CC BY
68
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
ART 170083 УДК 372.851:517.521
Кандаурова Ирина Евгеньевна,
старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва iriskan6591 @mail.ru
Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами
Аннотация. В статье на примере задач демонстрируется методика исследования на сходимость числовых рядов с положительными членами и преимущества этой методики. Материал статьи рассчитан на студентов технических специальностей, однако будет полезен всем, кто интересуется теорией рядов. Представляет собой рекомендации в виде задач и примеров для подготовки к экзаменам, практическим занятиям, контрольным и рубежным работам, выполнения домашних заданий. Материал работы может быть использован преподавателями, ведущими практические занятия.
Ключевые слова: числовой ряд, остаточный член ряда, сумма ряда, необходимый и достаточные признаки сходимости, исследования на сходимость числовых рядов с положительными членами.
Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
В целях повышения уровня математической подготовки студентов математических и технических специальностей особое внимание уделяется тем вопросам высшей математики, без прочного знания которых невозможно стать хорошим специалистом в своей области. К таким важным темам относится тема числовых рядов. Применение их очень широко: приближенное вычисление функций и интегралов, замена сложных функций более простыми, в частности многочленами, свойства которых хорошо изучены; вычисление пределов, решение дифференциальных уравнений.
Рядом в математике называется выражение вида a + a + a +......., составленное
из чисел, занумерованных в определенном порядке, которые называются членами ряда. Многоточие, в котором и заключается суть ряда, указывает, что это выражение не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть бесконечная сумма.
Это выражение лишь некий математический символ, которому надлежит придать определенный смысл. Приближенные суммы ряда S = a , S = a + а, S = a + a + а ,
Sn = a + a + a +......+ a называются частичными суммами. Если последовательность
частичных сумм S„ при неограниченном возрастании n стремится к некоторому числу S, то ряд называется сходящимся, в противном случае - расходящимся. Число S называется при этом суммой ряда, и пишут: a + a + a +.......+ a +........= S.
Геометрический ряд исторически был первым бесконечным рядом, для которого была определена его сумма. Архимед в III в. до н. э. для вычисления площади параболического сегмента (фигуры, ограниченной прямой и параболой) применил суммирование бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Интересно, что после Архимеда вплоть до XVI в. в математике рядами не занимались. Ряды вошли в математику лишь тогда, когда началось изучение изменяющихся процессов.
ниегп
issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Сначала математики занялись вычислением сумм рядов. А четкое определение такого важного понятия, как сходимость ряда, основанного на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в конце XIX ека. Тогда же началось систематическое изучение рядов [1].
Напомним основные понятия и определения. Выражение
ад
a1 + a2 + a3 +......+ an.......= ^ an (1)
n=1
называется числовым рядом. Сумма первых n слагаемых называется частичной суммой ряда; a + a2 + a3 +.......+ a = S„.
Если существует lim SB = S, то ряд называется сходящимся. Если этот предел не
существует или равен ад, то ряд называется расходящимся. Ряд
ak +1 + ak +2 + ak + 3 +......+ ak + m +......= А an
^an (2)
n=k +1
называется остатком ряда (или на жаргоне «хвостом») ряда.
Если все члены ряда a > 0, то ряд называется знакоположительным, если все
члены ряда an >0, то ряд называется строго положительным.
Для положительного ряда очевидно, что S„+1 = sn + a„+1 > S„ , т. е. последовательность частичных сумм оказывается возрастающей. Вспоминая теорему о пределе монотонной последовательности, приходим к следующему основному в теории положительных рядов утверждению: положительный ряд (1) всегда имеет сумму. Если эта сумма конечна, то ряд будет сходящимся; а если бесконечна, то ряд расходящийся. Все признаки исследования рядов с положительными членами на сходимость и расходимость основаны на этой теореме [2].
Из свойства рядов отметим следующие:
1) Если сходится ряд (1), то сходится и любой из остатков ряда (2), обратно, из сходимости остатка ряда (2) вытекает сходимость ряда (1). Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда в смысле его сходимости или расходимости.
2) Если ряд сходится, то сумма его остатка после m -го члена с возрастанием m стремится к 0.
3) Если члены сходящегося ряда (1) умножить на один и тот же множитель, то его сходимость не нарушается, а сумма лишь умножается на этот множитель.
