CC BY
10
Электронное периодическое издание «Вестник Дальневосточного государственного технического университета» 2009 год № 2 (2)
05.00.00 Технические науки
УДК 629.58+539.3
В.В.Пикуль
Пикуль Владимир Васильевич - д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий лабораторией проблем прочности глубоководной техники Института проблем морских технологий ДВО РАН. E-mail: pikulv@mail.ru
К РАСЧЕТУ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРОЧНОГО КОРПУСА ПОДВОДНОГО АППАРАТА
Получена расчетная формула для определения критического давления, вызывающего потерю устойчивости цилиндрической анизотропной оболочки, которая учитывает высвобождение потенциальной энергии, накапливаемой в теле оболочки вследствие изменения её формы в процессе нагружения. Полученная формула сведена к формулам, определяющим величины критического давления у ортотропных и изотропных оболочек. Учет высвобождения потенциальной энергии приводит теорию устойчивости и расчетные формулы, полученные на её основе, в полное соответствие с экспериментом.
Ключевые слова: устойчивость оболочек, цилиндрическая оболочка, анизотропная оболочка, ортотропная оболочка, изотропная оболочка, прочный корпус, подводный аппарат.
Vladimir V. Pikul
ON THE PROBLEM OF STABILITY CALCULATION FOR ANISOTROPIC CYLINDRICAL COVERING OF UNDERWATER VEHICLE’S PRESSURE-PROOF HULL
The article describes the calculation formula defining the threshold pressure that causes destabilization of anisotropic cylindrical covering of an underwater vehicle. This formula takes into account the release of potential energy accumulated in such coverings due to changes in their shape while submerging. The formula obtained is reduced to formulas determining threshold pressure values of orthotropic and isotropic coverings. Proper consideration for the quantity of potential energy released brings the stability theory and the calculation formulas in full accordance with the experiment.
Key words: stability of hull coverings, cylindrical hull coverings, anisotropic hull coverings, orthotropic hull coverings, isotropic hull coverings, pressure-proof hulls, underwater vehicles.
Одной из основных причин разрушения прочных корпусов подводной техники является потеря устойчивости оболочек прочного корпуса. Однако теория устойчивости оболочек находится в глубоком противоречии с экспериментальными данными [1]. Проблема приведения теории устойчивости оболочек в соответствие с экспериментальными исследованиями возникла сто лет назад, после появления первых теоретических исследований устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии (Р.Лоренц, 1908 г.; С.П.Тимошенко, 1910 г.).
За прошедшие сто лет установлено, что главной причиной расхождения теории с экспериментом является необычайно высокая чувствительность оболочки к несовершенствам формы поверхности [2], но механизм влияния несовершенств формы поверхности на процесс потери устойчивости был раскрыт только в 2007 г. [3]. При сжатии вследствие эффекта Пуассона происходит изменение формы поверхности оболочки (при осевом сжатии цилиндрическая оболочка расширяется в окружном направлении). В критическом состоянии внутренние связи утрачивают способность удерживать первоначальную форму равновесия, вследствие чего становится возможным высвобождение потенциальной энергии деформированных элементов оболочки, связанных с изменением формы поверхности в процессе нагружения оболочки. Такие элементы под воздействием сил упругости устремляются в ненапряженное состояние и вместе с внешними сжимающими силами производят работу по деформированию оболочки в момент потери устойчивости. У изотропных и ортотропных оболочек высвобождается потенциальная энергия растяжения деформированных элементов оболочки, вызванная эффектом Пуассона. У анизотропных оболочек - потенциальная энергия растяжения и сдвига, которая появляется вследствие эффекта Пуассона и взаимного влияния линейных и угловых деформаций друг
на друга. Учет высвобождаемой потенциальной энергии приводит теорию устойчивости оболочек в полное соответствие с экспериментом [3].
