About subinterval matrices based on unitary transformations Текст научной статьи по специальности «Математика»

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований//Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ INFORMATION TECHNOLOGIES AND TELECOMMUNICATION

УДК 621.396.01 DOI: 10.18413/2518-1092-2017-2-1-55-63

Жиляков Е.Г. Черноморец А.А. Болгова Е.В.

О СУБИНТЕРВАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ НА ОСНОВЕ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Белгородский государственный национальный исследовательский университет, ул. Победы д.85,

г. Белгород, 308015, Россия

e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Аннотация

В работе предложены соотношения, определяющие вид подобласти пространственных частот при выбранном унитарном преобразовании, введены понятия частей и долей энергии изображения в заданной подобласти пространственных частот при выбранной системе ортогональных базисных функций. В работе описаны системы ортогональных базисных функций для различных унитарных преобразований, предложены процедуры вычисления на основе отдельных унитарных преобразований субинтервальных матриц, позволяющих осуществлять анализ свойств изображений в различных подобластях пространственных частот.

Ключевые слова: подобласть пространственных частот доли энергии, субинтервальная матрица, субполосная матрица, унитарные преобразования.

UDC 621.396.01

Zhilyakov E.G. Chernomorets A.A. Bolgova E.V.

ABOUT SUBINTERVAL MATRICES BASED ON UNITARY TRANSFORMATIONS

Belgorod State National Research University, 85 Pobedy St., Belgorod, 308015, Russia

e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Äbstract

In this paper we propose a ratio that help determine sub-areas of spatial frequencies at a selected unitary transformation, we introduce the concepts of parts and a shares of image energy in a given subarea of spatial frequencies for the chosen system of orthogonal basis functions. In the paper we describe a system of orthogonal basis functions for different unitary transformations, we propose on the basis of a separate unitary transformation calculation procedure of subinterval matrices, allowing to analyze the image properties in different subareas of spatial frequencies. Keywords: subdomain of spatial frequencies, shares of energy, subinterval matrix, subband matrix, unitary transformations.

В настоящее время при анализе изображений широко применяют различные ортогональные системы базисных функций [1, 2, 3]: тригонометрические функции exp(-jnu), sin(nu), cos(nu), функции Хартли cas (nu), функции Уолша-Адамара-Пэли wal (n, u), had(n, u), pal(n, u), функции Хаара har (nu) и др., где

значение n определяется размерностью анализируемого изображения, величина u является пространственной частотой.

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований//Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

Указанные системы базисных функций определяют соответствующие унитарные преобразования изображений [6].

Анализ в области пространственных частот позволяет исследовать различные свойства изображений ф = (/Л), г = 1,2,...,N, к = 1,2,...,N, на основе анализа частотных характеристик [4] (спектр) Р (и,V),

(и, V) е В2, унитарного преобразования W в выбранном базисе на основе ортогональной системы базисных функций ^(и)} , (V)}, г = 1,2,...,N, к = 1,2,...,N :

N1 И2

Р (и, V) = Е Е (и>к (V) , (и, V) е ^2, (1)

¿=1 к=1

где В2 - область пространственных частот, различная для конкретного унитарного преобразования.

Обратное преобразование позволяет получить значения элементов анализируемого изображения Ф

в виде:

/л = ^ А Р(и,v)w*(u)w'k(v)dudv, (2)

(и,г)е^2

где w*(u), w*(v) - комплексно-сопряженные функции; значения а,Ь зависят от выбранного унитарного преобразования.

Для унитарных преобразований справедлива теорема Парсеваля [4, 7], которая устанавливает связь между энергией изображения и его спектром,

N М 1

ЕЕ й — Я \Р (и, V)2 dudv . (3)

¿=1 к=1 аЬ (иУ)еП2

В контексте субполосного анализа равенство Парсеваля (3) [4, 5, 7] целесообразно представить в виде

|| фII2=Е ЕЕ Е<2(ф), (4)

<1 =1 <2 =1

где

ЕПГ2 (ф) = ^ Ц |Р(и, V)|2 dudv, (5)

(и,у)е¥112

< = 1,2,..,Д, < = 1,2,.., Д,

где - подобласти пространственных частот (ППЧ), которые получены на основании разбиения области пространственных частот В2 на непересекающиеся подобласти (в общем случае, выбор разбиения области

пространственных частот зависит от применяемой системы базисных функций) [4, 7],

К2

В = и и ^ , (6)

<1 =1 <2 =1

V = В П О , (7)

<1<2 <1 II <2 Х '

где В и О - некоторые субполосы в области В2 (зависят от выбранного преобразования).

