CC BY
11
17. Bennett С.Н., Brassard G.,Crepeau C.,Jozsa R., Peres A.,Wootters W.K. Teleporting unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channel // Phys. Rev. Lett. 1993. 70. N 30. P. 1895-1899.
18. Yi m s i r i w at t an a A., Lomonaco S.J. Generalized GHZ States and distributed Quantum Computing. Lanl e-print 2004. Quant-ph/0402148.
19. Abrams D.S., Lloyd S. Quantum algorithm providing exponential speed increase for finding eigenvalues and eigenvectors // Phys. Rev. Lett. 1999. 83. N 24. P. 5162.
20. Bouwmeester D., Ekert A., Zeilinger A. The Physics of Quantum Information. Springer-Verlag, 2000.
Поступила в редакцию 23.06.04
УДК 517.956.4, 517.958:535.14 В. А. Чушкин
ОБ АТТРАКТОРЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ОПТИЧЕСКОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ1
(кафедра математической физики факультета ВМиК)
1. Введение. В современной адаптивной оптике интересным и многообещающим объектом для исследований являются нелинейные оптические системы (ОС) с пространственно-распределенной обратной связью, содержащие оптический блок фурье-фильтрации (см., например, [1-4]). В простейшем случае фурье-фильтрация осуществляется с помощью системы двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлен пространственный фильтр (см. [1-3, 5]) или управляемый пространственный модулятор света (см. [4]). Для широкого класса моделей таких систем, описываемых нелинейным параболическим функционально-дифференциальным уравнением (ФДУ) с оператором дискретной фурье-фильтрации, в [6, 7] изучены различные постановки начально-краевых задач и возможности управления фурье-фильтром на конечном интервале времени. Вместе с тем в задачах адаптивной оптики важно иметь представление о динамике системы на неограниченном временном промежутке, а также уметь оценивать сложность предельных при £ —> +оо пространственно-временных режимов, одной из характеристик которой является хаусдорфова размерность аттрактора [8, 9].
Настоящая работа посвящена исследованию при £ —> +оо динамики ОС с дискретным фурье-фильтром. Основной результат состоит в доказательстве существования компактного аттрактора и получении верхней и нижней оценок его хаусдорфовой размерности.
2. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Пусть х = (х\,х2) £ С Я2, £1 —
выпуклая ограниченная область с кусочно-гладкой границей (5т = О X (0,Т); И — ограниченная
выпуклая область в пространстве В2 или Д3; Ьр(0) — комплекснозначное пространство Лебега с нормой \\-\\ЬР{в), 1 ^ р ^ +оо; Н = Ь2 (£1) — гильбертово пространство со стандартным скалярным произведением (•,•)# и соответствующей евклидовой нормой ||-||я, Н8(£1) — пространство Соболева порядка в > 0 (см. [10, гл. 1, п. 9]), С(Г2) — пространство непрерывных в О функций с нормой
11^11с(?Т) = тах|и(ж)|. Обозначим через Н2>1'8(С}т), где целое число в ^ 1, гильбертово пространство
всех принадлежащих £2((5т) функций, у которых существуют и принадлежат £2((5т) обобщенные производные да\^а^р при всех (целых и неотрицательных) ац, «2, /3 таких, что «1+02+2/3 ^ 2в (см.
[11, гл. III, § 7,^.1])._
1 Работа выполнена при финансовой поддержке АРОЭК (грант СИОР 11Р0-1391-МО-03) и РФФИ (код проекта № 0401-00619).
Действующий в Н неограниченный оператор Ли = и — 12л {д^. х и + д^. х и), > 0, будем рассматривать на области определения Т>(Л) = {и £ Н2(£1) : у (и) = 0}, где 7(-) находится по одной из следующих формул: 7(и) = 7(и) = либо оператор 7(-) отвечает условию периодичности в
прямоугольнике = (0, /1) X (0, ¡2)- Легко видеть, что в рассматриваемых случаях область определения Т>(Л) плотна в Н, А = А* ^ / (/ — единичный оператор). Здесь и ниже символ "*" используется в зависимости от контекста для обозначения сопряженного оператора, комплексно сопряженного значения или сопряженного пространства.
Для удобства изложения через А обозначим также и энергетическое расширение оператора А согласно формуле (Ли,у) = \/и, V 6 V, задающей линейный ограниченный оператор из V на
V*, где V — энергетическое пространство со скалярным произведением (и, ю)у = (и, + Vг;)я
и нормой ||и||у = (у,у)у2, V — оператор градиента.