Устойчивость анизотропных цилиндрических оболочек В настоящее время создаются высокопрочные анизотропные материалы, которые позволяют существенно уменьшить толщины оболочек прочного корпуса подводного аппарата. В результате основным разрушающим фактором для таких оболочек станет потеря устойчивости. Потеря устойчивости тонкостенных оболочек, как правило, сопровождается появлением большого количества выпучин и вмятин. Искажения формы поверхности тонкостенных оболочек оказываются малыми по сравнению с размерами оболочки, и в пределах каждой выпучины и вмятины оболочку можно считать пологой. Это позволяет для расчета устойчивости тонкостенной оболочки использовать теорию пологих оболочек. Уравнения устойчивости пологих анизотропных оболочек, учитывающие высвобождение потенциальной энергии деформированных элементов оболочки, связанных с изменением формы поверхности в процессе нагружения оболочки, имеют вид:
12
д лм А48а4
+ч
д w
61 А^А2да\да2
Г Е ^
м2,+1—
Г 21
Е11
1\2 А1А2да1да.
12
д
А^да42
Д А2да1 да2 д
А1 А^да: да\
о Ец Ми+2—
V Е22
д4м? /х9
2 ¿2 а „,2а „.2 ^61 . .
Д А2да1 да2
/,/2| А1А2да1да2
+
1 д2Е 1 д2Е
Д А2да2 И2 А2да^ + 2Ж0,
= N1
д
11 А2да2
д2м>
■ + N1
д2м> 22 А2да22
Д А2дах да2
Е2Ь
д4Е
А4да4
1А 2 а„
■-у.
■3Г).
2,12 А^А2да^да2
4
21
+ -
1
А1А2да1да: д4Е
-К-
А2А^да^да:
ЕЬ
' 3^1,12
А2да;
д4Е
Д А^да^ За
А1да1 А2да2
1
Система дифференциальных уравнений (1) приведена к срединной поверхности оболочки: A, A, R, R - коэффициенты первой квадратичной формы и радиусы главной кривизны срединной поверхности оболочки; ах,а2 - криволинейные координаты в меридиональном и окружном направлениях; w - прогиб срединной поверхности оболочки; F - силовая функция; N°, №22, N0 - продольные, окружные и касательные внутренние силы. Обозначения коэффициентов уравнений (1) представлены в работе [4]. У цилиндрической оболочки R1 — со, R2 — R, Ах — 1, А — R-
Уравнения устойчивости оболочек, учитывающие высвобождение потенциальной энергии растянутых и скрученных элементов оболочки, которая накапливается вследствие изменения формы её поверхности в процессе нагружения внешними силами, по форме ничем не отличаются от уравнений классической теории. Отличия носят качественный характер - во внутренние силы, которые противостоят внешней нагрузке, вводятся дополнительные силы упругости, порождаемые высвобождаемой потенциальной энергией. Дополнительные внутренние силы упругости N^f определяются через внутренние силы порождаемые внешней нагрузкой на оболочку, исходя из условия возвращения
формы поверхности оболочки в исходное до нагружения положение:
N(2) =v N(1) -п Nm-
iVll v\2 22 Ч\Д2 12 ?
NiS=N$=-naAN'"-Va3N% (2)
Внутренние силы, входящие в уравнения (1), включают в себя силы, порождаемые внешней нагрузкой и высвобождаемой потенциальной энергией:
л"2=лг<Аа« n?2=n£+n*? (3)
Прогиб срединной поверхности w и силовую функцию F в момент потери устойчивости примем в виде следующих рядов:
^ Ах-пу ^ Ах-пу ...
w-} w cos-—; F-У /„„cos------------—, (4)
Yïlïl ^ J Yïlïl ^ ? V У
где А = nmR 7 x = Ala1, у = А2а2; L - длина цилиндрической оболочки.
L
Возможность применения рядов (4) для исследования устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек обусловлена локальностью краевого эффекта, вследствие которого условия закрепления торцевых поверхностей не оказывают существенного влияния на величину критической нагрузки. Исследования влияния краевых условий на величину критической нагрузки показали, что существенными являются только условия, которые в чистом виде на практике не реализуются [2].
Подстановка рядов (4) в уравнения (1) позволяет получить следующую формулу для определения критической нагрузки, действующей на анизотропную цилиндрическую оболочку:
Формула (5) является общей для осевой, боковой, всесторонней и крутящей нагрузок. С ее помощью легко выводятся расчетные формулы, определяющие критическую нагрузку при осевом, боковом и всестороннем давлении, а также при кручении анизотропной цилиндрической оболочки. Для этого достаточно определить внутренние силы от действия внешней нагрузки при без-моментном напряженном состоянии и по формулам (2) и (3) найти соответствующие внутренние силы.
