CC BY
5
Методическое сопровождение включало в себя различные аспекты:
1. Разработка программы внеурочной деятельности. Педагогам необходимо было определить цели и задачи, которые они хотят достичь через проведение патриотических мероприятий. Также важно было выбрать темы и формы работы, которые будут наиболее интересны и доступны для детей.
2. Обучение педагогов методикам работы с детьми по формированию ценностных ориентаций. Они включали в себя интерактивные занятия, игры и творческие задания, чтобы дети могли участвовать активно и с удовольствием.
Также было важно обучить педагогов работе с различными материалами: презентациями, видеоматериалами, организовать походы и экскурсии, которые помогут детям лучше понять историю своей страны.
3. Оценка результатов проведенной работы. Педагоги должны были анализировать эффективность тех или иных мероприятий и корректировать программу внеурочной деятельности в соответствии с потребностями детей своего класса.
В целом методическое сопровождение педагогов во внеурочной деятельности патриотической направленности играет ключевую роль в формировании ценностных ориентаций у детей. Педагоги, получившие необходимые знания и навыки, смогли организовать интересные и полезные мероприятия, которые помогут детям стать настоящими патриотами.
Для осуществления формирования ценностных ориентаций во внеурочной деятельности патриотической направленности педагогам было предложено:
- отбирать целесообразные методы, способы и приемы педагогического взаимодействия с учетом возрастных, личностных и социальных особенностей младших школьников своего класса для осуществления воспитательного процесса, отслеживая результаты своей деятельности в дневнике педагогических наблюдений;
Библиографический список
- выстраивать педагогическую и воспитательную деятельность, опираясь на реальные цели и задачи, используя диагностический инструментарий, позволяющий определить реальный уровень сформированности ценностных ориентаций у младших школьников для своевременного реагирования и необходимой коррекции;
- иметь информационно-методический ресурс для реализации навыков, разработки вариативных образовательных и воспитательных программ, технологий и методические рекомендации, авторскую программу и т. д.;
- уметь организовать информационно-практический, методический взаимообмен педагогическим опытом формирования ценностных ориентаций во внеурочной деятельности патриотической направленности у младших школьников, направленным на всестороннее повышение компетентности и потенциала педагогического коллектива в целом.
Таким образом, мы приходим к следующим выводам. Комплекс мер по непрерывной профессиональной поддержке и подготовке педагогов направлен на повышение педагогической образованности, компетентности и профессионального мастерства учителя и всего педагогического коллектива. Он требует личной включенности и заинтересованности учителя и всего педагогического коллектива. Реализация данного комплекса обеспечила качественно новое понимание передачи знаний и воспитания личности младшего школьника в условиях исполнения требований ФГОС, что привело к повышению уровня образованности, воспитанности каждого учащегося, накоплению достаточного объема знаний о гражданских, социальных, нравственных ценностях и ориентации на них в ходе реальной жизни, развитию способности самостоятельно принимать решение.
Перспективы дальнейшего исследования могут идти по пути разработки проблемы методического сопровождения педагогов в формировании ценностных ориентаций с включением цифрового оборудования в различных возрастных группах.
1. О национальных целях развития Российской Федерации на период до 2030 года. Указ Президента Российской Федерации Владимира Пугина. Available at: http://www. kremlin.ru/events/president/news/63728
2. Об образовании в Российской Федерации. Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-Ф3, редакция от 02.07.2021 (с изменениями и дополнениями, вступил в силу с 01.09.2021). Available at: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/
3. ФГОС начального общего образования. Available at: https://fgos.ru/
4. Толковый словарь Ушакова Д.Н. Available at: http://ushakova-slovar.ru/
5. Поташник М.М. Как помочь учителю в освоении ФГОС. Москва: Педагогическое общество России, 2014.
6. Моисеев А.М. Потребности молодых педагогов в наставничестве и методической поддержке. Вестник МГПУ. 2019; № 4 (50): 8-24.
7. Царегородцева Е.А. Методическое сопровождение оценочной деятельности учителей начальных классов. Иркутск: Иркут, 2018.