Представляется естественным интегралы вида (5) называть частями энергии [4, 7] (евклидовой нормой) изображения в заданном базисе функций, попадающей в соответствующие ППЧ. В свою очередь отношения

Р2(Ф) = Е<1<2(Ф)/||Ф||2, (8)

< = 1,2,..,Д, < = 1,2,..,Д,

представляют собой доли энергии, которые позволяют судить о ее сосредоточенности в выбранных ППЧ , <1 = 1,2,..,^1, <2 = 1,2,..,Д.

Можно доказать следующее утверждение. Значения частей энергий изображения вида (5), соответствующие подобласти пространственных частот V вида (7) при заданной системе ортогональных базисных функций (при заданном унитарном преобразовании), определяются соотношением

Д ТЖиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

>ТЛТ унитарных преобразований//Научный результат.

Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

RESEARCH RESULT!

Бгл (Ф) = гг(А ФВГ2 Фт ), (9)

где «гг» означает след матрицы, «Т» - операция транспонирования матрицы, матрицы А = (а—), г,п = 1,2,...,N, и В = (^кт), к,т = 1,2,...,N , - субинтервальные матрицы, соответствующие подобласти V ГгГ при заданной системе ортогональных базисных функций, значения элементов которых определяются на основании следующих выражений:

аЦ = - [ w¡ (иЩ (и^и , (10)

a

Kl =1 J ^k (v)wm (v)dv. (11)

= — w Ъ

к2

Справедливость этого утверждения доказывается непосредственной подстановкой в определение (5) представления (1).

Для унитарных преобразований, соответствующих симметрической матрице, интегралы в выражениях (10) и (11), в большинстве случаев, можно вычислить точно.

Учитывая соотношения (8) и (9), соотношение для вычисления доли энергии изображения, соответствующей ППЧ V^ , при заданной системе базисных функций имеет вид

гг (А ФВ Фт)

р (Ф) = -гт-1 (12)

РГ2(Ф) к (ФФ ^ ) • (12)

Рассмотрим наиболее распространенные унитарные преобразования, применяемые при обработке изображений.

Так, при преобразовании Фурье (БТ) изображение представляется в виде ряда Фурье по следующим системам базисных комплексных функций:

щ (и) = е]и{', (13)

щ (V) = е-]г(к—1, (14)

где ] - мнимая единица,

область определения пространственных частот задается следующим образом:

О2 = {(и, ")| —п< и, V <л} , (15)

параметры в соотношении (2) имеют следующими значениями:

а = Ъ = —. (16) 2п

При анализе изображений на основе преобразования Фурье подобласть пространственных частот V (7) является центрально-симметричной и определяющие ее субполосы О и 0Г2 имеют следующий вид [4, 7]:

О = [—иП2,—иг11) ^К^иг2) ' (17)

°г2 = [—"г22,—"г21) ^[VГ21, "г22) , (18)

где

0<и ,<и .<л , 0 < < ^2 <Л •

Схематично подобласть пространственных частот V , применяемая при субполосном анализе изображений в базисе Фурье, представлена на рисунке 1.

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований//Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

Gr:

Dr

V

- "J.

-v-

urx 1

.......te

V

Рис. 1. Подобласть пространственных частот V при субполосном анализе изображений на основе преобразования Фурье Fig. 1. Subdomain of spatial frequencies V for the images subband analysis based on Fourier transform

v

v

u

I - v

I 'r, 2

Можно показать [4, 7], что элементы субполосной матрицы Аг , соответствующей субполосе Ог

определяются на основании следующих соотношении:

sin(ип2(i - n)) - sin(ип 1(i -n))

2л

g-ju(i-n)g-ju(i-n)^,, _

du = — f e 2л J

Mi-n)du =

u , - u ,

ri 2 ri 1

л(' - n)

I = n,

i Ф n,

(19)

л

Элементы субполосной матрицы В , соответствующей субполосе , определяются аналогично.

Значения элементов некоторой субполосной матрицы можно представить в виде изображения на

рисунке 2.

Рис. 2. Графическое представление значений элементов субполосной матрицы Fig. 2. Graphical representation of the values of the subband matrix elements

При косинусном преобразовании (СТ) базисные функции имеют вид:

(и) = cos(u(i -1)),

< (v) = cos(v(k -- )) ,

a = b =

12 •

2'

0 < u, v <л, i = 1,2,...,N, k = 1,2,...,N •

(20) (21) (22)

ar1 =

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований//Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

При анализе изображений на основе косинусного преобразования подобласть пространственных частот

V (7) задается субполосами О и ОГ2 , которые имеют следующий вид:

0Т = К^ иг12) , = "г22) .