На рисунке представлена цилиндрическая оболочка под воздействием всестороннего внешнего давления. Прогибы оболочки ™ и осевые деформации
(5)
где
V 22 ) №21
(6)
А/ с индексами 1 вызваны осевым давлением, а с индексами 2 - боковым давлением.
Внутренние силы, порождаемые всесторонним давлением д, равны:
Кр=-0,5дК, ы£=-с,П. (7)
С помощью формул (2), используя равенства (7), находятся внутренние силы, порождаемые высвобождаемой потенциальной энергией при всестороннем давлении:
^ -УцЦК* := ~0,5у2]с/И,
Мр= 0,5^</121 + 2?/,22 . (8)
По формуле (3) находятся общие внутренние силы, учитывающие высвобождение потенциальной энергии при всестороннем давлении:
^Р=-дЯ4,5 + У12^ ^=-^<+0,5у21^
Ы<р= 0,5с/Н</121 + 2/7122 . (9)
Подстановка равенств (9) приводит формулу (5) к виду:
1 14/£ + е/Я2
/12,2
/Л
(10)
Я 0,5 + Уи ^2 + 0+ 0,5у21 ^2 + ф12Д + 27;,.
Минимизация выражения, стоящего в квадратных скобках, производится по числу полуволн т по образующей цилиндра и по количеству полных волн п в окружном направлении. При этом наименьшее количество полных волн в окружном направлении равно двум, что соответствует потере устойчивости, превращающей окружности оболочки в эллипсы.
Формула (10) определяет величину критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости анизотропной цилиндрической оболочки при всестороннем давлении. Она легко сводится к формулам, определяющим величины критического давления у ортотропных и изотропных оболочек.
У ортотропной оболочки коэффициенты влияния касательных напряжений на линейные деформации щ2Л и ?;|2 2 равны нулю, вследствие чего обращаются в нуль и коэффициенты искажения формы т}61 и ?/„2. При этом коэффициенты искажения размеров ¿и12 и //2| превращаются в коэффициенты Пуассона: 2 = V, 2, /л21 =у21. В результате формула (10) приводится к виду:
1 ЯА^+е!Я2
& =тт
Я Ф,5 + у12У + < + 0,5у21
п
(11)
где
е = ■
12
Е
-А +2
^ + 2е12
Л2И2+-
Е,
-п
■2^
Е.
1
У изотропной оболочки
Е = Е = Е. =■
2 /
Е
Я2п2+ — пА
Е,
21 + у
^12=^21=^
и формула (10) сводится к формуле:
Чк = тт
Ек / я
0,5+ у Я2 + К + 0,5у п2
Я
4£+п2^ + \2(-у2~112
к
2*2+п2
(12)
Выводы
Получена расчетная формула по определению критического давления, вызывающего потерю устойчивости цилиндрической анизотропной оболочки, которая учитывает высвобождение потенциальной энергии, накапливаемой в теле оболочки вследствие изменения её формы в процессе нагружения. Полученная формула сведена к формулам, определяющим величины критического давления у ортотропных и изотропных оболочек. Учет высвобождения потенциальной энергии приводит теорию устойчивости и расчетные формулы, полу-
т.п
1
1
т.п
ченные на её основе, в полное соответствие с экспериментом. Предлагаемые формулы применимы для расчета устойчивости цилиндрических оболочек прочного корпуса подводного аппарата, не подкрепленных шпангоутами. Для цилиндрических оболочек, подкрепленных шпангоутами, расчетные формулы могут быть использованы для определения устойчивости участков оболочки между шпангоутами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
2. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
3. Пикуль В.В. К теории устойчивости оболочек // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 3. С. 341-343.
4. Пикуль В.В. Механика оболочек. Владивосток :Дальнаука, 2009. 536 с.
5. Pikul V.V. On Shell Stability Theory // Dodady Physics. 2007. Vol. 52. № 9. P. 513-515.
