X4(v) =jj2_, C0S \~NVi)' Хн^ = N Zj X® Sin [~NVi)'

(11)

i=0 i=0

riv,

v

= 1.2.....r/z-i).

(12)

а общий тригонометрический спектр дискретного сигнала образуется из упорядоченной последовательности составляющих Хч (у) и Хн (у):

{X (ж)} = {Хч (0),*н ( 1)^ч ( 1).....■ (13)

Пара ДПФ (11) и (12) устанавливает математическое взаимно однозначное соответствие между дискретными функциями х ( / ) и X (ж) . Их физическое равноправие иллюстрируется равенством Парсеваля

N-1 2

1 £ х2(0 = Х ч2(0) + Х 2 + Хп2(V)], (14)

¿=0 у=1

которое подтверждает также полноту тригонометрической базисной системы.

2. Базисные системы функций Уолша

Дискретные функции Уолша [8, 11-14] принимают простейшие значения + 1, определены и ортонормированы на интервале , где представляется в двоично-рациональном виде:

N = 2П,п = 1,2,.... (15)

При этом величина п совпадает с количеством разрядов в двоичных представлениях номера и аргумента функций Уолша:

п п

к = ^' кт2т 1, кт £ {0,1}; / = ^' /т2т 1 ,/т £ {0,1}. т= 1 т= 1

На основе таких функций могут быть образованы различные базисные системы, отличающиеся порядком следования функций и видом их аналитического описания. Для систем Адамара { ка й ( к,С) } , Пэли {р а I ( к,1) } и Хармута {к аг ( к,1) } , наиболее широко используемых на практике, в данной работе применяется представление функций Уолша в виде косинусоидальных функций двоичных разрядов индексов и :

Ъ.ай(к, /) = соб ( тс ^ кт1т |, V т=1 /

ра1(к, /) = соб | тс ^

V т= 1

каг(к, 0 = соэ ( тс ^

}, (18)

V т= 1 /

(16)

п+1-т.^т ), (17)

где означает -й разряд кода Грея двоичного кода номера функции ,

вычисляемого по правилу:

Из сравнения формул (16) - (18) следует, что систему Пэли можно получить из системы Адамара (и наоборот) путем двоичной инверсии кодов номеров ее функций, т.е. записью двоичного кода номера функций Адамара в обратном порядке, а систему Хармута можно получить из системы Пэли заменой двоичного кода номера ее функций на соответствующий код Грея. Следует также учитывать, что система Хармута является составной системой, так как в ней четные относительно середины интервала определения функции

с а I (р ,Г) = каг ( 2 р,1), р = 0,1,.. чередуются с нечетными функциями 5 а I (р,1 ) = к аг (2 р — 1,1), р = 1,2,.. .,^—1. В этом смысле она подобна тригонометрической системе, и ее спектры также целесообразно представлять в виде совокупности четных и

нечетных ХХп(р) составляющих. Для систем Адамара и Пэли спектры не разделяются и соответственно равны и .

Для систем Уолша ДПФ и равенства Парсеваля представляются в виде:

n-1 n-1

x'S,

к=0 к=0

iV _L l\ — ±

( i) = ^ ХА ( /с) /г a d ( к, i) = ^ Хп ( к) р аI ( к, i) ; (19)

2 1

л/VN /TV

х

(20)

(О = *хч(0) + ^ [ХХч(р)са/(р, i) + XXll(p)sal(p, /)] + (у) cal *); р=о

^ w-l W-1

ХА ( к) = — У х (i) h a d (k,i); Хп (к)=~У х (i) р а I (k,i); (21)

i=о i=о

n-1

1 V" w

Ххч (р ) =Л У х (i) с a I (p,i); р = 0,1,..., — ; (22)

¿ = 0 n-1

1 V" N

Ххи(р) = лу х(^sа1 (р,i); р = 1,2,.■ i; (23)

¿ = 0

n-1 N-l W-1 2

1У х2 ( i) = У ХК к) = УУ ХКк) = XI(0 ) + УУ [XI (р) + Х^(р)] + Х1 Q . (24)

¿=0 к=0 к=0 р=1

Справедливость равенств Парсеваля (24) в системах Уолша подтверждает их полноту.