4) Два сходящихся ряда можно почленно складывать (или вычитать), так что (a ± b)+(a2 ±К)+......+ (a„ ±К)••••• также сходится, и его сумма равна A ±B, где A и
B - сумма складываемых рядов [3].
На практике важно уметь отличать ряды сходящиеся от расходящихся. При исследовании сходимости числового ряда обычно не пытаются составлять частичные суммы и искать lim S„. Это слишком сложно. Существует ряд признаков, позволяющих
по свойствам общего члена ряда aB судить о сходимости или расходимости ряда. Для этого используют необходимый и достаточные признаки.
Необходимый признак: если ряд сходится, то его lim a„ = 0, т. е. общий член
ряда стремится к 0 при неограниченном возрастании n .
ад
ниегп
issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
При его нарушении ряд заведомо расходится. И именно в этом случае ответ готов: ряд расходится. Однако важно подчеркнуть, что это условие не является само по себе достаточным для сходимости ряда. Иными словами, даже при его выполнении ряд может расходиться [4].
Поэтому начинать исследование ряда на сходимость следует с применения необходимого признака.
Схема исследования такая: если lim ая ^ 0, то ряд расходится; если lim ая = 0, то
п^да п^да
ничего о сходимости ряда сказать нельзя; в этом случае надо привлекать достаточные признаки. Рассмотрим это утверждение на примерах.
да 2п -1
Пример 1. Исследуем на сходимость ряд V-.
Я=13я + 5
Начнем исследования ряда с помощью необходимого признака 1 ^
Я 2 — I
lim-= lim —у-п^ = — ^ 0. Ответ: по необходимому признаку ряд расходится. Вы-
п^да3я + 5 п^да 5 | 3 п\ 3 + — I
У n )
вод из этого примера очень важный: исследование любого ряда полезно начинать с исследования с помощью необходимого признака, потому что в случае lim ая ^ 0 ответ
готов сразу: ряд расходится [5].
да ^
Пример 2. Исследуем ряд на сходимость V —. Он называется гармоническим.
Я=1 п
Используем необходимый признак lim — = 0. Но этот ряд расходится. Покажем
п^да п
" 11111 1
это. V — = 1 + - + - + — + - +.......+ — +........
п=1 п 2 3 4 5 п
Сгруппируем слагаемые в группы из 1, 2 ,4, 8,..... членов
1 + 111 + 11 +11 + 11 +1 +1 +11 + I 1 + • ••• + — I +..... так, что в к -й группе будет 2к-1 чле-
У 2) У 3 4) У 5 6 7 8) У 9 16)
нов. Если в каждой группе заменим все члены последними членами группы, то получим ряд: 1 + — + — • 2 +1 • 4 + — • 8 + •••• = 1 +1 +1 +....., сумма первых п членов которого
2 4 8 16 2 2
равна
1 +1 (п -1)
2V 7
, стремится, очевидно, к (+да). Взяв достаточно большое число чле-
нов гармонического ряда, мы можем получить какое угодно число п групп, и сумма
этих членов будет еще больше, чем ского ряда £ ^ [6].
1 +1 (п -1)
2V
, и отсюда видно, что для гармониче-
да ^
Пример 3. Исследуем ряд на сходимость -ч.
tt п(п +1)
ниегп
issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Используем необходимый признак lim —Л—г- = lim —-Л—^ = 0. Признак ответа
nn(n +1) n2 (. 1
не дает. Тогда представим общий член в виде суммы
А
1 +
! n, 1 1 1
n(n +1) n n + 1
Sn = -L +-L +_L+......+ > = (1 _ 1U1 _ 1UI -1V.....+(-L -1 Vi1 -— 1
1-2 2 • 3 3 • 4 n(n +1) ! 2) !2 3) ^3 4) !n -1 n) !n n +1)
111111 1 1 1 1 , 1 0 ~
= 1 — +---+---+ — +......+---+---= 1--= S . Отсюда получаем
2 2 3 3 4 4 n -1 n n n +1 n +1 n
lim S = lim |1--— I = 1. Ряд сходится, его сумма стремится к 1.