Обозначим ~\¥ = ТУ (О, Г) = {и : и £ £2(0,Т;У), дьи £ £2(0,Т;У*)} — гильбертово пространство с /Т 2 2 . \1/2
нормой ЦиЦ^ = I f (||и(?/)||у + ||5(и(?/)||у» ) йт] ) , где производная понимается в смысле 1?'(0,Т; V)
(см. [10]); Ьр(а,Ь] В) — пространство измеримых по Бохнеру р-суммируемых (1 ^ р < +оо) функ-
/Ь \!/р
ций на (а, Ь) со значениями в банаховом пространстве В и нормой = ( /||и(?/)||д ¿7]] ;
С([а, Ь]ф, В) — пространство непрерывных на [а, Ь] функций со значениями в В и нормой ^в) =
= тах ||и(£)||в. Заметим, что по теореме о следах (см. [10, гл. 1, п. 3]) справедливо непрерывное
вложение ТУ С ([О, Г]; Я).
Согласно [11, гл. VI, § 2, п. 2] в Н существует ортонормированный базис {еп(х)}п=п составленный из собственных функций оператора А, — соответствующая последовательность собственных
чисел, причем 1 ^ А1 ^ А2 ^ ... ^ А„ —> оо при п —> оо.
Аналогично [6, 7] введем оператор Р~р(А) фурье-фильтрации, изменяющий ряд Фурье комплекс-нозначной функции А(х) по базису {е„(ж)}^^ с помощью дискретного фильтра-мультипликатора Р = {Р1,Р2, ■ ■ -,Рп, ■ • •) е ^оо по правилу
+ ОС
Fp(A)(x) = У^рп(А,еп)неп(х).
п= 1
Здесь loo — банахово пространство ограниченных комплекснозначных числовых последовательностей с нормой = sup \рп\.
00 neN
Динамика рассматриваемого класса ОС с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи описывается начально-краевой задачей для нелинейного параболического ФДУ диффузии (см. [7]):
rdtu{t) +Au(t) = F(u(t);p), t > 0, (1)
7(u(t)) = 0, t > 0, (2)
u\t=Q = u0. (3)
Здесь т > 0 — время релаксации нелинейного отклика, а зависящая от фурье-фильтра р правая часть F(u) = F(w, р) уравнения (1) имеет вид
F{u-p) = f(x) + Кг |Аг„(ж)|2 + Я:2Re (A*n(x)Afb(u; р)) + К3 \Afb(u;p)\2 , (4)
Afb(u] р) = Fp(Ainexp{iu}), (5)
в котором с помощью набора вещественных коэффициентов Кi, К2, охватываются различные модели ОС, построенные на основе нелинейной среды керровского типа или жидкокристаллического модулятора света (см. [1-3]).
Разрешимость задачи (1)-(5) и некоторые из используемых ниже оценок установлены в [7]. Для удобства ссылок они собраны в следующем утверждении.
Теорема 1 (см. [7]).
1. Пусть р £ Тогда в пространствах Е = Н и Е = V для оператора фурье-фильтрации З-р(А) верно следующее:
Н^Н^ИкЛ^Ня, \/А £ Е. (6)
2. Пусть Ain £ V П С(Г2), р £ Тогда Ми, v £ V справедливы неравенства:
\\Afb(u)\\L4il) <С С! \\Afb(u)\\\/2 ||А/Ь(И)||^2 <С С2 \\p\\loo (l + \\и\\\!2) , || Afb(u) - Afb(v) ||i4(n) <С С3 \\p\\loo (l + \\и\\У2 + М\!2) ||И - v\\]i2 ,
(7)
(8)
где постоянные С\,..., Сз не зависят от р, и, V.
3. Пусть / £ Н, Агп £ У П С(0), р £ 4о- Тогда Уи £ ТУ (О, Г) функция Е(и) £ £2(0,Т;Я) и справедлива оценка
^с4 (i + ii/iiff+iHL (I + ihi L2(0,T-,V) I I '
(9)
е которой постоянная С4 не зависит от р, и.
4. Пусть щ Е H, f Е H, Ain Е V Г) С (il), р £ ^оо- Тогда для любого Т > 0 начально-краевая задача (1)-(5) имеет единственное решение и £ ТУ(0,Т), удовлетворяющее уравнению (1) для п. в. t £ (О, Г) в пространстве V*, причем
1с([о
,T];H) + MW^C5(T) (1 + ||/||я+|Ы1Я)
(10)
где постоянная С$(Т) не зависит от f, щ.
