Обобщенный субполосный анализ на основе унитарных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015. №7 (204). Выпуск 34/1

97

УДК 621.397

ОБОБЩЕННЫЙ СУБПОЛОСНЫЙ АНАЛИЗ НА ОСНОВЕ УНИТАРНЫХ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

THE GENERALIZED SUBBAND ANALYSIS ON THE BASIS OF UNITARY

TRANSFORMATIONS

А.А.Черноморец, Е.В. Болгова, Д.А. Черноморец A.A. Chernomorets, E.V. Bolgova, D-А. Chernomorets

Белгородский государственный национальный исследовательский университетРоссия, 308015, Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod State National Research University, 85 Pobeda St, Belgorod, 308015, Russia

e-mail: chernomorets @bsu.edu.ru, zhilyakov @bsu.edu.ru, bolgova [email protected]

Аннотация. В данной работе рассмотрен единый подход к исследованию свойств сигналов и изображений на основе обобщенного субполосного анализа при использовании различных унитарных преобразований. Приведены соотношения для вычисления обобщенных субполосных матриц.

Resume. In this paper uniform approach to research of properties of signals and images on the basis of the generalized subband analysis using different unitary transformations is considered. Ratios for computation of the generalized subband matrixes are given.

Ключевые слова: унитарные преобразования, ортогональные функции, обобщенный субполосный анализ, обобщенные субполосные матрицы.

Keywords: unitary transformations, orthogonal functions, generalized subband analysis, generalized subband matrixes.

В современных информационно-телекоммуникационных системах основной объем информации представляется в виде сигналов и изображений в цифровой форме. Анализ данной информации осуществляется как во временной (пространственной) области, так и в области преобразований. В данной статье рассматривается возможность единого подхода к анализу свойств сигналов и изображений при использовании различных ортогональных преобразований.

При анализе сигналов и изображений в цифровой форме в области преобразований, также называемом анализом изображений в частотной области D2 (области нормированных пространственных частот (ПЧ)), в настоящее время широко применяют различные ортогональные системы базисных функций [1-3]:

- тригонометрические функции ( exp(-jnu) , sin(nu) , cos(nu) ), функции Хартли cas (nu) ,

- функции Уолша ( wal(n, u) , had(n, u) , pal(n, u) ),

- функции Хаара har(nu) и др.,

которым соответствуют различные унитарные преобразования сигналов и изображений.

Далее в работе в качестве объекта анализа использованы изображения [4], что не снижает общности полученных результатов.

В дискретном случае анализ в области пространственных частот позволяет выделить различные свойства изображений Ф = (fjk), i = 1,2,...,N, k = 1,2,...M, на основе анализа значений коэффициентов Fnm, n = 1,2,...N, m = 1,2,...M, унитарного преобразования W в выбранном базисе на основе ортогональной системы базисных функций [wnm(u,v)}, n = 1,2,...N, m = 1,2,...M, (u,v) e D2:

N M

Fnm = Ё Ё fikwnm (i, k) . (1)

i=1 k=1

При этом элементы анализируемого изображения Ф могут быть представлены частичными суммами обобщенного ряда Фурье,

1 N M

fik = -^ Ё Ё Fnmw"nm (U k) , (2)

ab n=1 m=1

где w*nm(i,k) - сопряженные функции, значения a,b зависят от выбранного унитарного преобразования и, в большинстве случаев, равны N и M соответственно,

a = N, b = M.

98

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Ш Серия Экономика. Информатика.

2015 № 7(204). Выпуск 34/1

Коэффициенты Fnm, n = 1,2, m = 1,2,...M, унитарного преобразования W изображения Ф можно представить в виде матрицы F = (Fnm), размерность NxM которой совпадает с размерностью анализируемого изображения.

Кроме того, известно, что указанные выше двумерные ортогональные функции, используемые в качества базиса при обработке изображений, являются разделяемыми, поэтому, преобразование можно представить в виде преобразования строк изображения в базисе функций {wn (i)}, i, n = 1,2,...N, с последующим преобразованием столбцов полученного результата в базисе функций {wm(k)}, k,m = 1,2,...M.

