К разрешимости задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

К РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В, П, Аносов

1. Постановка задачи. Рассматривается следующая краевая задача:

Ь(х,Б)и(х) - А(х)и(х) = /(х) (х еЛ), (1)

и(х) = у(х) (х е Б), (2)

где и — искомая, а / и у — заданные функции со значениями в некотором банаховом пространстве Е с норм ой || • ||. Функция / определена в ограниченной открытой области Л п-мерного пространства М" (п >2), у — на границе Б области Л, а и — на Л = Л и Далее, выражение

п п

Ъ(х, Щи = «¿Лх)их^ «¿(х)и^ + а(х)и (3)

¿,,7=1 ¿=1

— дифференциальный оператор второго порядка со скалярными коэффициентами «¿¿(х), «¿(х), а(х). Производные функции и здесь пони-

Е

отношепий. Предполагается, что оператор (3) равномерно эллиптичен, т. е. «¿7 = а^г, и что для любых вещественных чисел £1,... , £п и некоторых О < ^ ^ V < то справедливо неравенство

п п п

^ Ш ^ . №

¿=1 ¿,3=1 ¿—1

© 2006 Аносов В. П.

Наконец, А(х) при каждом х € О есть слабо позитивный оператор, имеющий не зависящую от х область определения Е(А) (А = А(0)).

Оператор А, действующий в банаховом пространстве Е и имеющий в нем плотную область определения Е(А), называется слабо позитивным (см. [1]), если для любого Л > 0 оператор XI + А имеет ограниченный обратный Д(Л, — А) = (XI + А)и справедливо неравенство

II (XI + А)-1| < С(1 + Л-. (5)

Задача (1), (2) при п = 1 рассматривалась в [2], а при п >2 изучалась в работах [3-5], где установлена коэрцитивная разрешимость этой задачи в некоторых пространствах Гёльдера с весом. Исследование основано на построении решения с помощью функции Грина для уравнения с постоянным оператором в пространстве и полупространстве, для которого установлены соответствующие оценки. Однако построение функции Грина для пространства и полупространства носило частный характер. В данной статье описывается новый подход к построению функции Грина для решения задачи (1), (2) в полупространстве, а также уточняются результаты, касающиеся решения задачи (1), (2).

2. Функциональные пространства. Введем несколько пространств абстрактных функций. Через С;+а(П, Е) обозначим пространство Гёльдера с естественной нормой || • ||Сг+а(п,.е)> состоящее из I раз непрерывно дифференцируемых функций, производные порядка I которых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а. Пусть <Х обозначает расстояние от точки х = (х,• ••,х„) до границы и пусть = тт{<Х1, <Х2}. Обозначим через Саф(И, Е) = Саф, 0 < а < а + в < 1, банахово пространство, состоящее из непрерывных функций /, для которых конечна норма

II/ 1а„(0 Е = з <Х Шх) И Х,;х?е„ Щ^Г1 ■

Введем также банахово пространство С2+, А) = ^2+ ментами которого являются дважды непрерывно дифференцируемые в

Л функции, значения которых принадлежат области определения слабо позитивного оператора А и которые имеют конечную норму

Мо2+а,р = 1Н1с(п,в) + 1М1с(п,в) + \\Аи\\д„,э•

А

(см. [1]), причем оператор В = —А^ является производящим оператором аналитической полугруппы (см. [7,8]). В

полугруппы Т(г) = ехр{Вг} (см. [1]) тогда и только тогда, когда резольвентное множество А(—В) этого оператора содержит некоторую полуплоскость Т1е А ^ <го и когда при Т1е А ^ ад выполняется неравенство

\\Д(А, —В \\ ^ТТЩ • (6)

Из (6) (см. [1]) следует, что резольвента Д(А, — В) оператора —В определена не только при Ке А ^ ао, то и при всех значениях А = ао + рег^, где 0 ^ р < го,

81п —СН С

и

\\Д(А, —В \ ^ ХС^Т^ (А = а0 + ре^, О < у < а)

и где а — какое угодно фиксированное число из интервала (п, П + агсвт С). В этом случае (см. [1]) полугруппа Т(г) определена и ана-лптнчна в открытом секторе (а = {г | | агgг| < а, 0 < |г| < го}, где О < а ^ агсв1 п С 5 и является сильно непрерывной на замыкании (а этого сектора, и для полугруппы справедлива оценка

\\ВтТ(г)\\ < (г € («)• (7)

Далее, обозначим через С2+а„а(П, А) = С2+а,@ банахово пространство, состоящее из функций и таких, что и € С2+А^иХн € Са,в, А^п € С(Л, Е), норма в котором определяется как сумма соответствующих норм.