5. Пусть щ, щ Е H, f Е H, Ain £ Vf) С (il), p E £00, u(t), û(t) —решения задачи (l)-(5), отвечающие начальным условиям щ, щ, выбираемым из ограниченных множеств в пространстве H. Тогда на любом конечном промежутке времени [О, Г] решения липшиц-непрерывно зависят от начального условия:
\\и ~ й\\с([0,Т]-,Н) + IIй - ù\\w(0,T) ^ С'б(Т) IK - щ\\н , (11)
причем постоянная Cq(T) не зависит от щ, щ.
Следующие леммы отражают важные функциональные свойства правой части F(u; р) уравнения (1).
Лемма 1. Пусть / £ H, А{п £ VflC(ii). Тогда оператор F(u;p) действует из V X в V*, и справедлива оценка
\\F(u;p)\\v, ^ \\f\\y, + Сг \К3\■ \\р\\21оо \\и\\]!2 + С'4(р), (12)
где Ci(p) = С2 \\р\\е 1 + \Кз\ • \\p\\t ) + Сз \К\\, а постоянные Ci,..., С3 не зависят от р, и.
Доказательство. Для правой части F (и) из (4) справедливо неравенство
v
+ | К 21 • ||Re (A*nAfb(u))\\v, + \К3\ ■ \Afb(u)\
v
Воспользовавшись непрерывностью вложения H V*, имеем
\\Re(A*nAfb(u))\\v, <С С5 ||А*„А/Ь(И)||Я <С С5 \\Ain\\c(n) \\Afb(u)\\H .
(13)
(14)
Оценку оставшихся слагаемых в (13) проведем с помощью неравенства Гельдера с показателями
III
4 ' 2 ' 4
, а также непрерывности вложения V L (il). Получаем оценки
и гп г 4 со1) 5
Тогда с помощью (6), (7) из неравенств (13)—(16) выводим (12). Лемма 1 доказана.
(15)
Лемма 2. Пусть / 6 Н, А{п 6 С1 (О). Тогда оператор Р(щр), действующий из V X в V*, дифференцируем по Фреше по и на всем пространстве V. Производная Р'и = определяется
на элементе 8и 6 V по формуле
6и) = 11е {(К2А*п + 2К3А%(и)) ^р(Атгехр{г и}5и)) (17)
и подчиняется оценке
\\{Р'и{щр);5и)\\у, ^СгБ^р) (1 + 1М11/2) ||Н1я- (18)
Для остаточного члена р]8и) в приращении Р{щр) верна оценка
\Пщ р- 5и)\\у, <С С^р) (1 + ||И||^/2) \\8и\\н \\5и\\У2 + С3 \\р\\21оо (\\6и\\\/2 + \\и\\]!2) |Н|3Я/2 , (19)
где 5*1 (¿о) = \\pWi (1 + \\pWi ); а постоянные С{ (г = 1,3) не зависят от и, р, 8и.
Доказательство. Обозначая £ = ехр{г(и + ¿и)} — ехр{г и} и используя равенство
Т1\ = £ — I ехр{г и}8и = —0,5 (соз(и + в\ 8и)+{ыъ{и + в28и)){8и)2, 0 < в3 < 1, .7 = 1,2, (20)
из (4) выводим формулу Р(и + 8щ р) — Р{щр) = (Р'и(щ р)]8и) + р',8и), в которой (Р'и(щр)]8и) определено в (17), а для остаточного члена справедливо представление р; 8и) = С^г + (¿2, гДе
<21 = Ее {(К2А*п + 2К3А%(и)) Тр (А1ППХ)) , (21)
<Э2 = К3\?Р(Агп£)\2 .