Следовательно, выражения (1), (2) могут быть записаны в матричном виде:

F = Wn<FWM ,

Ф = -

ab

wn1f (WM )-1,

(3)

(4)

где W и WM - матрицы унитарных преобразований размерности NxN и MxM соответственно, строки которых составлены из базисных функций {wn (i)}, i, n = 1,2,...N, и {wm (k)}, k, m = 1,2,...,M. Очевидно, что матрицы WN и WM являются ортогональными. Следовательно,

WT = W-1 WT = W-1 Тогда, соотношение (4) может быть записано в виде:

(5)

1 т

ф= wNTfwm

ab

Если WN и WM - симметрические матрицы с действительными элементами, то справедли-

вы следующие соотношения:

F = W ФW

1 wnФГГМ ,

Ф = .

ab

W FW

WN1WM •

(6)

(7)

Если W и WM - симметрические матрицы с комплексными элементами, то, обычно, при-

меняют следующие преобразования:

F = W ФW

1 WNФГУМ ,

Ф = — W * FW *

Ф , WN1W M ’

ab

(8)

(9)

где W* и WM - комплексно-сопряженные матрицы.

Известно, что для преобразования (3) в базисе ортогональных функций справедлива теорема Парсеваля [2] (теорема Планшереля, обобщенная формула Релея), которая в дискретном виде для изображений в цифровой форме записывается следующим образом:

1Ф112 =-1 "~"2

ab

или

N M 1 N M -

z:ZfH=4z ZFU •

i=1 k=1 ab n=1 m=1

В случае непрерывных базисных функций соответствующие соотношения для вычисления коэффициентов преобразования, представления изображения в виде обобщенного ряда Фурье и теорема Парсеваля имеют следующий вид:

N M

F (u, v) =Z Z fkwu (i)Wv (k) >

i=1 k=1

fik =

1

a°b° (u,v)eD2

U F(u,v)w*u(i)w**(k)dudv ,

N M 1

Z Z fk =-^ jj F(u, vtdudv >

i=1 k=1

anbn , Л n

0 0 (u,v)gD2

(10)

(11)

(12)

1

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015. №7 (204). Выпуск 34/1

99

где значения а0, b зависят от выбранного преобразования.

В контексте субполосного анализа равенство Парсеваля (12) целесообразно представить в

виде

S R

||ф||2 =Е Е Esr(Ф),

s=1 r=1

где

Esr(Ф) = —^ Ц | F(u,v) |2 dudv .

П-П-

а0Ъ0 (u,v)GVsr

(13)

(14)

s = 1,2,..S, r = 1,2,..R ,

где Vsr - подобласти пространственных частот (ППЧ), которые получены на основании разбиения области пространственных частот D2 на непересекающиеся подобласти (в общем случае, выбор разбиения области пространственных частот зависит от применяемой системы базисных функций),

D2 = U U Vsr >

s=1 r=1

(15)

Vsr = Ds П G ,

где Ds и Gr - некоторые субполосы в области D2 (зависят от выбранного преобразования).

Представляется естественным интегралы вида (14) называть частями энергии (евклидовой нормы) изображения в заданном базисе функций, попадающей в соответствующие ППЧ.

В свою очередь отношения

Psr (Ф) = Esr (Ф)/||Ф ||2 , (16)

s = 1,2,..S, r = 1,2,..R ,

представляют собой доли энергии, которые позволяют судить о ее сосредоточенности в выбранных ППЧ Vsr, s = 1,2,...S, r = 1,2,...R .

Можно доказать следующее утверждение. Значения частей энергий изображения вида (14), соответствующие подобласти пространственных частот Vsr вида (15) при заданной системе базисных функций, определяются соотношением

Esr (Ф) = ЧАФБГФТ), (17)

где «tr » означает след матрицы, а «Т» - операцию транспонирования матрицы, As = (asin), i,n = 1,2,...,N, и Бг = (Ъгы), k,m = 1,2,...M, - обобщенные субполосные матрицы, соответствующие подобласти V при заданной системе базисных функций, значения элементов которых определяются на основании следующих выражений:

= — f wu (i -1)wu (n -1)du, (18)

n j

in I u'

a° ui

bkm = Л f wv (k-1)wv (m-1)dv •

(19)

0 vsGr

Справедливость этого утверждения доказывается непосредственной подстановкой в определение (14) представления (10).

Для унитарных преобразований, соответствующих симметрической матрице, интегралы в выражениях (18) и (19), в большинстве случаев, можно вычислить точно.