Говорят, что область Л принадлежит классу Ck'a, k — целое положительное число, 0 < а < 1 (см. [9]), если в каждой точке x G S существует касательная плоскость, и имеется такое число poj что пересечение S с шаром KPo радиуса ро с ценром в произвольной точке x есть связная поверхность, уравнение которой в местной системе координат y = (yi,..., yn) с центром в точке x и осью yn, направленной по внутренней нормали, имеет вид yn = дх(yi,..., yn-i), где дх(yi,..., Уп-i) — функция класса Ck+a в области FPo, являющейся проекцией Kpo П S на плоскость yn = 0. Нормы функцпй дх(yi,...,yn-i) в норме пространства Ck+a ограничены числом, не зависящим от точки x. Из сказанного следует, что для любой точки щ G S существует вектор-функция q(x) = (qi(x),..., qn(x)) с компонентами из класса Ck+a(Kpo) такая, что y = q(x) — взаимно однозначное отображение шара KPo на некоторую область в RJJ, причем об раз S П KPo является частью гиперплоскости {y | y G Rn, yn = 0}, а образ О П KPo — одпосвязпой областью в полупространстве Rn (yn > 0).

Пространство Clja(S) (/ > 0) функций, заданных на гладкой поверхности S, определяется локально. Будем говорить, что <^(x) — функция класса Cia, если функция ^(y) = ^ о q-1 (y) — элемент пространства C^^ Fm ) • Наибольшую из норм ||^||c!+a( Fp„)■, посчитанных

4 " 4

для всех точек поверхности S, берем в качестве нормы а(s)-

Обозначим через П(в, S, A) банахово пространство, состоящее из функций ^ G Ci(S), для которых конечна норма

Мп= sup be ||Aexp{-A^bMx) || + |ИМк-e(s)

x£S,b>0

+ sup( sup (supbe||Asexp{-

xes y'eFm b>o

4

Наконец, рассмотрим банахово пространство

Cд-4S, A) = П(в, S, A П C д-МS)

с нормой

Mc , i-e( S,A) = Мп + Mc , i-e( S.

Перейдем к определению решения.

Определение 1. Функция u называется решением задачи (1), (2),

если

1) она один раз непрерывно дифференцируема в Q и имеет непрерывные вторые производные в fi,

2) ее значения u(x), x G fi, принадлежат D(A),

3) она удовлетворяет уравнению (1) и граничному условию (2). Рассмотрим теперь в пп. 3, 4 частные случаи задачи (1), (2).

3. Эллиптическое уравнение в М". Рассмотрим уравнение

Ди - Au = /(x) (x G М"), (8)

где A — слабо позитивный оператор, имеющий зависящую от x область определения D(A). Используя преобразование Фурье, найдем решение уравнения (8) в виде

u(x) = (2n)-"/(/ ®ф{г(х - yU}(£Î + ••• + £" + A)-d^/(y) dy (9)

Рассуждая, как в работе [6], приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Пусть для Д(А, A) справедливо неравенство (5). Если финитная функция / принадлежит пространству Ca(М", E), то фупк-

u

уравненпя (8) и для него справедлива оценка

\\uxixj \\c„( + ll^u^i Wc„(Rn,E) + ||Auyc^Rn < С'/llc^Rn •

4. Краевая задача в полупространстве. Рассмотрим в полупространстве М", xn > О, задачу

Au - Au = 0 (xn >0), (10)

uxk=o = y(x') (x' G М"-1)• (11)

Здесь xx = (x, • • •,xn-i), a A — слабо позитивный оператор.

Решение задачи (10), (11) для достаточно гладкой финитной функции у попытаемся найти, используя метод Фурье. Применив его и сделав несложные преобразования, приходим к формуле

М(х) = У У С(х' - у',х„,А)у(у') ¿у', (12)

уп=о

где

,А) = [ ехр{(-г(г, и) + \/и| + • • • + и^^ + 1 х„)В} ¿и,

г-7 (13)

(¿ь...,г„-1), и= (иь...,и„-1), (г, и) = У^

п-1

¿=1

и где Ги = ГИ1 х • • • х Г, Г„з- — контур, состоящий из двух лучей из = Рз ехр{«7з- 7зМО ^ Рз < и? = Рзехр{г(п — } (0 <

р? < то). Значения 71, ... , 7и-1 выбираются так, чтобы

(-¿(г, и) + +----Н иП-1 + е „ С .

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть финитная функция у принадлежит классу С д-,д(Кп-1, А). Тогда функция и, определенная формулами (12), (13), является единственным решением задачи (10), (11), для которого справедлива оценка

1Н152+„,э(к;А < СНуНСдА (14)

с константой С, не зависящей от у.

Доказательство теоремы опирается на оценку (7). Перейдем теперь к общему случаю задачи, сформулированной в

п. 1.