я^-ад я^-ад! n + 1 )
Каждый раз составлять суммы ряда неудобно и сложно. Если необходимый признак не дает ответа о сходимости ряда, переходим к применению достаточных признаков.
ад ад
Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда Аa и А К и, начи-
n=1 n=1
а
n > n an < bn. Если ряд А n
ная с некоторого номера N , для всех п > N ап < Ъп. Если ряд уЬп сходится, то схо-
п= 1
ад ад ад
дится и ряд уа , если ряд уаи расходится, то расходится и ряд у К .
п=1 т=1 п = 1
ад
При выполнении условия а < К ряд называется мажорантой ряда уаи , или ма-
n
n=1
жорирующим рядом, ряд уа - мажорируемым.
п=1
Схематическая запись признака сравнения выглядит так:
ад ад
у а < У Ъ
/ п / J п
n / J n
n=1 n=1
сходится ч- сходится
расходится -► расходится.
Чтобы с помощью этого признака исследовать ряды на сходимость, надо иметь такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых была бы известна заранее [7]. В качестве эталонов обычно используют:
ад
А aqn-1
(1) геометрическую прогрессию n=i сходится при
И <1
расходится при
И >1
ад 1
А1
(2) гармонический ряд ™=1 п расходится,
ад ^
Р
(3) обобщенный ряд Дирихле п=1 п сходится при Р >1,
расходится при Р <1
ниегп
issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Для подбора ряда-эталона полезно вспомнить некоторые неравенства, кото-
Til I I
рыми при этом пользуемся: ln x < x, sin x < x < tqx (0< x < —), sin x < 1, cos x < 1.
2
4. Исследуем на ^
Пример 4. Исследуем на сходимость ряд У—-f
n=i n%¡,
n=1 nV n ± 2
Проверим необходимый признак lim—,1 = 0, он выполняется. Значит, надо
nv n ± 2
исследовать дальше. Используем признак сравнения. Подберем мажоранту:
1 1 1 1 —, =-1 . =61 <_г. А последний ряд является рядом Дирихле с
nvn + 2 т,2 - I 2 6
n • n55 1 + — n551 + — n5 V n \ n
p = - >1, и он сходится. Поэтому исходный ряд сходится по признаку сравнения. Пример 5. Исследуем на сходимость ряд V 2 +sinn .
n=1 n
-г i^- 12 + sin n.. -А 1
Так как -1 < sin n < 1, то 2 + sin n > 1, имеем — <-. Но если ряд V — расхо-
n n n=j n
дится, то исходный расходится как больший по признаку сравнения [8].
ад ад
Предельный признак сравнения. Даны два положительных ряда Vаи и VК ,
и существует конечный и отличный от 0 и ад предел Ит — = Я ^ 0, ад, то оба ряда либо
п^ад
an
К
сходятся, либо расходятся одновременно. Это означает, что при an ^ 0, и Ъя ^ 0, и
n ^ ад члены рядов эквивалентны при X = 1 или являются бесконечно малыми одного порядка малости.
Этот признак удобно применять и тогда, когда трудно определить, у какого ряда общий член больше.
Еще одно утверждение: если хотя бы начиная с некоторого номера n,n > N вы-
a Ъ ад
полняется неравенство -n±i <-n±1, то из сходимости ряда V Ъ следует сходимость
an Ъп n= 1
ад ад ад
ряда Va , а из расходимости ряда Va вытекает расходимость ряда VК [9].
n=1 n=1 n=1
Для этого признака полезно вспомнить некоторые эквивалентности, которые справедливы при n ^ад:
.(Л 1 ^ 1.11 1 1 1 , 1 .111 2 2
ln 11 ±— I« — , sin — « — , tg— « — , en -1« — , arcsin — « — , -=-— « —.
V n j n n n n n n n n shn en - e n en
ад ж
Пример 6. Исследуем на сходимость ряд V sin —.
2n
—
Необходимый признак выполняется lim sin — = 0. Применим признак сравнения.
^ад 2n
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
Л
Л
При п ^да sin — « —, т. е.
2п 2п
. Л
sin — lim-2п
п^да Л
2п
= 1 по первому замечательному пределу.
Ряд V— = — V1 как гармонический расходится (константа на сходимость не
"12п 2
п= 1
п
влияет). Исходный ряд расходится по предельному признаку.