Учитывая соотношения (16) и (17), соотношение для вычисления доли энергии изображения, соответствующей ППЧ V , при заданной системе базисных функций имеет вид

Psr (Ф) =

tr(As ф/;г ФT) tr(ФФT )

(20)

Соотношение (20) позволяет при заданной системе базисных функций реализовать анализ распределения значений долей энергий изображения по различным подобластям пространственных частот вида (14), на которые разбита вся область пространственных частот.

100

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015 № 7(204). Выпуск 34/1

Так, при дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) изображение представляется в виде ряда Фурье по следующим системам базисных комплексных функций:

wn(i) = exp(-j2-(n -1)(/ -1)/N), i,n = 1,2,...JN,

wm (к) = exp(-j2-(m -1)(k -1) /M), к, m = 1,2,...M ,

где j - мнимая единица.

Тогда, комплексная матрица WN ДПФ в соотношениях (з)-(9) имеет вид (матрица WM задается аналогично):

Wn =

Непрерывные базисные функции и параметры в соотношениях (10)-(12) для преобразования Фурье задаются следующими значениями:

w„ (г) = e~jU(i-1), (21)

(1 1 . .. 1 1

2л 2л,гг ,4

- J-;t - jтт(N-1)

1 e N . .. e N

2л 2л

- j—(N-1) - j—(N-1X N-1)

V 1 e N . e N .. e /

a0 = b0 - , 2—

(22)

D2 = {(и,v) | -л< и,v <-} . (23)

При анализе изображений на основе преобразования Фурье подобласть пространственных частот Vsr задается следующим образом

Vsr ={ (и e[-Us2,-Usi) ^[Us1, US2)) ^ (v&{-Vr 2,-Vrl) ^{vrl, Vr 2)) } , s = 1,2,...S, r = 1,2,...R ,

U11 = 0, US,2 = -, Us+1,1 = Us2 , v11 = 0, vR,2 = —, vr+1,1 = vr2 •

При указанном разбиении в подобласти Vsr переменная и принимает значения из интервала Ds (субполосы) оси абсцисс плоскости ПЧ

Ds = [-Us2,-Us1) ^[us1,Us2) » (24)

тогда как одновременно переменная v попадает в интервал Gr (субполосу) оси ординат

Gr = [-vr2,-vr1) ^ [vr1, vr2) • (25)

Подобласть пространственных частот V при анализе изображений на основе преобразования Фурье схематично изображена на рисунке 1.

V

Рис. 1. Подобласть пространственных частот Vsr при анализе изображений на основе преобразования Фурье

Fig. 1. Subarea of spatial frequencies V in the analysis of images on the basis of Fourier transform

v

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015. №7 (204). Выпуск 34/1

101

При анализе изображений на основе преобразования Фурье можно показать, что значения элементов субполосных матриц в выражениях (18)-(19) для областей Ds и Gr вида (24)-(25) определяются следующими соотношениями [4, 5]:

a = — f e~Ju(i-1)e-Ju(n-1)du = — f e-u(i-n)du =

” 2n f 2n f

sin(ux2 (i - n))- sin(uxl (i - n})

n(i — n)

i Ф n,

(26)

us2 — us1

i=n

n

br =— f e-Jv(k—l)e-Jv(m—l)dv = — f e —v(k-m'}dv =

km 2n f 2n f

sin(vr2 (k - m}) - sin(vrl (k - m})

n(k - m)

, k = m. n

k Ф m,

(27)

Аналогичным образом могут быть получены субполосные матрицы для косинусного преобразования Фурье [6, 7].

Преобразование Уолша (Уолша-Адамара) основано на базисе функций Уолша, которые образуют полную систему ортонормированных прямоугольных функций (принимают значения -1 и +1). Множество функций Уолша обычно рассматривают в трех вариантах, отличающихся последовательностью расположения функций в системе, а именно:

- упорядочение по Уолшу (по частности),

- упорядочение по Адамару (естественное),

- упорядочение по Пэли (диадическое).

При упорядочении по Адамару матрица преобразования Уолша-Адамара для системы из N = 2n функций Уолша может быть получена в результате последовательного построения n блочных матриц H k, k = 1,2,...n, следующим образом:

H =

H,

k -1

H

k-1

H

- H

k = 1,2,...n, H0 =(l).