3. Операторы преобразования спектров в базисах тригонометрических

функций и функций Адамара

В этом случае базис {ф(т, i)} становится тригонометрическим базисом, а базис { р (к, i) } — базисом Адамара. Поскольку тригонометрический базис является составным, то и ядро Фурье также будет содержать чередующиеся четные Ф ч (к,у) и нечетные Ф н (к,v) составляющие:

1W_1 2 Фч(к,у)=— У cos\—vi) had(k,i), N ¿—I \ N )

i=о (25)

N

к = 0,1.....N-l; v = 0,1.....

1W_1 2 Ф H(k,v) = — sin hadjk, i),

i=о (26)

N

k = 0,1.....N-l; v = 1,2.....- - 1;

Расчет по этим формулам позволяет получить ядро Фурье при любых значениях N = 2п ■ Для N = 8 оно имеет следующий вид:

Хч(0) Хн(1) Хч(1) Хн(2) Хч(2) Хн(3) Хч(3) Хч(4)

*а(0) 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

*а(2) 0 0 0 Фн(2,2) Фч(2,2) 0 0 0

*а(3) 0 0 0 Фн(3,2) Фч(3,2) 0 0 0

*а(4) 0 Фн(4,1) Фч(4,1) 0 0 Фн(4,3) Фч(4,3) 0

*а(5) 0 Фн(5,1) Фч(5Л) 0 0 Фн(5,3) Фч(5, 3) 0

*а(6) 0 Фн(6,1) Фч(6,1) 0 0 Фн(6,3) Фч(6,3) 0

*а(7) 1-0 ФН(7Л) Фч(7,1) 0 0 Фн(7,3) Фч(7,3) 0

Эта матрица содержит 42 нулевых элемента, 2 единичных и 20 ненулевых элементов, равных:

Ф н ( 2 ,2 ) = Фч ( 2 ,2 ) = Фч ( 3,2 ) = 0, 5 ;

Ф н ( 3 ,2 ) = -0, 5 ; Ф н ( 4,1) = Фч ( 6,1 ) = Фч ( 7,3

Фч ( 4,1) = Фч ( 5,1 ) = Фч ( 4, 3 ) = Фч ( 5,3 ) = Ф н ( 6, 3 ) = Ф н ( 7,3 ) = 0, 2 5 ;

>/2-1

Фн(4,3) = Фн(5,3) = -

4 ' >/2+1

4 '

Ф н ( 6,1) = Ф н ( 7,1 ) = - 0, 2 5;

Ф н ( 5,1) = Фч ( 6,3 ) = Фч ( 7,1) =

Нулевые элементы в матрице ядра располагаются таким образом, что из ненулевых элементов можно образовать четыре независимые группы, каждая из которых не содержит элементы других групп. В этом примере первая группа включает один элемент Ф ч ( 0,0 ) = 1 , вторая группа - один элемент Ф ч ( 1,4) = 1 , третья группа - четыре элемента Ф н ( 2 , 2 ) , Ф ч ( 2 , 2 ) , Ф н ( 3 , 2 ) , Ф ч ( 3 , 2 ) и последняя, четвертая группа - все оставшиеся ненулевые элементы.

Поскольку при преобразовании спектров спектральные коэффициенты тригонометрического базиса и базиса Адамара связаны между собой и с элементами ядра, правило образования независимых групп переносится и на спектры Фурье и Адамара. Из них также можно образовать четыре группы, в первую из которых будут входить коэффициенты Хч ( 0 ) и ХА ( 0) , во вторую - Хч ( 4) и ХА ( 2 ) , в третью - Хн ( 2 ) ,Хч ( 2 ) и ХА ( 2 ) ,ХА ( 3 ) , а в последнюю - все остальные коэффициенты. Справедливость этого правила подтверждается получаемыми при этом уравнениями преобразования спектров: ХА(0) = Хч(0); ХА(1) = Хч(4);

ХА(2) = Хн(2) Фн(2,2) + Хч(2) Фч(2,2);

ХА(3) = Хя(2) Фн(3,2) + Хч(2) Фч(3,2);

ХА(4) = Хн(1) Фн(4,1) + Хч(1) Фч(4,1) + Хи(3) Фн(4, 3) + Хч(3) Фч(4, 3);

Ха(5) = Хн(1) Фн(5,1) + Хч(1) Фч(5,1) + Хи(3) Фн(5,3) + Хч(3) Фч(5,3);

ХА(6) = Хи(1) Фн(6,1) + Хч(1) Фч(6,1) + Хи(3) Фн(6, 3) + Хч(3) Фч(6, 3);

ХА ( 7 ) = ( 1) Ф н ( 7,1 ) + ( 1) Фч ( 7,1 ) + ( 3 ) Ф н ( 7, 3 ) + ( 3 ) Фч ( 7, 3 ) .