5. Задача в ограниченной области. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

1) оператор-функцпя а(х)а-1 (0) принадлежит Са(П, Ь(£));

2) оператор Л/ + АХ ПРИ Л имеет ограниченный обратный, причем

II (А(х) + Л/)-1| < в(1 + Л)-,

где в не зависит от х н Л;

3) коэффициенты оператора Ь принадлежат Са(П, Д);

4) граница Б области П принадлежит С2'а;

5) функция / принадлежит Саф(И, £), а у € Сд-(з(Б, А(0)). Тогда любое решение задачи (1), (2) принадлежит классу

а„а(П, А(0)) и справедлива оценка

(П, А(0)) < NI/1

Доказательство теоремы можно провести двумя способами. Первый способ состоит в сведении задачи (1), (2) с помощью теоремы 2 работы [5] к задаче с нулевыми граничными условиями и применении теоремы 1 работы [4]. Второй способ доказательства сводится к использованию метода разбиения единицы и применению теорем 1 и 2. При этом используется лемма 1 работы [4].

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда задача ь(х, — А(х)м — = /(х) (х € О),

м(х) = у(х) (х € Б),

при достаточно большом ¿о н всех £ ^ ¿о имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

||м||С2+„,в(П ,А(0)) ^ ||/+ Мс ,1 -в(Я,А(0))), где N' не зависит ни от / и у ни от ¿о •

Доказательство теоремы использует метод разложения единицы, который хорошо изложен в ряде работ (см. [4,10]).

Теорема 5. Пусть оператор А-1(0) вполне непрерывен в Е, п пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда задача (1)-(2) фредголь-мова, т. е. ядро и коядро задачи имеют конечную и одинаковую размерность н множество значений оператора Е(х, Е)и — А(х)и замкнуто вС^ф, Е).

Для доказательства теоремы задача (1), (2) сводится с помощью теоремы 4 к уравнению с вполне непрерывным оператором (см. [4]), и утверждения теоремы вытекают из теории Рисса — Шаудера (см. [11,12]).

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4. Пусть норма в Е дпфферецнруема по Фреше, п пусть для любого х е А выполняется неравенство

(А(х)и, Ги) > п1М|2, п > 0, где Ги — градиент нормы и,а через (-0, Ги) обозначено значение функционала Ги на элементе —.

Тогда если п > «о ^ а(х), то для любой функции / е , Е)

ну е С д-вз( А(0)) задача (1), (2) имеет единственное решение из класса С2+а1вд(П, А(0)).

Для доказательства теоремы достаточно установить единственность решения задачи (1), (2). Для этого задача сводится к задаче с нулевыми граничными условиями, для которой единственность доказана в [4].

Следующие теоремы позволяют получить более точные результаты.

Теорема 7. Пусть в теореме 3 условие 5 заменено условием

вир ||А^А-^ (х)Н < то.

хеЛ

Тогда для любой функции / е Са1вд(П, Е) н любой функции у е Сд-вз(А(0)) решение и задачи (1), (2) принадлежит С2+а(П, А(0)) и справедлива оценка

||и||С2+„,э(П ,А(0)) < (Н/НС„,Э + |у|С д _Э(«,А(0)) + ||и| С(П,Е))

с константой N1, не зависящей от / и у.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда для любой / € Са,в и любой функции у € С д-(з(Б, А(0)) задача

Ь(Х, — А(х)и — ¿м = /(Х (Х € О),

м(х) = у(Х (Х € Б)

при достаточно большом I н всех ^ ¿о имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

||м|с2+„,^,А(о)) ^ ^(|/^Са,^ Мсд-в(з,А(о)))> где константа N не зависит от /, у.

Теорема 9. Пусть оператор А-1(0) вполне непрерывен в Е, п пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда оператор

тм = {Ь(Х, — АХи },

действующий из С2+а,р(П, А(°)) в , Е х Сд-в(Б, А(о)), фред-

гольмов.

Теорема 10. При замене в теореме 6 выполнимости условия теоремы 4 условиями теоремы 7 и при выполнении остальных условий теоремы 6 задача (1), (2) имеет единственное решение из С2+а„а(П, А(0)).

Следует отметить, что приведенные здесь результаты новы для скалярного случая.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

2. Соболевский П. Е. Об эллиптических уравнениях в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, № 7. С. 1346-1348.

3. Аносов В. П., Соболевский П. Е. Коэрцитивная разрешимость краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка в банаховом пространстве. I // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 11. С. 2030-2044.

4. Аносов В. П., Соболевский П. Е. Коэрцитивная разрешимость краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка в банаховом пространстве. II // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 12. С. 2132-2198.

5. Аносов В. П., Соболевский П. Е. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений в банаховом пространстве // Тр. мат. ф-та ВГУ. 1971. Вып. 3. С. 13-21.

6. Аносов В. П. Оценки решений эллиптических уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в пространстве Гёльдера // Мат. заметки. 1991. Т. 49, вып. 1. С. 144-146.

7. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

8. Balakrisbnan А. V. An operational calculus for infinitesimal generators of semigroups 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1959. V. 91, N 2. P. 330-353.

9. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

10. Агранович М. С., Вишик M. Н. Эллиптические уравнения с параметрами и параболические уравнения общего вида // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19, № 3. С. 53-161.

11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

г. Новосибирск

1 ноября 2006 г.