References
1. O nacional'nyh celyah razvitiya Rossijskoj Federacii na period do 2030 goda. Ukaz Prezidenta Rossijskoj Federacii Vladimira Putina. Available at: http://www.kremlin.ru/events/ president/news/63728
2. Ob obrazovanii v Rossijskoj Federacii. Federal'nyj zakon ot 29.12.2012 № 273-FZ, redakciya ot 02.07.2021 (s izmeneniyami i dopolneniyami, vstupil v silu s 01.09.2021). Available at: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/
3. FGOS nachal'nogo obschego obrazovaniya. Available at: https://fgos.ru/
4. Tolkovyj slovar' Ushakova D.N. Available at: http://ushakova-slovar.ru/
5. Potashnik M.M. Kak pomoch' uchitelyu v osvoenii FGOS. Moskva: Pedagogicheskoe obschestvo Rossii, 2014.
6. Moiseev A.M. Potrebnosti molodyh pedagogov v nastavnichestve i metodicheskoj podderzhke. VestnikMGPU. 2019; № 4 (50): 8-24.
7. Caregorodceva E.A. Metodicheskoe soprovozhdenie ocenochnoj deyatel'nosti uchitelejnachal'nyh klassov. Irkutsk: Irkut, 2018.
Статья поступила в редакцию 12.12.23
УДК 511.33
Shikhshinatova M.M., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior teacher, Department of Higher Education, Moscow State University of Civil Engineering
(Moscow, Russia), E-mail: shichmum_2006@mail.ru
ON THE CHOICE OF SIGNS OF CONVERGENCE OF POSITIVE NUMERICAL SERIES WHEN SOLVING PROBLEMS. The objective of the article is to develop recommendations that would allow students to choose the appropriate sign of convergence of positive series depending on the task at hand. The main task is to review the key theoretical aspects that are related to the study of positive series on convergence, as well as to study the criteria that can be used to make a choice between the signs of convergence of series. The article demonstrates the methods of investigating the convergence of positive numerical series and gives a visual scheme of their investigation. On practical examples the importance of choosing the appropriate sign is shown. The recommendations given in the work are of great value for students when studying the topic "Positive Numerical Series". In order to be able to investigate a series for convergence, it is necessary to correctly determine the type of series, to be well oriented in the basic properties of series and correctly select the appropriate sign of convergence. Scientific novelty is the development of recommendations for students to better study and master the topic "Positive number series".
Key words: alternating numerical series, convergence, conditional and absolute convergence, Cauchy, Dalembert, Leibniz signs
ММ Шихшинатоеа, канд. физ.-мат. наук, ст. преп., Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), г. Москва,
E-mail: shichmum_2006@mail.ru
О ВЫБОРЕ ПРИЗНАКОВ СХОДИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
Целью статьи является разработка рекомендаций, дающих возможность студенту правильно выбрать соответствующий признак сходимости положительного ряда в зависимости от поставленной задачи. Основная задача заключается в рассмотрении ключевых теоретических аспектов, которые связаны с исследованием положительных рядов на сходимость. В статье демонстрируется методы исследования на сходимость положительных числовых рядов, дана наглядная схема их исследования. На практических примерах показана важность выбора соответствующего признака. Рекомендации, изложенные в
данной статье, имеют большую ценность для студентов при изучении темы «Положительные числовые ряды». Для того чтобы уметь исследовать ряд на сходимость, необходимо правильно определять его тип, хорошо ориентироваться в основных свойствах рядов и правильно подбирать соответствующий признак сходимости.
Ключевые слова: знакопеременный числовой ряд, сходимость, условная и абсолютная сходимость, признаки, Коши, Даламбера, Лейбница
Проблема математической подготовки студентов - одна из актуальных в современном обществе. Математическое образование мотивирует студентов к критическому и инновационному мышлению, а также к обоснованному решению задач. В то же время необходимо отметить, что обучение математике - это активный, динамичный и непрерывный процесс. Занятия математикой помогают учащимся развивать свои рассуждения, мыслить логически, систематически, критически и всесторонне, а также занимать объективную и открытую позицию при решении проблем.