п + 2
Пример 7. Исследуем на сходимость ряд V"
=1 п + п + 1
Так как числитель и знаменатель общего члена ряда представляют собой многочлены, то при п подберем эталонный ряд, вынося за скобки в числителе и в зна-
2 ^
п + 2
менателе старшую степень: а = —-
п + п + 1
п\ 1 + -
п ,
21 Т 1 1
п \ 1 + —+
1 да 1 —. Подобранный ряд V —
п
п=1
п
п и
2
расходится как гармонический. Исходный ряд ему эквивалентен. Ряды ведут себя одинаково.
Исходный ряд расходится по предельному признаку сравнения.
~ пл/й + 2
Пример 8. Исследуем на сходимость ряд V
4(п + 2п - 2)
=1 у \п + 2п -
Найдем эталон при п ^ ю, вынося за скобки в числителе и в знаменателе стар-
г \
1+2
п
4п
п
шие степени: а =--
" т](п6 + 2п - 2)
У п2)
II
1 2 2 п п
. Ряд для сравнения найден.
1 3
Ряды ведут себя одинаково. Ряд Ъп = — сходится как ряд Дирихле с р = — >1. Исход-
,2 2
ный ряд сходится по предельному признаку сравнения.
9 " - 1 • п +1
Пример 9. Исследуем на сходимость ряд ln
п=1 V п
п
Подберем эквивалент к
исходному
ряду
при
п ^ да:
а„ = ^lnI j = -^ln| 1 +11^-1 •1 . Подобранный ряд является рядом Дирихле,
п Цп У п ) 3п У п) 1 п
п3
п
4
он сходится, так как р = - >1. Ряды ведут себя одинаково, их члены эквивалентны. Исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения. Пример 10. Исследуем на сходимость ряд
т=1
3п - п
3
п
п
ниегп
issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Сравним ряд с геометрической прогрессией = - + +......В данной задаче
1 . 1 „ а
n=
f
а =-, b = —. Вычислим предел lim — = lim
n 0n n I " 1
3n - n n 3n b
1 1 1 .. 3n 1
: — I = lim-= lim-= 1.
■„ --л 3n - n 3n) 3n - n n^^ n_
n 3n
Ряды ведут себя одинаково. Но геометрическая прогрессия с q = 1 < 1 сходится.
Исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения [10].
Признак Даламбера. Если для положительного ряда существует предел
а
lim -n±i = X, при X < 1 ряд сходится, при X > 1 ряд расходится (т. е. не выполняется
an
необходимый признак). В случае X = 1 признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает и надо использовать другие признаки.
Доказательство признака основано на сравнении ряда с геометрической прогрессией. Ряд, члены которого составляют геометрическую прогрессию, при знаменателе |q| > 1 быстро расходится, а при |q| < 1 быстро сходится. Поэтому признак Даламбера, хотя и удобный при использовании, недостаточно «чувствительный». Он действует, когда ряд быстро сходится или быстро расходится. Например, его удобно использовать, когда общий член ряда содержит показательную функцию, или представляет собой произведение n сомножителей, или содержит факториалы [11].
ш n2
Пример 11. Исследуем на сходимость ряд .
=1 3
vi
n =1
2
n
Проверим необходимый признак lim — = 0, так как показательная функция при
n3n
основании больше 1 возрастает быстрее любой степенной, что можно проверить, используя правило Бернулли - Лопиталя. Найдем lim -n±L = lim (nn ±1—=1 < 1, значит,
а 3 • 3n • n 3
ряд сходится по признаку Даламбера.
п ИО М ^ 1-3• 5-...(2и-1)
Пример 12. Исследуем на сходимость ряд ^--.
«=j 2• 5• 8....(3n —1)
Здесь использовать необходимый признак непросто. Начнем исследование с достаточного признака. Подставив вместо n n ± 1, получаем 2(n ± 1)-1 = 2n ± 1,
/ ч , „ „ 1 • 3 • 5.....(2n - 1)(2n ± 1)
3(n ± 1)-1 = 3n ± 2, составим предварительно ая+1 =-)-^-\.