Подобласть пространственных частот V схематично изображена на рисунке 3.

Gr2

А.,.,

(23)

(24)

_M.l1.

D,

r1

V2

-I-

v22

u

Рис. 3. Подобласть пространственных частот V при субполосном анализе изображений на основе косинусного преобразования Fig. 3. Subdomain of spatial frequencies Vfor the images subband analysis based on cosine transform

Авторами предложено при анализе изображений на основе унитарных преобразований, отличных от преобразования Фурье, использовать термин субинтервальные матрицы.

Элементы субинтервальной матрицы A = (al; ),i,n = 1,2,...,N, соответствующей субполосе Dt

CT ll :

определяются на основании соотношения: где аЦ - определено в (19),

hi =

ar'CT = a1 + h1.

in in in ■

Sin(ur 2 (i + n -1)) - Sin(ur 1 (i + n -1))

(25)

(26)

л (г + п — 1)

Элементы субинтервальной матрицы В , соответствующей субполосе О^ , определяются аналогично.

Значения элементов некоторой субинтервальной матрицы косинусного преобразования можно представить в виде изображения на рисунке 4.

Рис. 4. Графическое представление значений элементов субинтервальной матрицы косинусного преобразования Fig. 4. Graphical representation of the values of the subinterval matrix elements for the cosine transform

Преобразование Уолша (Уолша-Адамара, WH) основано на базисе функций Уолша, которые образуют полную систему ортонормированных прямоугольных функций (принимают значения -1 и +1).

v

u

2

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований // Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

Множество функций Уолша обычно рассматривают в вариантах, отличающихся последовательностью расположения функций в системе, а именно: упорядочение по Уолшу (по частности), упорядочение по Адамару (естественное), упорядочение по Пэли (диадическое).

При упорядочении по Адамару матрица дискретного преобразования Уолша-Адамара для системы из N = 2п функций Уолша может быть получена в результате последовательного построения п блочных матриц Нк, к = 1,2,...,п, следующим образом:

H =

( н н Л

„ „ , k = 1,2,...,«, н0 =(1).

V Hk-1 - Hk-1

k-1 У

Так, при упорядочении по Адамару матрица преобразования Уолша-Адамара для системы из восьми функций Уолша имеет вид:

1 1

W =

Параметры в соотношении (2) для преобразований Уолша-Адамара задаются следующими значениями:

а = Ь = 1, (27)

Область значений пространственных частот имеет вид:

D = {(и, v) | 0 < u, v < 1} ,

(28)

Первые восемь непрерывных функций Уолша приведены на рисунке 5.

Рис. 5. Пример непрерывных функций Уолша Fig. 5. Example of continuous Walsh functions

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований // Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

При применении преобразований Уолша-Адамара подобласть пространственных частот У/1 (7) задается пересечением субполос Вп и О ,

В^1 = [ил1,ил2) , (29)

(30)

уWH

1

GWH = [v „v 2).

r L Г1 Г 2-'

r~2 1-^1' r~2 2 )

0<u ,<u , <1, 0<v ,<v , <1.

Г11 r 2 ' Г21 Г2 2

При применении преобразования Уолша-Адамара подобласть пространственных частот V схематично изображена на рисунке 6.

WH 1r2

1

r 2

vr1"

u

Рис. 6. Подобласть пространственных частот V^

при субполосном анализе изображений на основе преобразования Уолша-Адамара

Fig. 6. Subdomain of spatial frequencies VWH

in the images subband analysis based on Walsh-Hadamard transform

При анализе изображений на основе преобразования Уолша-Адамара (базисные функции упорядочены по Адамару) значения элементов а"'п субинтервальной матрицы А в выражении (10) для области В вида

(29) определяется следующим образом (учтем симметричность матрицы преобразования Уолша-Адамара при упорядочении функций по Адамару, а также соотношения (27), (28)):

(31)

где (г -1) © (п -1) - результат сложения по модулю 2 номеров в двоичной системе чисел (г -1) и (п -1).

Учитывая тот факт, что функции Уолша являются кусочно-постоянными, то интеграл в правой части выражения (31) может быть записан в виде конечной суммы. Тогда,

1

N1 1

w,.