Для доказательства оценки (18), действуя аналогично выводу (15), из (17) получаем неравенство:
ь4{п) + 11^/ь(и)11ь4(п) ) 11-^р iexp{iu}Su)\\н . (22)
Тогда, учитывая включение A¿„(ж) 6 С(Г2), из (6), (7) и (22) следует (18). Точно также из (21) вытекает оценка
\\QiWv ^ СьМр) (1 + Н\у2) \\к1\\Н ■ (23)
Для оценки применим следующие из (20) числовые неравенства ^ С\8и\8, в = 1,2. Тогда |Д1| = ^ С\8и\1/2 • \8и\. Отсюда
на основе неравенства Гальярдо-Ниренберга выводим
1/2
оценку ЦД1 ||я ^ С6 \\8и\\н Ц^иЦу , которая вместе с (23) приводит к неравенству
Ш\у. ^СгБ^р) (1 + ||И||^/2) \\5и\\н\\8и\\У2 . (24)
Для оценки слагаемого (^2 сначала аналогично (15) выводится неравенство
11^21|у* ^ С8 IIТр [А{п£)\\н \\Рр ,
из которого с помощью мультипликативного неравенства и (6) вытекает оценка
^ С9 \\р\\2е^ ||Аг„£||3я/2 \\Агп£\\\12 . (25)
Воспользовавшись формулой градиента
V (А^п£) = VA¿„ • £ + A¿„ • (ехр{г(и + Su)}i (Уи + — ехр{г и}гУи) , из (25) выводим неравенства
ЦА^Ц^^ЦА^Ц^ЦН!^2, (26)
\\Агп£\\\!2 Сю \\Агп\\1'2(Щ (\\5и\\\/2 + \\и\\\/2) • (27)
Тогда из (25)-(27) получаем оценку
т\у^сп\\р\\1 (||Н11/2 + 1Н11/2)|1Н1я/2,
из которой и из (24) следует (19). Лемма 2 доказана.
Результат следующей леммы показывает, что решение задачи (1)-(5) обладает дополнительной регулярностью при £ ^ ¿о > 0.
Лемма 3. Пусть выполнены все предположения пункта 4 теоремы 1. Тогда при любом фиксированном ¿о > 0 решение и(Ь) задачи (1)-(5) принадлежит классу Н2,1 ((¿г0т), Яг0т = {ж 6 О, ¿о < ^ < Т}, и для него справедлива оценка
Ic{[t0,nm («» ^ С (1 + ||/||я + |КЫ , С = С(Т; t0) > 0.
(28)
Доказательство. Согласно пункту 4 теоремы 1 начально-краевая задача (1)-(5) имеет единственное решение и(Ь) Е ТУ(0,Т). Рассмотрим новую функцию и(£) = Ь2и(Ь), и(£) Е ТУ(0,Т). Пользуясь (1), получаем начально-краевую задачу для
Tdtv(t)+Av(t)=F(u-,p), t > О, 7(v(t)) = 0, t > О,
v\t=o = 0'
(29)
(30)
(31)
где Р(щр) = 2Ьти(Ь) Ь2 Р(щ р). В силу пункта 3 теоремы 1 справедливо включение Р(щр) Е Е Ь2(0,Т]Н), поэтому согласно [11, гл. VI, § 2, п. 3] решение задачи (29)—(31) принадлежит классу Н2,1(С}т), и справедлива оценка
\v\\h2^(qt) ^
Р(щр)
(32)
Воспользовавшись (9), (10), из (32) выводим оценку
МН2,ЧЯт) ^ с2 (\\и\\ЬЦЯт) + \\р(щ р)\\ь2{Ят)^ ^ С3 (1 + ||/||я + Ы|я) • Тогда для любого фиксированного ¿о > 0 справедливы неравенства
Мн^(дгоТ) ^ с4(*о) ||«||Я2,1(д ) ^ с5 (1 + ||/||я + |Ы1Я).
(33)
Следовательно, решение и Е Н2,1 ((¿г0т)- Неравенство (28) следует из оценки (33) и теоремы о следах (см. [10, гл. 1, п. 3, теорема 3.1]). Лемма 3 доказана.
3. Существование компактного аттрактора. Согласно пунктам 4 и 5 теоремы 1 однозначно разрешимая начально-краевая задача (1)-(5) порождает непрерывную полугруппу операторов {St, t ^ 0}, St : Н —т- Н, где StUo = u(t). Напомним (см. [8]), что ограниченное, замкнутое множество •М, М. С Н, называется максимальным аттрактором (далее — просто аттрактором) полугруппы {St}, если выполнено условие притяжения: для любого ограниченного множества В С Н
lim distjj(StB, Л4) = 0, где distjj(X,Y) = sup inf \\х — у||я, t^+oo хеХУ^У
и условие инвариантности: StM = М. для всех t ^ 0.