2 • 5 • 8.....(3n - 1)(3n ± 2)
а+, ,. 1 3 • 5....(2- - 1)(2и ± 1) 2• 5• 8....(3- -1) 2n ± 1 2 .
Вычислим lim —n±1 = lim-^-£-{-)-( = lim-= - < 1.
«^ш а «^ш 2• 5 • 8....(3- - 1)(3- ± 3 • 5....(2- -1) 3n ± 2 3
Ряд сходится по признаку Даламбера.
ш «I а-
Пример 13. Исследуем на сходимость ряд Y——, а ф e.
-«
Вспомним: -I = n(n -1)(- - 2).......4 • 3 • 2 • 1.
ниегп
issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Составим
(n + 1)(n.....3 • 2 -1)(an )a •
(n +1)! an+1 (n + 1)n.....3 • 2 -1- ana
(n + 1)n+1 = (n + 1)n-(n +1)
n
Вычислим
a.
n+1
n
= lim --f^-у-^—--= a lim
(n + 1n )(n + 1)n!-an n—
lim
я—ад a
n 1 1
= a lim
a
n +1
n—f 1 p
1 + 11 e V n.
Таким образом, при а > е ряд расходится, а при а < е ряд сходится по признаку Даламбера.
Пример 14. Исследуем на сходимость ряд А
ад п"
1 2nn!
a,, =■
(n + 1)n
Составим последующий и предыдущий члены ряда: а = — , а =
2пп! 2п+1 (п +1)
Находим их частное:
n i . iV+1
an+1 _ n . (n + 1)
n 2n+1(n +1)
n 1n 2(n +1) _ ( n
a
2nn!'2n+1(n +1) (n + 1)n (n + 1)2nn! V n +1J (n +1) V n +1.
a„
Тогда lim -n±1 = lim 2
n = 2lim-1-= 2lim-1-= — < 1.
я—адп n—ад
an
n + 1 ,
n + 1
r 11n e 1 + — V n
Исходный ряд сходится по признаку Даламбера [12].
Радикальный признак Коши. Если существует предел lim tfä" = Я , то при Я < 1
n—ад
сходится; при Я > 1 ряд расходится (т. е. не выполнен необходимый признак). В случае Я = 1 признак ответа не дает, нужно привлекать другие признаки. Доказательство признака основано на сравнении ряда с геометрической прогрессией. Поэтому область применения признаков Даламбера и Коши примерно одинакова. Там, где ряды сходятся или расходятся медленнее геометрической прогрессии, эти признаки не отличают сходящиеся ряды от расходящихся.
n(n-1)
Пример 15. Исследуем на сходимость ряд А|-
ti V n +1
Используем признак Коши:
lim ¡"Oi = lim
—Ч я +1) n—Ч я +1
^Ч я = 1
я—ад я—ад
lim (-2 n-11 1
= en—4 n+1) = < 1. Исходный ряд сходится по признаку Коши.
e
я -1 у(я-1) . (я -1 У-1 ( 2 1я-'. ( - 2 lVn+11n+1 )(n-1)
-| = lim |-| = lim | 1--| = lim | 1 + ■
n +1
Пример 16. Исследуем ряд на сходимость А 3
2n
,„2
Используем признак Коши : lim dan = lim 3
я—ад я—ад
1 V 2n + 3 )
У = 3 • lim
V 2n + 3 ) n—ад
= 4- > 1.
3 3
2я
- J2Г
2n)
Ряд сходится по радикальному признаку Коши.
an+1 =
n
n
n
я—ад
n
ад
я
1
2 e2
ниегп
issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Интегральный признак Маклорена - Коши. Его достоинство - в высокой «чувствительности». Он четко проводит различие между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного незначительно отличаются от членов другого и ряды при этом медленно сходятся или расходятся.
ад
Пусть даны ряд у аи = а + а + а +......+ а +....., члены которого положительны и
п=1
не возрастают а > а < а <...... и функция /(х) положительная, непрерывная, монотонно убывающая при х > а. Если, начиная с некоторого N , для всех п > N ап = /(п),
я
ад
то ряд у а сходится или расходится вместе с несобственным интегралом | / (х)^х.
п=1 1
Следовательно, интегральный признак Коши применим к положительным рядам, члены которого монотонно убывают с увеличением их номера [13].