Правило образования групп целесообразно проиллюстрировать при помощи специальной таблицы. Для N = 8 она будет иметь следующий вид (см. табл. 1):

Таблица 1. Правило образования групп в базисе Адамара для N = 8

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Адамара Тригонометрические коэффициенты

1 1 *А(0)

2 1 Хч(4)

3 2 ХА(2),ХА(3) ХН(2),ХЧ(2)

4 4 ХД(4),ХД(5), ХН(1),ХЧ(1),

Хк{6),Хк{7) ХН(3),ХЧ(3)

Анализируя ядра для других значений N и обобщая полученные результаты, получа-

п 2(ЛГ2-1) ЛГ2+2

ем, что для произвольного N = 2 ' матрица ядра содержит —-— нулевых и —-— ненулевых элементов, причем в число последних входят и два единичных элемента. Из ненулевых элементов и спектральных коэффициентов Фурье и Адамара можно сформировать п + 1 независимую группу с правилом объединения в группы, приведенном в табл. 2.

Таблица 2. Правило образования групп в базисе Адамара в общем случае

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Адамара Тригонометрические коэффициенты

1 1 ^А(О)

2 1 ВД) 42 )

У, у = 3,4, ...,п + 1 2У-2 ХА(2У~2 +]■), } = 0,1,..., 27"2 - 1 Хн[2п+1~г(1 + 2т)], Хч[2п+1~у (1 + 2т)], т = 0,1,...,2У~3 - 1

В силу независимости групп мощность сигнала в базисах Фурье и Адамара в пределах каждой группы совпадает. Поэтому равенства Парсеваля можно записать по группам:

Х1(0) = Хц(0), Х1(1) = хч2 (у),

2у-2_! 2У~3-1

^ Х1(2У~2 +])= ^ {Х*[2п+1-У(1 + 2т)] + Х^[2п+1~У(1 + 2т)]},

/ = 0 т=О

у = 3,4, ...,п + 1.

Объединение этих равенств приводит к общему равенству Парсеваля в виде:

71+1 2У~2-1

Х2(0) + Х2(1)+ ^ 2 Х2(2У~2+]) =

7=3 У=0

71+1 2У~3-1

= Хч2(0) + X2 (у) + X X [2п+1-г(1 + 2т)] + Х2[2п+1~У(1 + 2т)]}.

у=3 771=0

Общий алгоритм преобразования тригонометрического спектра в спектр Адамара для произвольного примет следующий вид:

Хл(0)=Хч(0); ХА(1)=Хч(^у,

2У~3-1

[+Хч[2п+1~У(1 + 2т)] ФЧ[2Г~2 + ),2п+1-У{\ + 2т)] У'

7 = 3,4.....п+1; ) = 0,1.....2У~2 — 1.

Он же задает аналитическое описание общего оператора преобразования тригоно метрического спектра в спектр Адамара.

(27-2+))= £ ("ХН[2П+1_У(1 + 2гп)] ФН[2У_2 2П+1_У(1 + 2гп)] +)

771=0

(27)

4. Операторы преобразования спектров в базисах тригонометрических

функций и функций Пэли

Для этого случая базис {ф(т, / )} по-прежнему совпадает с тригонометрическим базисом, а базис { р(к, ¿)} становится базисом Пэли. Ядро Фурье сохраняет составную структуру, причем четные и нечетные его составляющие могут быть получены по формулам (25) и (26) при замене функций Адамара к а й (к, / ) на функции Пэли р а I (к, / ) . Возможен и другой способ определения ядра Фурье-Пэли по известному ядру Фурье-Адамара путем изменения в последнем порядка следования строк по закону двоичной инверсии. В обоих случаях результат будет одним и тем же. Для N = 8 он представляется в виде матрицы:

где:

*ч(0) *н(1) Хч(1) *н(2) *ч(2) ^н(З) Хч(3) Хч(4)

*п(0) -1 0 0 0 0 0 0 0

0 Фн(1.1) фч(1,1) 0 0 Фн(1.3) Фч(1,3) 0

*п(2) 0 0 0 Фн(2,2) Фч(2,2) 0 0 0

*п(3) 0 Фн(3, 1) Фч(3,1) 0 0 Фн(3,3) фч(3,3) 0

*п(4) 0 0 0 0 0 0 0 1

*п(5) 0 Фн(5,1) Фч(5,1) 0 0 Фн(5,3) Фч(5,3) 0

*п(6) 0 0 0 Фн(6,2) Фч(6,2) 0 0 0

Ы7) .0 Фн(7,1) Фч(7,1) 0 0 Фн(7,3) Фч(7,3) 0 .