(33)

п0=и<11 г, п = 1,2,...,N

Аналогично можно получить соотношение для вычисления значений элементов субинтервальной матрицы Впри анализе изображений на основе преобразования Уолша-Адамара.

Преобразование Хаара основано на функциях Хаара hari (х) , определенных на интервале х е [0,1) и г = 0,1,.. -1, где N = 2п.

Базисные функции Хаара задаются на основании следующих соотношений:

a

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований//Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

1 1

har0 (x) = ^=, x е [0,1), hart (x) = hw (x) = <

\N v N

2p/2,x e[(q -1)/2p,(q -1/2)/2p), -2p/2,x е [(q -1/2)/2p,q/2p), i = 1,2,...,N-1 0, для всех талън ых x е [0,1],

(34)

где р, q - целые положительные числа,

г = 2р + q-1, 1 < q < 2р .

Матрица преобразования Хаара, строки которой составлены из базисных функций Хаара, при N = 8 имеет следующий вид:

(

W =J-

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

л/2 42 -л/2 -л/2 0 0 0 0

0 0 0 0 л/2 л/2 -л/2 -л/2

2 - 2 0 0 0 0 0 0

0 0 2 -2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 -2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 -2

л

Первые восемь непрерывных функций Хаара приведены на рисунке 7.

При применении преобразования Хаара подобласть пространственных частот ^ совпадает с ППЧ, применяемом при преобразовании Уолша-Адамара.

При анализе изображений на основе преобразования Хаара значения элементов субполосной матрицы Ап в выражении (10) для области вида (29) определяется следующим образом:

Рис. 7. Пример непрерывных функций Хаара Fig. 7. Example of continuous Haar functions

ur22

аГп = J har_l(u)harn_l(u)du = ^ hart_l(u)harn_l(u)

(35)

ueD„

11

Аналогичным образом можно указать значения элементов субинтервальных матриц для других унитарных преобразований.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-07-01570-а.

Список литературы

1. Ахмед Н., Рао К., 1980. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М., Связь, 248.

2. Ярославский Л.П., 1979. Введение в цифровую обработку изображений. М., Сов. радио, 312.

RESEARCH RESULT

Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Болгова Е.В. О субинтервальных матрицах на основе

унитарных преобразований // Научный результат. Информационные технологии. - Т.2, №1,2017.

3. Прэтт У., 1982. Цифровая обработка изображений. М., Мир, 312.

4. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2010. О частотном анализе изображений. Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. 1: 94-103.

5. Черноморец А.А., Волчков В.П., 2012. О свойствах квазисубполосных и G-субшлосных матриц. Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. 1(120): 126-134.

6. Черноморец А.А., Болгова Е.В., 2015. Об анализе данных на основе косинусного преобразования. Научные ведомости БелГУ. Сер. Экономика. Информатика. 1(198): 68-73.

7. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., 2013. Об оптимальном выделении субполосных компонент изображений. Информационные системы и технологии. 1(75): 5-11.

1. Ahmed N., Rao K., 1980. The orthogonal transform in digital signal processing. Moscow, Svyaz', 248. (Jaroslavskij L.P., 1979. Introduction to digital image processing. Moscow, Sov. Radio, 312.

2. Pratt W., 1982. Digital image processing. Moscow, Mir, 312.

3. Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., 2010. About the frequency image analysis. Problems of Radio Electronics.

4. Chernomorets A.A., Volchkov V.P., 2012. About properties of quasisubband and G-subband matrices. Belgorod State University Scientific Bulletin. Economics Information technologies. 1(120): 126-134.

5. Chernomorets A.A., Bolgova E.V., 2015. On the analysis of data based on the cosine transformation. Belgorod State University Scientific Bulletin. Economics Information technologies. 1(198): 68-73.

6. Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., 2013. Optimal separation of image subband components. Information systems and technologies. 1(75): 5-11.

Жиляков Евгений Георгиевич, зав. кафедрой информационно-телекоммуникационных систем и технологий, доктор технических наук, профессор

Черноморец Андрей Алексеевич, профессор кафедры прикладной информатики и информационных технологий, кандидат технических наук

Болгова Евгения Витальевна, аспирант кафедры прикладной информатики и информационных технологий

Zhilyakov Evgeniy Georgievich, Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Information and Telecommunication Systems and Technologies

Chernomorets Andrey Alekseevich, PhD in Technical Sciences, Department of Applied Informatics and Information

Bolgova Evgeniya Vitalievna, Postgraduate Student, Department of Applied Informatics and Information Technologies

References

1: 94-103.

Technologies