ад ^
Пример 17. Исследуем на сходимость ряд А1.
я=1 n
Используем интегральный признак: f — = lim f— = lim (ln x)ъ = lim ln b = +ад , т. е.
J v b—+ад J v b—+ад b—+ад
X b—+ад J x b—+ад 1 b—+ад
интеграл расходится, значит, и ряд расходится по интегральному признаку Коши.
ад ^
Пример 18. Исследуем ряд на сходимость У—.
я=1 я2
I» - +ад dx г dx ( 1
Используем интегральный признак: I — = lim I — = lim | —
J v2 b—+ад J v2 b—+ад v
J x2 b—+ад| x2 b—+адV x
•dx b dx ( 11 Л 11 ,
= lim | 1 — I = 1.
b—+<»v ь )
Интеграл сходится, значит, и ряд сходится по интегральному признаку Коши.
ад ^
Пример 19. Исследуем ряд на сходимость А-.
я=2 n ln n
Используем интегральный признак:
ад dx Ъ
f-= lim f-= limlnln xl = lim (lnln b - !п!п2) = ад.
J2x ln n b—ад^ x ln x b—ад 2 b—co
Интеграл расходится, и ряд расходится по интегральному признаку.
ад ^
Пример 20. Исследуем ряд на сходимость А-
т= 2 "(1П n)k
Члены ряда монотонно убывают, составим интеграл f ——
2 x(ln
dx
и вычислим его:
x
У
+ад dx .. br dx ln1 k x
--\T = lim -TT = lim-
f x(ln x)k b—+ад f x(ln x)k b—+ад 1 - k
, (k ф 1). Видно, что этот предел зависит от k.
Если k > 1, то lim
b—+ад
Л 1k Л ln x
v )
b
С ln1-kb ln1-k 2^ <~1-k
= lim
b—+ад
2
V 1 = k 1 -k )
ln1-k 2 k -1
, т. е. интеграл и ряд схо-
дятся.
. . .. (ln1-kb ln1-k 21
= +ад, т. е. интеграл и ряд расходятся.
Если k < 1, то lim
b—+ад
1 - k 1 - k )
ад
ниегп
issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
Если k = 1, то lim f d = lim (lnlnb-lnln2)=±rc, т. е. интеграл и ряд расходятся.
ад 2
Пример 21. Исследуем ряд на сходимость V-.
„=з n ln n ln ln n
Используем интегральный признак Маклорена - Коши. Составим для этого функцию: f (x ) =-1-. При этом несобственный интеграл
x ln x ln ln X
±ад dx b dx .. \dlnlnx , , , b
I-= lim I-= lim I-= lim lnln ln x = ±ад при x ^±ад. Интеграл
*xlnxlnlnx xlnxlnlnx lnlnx 3
расходится, и ряд расходится по интегральному признаку.
3n
Пример 22. Исследуем на сходимость ряд Vtt.-т-.
n=2 (n - 2)ln2n
n=2 \n2 - ;
Упрощаем выражение для общего члена ряда
3n 3n 3 _ -г—-т-= —--г-«- и будем исследовать сходимость ряда
(n - 2)ln2n n2 Ii-А I ln 2n n ln x
ад 3
V-с помощью интегрального признака Маклорена - Коши. Исследуем интеграл
n = 2 n ln n
на сходимость: f 3dx = lim f 3dx = 3lim (lnln b - lnln 2)= ±ад. Интеграл расходится.
\x ln x x ln x
3
Применяем интегральный признак Коши. Функция f (x ) =-непрерывна в про-
x ln x
межутке [2;±ад) и убывает на этом множестве, стремясь к 0. Следовательно, из расхо-
^ 3 3n 3 п димости интеграла следует расходимость ряда V -. Но -¡—-^->-. По
n=2 n ln n (n- 2)ln2n n ln n
признаку сравнения расходится и исходный ряд [14].
Подводя итог, сформулируем основные положения методики исследования на сходимость рядов с положительными членами.
1. Качество признака сходимости определяется его применимостью, практичностью и чувствительностью.
2. Как выбрать признак сходимости? Для этого следует сначала исследовать ряд по необходимому признаку. Если признак ответа не дал, то переходить к использованию достаточных признаков. Для этого проверить, применим ли он, удобен ли для применения, нет ли способа проще.