Теорема 2. Полугруппа {5^}, соответствующая задаче (1)-(5), обладает следующими свойствами:
1) {5^} равномерно ограничена в Н, т. е. для любого Я > 0 существует С (Я) такое, что ||5^ио||я ^ С(Я) для всех £ Е [0,+оо), если только ||ио||я ^ Я;
2) существует ограниченное в Н поглощающее множество Во полугруппы {5^}, то. е. для любого ограниченного множества В С Н найдется такой момент времени Т(В), что StB С Во при
г^т(в)-
3) операторы {5^} при £ > 0 отображают множества, ограниченные в Н, в множества, ограниченные в V и тем самым предкомпактные в Н;
4) полугруппа {5^} обладает компактным аттрактором ЛЛ в Н, причем этот аттрактор М. ограничен в V;
5) при и = и(0) Е АЛ для траектории и(Ь) = при любом £ ^ 0 имеют место оценки:
АГ1^^), (34)
(
I (¿ + гАГ1)52(/9), (35)
о
где 52(р) = С (||/||у. + \КХ\2 + \К2\2 ■ \\р\\2еоо + \Кз\2 • Н/0!!^ + 1-^'з|4 • Н/0!!^); ~ первое собственное число оператора Л, С > 0 не зависит от р, и(Ь).
Доказательство. Применим равные функционалы (1) к функции и(£) и воспользуемся оценкой (12). В результате получаем оценку
0,5г& (|ЖНя) + \\иШ\2у <с с4 \\иЮ\\у + с5 \\итУ, (36)
где постоянные С4, С5 зависят от величин ||/||у. и \\p\h следующим образом:
с4 = с2 ц^ц^ {\к2\ + |К3| • |ии + Сз \к,\ + \\fWy,, с5 = с\ \к3\■ \\р\\2е.
Здесь С\,... ,С3 не зависят от ||/||у,, \\pWi , и(£). Применяя в правой части (36) неравенство Юнга (а,Ь Е е > 0)
аЬ <^еар+ С{е)¥, С{е) = (егр)_9/р/д, р ^ 1, 1/д = 1 - 1/р, (37)
с£ = 0,25 при р = 2 и р = 4/3, получаем следующую оценку:
& (|Ж11я) + 1ЖНу ^ (38)
2 2 / 2 \ 2
Из оценки (38) с помощью неравенства А4 ||и(^)||я ^ ||и(^)||у имеем ( ||и(£) ||я ) + т~ А4 ||и(£)||я ^
^ т~132(р), откуда
1Ж11я ^ (|1и(0)11я " ^ЗД) ехр{-г"1А10 + А(39) Интегрируя неравенство (38), выводим
(
мтн+т-11\ш\\2у(171^1т-1з2(р) + \\ит\2н. (40)
о
1/2
Из оценки (39) следует свойство 1 с константой С(Д) = (А1 ■^г^ + Д2) ' .Свойство 2 выполнено,
1 /2
например, для множества Во = {и(ж) 6 Н\ ^ (А^~152(р) + 1) } и момента времени Т(В) =
= тах{2гА^~11п Д, 0}, где Д — радиус шара в пространстве Н, в который вкладывается множество В.
Из оценки (28) и компактности вложения Н1 (£)) м- Я следует вполне непрерывность операторов полугруппы {5^} при £ > 0. Свойство 3 выполнено.
В силу (11) при любом £ ^ 0 операторы полугруппы {5^} : Н —> Я непрерывны, а доказанные свойства 1-3 обеспечивают выполнение всех остальных условий теоремы 1.2 из [8, с. 139], дающей достаточные условия существования компактного аттрактора абстрактной полугруппы операторов. Таким образом, у полугруппы {5^} имеется компактный в Н аттрактор АЛ, а в силу инвариантности аттрактора и пункта 3 множество АЛ ограничено и в V. Отсюда вытекает справедливость свойства 4. Оценка (34) следует из (39), а (35) — из (34) и (40). Теорема 2 доказана.
4. Оценка сверху хаусдорфовой размерности аттрактора. Для вывода оценки сверху размерности аттрактора воспользуемся известной схемой рассуждений [8], основанной на анализе дифференциала абстрактной полугруппы. Для полугруппы {5^}, порожденной задачей (1)-(5), этот дифференциал задается с помощью линейного уравнения в вариациях:
тд^(г) = ь(и(г))у(г), у(о) = у0, (41)
где
L(u)v = -Av + (F'u(u-p)-v). (42)
Лемма 4. Пусть / G Н, A¿„ G C1(Í7), р G íaо- Тогда для оператора L(u) из (42) для любой функции и G V справедливы неравенства:
Н-^М^Ну* ^ IMIy + C\S\(p) + |Н|{/2^ \\v\\H VvEV, (43)
(L(u)v,v)<: -0,5|M|^ + C2S12(/o)(l + |H|v)|H|jí \/v G V, (44)
и Vmi, U2 G V верна оценка
\(L(ui)v - L(u2)v, ^ C3Si(p) (l + ||mi||^/2 + ||и2||^/2) \\v\\][2 \\v\\l¿2 ||tt?||y ||mi - и2||^2 , (45)
где постоянные C¡ > 0 (¿ = 1, 3) не зависят от и, щ, и2, v, w G V.