Качество современного математического образования студентов вуза зависит не только от эффективного отбора материала, но и от комплексного подхода к применению методов обучения. Преподавание и обучение математике состоят из трех основных компонентов, а именно - преподавателя, студентов и содержания. Студенты должны быть вооружены знаниями и навыками высокого уровня, а преподаватели - в совершенстве владеть материалом и демонстрировать высокий профессионализм.
Одной из основных проблем является то, что изучение математических законов, теорем и формул осуществляется на абстрактном уровне, в отрыве от задач биологии, химии, географии и т. д., решаемых математическим инструментарием. Освоив курс высшей математики, научившись вычислять производные и интегралы, решать дифференциальные уравнения и находить статистические характеристики, студенты не представляют, где эти знания могут быть применены в их будущей специальности. Такой уровень математической подготовки студентов серьезно сужает пространство профессиональных задач в пределах их компетенции.
Одной из таких тем являются последовательности и ряды - фундаментальные математические понятия, находящие многочисленные применения в различных областях. От математики и физики до информатики и финансов - эти математические структуры являются незаменимыми инструментами для анализа и понимания явлений реального мира. Последовательности и ряды играют центральную роль в самой математике. Они обеспечивают основу для изучения пределов, конвергенции и дивергенции. Изучение бесконечных рядов, таких как геометрические и арифметические ряды, позволяет математикам исследовать сумму бесконечного числа членов.
Последовательности используются для моделирования математических закономерностей и могут применяться для решения задач теории чисел, комбинаторики и исчисления.
Таким образом, обозначенные обстоятельства обуславливают актуальность темы данной статьи.
Объект исследования - некоторые основные вопросы сходимости положительных рядов, признаки сходимости рядов.
Предметом исследования является выбор и использование оптимальных признаков сходимости для выяснения сходимости положительных рядов.
Целью статьи выступает разработка рекомендаций, дающих возможность студенту правильно выбрать соответствующий признак сходимости положительного ряда в зависимости от поставленной задачи.
Задачи:
1) рассмотреть особенности проверки сходимости числового ряда;
2) изучить критерии, с помощью которых можно сделать выбор между признаками сходимости рядов.
Гипотеза исследования" ' понимание и использование возможностей последовательностей и рядов может привести к значительному прогрессу во многих областях, стимулируя инновации во многих областях человеческих знаний и усилия.
Этапы исследования: изучить теоретический материал в разных источниках по теме исследования; провести практическую работу по обозначенной проблеме.
Методы исследования: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, осуществлялась их обработка и сравнение.
Теоретическая значимость исследования. В данной статье рассмотрены особенности изучения последовательностей и рядов, которые имеют широкое теоретическое и практическое применение в реальной жизни.
Практическая значимость результатов исследования заключается в возможности их применения в процессе преподавания и обучения студентов дисциплинам математического цикла, в частности при изучении темы «Положительные числовые ряды».
Научная новизна состоит в разработке рекомендаций для студентов, которые позволят лучшим образом изучить и усвоить тему «Положительные числовые ряды» и сделать корректный выбор наиболее приемлемого признака для определения сходимости ряда, что является очень важным при решении различных задач математического моделирования, теоретической физики и других областей науки.
Применение последовательностей и рядов охватывает широкий спектр дисциплин, демонстрируя их универсальность и важность. От теоретической ма-
тематики до практических областей, таких как физика, информатика, финансы и биология, эти математические концепции предоставляют мощные инструменты для анализа, моделирования и прогнозирования различных явлений.
Напомним, что числовой ряд представляет собой бесконечную сумму:
Я1+Я2 + ■" +"л + = 1"=1а?1 (1),
где а1,а2, ...,а„ - некоторая числовая последовательность. Иначе говоря, числовым рядом называется функция натурального аргумента. Чтобы задать ряд (1), достаточно задать а„ - л-й член ряда [1].
Из членов ряда (1) образуем числовую последовательность частичных сумм, где п - сумма первых членов ряда, которая называется л-й частичной суммой, т. е.
51 = а1, 51 = а1 + а2
5„ = % + а2 + - + а„
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то ряд (1) называется сходящимся, т. е.
lim Sn = S. Число S называется суммой ряда (1).
П^от
Если предел частичной суммы некоторому конечному числу S,
то ряд ^сходится [2].