3. Полезно помнить, что признаки Даламбера и Коши связаны между собой:
a
если существует конечный или бесконечный предел отношения lim -n±1 = l, то суще-
и^ад п an
ствует и равен ему предел lim = l.
и^ю *
Для самостоятельной работы и повторения практического материала можно предложить следующие задачи:
ниегп
issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
научно-методический электронный журнал
1) исследовать на сходимость данные числовые ряды, применяя необходимый
1 ^ n +1 ^ 2. 1 ^ 2n + 3
n sin
признак: А-; А cos—; А arcctg——; А n2 sin—-; А cos(n2); А
n=i 3n - 1 n=1 n n=1 n - 1 n=1 n + n + 1 n=1 n=1 n + 1
2n£ +1
n=1
ад22
V 2n2 + 3 )
2) исследовать на сходимость данные числовые ряды, применяя признаки
ад n ^ + 6 ад/ — \ ад ( 1 1 ад ---^
сравнения: А ln ^—6 ; А n( 1 - cos — |; А n en -1 ; А vn2 arctg —; . А
1
ад n4 + 3 ^ 3n + n ^ ,( Л ^ , — . ^ °0sn. ^ arctg(n3)
2 1 ■ V n 2 sin 1
n=1 n4 ' Vn7
А n ln ; А^- ; А n2
А n4 + 2 А 7n + 2n А
e2"3 -1
n2 n=1 n n=1 n(n + 2)( n + 3)
n=1 n + 2 n=1 7 + 2n n=1 )
3/„ 2 , Г~ ад „2 „ ад rn
^ 5 - 2 cos n ^ 2 + sin n 4 . 2 2— ^ 3n2 + Vn ^ n2 ln n " 5'
А 5ГТ ; А„/2 ^\; Аn •sin —; А i г- ; А::^"; У
n=1 Vn n=1 n(n + 3) „=! n n=1 ^n 4 3 „=! n - 2 „=! 2 -
ад n3 + 3n2 - 2 ^ ln n
ZU -г -j//
, с ^ ; А :
„=! 2n + 5 - n5 ' „=! Vn + 3 '
3) исследовать на сходимость данные числовые ряды, применяя признак Да-
^ n7 " n3 " 3n-1 " n!-3n ^ (n +1)! ^ 1 • 3 • 5 • ...(2n -1)
птбещ^_ А—; А —; у —; у —; А^; А-^-^;
n=1 Т n=1 n! n=1 2 n n=1 " n=1 5 n=1 n • 3
52
" 2 • 5 • 8 •...(3n - 4) . ^ n!2n . ^ 2n(n5 - 1). ^ 3n + 2 , " n!(2n + 2)! . " (3n + 2)! _
А 1 • 5 • 9 •...(4n - 3) ' А (2-)I ' А n ' А 2n(n + 1)! ' А (3n)! ' А2n(2n + 5)! '
4) исследовать на сходимость данные числовые ряды, применяя признак Коши:
^3n2 + О
ад/О ад
V 2n2 + 3)
^2n3 +^
n=1
v 3n3 -1)
5n - 31 "( n 1 "(2n + 2
А^ ; А^ ; 1 ; ; А
1V 7n + 1) „=j V 2n + 3 ) „=j V 5n +1
А«3 I ; АЦ; У!4-Ч1*; А-Шг; А3n-1 en; у±(1+1Jn
ад /3n +11n ^ n 1 4n -11n2 ^ n23n ^ n ^ 1 Л 1
e ; А
n=1 V 5n + 3) V 2n + 1) n=1 V 9n +1) 5 "+1 n=1 2n V n
»( n 12n-1 n 1n2 ^ 1 (2n-11n
; у !V n+1) ; А
„=! ^ 3и + ^ „=! V п +1 у „=! и ^ 3и +1) Ссылки на источники
1. Маркушевич А. И. Ряды. Элементарный очерк. - М., 2013. - 32 с.
2. Власова Е. А. Ряды / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 673 с.
3. Апарина Л. В. Числовые и функциональные ряды. - СПб.: Лань, 2012. - 160 с.
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. -575 с.