Доказательство. Оценка (43) следует из (18), а для вывода из (42) оценки (44) достаточно воспользоваться (18) и числовым неравенством ab ^ 0,5а2 + 0,562.
Для доказательства оценки (45) аналогично выводу оценки (18) имеем
\(L(ui)v - L(u2)v,w)I ^ \\(F^(ui-, p)-,v) - (F'u{u2-, p);
v)Ну*' llalli/ ^
^ CSí(p) (l + IKIlf) ||exp{¿Mi} - exp{¿M2}||¿4(íí) |M|i4(íl) |Mly +
+ С\\p\\loo || А1Ь(щ) - Afb(u2) ||i4(n) \\v\\H |H|y . (46)
Поскольку |exp{¿i/i} — exp{¿i/2}| ^ \щ — U2\, то разность экспонент оценивается следующим образом:
1 /2
||exp{¿Mi} - exp{¿M2}||¿4(íí) ^ С ||mi - u2\\¿ • (47)
Тогда воспользовавшись (8), неравенством Гальярдо-Ниренберга и непрерывностью вложения V Н, из (46), (47) выводим (45). Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Пусть выполнены все условия леммы 4, Щ Е Н, u(t) = StUo, St — оператор полугруппы, соответствующей (1)-(5). Тогда верно следующее.
1. Для любого vq G Н при любом Т > 0 задача (41) с граничными условиями (2) имеет единственное решение v G W(0,T) и справедлива оценка
+ ||ü||w <С С||г;о||я, С = С{\\и0\\н,Т). (48)
2. Оператор сдвига Gt '■ vq —> v(t), соответствующий (41), является дифференциалом S't(uo) оператора St в точке щ. При этом оператор St ■ Н —> Н при t > 0 равномерно дифференцируем на любом ограниченном в Н множестве В.
3. Оператор S't(u) удовлетворяет условию Гелъдера на В с показателем 1/2. Доказательство. 1. Существование решения линеаризованной задачи (41) и оценка (48) устанавливаются на основании метода Галеркина и оценок (43)-(45) аналогично тому, как это было сделано в [7] для исходной нелинейной системы. Таким образом, оператор Gt определен на всем пространстве Н.
2. Для доказательства равенства Gt = S't(uo) рассмотрим разность
w(t) = St(u0 + v0) - St(u0) - Gt(u0)v0, v0 G H. (49)
Напомним (см. [8, с. 156]), что для абстрактной полугруппы {St} оператор Gt(uo) совпадает с дифференциалом S¡-(uo) и St(u) равномерно дифференцируемо на В, если для достаточно малых ||^о||я при фиксированном t имеет место оценка
1М*)11я ^с|Ы!я+<5, ¿>0, (50)
где С не зависит от щ G В, а зависит только от В.
Для доказательства оценки (50) для рассматриваемых моделей фурье-фильтрации используем тот факт, что функция u\(t) = S^Mo+fo) является решением уравнения (1) с начальным условием щ + vq,
функция = 5((ио) — решение (1) с условием и(0) = щ, а функция и(£) — решение (41). Переписав (49) в виде = — и(Ь) — с помощью леммы 2 имеем
- = + ги(о) = о. (51)
Умножив уравнение (51) на ги(£) и воспользовавшись (42), выводим оценку
у, + р; V + и>) ||у,
V '
из которой с помощью (18), (19), неравенства треугольника и (37) получим
дг (|М*)||я) + С1 ^ С2 (1 + ММу) Мг)\\у (1 + ||д-) +
+ Сз (1 + |Ж||2У + |Ж||^ + |М011я) 1ЖНя +
+ С4 (1 + \\и(т2у + |Н*)||2у) • (1 + |М*)||У2 , |М0)||Я = 0.