ОпределениеЗ. Если предела частичной суммы нет или он равен бесконечности, то такой ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда нет суммы [2].
Чтобы решить задачу о сходимости ряда, принимая во внимание определение сходимости, необходимо определить предел последовательности его частичных сумм. В том случае, если ряд сходится, можно подсчитать достаточно большое число слагаемых и найти сумму ряда с определенной точностью. Но установить сходимость ряда, пользуясь определением сходимости, на практике бывает очень сложно, поэтому для решения этой задачи используют другие теоретически доказанные способы - признаки сходимости рядов.
Можно отметить несколько признаков, свидетельствующих о сходимости ряда: признаки сравнения, признак Даламбера, необходимый признак сходимости ряда, признак Лейбница, признаки Кошии другие.
Попытаемся дать некоторые рекомендации, которые помогут студенту при изучении курса «Числовые ряды».
Рассмотрим более подробно необходимый признак сходимости ряда.
Из определения сходимости ряда следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении n к бесконечности, т. е.
lim аП = 0 (2).
П^от
Если общий член ряда стремится к нулю, то это не означает, что ряд сходится [2]. К примеру, для гармонического ряда ЦОТ^П обозначенное условие выполняется, но при этом ряд расходится. Условие (2) является необходимым, но одновременно недостаточным для сходимости ряда.
Если общий член ряда не стремится к нулю при и», в таком случае ряд расходится [З].
Поэтому при решении некоторых задач достаточно просто доказать расходимость ряда, пользуясь необходимым признаком сходимости ряда. Например,
в следующих примерах ISU;", 2"П^+11п' 1"=12П~1 предел общего члена ряда не равен нулю при стремлении n к бесконечности, поэтому сразу можно сказать, что данные ряды расходятся.
Более полное понимание темы предполагает, что обучающийся знает, что такое предел и способен раскрывать неопределенность вида ОТ.
2ПП3
Рассмотрим ряд lOTU—. Предел общего члена ряда есть неопределенность lim — = (ОТ). Для раскрытия данной неопределенности нет стандартных
П^от п! \от/
приемов. Следует выяснить, что быстрее стремится к бесконечности - знаменатель или числитель. Для этого представляется целесообразным принимать во внимание некоторые аспекты из теории пределов.
Пусть a > 1, тогда lim = », пусть a > 0, тогда lim ^ = 0, lim ^ = ». То
' лотх" ' лотах лотах
есть любая показательная функция ax растет быстрее, чем любая степенная функция xa. Факториал растет быстрее, чем любая показательная последова-
2ПП3
тельность. Таким образом, предел общего члена ряда lim — =0, так как п! бо-
П^от п!
лее высокого порядка, чем 2Пп3.
Если мы можем подобрать сходящийся или расходящийся ряд одного порядка с исследуемым рядом, то в таких случаях удобно пользоваться одним из признаков сравнения.
Признаки сравнения используются для анализа числовых рядов, у которых члены неотрицательны. Такие ряды называются положительными. В данной ра-
боте будут рассматриваться именно положительные ряды. Исследуем на сходимость следующие ряды:
1) Х"ч1Р-7Р П-:-' 3)Х"ч1РР1.
Известно, что для первого и второго рядов пределы аП = — и ЬП = — при стремлении п к бесконечности равны пределу р-. Общий член ряда
эквивалентен дроби р при неограниченном возрастании п. Необходимый признак сходимости для всех приморов выполняется.
Во всех рассмотренных примерах полуучили дроеи вида р;, то есть выражение под суммой обобщенного гармонического ряда. Напомним, что обобщенный гармонический ряд -ХЛ^р; сходится при о >1, при а = 1 и тасходится прй а р 1 [4].
В первом примере общий член ряда аП = р-ц < р-. По первому признаку сравнения пе^рэЕзь^!йй ряд сходится. Но для второго примера рП = р-в > рЛ п^|ЗЕ!1>|(1
lim-= Um ■
(2пн-3)!