Lk-1 Hk-1J

В данном случае матрица преобразования (базисным функциям соответствуют строки данной матрицы) задается соотношением:

Wn = Hn

Так, при упорядочении по Адамару матрица преобразования Уолша-Адамара для системы из восьми функций Уолша имеет вид:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

Wn =

Значения функций Уолша также можно получить из множества функций Радемахера при использовании кода Грея [1].

Непрерывные базисные функции и параметры в соотношениях (10)-(12) для преобразований Уолша-Адамара задаются следующими значениями:

ао = bo = 1, (28)

D2 = {(u,v) | 0 < u,v < 1} , (29)

Первые восемь непрерывных функций Уолша приведены на рисунке 2.

102

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015 № 7(204). Выпуск 34/1

Рис. 2. Пример функций Уолша Fig. 2. Example of Walsh functions

При применении преобразований Уолша-Адамара подобласть пространственных частот Vsr определяется следующим образом:

vsr ={ (u е [usl,uS2)) ^ (v e {vrl,vr2)) }, s = 1,2,...,S, r = 1,2,...R,

u11 = 0, Us,2 = 1, us+1,1 = us2 , v11 = 0, vR,2 = 1 vr+1,1 = vr2 •

При указанном разбиении в подобласти Vsr переменные u, v принимают значения из интервалов Ds и Gr,

Ds = [us1,us2) > (30)

Gr = [vr1, vr2) . (31)

При применении преобразования Уолша-Адамара подобласть пространственных частот Vsr схематично изображена на рисунке 3.

J i

1 -v

А 2____

vr1----

D

s

us1 us 2

V.

Gr

u

h-*

1

Рис. 3. Подобласть пространственных частот Vsr при анализе изображений на основе преобразований Уолша Fig. 3. Subarea of spatial frequencies Vsr in the analysis of images on the basis of Walsh transforms

При анализе изображений на основе преобразования Уолша-Адамара (базисные функции упорядочены по Адамару) значения элементов asin субполосной матрицы A в выражении (18) для области Ds вида (30) определяется следующим образом (учтем симметричность матрицы преобразования Уолша-Адамара при упорядочении функций по Адамару, а также соотношения (28), (30)):

us2 us2

al = j Wu (i ~1)wu (n ~1)du = j Wi-1(u)wn-1(u)du = j w(i-1)®(n-1)(u)du , (32)

ueDs us1 us1

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия Экономика. Информатика. 2015. №7 (204). Выпуск 34/1

103

где (i -1) © (n -1) - результат сложения по модулю 2 номеров в двоичной системе чисел (i -1) и (п -1) .

Учитывая тот факт, что функции Уолша являются кусочно-постоянными, то интеграл в правой части выражения (32) может быть записан в виде конечной суммы. Тогда,

. 1

Ш-

"in N £ w(i-1)©(n-1)(n0) ’

П0 =Ш,1

(33)

i,n = 1,2,...Д, s = 1,2,...S .

Аналогично можно получить следующее соотношение для вычисления значений элементов субполосной матрицы Br при анализе изображений на основе преобразования Уолша-Адамара:

1 жТ 2^

bkm = £ w(k-1)©(m-1) (n0 ) ,

(34)

k,m = 1,2,...M , r = 1,2,...R.

Преобразование Хаара основано на функциях Хаара hari (x), определенных на интервале x е [0,1) и i = 0,1,...N-1, где N = 2n .

Базисные функции Хаара задаются на основании следующих соотношений:

har0 (x) = —£ , x е [0,1) ,

VN

2 p/2, x e[(q -1) /2 p ,(q -1/2)/2 p)

-2p/2,x е [(q-1 /2)/2p,q/2p) i = 1,2,...N-1, (35)

0, для всех остальных x е [0,1],

hari (x) = hpq (x) =-^=

где p, q - целые положительные числа,

i = 2p + q-1, 1 < q < 2p .

Матрица преобразования Хаара, строки которой составлены из базисных функций Хаара, при N = 8 имеет следующий вид:

WN =Т8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

V2 42 -42 -42 0 0 0 0

0 0 0 0 42 42 -42 -42

2 - 2 0 0 0 0 0 0

0 0 2 -2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 -2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 -2

Первые восемь непрерывных функций Хаара приведены на рисунке 4.

n=Ш

0 ”r1

V

У

Рис.4. Пример функций Хаара Fig. 4. Example of Haar functions

При применении преобразования Хаара подобласть пространственных частот Vsr совпадает с ППЧ, применяемом при преобразовании Уолша-Адамара.