Ф„(11) = Фч(3,1) = Фч(7,3) л/2+1 4 '

Фч(1.1) = ФЧ(1.3) = ФН(3,3) = Фч(5,1) = Фч(5, 3) = Фн(7, 3) = 0,25;

фназ) = ^;

Фн(2,2) = Фч(2,2) = Фч(6,2) = 0,5; Фн(3,1) = ФН(7,1) = -0,25;

ФЧ(3,3) = ФН(5,1) = ФЧ(7,1)= -^р;

Фн(6,2) = -0,5;

Фн(5,3)=-^.

В этой матрице ядра Фурье-Пэли такое же число нулевых и ненулевых элементов, что и в матрице ядра Фурье-Адамара. Из последних можно сформировать четыре независимые группы, дающие, в свою очередь, четыре группы спектральных коэффициентов. Правило образования таких групп иллюстрируется табл. 3.

Таблица 3. Правило образования групп в базисе Пэли для N = 8

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Пэли Тригонометрические коэффициенты

1 1 *п(0) Хч(0)

2 1 *п(4) Хч(4)

3 2 ХП(2),ХП(6) ХН(2),ХЧ(2)

4 4 ХП(1),ХП(3), ХН(1),ХЧ(1),

*п(5).*п(7) ХН(3),ХЧ(3)

В общем случае при произвольном N = 2п число групп будет равно п + 1, а правило образования независимых групп коэффициентов будет иметь вид, представленный табл. 4.

Таблица 4. Правило образования групп в базисе Пэли в общем случае

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Пэли Тригонометрические коэффициенты

1 1 *п(0) Хч(0)

2 1 42) 42)

У. у = 3,4 ,...,п + 1 2Г-2 Хп[2п+1~г(1 + 2])], ) = 0,1,..., 27"2 - 1 Хн[2п+1~у(1 + 2т)], Хч[2п+1~у(1 + 2т)], т = 0,1,..., 27_3 - 1

При N = 8 таблицы 3 и 4 совпадают.

Погрупповые равенства Парсеваля в этом случае записываются так:

^(0)=ХЧ2(0), X2 (|) = (£),

2У-2_! 2У~3-1

^ Х^[2п+1~У(1 + 2))] = ^ {Х2[2п+1~У(1 + 2т)] + Х^[2п+1~У(1 + 2т)]},

/=0 т=0

У = 3,4, ...,п + 1,

а общее равенство Парсеваля имеет следующий вид:

71+1 2у~2-1

) +

7=3 У=0

^(ОЗ+^У + Х X Х*[2п+1-У(1 + т =

71+1 2Т~3-1

= Х2(0) + X2 + ^ ^ {Хн2[2п+1-^(1 + 2гп)] + Х^[2п+1~У(1 + 2т)]}.

у=3 771=0

Выполнение равенств Парсеваля подтверждает справедливость осуществленных преобразований спектров Фурье и Пэли, а сами преобразования представляются уравнениями:

л

Хп(0)=Хч(0); ХП(-) = ХЧ(-); Хп[2п+1~г(1 + 2/')] =

_ 2 у ^Хн^+^С! + 2т)] Фн[2п+1-у(1 + 2/), 2П+1_У(1 + 2т)] +) Л (+Х1[2П+1_У(1 + 2т)] ФЧ[2П+1_У(1 + 2)), 2П+1_У(1 + 2т)] У

771=0

7 = 3,4.....п+1; ) = 0,1.....2У_2 — 1.

Эти уравнения и задают оператор преобразования тригонометрического спектра в спектр Пэли для произвольного N = 2 п, п = 1, 2 ,. . . .