^n+2
■ = lim
(2п + 3)! • 2n+1
Ча1ие всего радикальный прьзнак Кьши вспьиьззуется, кьгда 7 выразеииу ьбщегь 9иана ргда все элементы вь)вада7ы в степень, кьиьр5ю мьзнь ськраиии( на n.
1Например иреб5еисг вссиаоьваиy на схьдиььси( сиед5ющий ргд
/9П+2\4п+3
ХП=1I—) ■ Выражение под знаком суммы целиком возведено в степень п, поэтому виг иссиадьва7и4 на схьдиььси( б5даь првьа7ги( радикаи(7ый признак Кьши.
■Гчьй ■(?)'■
признер сравнения не дает ответа. Это не значит, что если ряд с меньшими слагаемыми имеет сумму (ссодится), то и ряд с большими слагаемыми тоже будет сходиться. В этомслучае требуется применитс второй признак cсавнения, то
~е~ п2
есть вычислить предел Ит = 1™ = 1. По второму признаку сравнения
П-оо -1 ПП-4С0 П2-П
-2
второй ряд сходится. ААнсПлсогично, пользуясь вторым призмаком cравнения, легко докаоать расходимость третьего р яда.
Признано cравнения можно использовать и для более сложных примеров.
Расси/ютрш ряд Хn=l■рр0о;71'■
Здесь общщий член ряда аП = -^ПР— < ^ = -М- = 2 • ■1-.
1 П п^+Зп+1 п^ П2 П2
Кгдк известио, ряд ХЛЧ? 2 • р?- сходится как обобщенный гармонический ряд, следователвео, по пегому признаку ст^^н^ния искомым ряд ХЛЧ° Пз+^РП+1 схд-дится.
Рассмотрим следующий пример: ХЛч1 ппз_"п:1. В данном случае EiИlггoлнимo
ит^=итМ4П+3 = Шпр+2)~ = 1
п^п п п^»Ч^2п+1/ п^п \2п+1/
6561 . п
— > 1. Ряд расходится.
Интегральный признак Коши-Маклорена применяется с целью определения сходимости рядов вида ХИ=1 ((п). Здесь функция ((х) определена, монотонно и непрерывно убывает при х>1. [5]
В большинстве случаев интегральный признак Коши используется, когда выражение под знаком суммы имеет вид:;^. Отметим, что если к > 1, то ряд Хп^пП^будет сходиться, а если к < 1, то ряд ХИ^;;;; расходится.
Использование на практике интегрального признака Коши предполагает, что исследователь знаком с вычислениями несобственного интеграла первого рода и умеет вычислять производные, интегралы.
Например, исследовать ряд Х"=
: на сходимость. Данное выра-
неравенссьо a„ = —-щ —■
^ n 2n3-3n-1 п2
И) сходимосии рэггкци^ с меньшими 9ие7ами мы на мьзам 5тварздаиy ь схь-димьст)) ряда с большими 9ла7аlьв. Пьлтьму здесь ннз.мнь пивма7внт втьрь-i
признак сходимости, т. е. вычислить предел lim г"3 f2 1 = lim ," , = n. Так
"СК "СК 2"J-3"2-1 2
II2
как полученпый прэердпеии меньше лдиницы, той picKOMbii1 ряд сходится.
В роли рядов для сравнения ниссматривают обобщённый гармонический ряд или геометрическую прогрессию.
Из рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод. В большинстне слпчаев в п^мерах признаки сравнения используются, если общий члин ряда является д^нИмю, ахаменатель и числитель которой - это некие многочлены.
Признали сравнения могут быть использованы для выяснения сходимости или расходимости болеи сложных, на иервый ввгляд, р^ядо^. Рассмотрим сии^ен^:^ур^
^п«^1 ж) ^"Йо^
Проверим необходимы2 признак сходимости. Заметим, что lim = 0, так
"СОТ V"
как ^Уй ростет быстрее чим lnn. Учитывая, что lnn неограниченно растущая чис-
1"" 1 -г » -нн 1
ловаЯ KlГcJГГH!^ГOEЗГГ:K^Лl=HOc■nа, то -"т > ы" ТгГк ток меньший ряд ЛКо:! р1" расходится
лак гармонический ияД| тт бтльший ряд XKUt" рaсxoдртся по признаку сравне-
V"
ния.