При анализе изображений на основе преобразования Хаара значения элементов asin субполосной матрицы As в выражении (18) для области Ds вида (30) определяется следующим образом (в виду несимметричности матрицы преобразования Хаара соответствующий интеграл может быть вычислен приблизительно):

ain =

Г U 2л

J haru O' - 1)haru (n -1)du = Z haru (i - 1)haru (n - !) :

(36)

u<=Dr

Аналогичным образом можно указать значения элементов субполосных матриц для других унитарных преобразованиях.

Применение субполосных матриц, их собственных чисел и собственных векторов позволяет вычислить распределение долей энергий изображений по соответствующим подобластям пространственных частот, а также выделять оптимальные (в выбранном базисе) субполосные компоненты изображений [8], соответствующие различным унитарным преобразованиям. Применение субполосных матриц также обеспечивает решение задач повышения визуального качества изображений, выделение контуров и др.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 15-07-01570а и при поддержке Государственного задания НИУ «БелГУ» (код проекта № 358).

Список литературы

References

1. Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. - М.: Связь, 1980. - 248 с.

Ahmed N., Rao K. Ortogonal'nye preobrazovanija pri obrabotke cifrovyh signalov. - M.: Svjaz', 1980. - 248 s.

2. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. - М.: Сов. Радио, 1979. -312 с.

Jaroslavskij L.P. Vvedenie v cifrovuju obrabotku izobrazhenij. - M.: Sov. Radio, 1979. -312 s.

3. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. - М.: Мир, 1982. - 312 с.

Prjett U. Cifrovaja obrabotka izobrazhenij. - M.: Mir, 1982. - 312 s.

4. Жиляков, Е.Г., Черноморец А.А. О частотном анализе изображений // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. - 2010. - Вып. 1. - С. 94-103.

Zhilyakov, E.G., Chernomorets A.A. O chastotnom analize izobrazhenij // Voprosy radiojelektroni-ki. Ser. JeVT. - 2010. - Vyp. 1. - S. 94-103.

5. Черноморец, А.А. Метод анализа распределения энергий изображений по заданным частотным интервалам [Текст] / А.А. Черноморец, О.Н. Иванов // Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. - 2010. - № 19 (90). - Вып. 16/1. - С. 161-166.

Chernomorets, A.A. Metod analiza raspredelenija jenergij izobrazhenij po zadannym chastotnym intervalam [Tekst] / A.A. Chernomorets, O.N. Ivanov // Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Istorija. Politologija. Jekonomika. In-formatika. - 2010. - № 19 (90). - Vyp. 16/1. - S. 161-166.

6. Черноморец А.А., Волчков В.П. О свойствах квазисубполосных и G-субполосных матриц // Научные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. - 2012. - № 1 (120). - Вып. 21/1. -С. 126-134.

Chernomorets A.A., Volchkov V.P. O svojstvah kvazisubpolosnyh i G-subpolosnyh matric // Nauch-nye vedomosti BelGU. Ser. Istorija. Politologija. Jekonomika. Informatika. - 2012. - № 1 (120). - Vyp. 21/1. - S. 126-134.

7. Черноморец А.А., Болгова Е.В. Об анализе данных на основе косинусного преобразования // Науч-

ные ведомости БелГУ. Сер. История. Политология. Экономика. Информатика. - 2015. - № 1 (198). - Вып. 33/1. - С. 68-73. _ _ _

Chernomorets A.A., Bolgova E.V. Ob analize dannyh na osnove kosinusnogo preobrazovanija // Nauchnye vedomosti BelGU. Ser. Istorija. Politologija. Jekonomika. Informatika. - 2015. - № 1 (198). - Vyp. 33/1. - S. 68-73.

8. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А. Об оптимальном выделении субполосных компонент изображений // Информационные системы и технологии. - № 1 (75). - 2013. - С. 5-11.

Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A. Ob optimal'nom vydelenii subpolosnyh komponent izobrazhenij // Infor-macionnye sistemy i tehnologii. - № 1 (75). - 2013. - S. 5-11.

u=u

si