Интегрируя это неравенство по 4 и учитывая оценки (10) и (48), из которых следует ограниченность «?(£) в Н при £ 6 [О, Г] константой, зависящей лишь от ||ио||#> ||^>о||я и от Т, пользуясь неравенством Коши-Буняковского и леммой Гронуолла, выводим при 0 ^ £ ^ Т оценку
1М*)11я^5(|Ы1я/2 + 1Ы1я), (52)
где постоянная С5 не зависит от ||ио||#> а зависит от множества В. Из (52) для достаточно малых ||г>о||я вытекает оценка (50) при 6 = 0,5, откуда следует, что = Сг(, а также равномерная диффе-ренцируемость 5( на ограниченном в Н множестве.
Для проверки условия Гельдера для ио!,ио2 £ В рассматривается функция ги(£) = — = = 5^(^01)^0 — (и02)г>05 ги(0) = 0. Из (41) имеем
тд^Ц) - ¿(гл(*))«7(*) = (Ь(гл(*)) - Ь{и2{г))) и2(*).
Умножив это уравнение на ги(£) и воспользовавшись (18), (45) и (37), выводим:
^ (|м*)Ня) +с6 \нт2у ^ с7 (1 +1 ыту) |м*)ц^+
Тогда, интегрируя неравенство (53) по 4 и пользуясь леммой Гронуолла, неравенством Коши-Буняковского и оценками (10) и (48), при 0 ^ £ ^ Т получим ||«?(£)||я ^ Сд ||и! — и2 ||с^0 т\н) > где
постоянная Сд = Сю |Ы1я зависит от множества В и от Т. Отсюда в силу (11) вытекает требуемое утверждение. Лемма 5 доказана.
Теорема 3. Пусть выполнены все условия леммы 5, ЛЛ — аттрактор полугруппы соответствующей задаче (1)-(5). Тогда хаусдорфова размерность ЛЛ в Н конечна и удовлетворяет оценке
сНт М СгГа2 ЦрЦ2^ (1 + ЦрЦ^) (1 + ||/||„. + \К\\ + |К2| • \\р\\1дв + |К3|2 ■ ЦрЦ^) + 1. (54)
Доказательство. Существование аттрактора ЛЛ и его ограниченность в V установлены в пункте 4 теоремы 2. Для количественной оценки хаусдорфовой размерности ЛЛ воспользуемся достаточными условиями из [8], сформулированными на языке линеаризованного уравнения (41), отвечающего абстрактной полугруппе {5^}. Основное из проверяемых условий для полугруппы {5^}, порожденной задачей (1)-(5), состоит в получении энергетической оценки для оператора Ь(и(Ь)) вида
(Ь(и(г))у,у) «С + ЦЬ) \\У\\2н 6 V, (55)
на произвольной траектории аттрактора u(t) = StUo, щ G Ai, с не зависящими от щ G Ai мажорантами и® и h® усреднений коэффициентов v(t) и h(t)\
t t
j и(т])с1т] ^ z/° >0, J h(i])di] Vi ^ 0. (56)
о 0
Тогда согласно теореме 5.2 из [8, с. 153], для применимости которой наряду с (55), (56) используется установленная в пункте 2 леммы 5 равномерная дифференцируемость оператора полугруппы {St}, справедлива оценка хаусдорфовой размерности Ai:
dim M iC r]-l{h0t/v0t),
где rj~l(r) — обратная к возрастающей функции т](п) параметра п > 0 такой, что
п
Spn(A) = Y^\j ^ П • ri(n + 1) VneN. (57)
з=i
В силу (44) неравенство (55) выполнено с v(t) = 0,5, h(t) = C2S\(p) (1 + ||w(i)||y). Тогда v® = t/2, а выражение для Щ следует из (35) и оценок
t
У/.(т?)^^^^2^) (i + i1/2 ЧкНь-со^п) ^Сз^!2^) (i + i-^/'^+^^^rAr1^^))172) V^O. о
Как известно (см., например, [9, с. 121]), собственные значения у j оператора —А в ограниченной
п
области Ç} С R2 при рассматриваемых краевых условиях удовлетворяют неравенству у j ^ С3п2.
з=1
Поэтому для собственных значений Xj оператора А имеет место оценка (57), где т](п) = C3l2d(n — 1) +1. При этом 1]~1(г) = C3lld2(r — 1) + 1. Таким образом, при t > 0 справедлива оценка
dim M Ç r,-\h4/v°t) C^2S2(p) (l + Sl/2(p) + 0(t-1/2)) + 1. Устремляя t к +oo, выводим (54). Теорема 3 доказана.