Во втором примере выражение sin2(n!) ограничено 0 < sin2(n!) < 1, поэтому о—L— < пр. И1звество, что нид ХК^ -n сходится. Следовательно, мень-
' "2 + sin2("!) "2 н и n "2
ший рэяд сходится по первому признаку срквнения.
Рассмотрим ряд ОК^-пРиз Пoдoбрaть сходящийся или расходящийся ряд, экEiивaиlHнтнb^lчi данном1 ряду, - задача довольно трудная. Поэтому для ис-члддОванИЯ сходиостн данного рэядп |ПiГCCMOTEEИJИ дДОгИе признаки оходимости ПOJИOЖИTí5ЛtаHlPIX fИИ1^уOEE, здесь мы П|РИМ^НИМ прознад Даиембера. ПодставлЯЯ в пыражение аы = HIII^ вместо n знач^нике п+1, получим a"+1 = Г^!^. EKP>IЧИCИJИГE срaченре
1 (п+1)^1п(п+1)
жение представляет собой классический вариант, когда необходимо использовать интегральный признак Коши. Однако прежде чем вычислить несобственный интеграл, надо выяснить, удовлетворяет ли функция ((х) следующим условиям: при х>1 она определена, неотрицательна и убывает [6]. В нашем случае при всех х>1 функция ^М^+ц^пщ) определена и положительна. При увеличении
значений х, значения выражений в х +1 и ^1п(х +1) в знаменателе будут расти. В связи с тем, что знаменатель дроби увеличивается, соответственно, сама дробь будет уменьшаться, т. е. с увеличением значений х, значения ((х) уменьшаются. Это и называется убыванием функции ((х).
Таким образом, функция ((х)удовлетворяет всем условиям интегрального признака Коши-Маклорена. На следующем этапе необходимо рассчитать несобственный интеграл от этой функции. В том случае, когда этот интеграл будет сходиться, будет сходиться и заданный ряд и наоборот.
р(х)йх = Г
dx i ,. г b dx
, dx= lim I -, .
(xil)Vln(xil) b^i» Jl (xil)Vln(xil)
dx
Так как d(ln(x + 1)) = (ln(x + 1))'dx = —. Заменяя в нашем интеграле вы-
dx
ражение— выражением d(ln(x + 1)), получим:
rb dx rbd(ln(x+l)) ,
lim L -, = lim i ■
^ - Jl (x+l)Vln(x+l) + » Jl
Vln(xil)
■ lim
(ln(x + 1))"2 d(ln(x + 1) ■ lim
b^i«
(ln(x + 1))2 1 2
п-лоо а„ п-л» (2п + 1)! п-.»(е^ 1)! ^П+П
^П+1
.. (Пп+1)[(Пп+П)(Пп+3)Пп+1 е (Пп+П)(Пп+3)
= 1-ЛО-;пр-= 1-ЛО- = со.
„-о, (Пм-цр^е пп-^оо п
Так как п|„^дел |эавен бесконечности, то данный ряд расходится в соответствии с признаком Даламбера.
Следуат o™бтить, что признак Днсамбсра целсcooOpсзнo ггри■иlи!нятl5 н том случае, тогда в ияражении со(П1ц^го чл^н^ ряда естьг многочлео, cГ)ак■иo|ниал нексо-торогоз вы[ннжения или показательная завиclмoить. Кроме тогоо, нередрo птэи^и^к Днламбер^ и<^гкEл:lЗую■I■ lиля вытcнения <тхoдимocти зяда, общий член которого содержит произведение такoií структуры: оп = 1 • о • 3 •••п(п +-1.).
= blirn ^(ln(b + 1))2 - (ln(2))2j = +ш.
Интеграл расходится, следовательно, расходится и заданный ряд.
Иногда интегральный признак Коши применяют и в тех случаях, когда более целесообразным было бы использовать другой признак, например, признаки сравнения.
Допустим, требуется исследовать ряд Хп^т^, пользуясь интегральным признаком Коши-Маклорена. Сходимость этого ряда элементарно доказывается с помощью любого из признаков сравнения.