5. Григорьев Е. А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. - СПб.: Научный мир,
2005. - 216 с.
6. Глухов М. М., Круглов И. А., Пичкур А. Б., Черемушкин А. В. Введение в теоретико-численные методы. - СПб.: Лань, 2011. - 400 с.
7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - М.: Физматлит,
2006. - 607 с.
ад
n2
n2
ад
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость рядов с положительными членами // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2017. - № 4 (апрель). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept. ru/2017/170083. htm.
8. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Задачи и упражнения по высшей математике / под ред. А. И. Кириллова. - М.: Физматлит, 2005. - 368 с.
9. Фихтенгольц Г. М. Указ. соч.
10. Григорьев Е. А. Указ. соч.
11. Фихтенгольц Г. М. Указ. соч.
12. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Указ. соч.
13. Апарина Л. В. Указ. соч.
14. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Указ. соч.
Irina Kandaurova,
Senior lecturer, Moscow State Technical University after N. E. Bauman, Moscow [email protected]
The research methodology on the convergence of series with positive terms
Abstract. In order to increase the level of mathematical preparation of students of mathematical and technical specialties special attention is paid to the issues of higher mathematics, without a solid knowledge of which it is impossible to become good specialists in their field. Such important topics include the topic of numerical series. Their use is very wide: approximate evaluation of functions and integrals, replacement of complex functions is more straightforward, in particular by polynomials, whose properties are well studied; calculation of the limits, solution of differential equations. The paper deals with the example task to demonstrate the technique of the study of the convergence of numerical series with positive terms and benefits of this technique. The material is designed for students of technical specialties, but will be useful to the one interested in the theory of series. The author presents recommendations in the form of tasks and examples for exam preparation, practical training, control and watershed work, homework. The work material can be used by teachers, leading practical classes. The author assumes that the reader knows the basic concepts of the theory of infinitely small and large quantities, their comparison, different ways of calculating the limits.
Key words: numerical series, residual term of series, sum of series, necessary and sufficient conditions of
convergence, studies on convergence of numerical series with positive terms.
References
1. Markushevich, A. I. (2013). Rjady. Jelementarnyj ocherk, Moscow, 32 p. (in Russian).
2. Vlasova, E. A., Zarubin, V. S. & Krishhenko, A. P. (eds.) (2000). Rjady, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 673 p. (in Russian).
3. Aparina, L. V. (2012). Chislovye i funkcional'nye rjady, Lan', St. Petersburg, 160 p. (in Russian).
4. Piskunov, N. S. (2006). Differencial'noe i integral'noe ischislenija. T. 2, Integral-Press, Moscow, 575 p. (in Russian).
5. Grigor'ev, E. A. (2005). Chislovye i funkcional'nye rjady. Teorija i praktika, Nauchnyj mir, St. Petersburg, 216 p. (in Russian).
6. Gluhov, M. M., Kruglov, I. A., Pichkur, A. B. & Cheremushkin, A. V. (2011). Vvedenie v teoretiko-chislen-nye metody, Lan', St. Petersburg, 400 p. (in Russian).
7. Fihtengol'c, G. M. (2006). Kurs differencial'nogo iintegral'nogo ischislenija. T. 2, Fizmatlit, Moscow, 607 p. (in Russian).
8. Zimina, O. V., Kirillov, A. I. & Sal'nikova, T. A. (2005). Zadachi i uprazhnenija po vysshej matematike, Fizmatlit, Moscow, 368 p. (in Russian).
9. Fihtengol'c, G. M. (2006). Op. cit.
10. Grigor'ev, E. A. (2005). Op. cit.
11. Fihtengol'c, G. M. (2006). Op. cit.
12. Zimina, O. V., Kirillov, A. I. & Sal'nikova, T. A. (2005). Op. cit.
13. Aparina, L. V. (2012). Op. cit.
14. Zimina, O. V., Kirillov, A. I. & Sal'nikova, T. A. (2005). Op. cit.
Рекомендовано к публикации:
Утёмовым В. В., кандидатом педагогических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 24.02.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 01.03.17
Принята к публикации Accepted for publication 01.03.17 Опубликована Published 29.04.17
www.e-koncept.ru
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Кандаурова И. Е., 2017
977230412017304