5. Оценка снизу хаусдорфовой размерности аттрактора. Для описания динамики фазовой модуляции световой волны в контуре обратной связи с конфокальной "4 —/"-системой пространственной фильтрации для дискретной модели процесса фурье-фильтрации из [6, 7] применяется ФДУ (1). В том случае когда ОС построена на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (см. [1-3]), уравнение (1) принимает вид
Tdtu(t)+Au(t)=F(u-p) = K3\^p(Ainexp{iu})\2 , и(0) = и0, (58)
и дополняется однородными граничными условиями Неймана или периодическими граничными условиями.
Оценку снизу размерности аттрактора Ai полугруппы {St}, соответствующей (58), проведем в предположении, что выполнено
Условие А: амплитуда Ао и фаза ф входного поля А{п = Ао exp{îçi>} постоянны в пределах рабочей апертуры Çl.
Как известно, участвующие в определении оператора фурье-фильтрации J-p{) собственные функции {е„(ж)}^^ оператора А могут быть выбраны вещественными (см. [11, гл. IV, § 1, п. 3]). При рассматриваемых краевых условиях функция е\ = где — мера Лебега множества Ç}. Тогда, воспользовавшись представлением рп = pnexp{iqn}, рп G [0,1], qn G [0,27г), для комплексных компонент фильтра р = (р 1, pi, ■ ■ ■, рп,...) G 4о, получаем, что стационарные пространственно-однородные решения w задачи (58) имеют вид:
w = K3A20pl (59)
Согласно [8] размерность аттрактора мажорируется снизу количеством неустойчивых направлений в стационарной точке полугруппы {5^}. Для этого исследуется спектр линеаризованного оператора (42). На решении т из (59) оператор (42) принимает более простой вид:
Ь(т)у = -Лу + = -Лу + 2К3Яе (A*fb(w)Ainiexp{i . (60)
Поскольку А*^ь(т) = А*пр\ ехр{ — I т}, то, проводя необходимую для спектрального анализа комплек-сификацию оператора Ь(т) из (60), имеем
Ь(ги)у = -Лу + 2К3А20 ^ [Рх^Рп) (и, еп)неп(х). (61)
Кроме того, из (6) и (60), (61) следует оценка ™-1
<£>;?);«> ^^ 2 \К3\А2оР1 |М| (62)
с помощью которой аналогично доказательству леммы 3 и пункта 3 теоремы 2 выводится вполне непрерывность оператора (т) = СгДги) в Н при £ > 0, обосновывающая применимость теоремы 6.2 из [8, с. 155]. В результате получаем оценку сЦт М ^ сЦт где Е+ — конечномерное инвариантное подпространство оператора Ь(т) из (61), состоящее из собственных векторов оператора Ь(т), соответствующих собственным значениям с Tlepj > 0. Поскольку
Рз = + ЪК3А1Ке (р{ г р^) = -А^ + 2К3А1ргр^ эт^ -
то доказана
Теорема 4. Пусть фильтр р 6 10о и выполнено условие А, ЛЛ - аттрактор полугруппы соответствующей задаче (58). Тогда для хаусдорфовой размерности ЛЛ в Н справедлива оценка сЦт М. ^ 1, где
Т = {] : 11е = -А, + 2К3А20р1Р] зт(д1 - qj) > 0}.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Degtiarev E.V.,Vorontsov М. A. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression //J. Optical Society Amer. Ser. B. 1995. 12. N 7. P. 1238-1248.
2. Larichev A.V., Nikolaev I. P., Violin о P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Optics Communications. 1997. 138. P. 127135.
3. Nikolaev I. P., Larichev A.V., Shmal'gauzen V. I. Controlled optical structures in a nonlinear system involving the suppression of low spatial frequencies in the feedback loop // Quantum Electronics. 2000. 30. N. 7. P. 617-622.
4. Justh E. W., Vorontsov M.A.,Garhart G., Beresnev L. А., К r i s h n ap as ad P.S. Adaptive optics with advanced phase contrast techniques. Part II: High resolution wavefront control //J. Optical Society Amer. Ser. A. 2001. 18. N 6. P. 1300-1311.
5. Goodman J. W. Introduction to Fourier optics. McGraw-Hill, NY, 1996.
6. Потапов M.M., Чечкина К. А. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1997. № 4. С. 31-36.
7. Разгулин А. В., Чушкин В. А. О задаче оптимальной фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // ЖВМиМФ. 2004. 44. № 9. С. 16081618.
8. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // УМН. 1983. 38. Вып. 4 (232). С. 133-187.
9. Ладыженская О. А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1987. 163. С. 105-129.
10. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
11. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
Поступила в редакцию 13.09.04