Функция arctgx ограничена. Для любых значений x верно такое неравен-
я я _ arctgn
ство: - ^ < arctgx <2 Откуда следует справедливость неравенства: <
"ш? < Я • П?. Ряд ХП=1 П^ сходится, так как представляет собой обобщенный гармонический ряд, у которого степень n больше единицы. Следовательно,сходится
■п п arcten и ряд .
Рассмотренные выше признаки применяются при исследовании сходимости знакоположительных рядов. Понимание поведения рядов, особенно с точки зрения их сходимости или расхождения, является фундаментальным аспектом математики более высокого уровня. Эти знания имеют решающее значение в различных математических анализах и приложениях.
Понимание сходимости или расхождения ряда - это не просто теоретическое упражнение. Это имеет практическое значение в различных областях: в физике - в квантовой механике ряды используются для аппроксимации решений сложных задач; в инженерном деле - инженеры используют конвергентные ряды при обработке сигналов и системном анализе; в экономике - специалисты используют ряды для моделирования экономического роста с течением времени или для прогнозирования будущих экономических сценариев.
Эффективные стратегии преподавания математики, безусловно, изменились с годами. Современные учебные заведения сегодня перешли от эпохи сидячих занятий с бесконечной механической процедурной практикой к эпохе, в которой основное внимание уделяется изучению математики и обсуждению ее идей. Задача обучения математике - не просто дать студентам теоретическое
математическое образование. Первоочередной целью является обеспечение соответствующего уровня понимания математического содержания, что необходимо для правильного понимания последующих и смежных дисциплин.
В процессе изучения данной тематики студенты должны научиться находить общее отношение, явную формулу п-го члена, порядок и значение конкретного члена последовательности, а также сумму заданного числа членов, выбирать наиболее приемлемые признаки сходимости, алгоритмы разложения функций.
Библиографический список
Новизна полученных результатов заключается в разработке рекомендаций для студентов, которые позволят лучшим образом изучить и усвоить тему «Положительные числовые ряды».
Перспективы дальнейших исследований включают в себя уточнение и развитие приемов кросс-предметного преподавания математических дисциплин для повышения уровня усвоения материала и формирования навыков его использования на практике.
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 т.: учебник для студентов университетов и втузов. Москва: Высшая школа, 1981; T. 2.
2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Москва: Наука, 1968; Т. 2.
3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.К. Курс математического анализа. Москва: Просвещение, 1972; Т. 2.
4. Горбунова Н.Ю., Платонова Н.Н. Ряды: учебное пособие. Москва, 2021.
5. Грачев Д.А. Числовые ряды в вопросах и задачах. Москва, 2012.
References
1. Kudryavcev L.D. Kurs matematicheskogo analiza: v 2 t.: uchebnik dlya studentov universitetov i vtuzov. Moskva: Vysshaya shkola, 1981; T. 2.
2. Fihtengol'c G.M. Osnovy matematicheskogo analiza. Moskva: Nauka, 1968; T. 2.
3. Bohan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.K. Kurs matematicheskogo analiza. Moskva: Prosveschenie, 1972; T. 2.
4. Gorbunova N.Yu., Platonova N.N. Ryady: uchebnoe posobie. Moskva, 2021.
5. Grachev D.A. Chislovye ryady v voprosah izadachah. Moskva, 2012.
Статья поступила в редакцию 29.12.23
УДК 376
Tushaeva M.Kh., postgraduate, Department of Pedagogy and Psychology, Chechen State University n.a. A.A. Kadyrov (Grozny, Russia)
Ekhaeva R.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Department of Pedagogy and Psychology, Chechen State University n.a. A.A. Kadyrov (Grozny, Russia),
E-mail: raisa.exaeva65@mail.ru
DEVELOPMENT OF COGNITIVE PROCESSES IN CHILDREN OF PRIMARY SCHOOL AGE. In order to study features of development of cognitive processes of primary school age, this work studied features of development and formation of cognitive processes of children of primary school age on the basis of empirical research according to the following methods: the technique of "Estimating the volume of short-term auditory memory; "Comparison of Concepts" technique for studying thinking; method of "Studying arbitrariness of attention"; the "Completing Figures" technique for studying imagination; the "What's missing in these pictures?" technique; the levels of development of attention, memory, thinking, imagination and perception are studied. Theoretical aspects of the development of cognitive functions in children of primary school age are considered. The work provides a brief analysis of the development of each cognitive process, the stages of development of cognitive processes in primary school children are also diagnosed and studied, where the levels of their development are identified, the cognitive process "attention", other cognitive processes showed the same percentage, "imagination" is at a low level of development. These research results confirm our hypothesis that cognitive processes do not have the same level of development and the need for their targeted development in the learning process.