5. Операторы преобразования спектров в базисах тригонометрических

функций и функций Хармута

В этом случае (т,/) } = { с 05^у /),5 /п^у/) } , а {<р ( /с,/) } = { с а I (Я,/ ) ,5 а I (Я,/ ) }. Так

как базис Хармута также является составным, то в ядро Фурье войдут четыре чередующихся компонента:

N-1

1

Ф

(28)

/2?г \ N N

(Я, У) =л2_, соз(-]^уЧса1(Л, ОД = 0,1, = -'"2 '

¿=о

N-1

/2?г \ N N

(Я,у) С05Гл/~™ )5а/(Я,/) ,Я = 1,2, 1,у = 0,1,..., — ;

¿=о

N-1

IV /2я \ N N

(Я,у) = — 5/п1—у/ )са/(Я,/),Я = 0,1, = 1,2, 1;

¿=о

N-1

1 V /27Г \ N N

(Я,у) = — ^ 5/п1—у/)5а/(Я,/),Я = 1,2,...,— - 1,у = 1,2,...,— - 1.

¿ = 0

По этим формулам можно вычислить ядро Фурье для любых значений N = 2 п. Возможен и другой способ вычисления ядра Фурье, использующий связь функций Хармута с функциями Пэли. В соответствии с ним ядро Фурье-Хармута можно получить из ядра

Фурье-Пэли заменой в последнем двоичных номеров строк на соответствующие им коды Грея. Оба способа дают один и тот же результат. Для N = 8 матрица ядра Фурье имеет следующий вид:

*н(2)

*хч(0)

*Хн(1) *Хч(1)

Ххч(2) ^хн(3) ^хч(3) ^хч(4)

*ч(0)

о

хч(1) о

О ФНН(1Д) ФЧН(1Д) О ФНЧ(1Д) ФЧЧ(1Д) о о о о

О ФНН(ЗД) ФЧ„(ЗД) О ФНЧ(ЗД) ФЧЧ(ЗД)

о

о о о

*ч(2)

о о о

^н(З)

о

Хч(3)

о

Фнн(1.3) Фчн(1,3) Фнч(1,3) Фчч(1,3)

о о

Фнн(2,2) Фчн(2,2) Фнч(2,2) Фчч(2,2)

О О

о о

о

о

о о о

о о о

Фнн(3,3) фчн(3,3) Фнч(3,3) фчч(3,3)

о

о

*ч(4)

о о о о о о

0

1

Здесь

ФНН(1Д) = ФЧН(3,3) = ФЧЧ(1Д) =

л/2 + 1

Фчн(1,1) = Фчн(1, 3) = Фнч(1, 3) = Фчч(3,1) = Фнн(3, 3) = Фчч(3, 3) = 0,25;

фнназ) = ^;

Фнч(1,1) = ФНН(3,1) = -0,25; Фчч(1,3) = ФЧН(3,1) = ФНЧ(3,1) = -

л/2-1

Фнн(2,2) = Фчн(2, 2) = Фчч(2,2) = 0,5;

л/2 + 1

Фнч(3,3) = Фнч(2,2) =

4

-0,5.

Элементы этой матрицы и спектральные коэффициенты в тригонометрическом базисе и базисе Хармута можно объединить в четыре независимые группы, правило образования которых приведено в табл. 5.

Таблица 5. Правило образования независимых групп в базисе Хармута для N = 8

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Хармута Тригонометрические коэффициенты

1 1 *хч(0)

2 1 *хч(4)

3 2 ХН(2),ХЧ(2)

4 4 ХН(1),ХЧ(1),

*хн(3),*хч(3) ХН(3),ХЧ(3)

В общем случае число таких групп будет равно п + 1, правило их образования представлено в табл. 6.

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Хармута Тригонометрические коэффициенты

1 1 *хч(0)

2 1 /Ж Мт) /Ж Мг)

У. у = 3,4, ...,71+ 1 2У-2 ^хн[2п+1_7(1 + 2])1 Ххч[2п+1~У(1 + 2;)] У = 0,1, ...,2у"3 - 1 А'н[2п+1~г(1 + 2т)], *ч[2"+1_г(1 + 2т)], т = 0,1, ...,21'-3 - 1

Равенство Парсеваля по группам имеет вид:

*хч(0) = х?(0), Х2Ч (-) = X2 (-),

£ {Х1[2п+1~У(1 + т + Х1[2п+1~У(1 + 2))]} =

2У-з_!

2У-з_!

= ^ [2п+1-у(1 + 2т)] + Х\ [2п+1-у(1 + 2т)]}, у = 3,4,..., п + 1.

тп=0

Общее равенство Парсеваля записывается следующим образом:

71+1 2Т_3-1

*хч(0) + ^х2н (7) + 2 X {Х1[2^-У(1 + 2])] + Х1[2п+1~У(1 + 2))]} =

7=3 У=0 71+1 2 Т"3-1

= Х2(0) + X2 (у) + X X ^н [2П+1_Г(1 + 2т)] + Х*[2п+1~У(1 + 2т)]}.

7=3 771=0

Оператор преобразования тригонометрического спектра в спектр Хармута представляется следующими уравнениями:

^хч(0) = Хч(0); (7) = (7) ; ХХн[2п+1-У(1 + 2])] =

_ 2 у_1рн[2п+1-у(1 + 2т)] Фнн[2п+1~У(1 + 2]),2п+1~У{1 + 2т)] +) Л [ +Хч[2п+1~у(1 + 2т)] ФЧН[2П+1_У(1 + 2у), 2П+1_У(1 + 2т)])'

ХХч[2п+1-У(1 + 2])] =

771=0

2У-з_!

у рн[2п+1"у(1 + 2ш)] ФНч[2П+1_У(1 + 2у),2П+1_У(1 + 2т)] +} 2-, (+Хч[2п+1~У(1 + 2т)] Фчч[2п+1-у(1 + 2у), 2П+1_У(1 + 2т)])'

771=0

(29)

7 = 3,4.....п+1; ) = 0,1.....2Г~3 — 1.

По форме записи этот оператор несколько отличается от аналогичных операторов в базисах Адамара и Пэли.

Особенности структур ядер Фурье в операторах преобразования спектров тригонометрических базисов и базисов Уолша можно наглядно пояснить, используя геометрические представления в функциональном пространстве дискретных сигналов [7, 8]. В этом пространстве каждой системе базисных функций соответствует своя декартова система координат. Системы координат Уолша развернуты в пространстве относительно тригонометрической системы так, что многие оси одной системы становятся ортогональными осям другой системы. Им соответствуют нулевые значения элементов матрицы ядра. Неортогональными оказываются только те оси, номера которых принадлежат к одной из независимых групп. Им соответствуют ненулевые значения элементов матрицы ядра. Кроме того, у этих систем есть по две совпадающие оси: им соответствуют единичные значения элементов матрицы ядра Фурье.

6. Вычислительная сложность операторов преобразования спектров

Несмотря на некоторое внешнее отличие алгоритмов преобразования спектров в базисах Адамара, Пэли и Хармута, по числу арифметических операций они равнозначны. Поэтому оценку их временной вычислительной сложности выполним для базиса Адамара (см. уравнения (27)).

При вычислении коэффициентов Адамара первой и второй группы вычислительные операции не выполняются. При расчете коэффициентов других групп выполняются операции умножения и сложения. Для группы с номером у при вычислении коэффициентов с номерами 2у~2 +} необходимо выполнить 2 • 2Г~3 = 2Г~2 операций умножения и 2 • 2Г~3 — 1 = 2Г~2 — 1 операций сложения. Поскольку таких коэффициентов в группе ровно 2У_2, то общее число операций при вычислении всех коэффициентов данной группы составляет 22г~4 умножений и 7У~2(7У~2 — 1) сложений. Так как номера групп лежат в пределах от 3 до п + 1, то общее число операций при реализации операторов преобразования спектров включает

операций сложения. По сравнению с прямым методом вычисления спектра Уолша по тригонометрическому спектру сигнала организация вычислительного процесса с использованием полученных операторов преобразования спектров позволяет сократить число операций умножения и сложения более чем в 3 раза. Следовательно, вычислительная экономичность предложенных алгоритмов делает целесообразным их использование при обработке сигналов, особенно в реальном масштабе времени.

7=3

операций умножения и

7=3

Заключение

Таким образом, в статье поставлена и решена теоретическая и прикладная задача преобразования тригонометрического спектра дискретного сигнала в его спектры Уолша различного порядка следования. В основу ее решения положены новые операторы преобразования спектров, базирующиеся на особенностях структуры их ядер Фурье, содержащих единичные, нулевые и ненулевые элементы. Специфическое расположение нулевых элементов в матрице ядра позволило распределить спектральные коэффициенты тригонометрического базиса и базиса Уолша по независимым группам в соответствии с оригинальным правилом, что привело к разработке эффективных алгоритмов реализации операторов преобразования спектров, которые в будущем могут использоваться для программирования быстрых алгоритмов имитации детерминированных и псевдослучайных сигналов.