Key words: cognitive processes, imagination, memory, attention, thinking
М.Х. Тушаева, аспирант, ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет имени А.А. Кадырова», г. Грозный
Р.М. Эхаева, канд. пед. наук, доц., ФГБОУ ВО «Чеченский государственный университет имени А.А. Кадырова», г. Грозный, E-mail: raisa.exaeva65@mail.ru
РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА
C целью изучения особенности развития познавательных процессов младшего школьного возраста в данной работе изучены особенности развития и сформированности познавательных процессов детей младшего школьного возраста на основе эмпирического исследования согласно следующим методикам: методика «Оценки объема кратковременной слуховой памяти; методика «Сравнение понятий» для изучения мышления; методика «Изучения произвольности внимания»; методика «Дорисовывание фигур» для изучения воображения; методика «Чего не хватает на этих рисунках?», изучены уровни развития внимания, памяти, мышления, воображения и восприятия. Рассмотрены теоретические аспекты развития познавательных функций у детей младшего школьного возраста. В работе дан краткий анализ развития каждого познавательного процесса, также продиагностированы и изучены стадии формирования познавательных процессов у детей начальных классов, где выявлены уровни их развития. Высокий уровень развития показал познавательный процесс «внимание», остальные познавательные процессы продемонстрировали одинаковый процент, на низком уровне развития находится «воображение». Данные результаты исследования подтверждают нашу гипотезу о том, что познавательные процессы имеют неодинаковый уровень развития и необходимо их целенаправленное развитие в процессе обучения.
Ключевые слова: познавательные процессы, воображение, память, внимание, мышление
Изучение познавательной сферы, особенно детей младшего школьного возраста, было основным направлением исследований на протяжении последних 25 лет. Существует много научных работ, связанных с изучением познавательной сферы. Несмотря на разные точки зрения, все же наличествует некое общее мнение, касаемое выводов, сделанных на основе сегодняшних исследований и направлений, что является новизной в настоящее время, так как меняются интересы и направления учебно-воспитательной деятельности в процессе школьного обучения, что требует новых подходов и направлений развития и воспитания младших школьников. В настоящее время образовательные программы всех уровней, в том числе начальной школы, усложняются. Освоение более сложной программы требует более высокого уровня развития когнитивных навыков.
Учитывая данный аспект, мы пришли к выводу, что актуальность данного исследования имеет большое значение, так как в младшем школьном возрасте происходит становление и развития произвольности всех познавательных процессов. И от того, насколько эффективным и плодотворным является организация учебного процесса в школе, зависит не только развитие познавательных процессов, но и вся дальнейшая способность к саморазвитию.
Ведущая роль в процессе обучения, способствующая развитию познавательного интереса, принадлежит ученику, саморазвитию его личности. Это возможно, если учитель выполняет функции консультанта, инициатора познавательного интереса, вдохновителя и сторонника действий, партнера по дискуссии, а также поставщика социальной среды, основанной на сотрудничестве.
Поощрение самодеятельности и саморазвития личности является ключевой целью и предпосылкой образования, потому что человек получает образование, в том числе новые знания, в результате собственной разнообразной деятельности. Учащимся в процессе обучения, основанном на теории конструктивизма, предоставляется возможность посредством открытий и сотрудничества с другими обогащать свои знания [1, с. 57-65.]
Умение учителя формировать творческую среду обучения, развивать внутреннюю мотивацию учащихся к обучению и способствует развитию познавательных процессов.
Преобразование когнитивной сферы у детей младшего школьного возраста является очень важной сферой для будущего становления и развития психики ребенка. Многие исследования в данной области подтверждают преобладание в