Дальнейшее развитие предложенного подхода авторы видят в его применении к задачам преобразования спектров Хартли [8, 15] в спектры Уолша, поскольку базис Хартли, как и тригонометрический базис, отражает частотную структуру обрабатываемых сигналов. Разработку эффективных операторов преобразования спектра Хартли в спектры Уолша авторы ставят задачей своих последующих исследований.

Работа выполнена в рамках проекта 2.7782.2017/БЧ "Методы имитации детерминированных и случайных одномерных и многомерных сигналов в научных задачах моделирования информационно-управляющих систем реального времени", осуществляемого при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.

Список литературы

1. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиолокационных приложениях // Под ред. В.Ф. Кравченко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 544 с.

2. Ifeachor E., Jervis B. Digital Signal Processing. A Practical Approach // Pearson Education, 2002. 992 p.

3. Романовский А.С. и др. Бортовые инфракрасные Фурье-спектрометры для темпера-турно-влажностного зондирования атмосферы Земли // Журнал Президиума РАН «Исследование Земли из космоса». 2013. № 6. с. 1-13.

4. Romanovsky A.S. and others. Spaceborne Infra-red Fourier-Transform Spectrometers for Temperature and Humidity Sounding of the Earth's Atmosphere // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2014. vol. 50. № 9.

5. Oppenhein A., Schafer R. Digital Signal Processing // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 2012.1120 p.

6. Обработка изображений в авиационных системах технического зрения. Под ред. Л.Н. Костяшина, М.Б. Никифорова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. 240 с.

7. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов // М.: Сов. радио, 1972. 352 с.

8. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов // М.: Изд-во «РТ Софт», 2014. 752 с.

9. Вариченко Л.В., Лабунец В.Г., Раков М.А. Абстрактные алгебраические системы и цифровая обработка сигналов // Киев: Наукова думка, 1986. 248 с.

10. Садыхов Р.Х., Чеголин П.М., Шмерко В.П. Методы и средства обработки сигналов в дискретных базисах // Мн.: Наука и техника, 1987. 296 с.

11. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах // М.: Сов. радио, 1975. 208 с.

12. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях // М.: Наука, 1989. 496 с.

13. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: пер. с англ. // М.: Связь, 1980. 248 с.

14. Хармут Х. Теория секвентного анализа. Основы и применения: пер. с англ. // М.: Мир, 1980. 574 с.

15. Bracewell R. The Hartley Transform // New York Clarendon Press, 1986. 175 p.

Science ¿Education

of the Bauman MSTU

El

tft

tronic journa

iSSH 1994-0408

/

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 02, pp. 138-156.

DOI: 10.7463/0217.0000939

Received: 15.01.2017

Revised: 29.01.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Spectrums Transform Operators in Bases of Fourier and Walsh Functions

V.V. Syuzev1, V.V. Gurenko1*, K.V. Kucherov1,

viguienko 'ffbmstu ju

E.V. Parfenyuk1

bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: discrete-time signals; Fourier spectrum; Walsh spectrums; spectrum transforms; Fourier

kernel; computational complexity

The problems of synthesis of the efficient algorithms for digital processing of discrete signals require transforming the signal spectra from one basis system into other. The rational solution to this problem is to construct the Fourier kernel, which is a spectrum of some basis functions, according to the system of functions of the other basis. However, Fourier kernel properties are not equally studied and described for all basis systems of practical importance. The article sets a task and presents an original way to solve the problem of mutual transformation of trigonometric Fourier spectrum into Walsh spectrum of different basis systems.

The relevance of this theoretical and applied problem is stipulated, on the one hand, by the prevalence of trigonometric Fourier basis for harmonic representation of digital signals, and, on the other hand, by the fact that Walsh basis systems allow us to have efficient algorithms to simulate signals. The problem solution is achieved through building the Fourier kernel of a special structure that allows us to establish independent groups of Fourier and Walsh spectrum coefficients for further reducing the computational complexity of the transform algorithms.

The article analyzes the properties of the system of trigonometric Fourier functions and shows its completeness. Considers the Walsh function basis systems in three versions, namely those of Hadamard, Paley, and Hartmut giving different ordering and analytical descriptions of the functions that make up the basis. Proves a completeness of these systems.

Sequentially, for each of the three Walsh systems the analytical curves for the Fourier kernel components are obtained, and Fourier kernel themselves are built with binary rational number of samples of basis functions. The kernels are presented in matrix form and, as an example, recorded for a particular value of the discrete interval of N, equal to 8. The analysis spectral coefficients of the Fourier kernel components, allowed us to combine the nonzero coefficients in independent groups in each of the three cases of transformations. The original rules for group formation are formulated both for particular value of N, and in general terms.

The formation rules of groups, group-by-group and common Parseval equalities were used to obtain descriptions of algorithms for mutual transformation of trigonometric Fourier spectrum

into Hadamard, Paley and Hartmut spectra. An analytical record of these algorithms enables speaking of the Fourier kernels as of the new operators of spectra transformation. The computational complexity evaluation of operators showed the effectiveness of their use owing to more than three times reduction of the number of arithmetic operations as compared to the conventional method, i.e. direct calculation of the Walsh spectra. Because of this property the proposed operators become useful when solving the tasks of real-time discrete systems modeling.

In the long run, there is a plan to solve a similar task for the mutual transformation of Walsh and Hartley spectra: both a Hartley basis system and a trigonometric system reflect the frequency structure of the signal that serves a useful purpose in terms of theory and practice.

References

1. Tsifrovaia obrabotka signalov i izobrazhenii v radiolokatsionnykh prilozheniiakh [Digital signal processing and images in radio-locating applications]. Under ed. by V.F. Kravchenko. Fizmatlit, Moscow, 2007, 544 p. [In Russian]

2. Ifeachor E., Jervis B. Digital Signal Processing. A Practical Approach. Pearson Education, 2002, 992 p.

3. Romanovskii A.S. et al. Bortovye infrakrasnye Fur'e-spektrometry dlia temperaturno-vlazhnostnogo zondirovaniia atmosfery Zemli. Issledovanie Zemli iz Kosmosa = Research of the Earth from the Space. 2013. No. 6. p. 1-13. [In Russian]

4. Romanovskii A.S. et al. Spaceborne Infra-red Fourier-Transform Spectrometers for Temperature and Humidity Sounding of the Earth's Atmosphere. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, 2014, vol. 50, no. 9.

5. Oppenhein A., Schafer R. Digital Signal Processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 2012, 1120 p.

6. Обработка изображений в авиационных системах технического зрения. Under ed. by L.N. Kostiashin, M.B. Nikiforov. Fizmatlit, Moscow, 2016, 240 p. [In Russian]

7. Trakhtman A.M. Vvedenie v obobshchennuiu spektral'nuiu teoriiu signalov = Introduction to the Generalized Spectral Theory of Signals. Sov. Radio, Moscow, 1972, 352 p. [In Russian]

8. Siuzev V.V. Osnovy teorii tsifrovoi obrabotki signalov = Basics of digital signal processing theory. RTSoft, Moscow, 2014, 752 p. [In Russian]

9. Varichenko L.V., Labunets V.G., Rakov M.A. Abstraktnye algebraicheskie sistemy i tsifrovaia obrabotka signalov. Naukova dumka [Scientific Thought], Kiev, 1986, 248 p. [In Russian]

10. Sadykhov R.Kh., Chegolin P.M., Shmerko V.P. Metody i sredstva obrabotki signalov v diskretnykh bazisakh. Nauka i tekhnika = Science and technics, Minsk, 1987, 296 p. [In Russian]

11. Trakhtman A.M., Trakhtman V.A. Osnovy teorii diskretnykh signalov na konechnykh intervalakh. Sov. Radio, Moscow, 1975, 208 p. [In Russian]

12. Zalmanzon L.A. Preobrazovaniia Fur'e, Uolsha, Khaara i ikh primenenie v upravlenii, sviazi i drugikh oblastiakh. Nauka = Science, Moscow, 1989, 496 p. [In Russian]

13. Ahmed N., Rao K.R. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing. Springer Berlin Heidelberg, 1975, 264 p. Russian version published by Sviaz' [Communications], Moscow, 1980, 248 p.

14. Harmuth H. The Theory of Sequential Analysis. Basics and applications. Russian version published by Mir, Moscow, 1980, 574 p. [In Russian]

15. Bracewell R. The Hartley Transform. New York Clarendon Press, 1986, 175 p.